Tìm hiểu thêm về tích vô hướng

Tìm hiểu thêm về tích vô hướng Định nghĩa: Có nhiều định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ, ở đây ta chỉ nêu một số định nghĩa quen thuộc trong chương trình phổ thông.. Trong hệ toạ độ [r]

H×nh häc 10 Tìm hiểu thêm tích vô hướng Định nghĩa: (Có nhiều định nghĩa tích vô hướng hai véc tơ, đây ta nêu số định nghĩa quen thuộc chương trình phổ thông)     Cho hai véc tơ u , v (  ) tích vô hướng hai vec tơ đó kí hiệu là u.v xác định      nh­ sau: u v  u v cosu , v  Trong hệ toạ độ Oxy tích vô hướng còn xác định sau:    Cho u x1 , y1 , v x2 , y2  đó u.v  x1.x2  y1 y2 Trong hệ toạ độ oxyz tích vô hướng xác định    Cho u x1 , y1 , z1 , v x2 , y2 , z2  đó u.v  x1 x2  y1 y2  z1 z2     2 2 u  v   u  v    Từ định nghĩa ban đầu ta có thể suy u.v  u v  Ngoµi ta cßn viÕt u.v  (*) Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức Thí dụ Cho ba số x, y, z dương Chứng minh rằng: x2 y2 z2 x yz    yz zx x y    , v  y  z ; z  x ; x  y , Trong hệ toạ độ Oxyz lấy u  ; ;  y  z z  x x  y   Theo (*) ta suy ra: Gi¶i x  y  z  x y z  x2 y2 z2  .y  z  z  x  x  y       y z z x x y x2 y2 z2 x yz (®pcm)    yz zx x y Hay Dấu “=” xảy hai véc tơ cùng hướng  x y z    x  y  z yz zx x y ThÝ dô Víi bèn sè a, b, c, d bÊt k×, cmr: a  b2  c2  d    a  c 2  b  d 2  Gi¶i Chän ba vÐc t¬ wa  c, b  d , u a, b , v c, d  ta cã: MÆt kh¸c:    2 w.u  v   a  c   b  d        2 w.u  v   w u  v  a  c   b  d  a  b  c  d Tõ hai ®iÒu trªn suy ra:  a  b2  c2  d   a  c 2  b  d 2 (®pcm) Trang THPT TriÖu S¬n Lop10.com H×nh häc 10 ThÝ dô Trong tam gi¸c ABC chøng minh r»ng: cos A  cos B  cos C  Gi¶i Gọi đường tròn (I;r) nội tiếp ABC có các tiếp điểm A1 , B1 , C1 thuộc       IA1  IB1  IC1     BC , CA, AB đó xét:      2        IA1  IB1  IC1  2 IA1 IB1  IB1 IC1  IC1 IA1             (1)  Mµ IA1  IB1  IC1  r; IA1 IB1  r cos C ; IB1 IC1  r cos A; IC IA1  r cos B Nªn (1)  3.r  2.r cos A  cos B  cos C    cos A  cos B  cos C  Dễ thấy đấu có I trùng với G hay tam giác ABC Thí dụ Chứng minh tam giác ABC có: sin A  sin B  sin C  Từ đó cmr: sin A  sin B  sin C  3 Giải Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đó xét:       OA OB  OC                 OA2  OB  OC  2 OA.OB  OB OC  OC OA         (1)  Ta cã: 2.OA.OB  OA2  OB   OA OB   OA2  OB  AB  R  R sin C       Tương tự cho hai tích vô hướng còn lại ta thu được:   (1)  9.R  4.R sin A  sin B  sin C   sin A  sin B  sin C  Dấu có O trùng với G hay tam giác ABC 3   Ta chän u sin A; sin B; sin C , v 1;1;1 vµ ¸p §Ó chøng minh: sin A  sin B  sin C  3 sin A  sin B  sin C  sin A  sin B  sin C   dông (*) ta cã ngay: Dấu đạt tam giác ABC Vận dụng các bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình Trang THPT TriÖu S¬n Lop10.com H×nh häc 10 Thí dụ Giải phương trình sau: 2  x x 1 x  Gi¶i §iÒu kiÖn x  Chän u 2 ; x  , v   x   , ¸p dông (*) ta suy ra: ;  x  x    2 1 x  x   x   x  x 1 x 1  2 x  x x 1 Kết luận phương trình đã cho có nghiệm x  Như dấu đạt khi:  x  yz   Thí dụ Giải hệ phương trình sau:  y  zx   z  zy      Gi¶i Chän ba vÐc t¬: u y; z , v x; z , wy; x   Từ phương trình thứ ba suy ra: u v   Từ phương tr×nh thø hai suy : u w      Nếu u  thì suy v , w cộng tuyến  x  yz  trái với phương trình đầu   Nh­ vËy u  hay y  z  Tõ pt ®Çu x  yz   x  1 KiÓm tra l¹i ta cã nghiÖm cña hÖ (x;y;z) lµ: (1;0;0) vµ (-1;0;0) x  y  z   Thí dụ Giải hệ phương trình sau:  x  y  z   x3  y  z   Giải Chọn u x; y; z , v x ; y ; z  từ đề bài suy u  1, u.v  x3  y  z      MÆt kh¸c ta l¹i cã v  x  y  z   x y  y z  z x   Nªn suy u.v     xy    x  1, y  0, z   yz   v   Như dẫn đến     x  0, y  1, z    zx  cos u , v       x  0, y  0, z  u , v    Thö l¹i ta ®­îc nghiÖm cña hÖ lµ x; y; z   1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 Trang THPT TriÖu S¬n Lop10.com H×nh häc 10  xy  1 yz   ThÝ dô Gi¶i hÖ  x2 z  3 y x  z    2 2 2 z  3  x  z   y  1  z    Gi¶i Chän u x; y , v y  1; z , w2 z  3; x  z   Tõ pt ®Çu suy ra: u.v  (1)  Tõ pt hai suy ra: u.w  (2)   Tõ pt ba suy ra: v  w2 (3)   NÕu u   x  y  thay vµo hÖ suy ra: z  hoÆc z      NÕu u  tõ (1) vµ (2) suy v , w céng tuyÕn     Mµ tõ (3) cã v  w2 nªn ta suy ra: v   w  y   2z   y  2z   z  x  z x  2z Thay y, z vµo (1) ta ®­îc x  , y  , z  3  y    2z  y   2z   Víi v   w    z  z  x x    Víi v  w   Thay vµo (1) ta ®­îc x  0, y  4, z  hoÆc x  0, y  0, z  KÕt luËn nghiÖm cña hÖ (x;y;z) lµ: (0;0;1), (0;0;2), (0;4;0) vµ  ; ;  3 3  x  xy  y  ThÝ dô Gi¶ sö hÖ   y  yz  z  16  x   cã nghiÖm Cmr: xy  yz  zx  z   Chän u  y  ; x , v  z; y   Tõ hÖ ta cã: u  , v  2   2  Gi¶i xy  yz  zx , mµ u.v  u v  Nh­ vËy suy ra: xy  yz  zx  (®pcm)  MÆt kh¸c: u.v  ThÝ dô 10 Cho a, b, c, d  R Cã a  b  c  d  vµ ac  bd  TÝnh ab  cd      Giải Chọn u a; b , v c; d  Khi đó theo đề bài có: u  v  và u.v         Do u.v  nªn u a; b  céng tuyÕn víi w d ;c  Theo gt cã u  w  Nªn  u   w a   d  ab   dc  ab  dc  b  c a  d   NÕu u   w    ab   dc  ab  dc  b  c   NÕu u  w   KÕt luËn: ab  dc  Trang THPT TriÖu S¬n Lop10.com H×nh häc 10 ax  by  c ThÝ dô 11 Gi¶ sö hÖ bx  cy  a cx  ay  b    cã nghiÖm, cmr: a  b3  c  3abc   Giải Chọn u a; b; c , v b; c; a , wc; a; b  và mx; y;1 Như hệ tương đương với:   u m    v m    w  m    , m  nªn ta suy ba vÐc t¬    u a; b; c , v b; c; a , wc; a; b  là đồng phẳng Mặt khác ta dễ dàng kiểm tra các góc u, v   v, w   w , u  Điều này tương đương với u  v  w u, v   v, w   w , u = 2    NÕu u  v  w th×  a  b  c  a  b3  c  3abc (®pcm) a  b   c       2    NÕu u , v   v , w  w, u = th× suy u  v   w  b  c  a  a  b  c  Theo c  a  b  3 đẳng thức a  b  c  3abc  a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  c  3abc   a  b  c  3abc (®pcm) 3 3 x2  y  z  ThÝ dô 12 Gi¶ sö hÖ   xy  yz  zx  3 4 cã nghiÖm, cmr:   x, y, z  Giải (Quy ước số có dấu dương âm) Do vai trò x, y, z là nên ta cần chứng minh cho biến x là đủ Tõ hÖ ta chØ ®­îc x, y, z cïng dÊu ThËt vËy kh«ng mÊt tæng qu¸t: x2  y2 x2  y2  z    ( V« lÝ) 2 2 2 y z x  y  z2    (V« lÝ) Gi¶ sö x  0; y, z  Ta suy ra:  yz  2 Nªn ba sè x, y, z  hoÆc x, y, z  Gi¶ sö x, y  0; z  Ta   xy  Ta cã x  y  z 2  x  y  z  2xy  yz  zx , theo gt suy ra: x yz   x  y  z  4 x  y  z 2  16   -Trường hợp x  y  z   x, y, z  Trong hệ tọa độ oxyz chọn điểm M x; y; z  thay đổi, chọn A1;1;1       OM x; y; z , OA1;1;1 tõ gt  OM  , OA  vµ OM OA  x  y  z  Tõ ®©y suy   x, y, z thay đổi thì OM luôn nằm góc phần tám thứ và tạo với OA mét gãc kh«ng đổi Chiếu M lên trục Ox ta xác định hoành độ x hay   x  OM cos(OM , Ox) , x đạt giá trị lớn phụ thuộc vào góc MOx Xét gãc tam diÖn (OM , OA, Ox) ta lu«n cã A AOM  A AOx  A MOx  A AOM  A AOx Trang THPT TriÖu S¬n Lop10.com H×nh häc 10 Mặt khác A AOM , A AOx không đổi nên A MOx đạt lớn hay nhỏ ba  đường thẳng OA, OM, Ox là đồng phẳng  OM , OA.i   y  z Với y  z thay     x  vµo hÖ ®­îc  x   - Trường hợp x  y  z  4  x, y, z  Đặt x  a; y  b; z  c với a, b, c  ta 4 quay trường hợp vừa xét   a     x     x  3 4 Như từ hai trường hợp cho ta kết   x  3 4 Vai trß x, y, z nh­ nªn ta cã ®­îc   x, y, z  (®pcm) 3 Tức là trường hợp này  x  Vận dụng tư tưởng này chúng ta giải bài toán sau: ThÝ dô 13 Cho c¸c sè a, b, c, x, y, z  Chøng minh r»ng :  b  c x  y  z  a  b  c x  y  z     Giải Chọn các véc tơ u a; b; c , v x; y; z , w 1;1;1 đó BĐT là:         u.v  u v  u.w v.w    Chia hai vế cho u v và chú ý đến w  ta có:      u.v u.w v.w         u.v u.w v.w       Gäi   u, v ,   u, w ,   v, w B§T trë thµnh: ax  by  cz  a            cos    cos  cos        Từ gốc tọa độ O kẻ ba véc tơ OA  u, OB  v, OC  w Theo đề bài a, b, c, x, y, z  nªn c¸c ®o¹n th¼ng OA, OB, OC n»m gãc phÇn t¸m thø nhÊt XÐt gãc tam diÖn OA,OB,OC suy A AOB  A AOC  A COB       Suy cos   cos     Suy ra: cos    cos      cos      cos    cos  cos  DÊu =    vµ   2 Cuèi cïng xin ®­a mét bµi to¸n h×nh häc nh­ng c¸ch gi¶i l¹i mang ®Ëm b¶n chÊt đại số Thí dụ 14 Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC vuông góc với đôi một, M là điểm bất kì thuộc phần tam giác ABC Gọi  ,  ,  là góc ®­êng th¼ng SM víi SA, SB, SC Chøng minh r»ng cos   cos   cos   Trang THPT TriÖu S¬n Lop10.com H×nh häc 10     Giải Lấy trên SM , SA, SB, SC các véc tơ đơn vị là m, a , b , c Theo đề bài suy :    - Ba véc tơ a , b , c vuông góc với đôi     -Tồn số thực x, y, z để m  x.a  y.b  z.c (1) 2 Tõ (1) suy x  y  z  (*)    Nhân hai vế (1) với các véc tơ a , b , c và bình phương lên ta suy x  cos  , y  cos  , z  cos  Nh­ vËy theo (*) suy ra: cos   cos   cos   (®pcm) Trang THPT TriÖu S¬n Lop10.com