I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT.. 1.[r]
(1)I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 ⃗AB=(xB− xA, yB− yA, zB− zA) AB=|⃗AB|=√(xB− xA)2+(yB− yA)2+(zB− zA)2
3 ⃗a±b=⃗ (a1± b1, a2± b2, a3± b3) k ⃗a=(ka1,ka2,ka3)
5 |⃗a|=√a12+a22+a32 ⃗a=⃗b⇔{
a1=b1 a2=b2 a3=b3 a⃗.⃗b=a1.b1+a2.b2+a3.b3 a⃗//b⃗⇔⃗a=k.b⃗⇔⃗a∧b=⃗⃗ 0⇔a1
b1 =a2
b2 =a3
b3 ⃗a⊥b⃗⇔⃗a.⃗b=0⇔a1.b1+a2.b2+a3.b3=0 10 ⃗a∧⃗b=(|a2 a3
b2 b3|
,|a3 a1 b3 b1|
,|a1 a2 b1 b2|) 11 ⃗a ,⃗b ,⃗c đồng phẳng ⇔(⃗a∧⃗b).⃗c=0 12 a ,⃗ b ,⃗ c⃗ không đồng phẳng ⇔(⃗a∧⃗b).⃗c ≠0 13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠
M(x −kxB 1− k ,
y −kyB 1−k ,
z −kzB 1− k ) 14 M trung điểm AB
M(xA+xB
2 ,
yA+yB
2 ,
zA+zB
2 )
15 G trọng tâm tam giác ABC G(xA+xB+xC
3 ,
yA+yB+yC
3 ,
zA+zB+zC
3 ,)
16 Véctơ đơn vị : ⃗e1=(1,0,0);⃗e2=(0,1,0);⃗e3=(0,0,1) 17 M(x ,0,0)∈Ox; N(0, y ,0)∈Oy; K(0,0, z)∈Oz 18 M(x , y ,0)∈Oxy; N(0, y , z)∈Oyz; K(x ,0, z)∈Oxz 19 SΔABC=1
2|⃗AB∧⃗AC|= 2√a1
2
+a22+a32 20 VABCD=1
6|(⃗AB∧⃗AC).⃗AD| 21 VABCD A❑B❑C❑D❑=|(⃗AB∧⃗AD).⃗AA
❑| 2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác A,B,C ba đỉnh tam giác [
AC ,
AB ] ≠ 0⃗
SABC =
1
(2) Đường cao AH = SΔABC BC
Shbh =
AC] , [AB
Dạng 2: Tìm D cho ABCD hình bình hành Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng ABCD hbh ⃗AB=⃗DC Dạng 3: Chứng minh ABCD tứ diện:
[ AB→ ,AC→ ] AD→ ≠ Vtd =
6 ¿[AB →
,AC] →
AD→ ∨¿
Đường cao AH tứ diện ABCD
V=1
3SBCD AH AH= 3V SBCD Theå tích hình hộp :
VABCD A❑
B❑
C❑
D❑=|[⃗AB;⃗AD].⃗AA
❑| Dạng4:Hình chiếu điểm M H hình chiếu M mp
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc mp : ta có ⃗ad=⃗nα Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()
2 H hình chiếu M đường thẳng (d)
Viết phương trình mp qua M vng góc với (d): ta có ⃗nα=⃗ad Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()
Dạng : Điểm đối xứng
1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp
Tìm hình chiếu H M mp (dạng 4.1) H trung điểm MM/
2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:
Tìm hình chiếu H M (d) ( dạng 4.2) H trung điểm MM/
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
1: Viết tọa độ vectơ say đây: a 2i j
; b7i 8k; c9k; d 3i j 5k
2: Cho ba vect¬ →a = ( 2;1 ; ), b→ = ( 1; -1; 2) , →c = (2 ; 2; -1 )
a) Tìm tọa độ vectơ : →u = →a - b→ + →c b) Chứng minh vectơ →a , b→ , →c không đồng phẳng
c) H·y biĨu diĨn vect¬ w→ = (3 ; ; -7 ) theo ba vect¬ →a , b→ , →c
(3)4: Cho: a 2; 5;3 , b 0;2; , c 1;7;2
Tìm tọa độ vectơ: a)
1
4
2
d a b c
b) e a 4b 2c
5: Tìm tọa độ vectơ x
, biÕt r»ng:
a) a x
vµ a 1; 2;1
b) a x 4a
vµ a 0; 2;1
c) a 2x b
vµ a 5; 4; 1
, b 2; 5;3
6:Cho ba điểm không thẳng hàng: A(1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).B C Hãy tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
7:Cho bốn diểm không đồng phẳng : A(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2). B C D Hãy tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD
8:Cho điểm M(1; 2; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M:
a) Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz b) Trên trục tọa độ:
Ox, Oy, Oz
9: Cho điểm M(1 ; ; 3) Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy
10:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5) Tìm tọa độ đỉnh lại
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2) Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz điểm M
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ? b) Tìm tọa độ điểm M
13 Cho ba vect¬ a 1; 1;1 , b 4;0; ,
c 3; 2;
T×m:
2 2
) ; ) ; ) ;
a a b c b a b c c a b b c c a
2 2
) ; )
d a a b b c b e a c b c
.
14. Tính góc hai vectơ a
vµ b
: a a) 4;3;1 , b 1;2;3
) 2;5; , 6;0;
b a b
15. a) Trên trục Oy tìm điểm cách hai điểm: A(3; 1; 0) B(-2; 4; 1)
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) C(3; 1; -1)
16. Xét đồng phẳng ba vectơ a b c, ,
trờng hợp sau đây: a a) 1; 1;1 , b 0;1; , c 4;2;3
b a) 4;3; , b 2; 1; , c 1;2;1
) 4; 2;5 , 3;1;3 , 2;0;1
c a b c
d a) 3;1; , b 1;1;1 , c 2; 2;1
17. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1)
a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b) Tính chu vi diện tích ABC
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC hình bình hành d) Tính độ dài đờng cao ABC hạ từ đỉnh A
e) TÝnh c¸c gãc cđa ABC
18. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện b) Tìm góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD
c) Tính thể tích tứ diện ABCD tính độ dài đờng cao tứ diện hạ từ đỉnh A
19. Cho ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3) Hãy tìm độ dài đờng phân giác góc B
20.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1) a) Chứng minh A, B, C, D tạo thành tứ diện Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Tính độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C tứ diện
c) Tính độ dài đờng cao tam giác ABD hạ từ đỉnh B d) Tính góc ABC góc hai đờng thẳng AB, CD
21. Cho ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 )
(4)b) Tìm tọa độ giao điểm hai đờng chéo
c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đờng cao tam giác ABC vẽ từ A Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC
22. Cho ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; ) , C( 0; 0; ), D ( 2; ;6 )
a) Chứng minh điểm A, B , C , D khơng đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD b) Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD
c) Tính diện tích tam giác ABC , từ suy chiều cao tứ diện vẽ từ D d) Tìm tọa độ chân đờng cao tứ diện vẽ từ D
23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) Tìm độ dài cạnh tm giác ABC b) Tính cosin góc A,B,C
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC
II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.
Vectơ pháp tuyến mp : ⃗
n ≠ ⃗0 véctơ pháp tuyến cuûa ⇔ ⃗n
2.
Cặp véctơ phương mp : ⃗
a ⃗b cặp vtcp ⇔ ⃗a , ⃗b cuøng //
Quan hệ vtpt n⃗ cặp vtcp a⃗,b⃗: n⃗ = [a⃗,b⃗]
Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n
⃗
= (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
() : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n⃗ = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : xa+y b+
z c=1
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z =
7 Chùm mặt phẳng : giả sử 1 2 = d (1): A1x + B1y + C1z + D1 =
(2): A2x + B2y + C2z + D2 =
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2≠ :
m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) =
8 Vị trí tương đối hai mp (1) (2) : ° αcắtβ⇔A1:B1:C1≠ A2:B2:C2 ° α//β⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2
≠ D1
(5)° α ≡ β⇔ A1 A2
=B1 B2
=C1 C2
=D1 D2 ª α⊥β⇔A1A2+B1B2+C1C2=0
9.KC từ M(x0,y0,z0) đến ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 d(M,α)=|Axo+ Byo+ Czo+ D|
√A2
+B2+C2
10.Goùc gi ữa hai mặt phẳng :
¿⃗n1.n⃗2∨ ¿ |⃗n1|.|n⃗2| cos(α , β)=¿ 2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1:Mặt phẳng qua điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:
AB,AC °
α
¿⟨quaA(hayBhayC)
⟨vtpt⃗n=[AB
→
, AC→ ]
Dạng 2:Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
α
¿
¿⟨qua M trung điểm AB
⟨vtpt⃗❑n =AB→
Dạng 3:Mặt phẳng qua M d (hoặc AB) °
α
¿
¿ ⟨qua M
⟨Vì α⊥(d) nên vtpt❑⃗n=→a
d (⃗AB)
Dạng 4: Mp qua M // : Ax + By + Cz + D = 0 °
α
¿ ⟨qua M
⟨Vì α // β neân vtpt ⃗nα=⃗nβ
Dạng 5: Mp chứa (d) song song (d/ ) Điểm M ( chọn điểm M (d)) Mp chứa (d) nên ⃗ad=⃗aα Mp song song (d/) nên ⃗a
d❑=⃗bα
■ Vtpt ⃗n=[⃗ad,⃗ad❑]
Daïng 6Mp qua M,N vaø :
■ Mp qua M,N neân ⃗MN=⃗aα ■ Mp mp neân ⃗nβ=⃗bα
°
α
¿ ⟨qua M(hay N)
⟨vtpt⃗n=[MN →
(6)Dạng 7Mp chứa (d) qua
■ Mp chứa d nên ⃗ad=⃗aα
■ Mp qua M∈(d) và A nên ⃗AM=⃗bα
°
α
¿ ⟨qua A
⟨vtpt⃗n=[a →
d,⃗AM] 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi toán 1 Phơng trình mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M có vtpt n
biÕt a, M 3;1;1 , n 1;1;2
⃗
b, M2;7; , n 3; 0;1
⃗
c, M 4; 1; , n 0;1;3
⃗
d, M 2;1; , n 1; 0; 0
⃗
e, M 3; 4;5 , n 1; 3; 7
⃗
f, M 10;1;9 , n 7;10;1
⃗ Bµi 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực AB biết:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)
c,
1
A ; 1; , B 1; ;5
2
c,
2 1 A 1; ; , B 3; ;1
3
Bµi 3: LËp phơng trình mặt phẳng qua điểm M song song với mặt phẳng biết:
a, M 2;1;5 , Oxy b, M1;1; , :x 2y z 100
c, M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 d, M 3;6; , : x z 10
Bài 4 Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M(2;3;2) cặp VTCP a(2;1; 2); (3; 2; 1)b
⃗ ⃗
Bài 5 : Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua M(1;1;1)
a) Song song với trục 0x 0y b) Song song với c¸c trơc 0x,0z
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z
Bài 6 : Lập phơng trình mặt phẳng qua điểm M(1;-1;1) B(2;1;1) :
a) Cùng phơng với trục 0x b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y
c) Cïng ph¬ng víi trơc 0z
Bài 7 : Xác định toạ độ véc tơ ⃗n vng góc với hai véc tơ a(6; 1;3); (3; 2;1) b
⃗
Bài 8 : Tìm VTPT mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP lµ ⃗a(2,7,2); ⃗b(3,2,4) Bµi 9 : LËp phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) biết :
a) (P) qua điểm A(-1;3;-2) nhận n(2,3,4); làm VTPT b) (P) qua điểm M(-1;3;-2) song song víi (Q): x+2y+z+4=0
Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng qua I(2;6;-3) song song với mặt phẳng toạ độ
B
ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua điểm A vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q)
Bài 12 : Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) trờng hợp sau: a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) có cặp VTCP a3;2;1
b3;0;1
b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) C(3;1;-1) phơng với trục víi 0x
Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)
a) Viết phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD)
b) Viết phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) qua cạnh AB song song vói cạnh CD
Bài 14: Viết phơng trình tổng quát (P)
a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3)
b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chứa 0x ®i qua A(4;-1;2) ,
(7)Bµi 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) không gian 0xyz a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) trung trực AB
b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) vuông góc với mặt phẳng y0z c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A song song với mặt phẳng (P).
III.NG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số đường thẳng (d) qua M(x o ;yo ;zo) có vtcp ⃗a = (a1;a2;a3)
(d):
x=xo+a1t
y=yo+a2t
z=zo+a3t
;t∈R
¿{ {
2.Phương trình tắc (d) (d): x − xo
a1
=y − yo
a2
=z-z0
a3
3.PT tổng quát (d) giao tuyến mp
(d):
A1x+B1y+C1z+D1= A2x+B2y+C2z+D2=
¿{
Véctơ phương ⃗a=(|B1 C1
B2 C2|
,|C1 A1
C2 A2|
,|A1 B1
A2 B2|)
4.Vị trí tương đối đường thẳng:
(d) qua M coù vtcp ⃗ad ; (d’) qua N có vtcp ⃗ad❑
d chéo d’ ⇔ [ ⃗ad , ⃗ad❑ ]. MN
→
≠ (không đồng phẳng) d,d’ đồng phẳng ⇔ [ ⃗ad , ⃗ad❑ ].
MN→ = 0 d,d’ caét ⇔ [ ⃗ad , ⃗ad❑ ] ⃗0 vaø [ ⃗ad , ⃗a
d❑ ].
MN→ =0 d,d’ song song nhau ⇔ { ⃗ad // a⃗d❑ vaø M∉(d❑) }
d,d’ truøng nhau ⇔ { ⃗ad // ⃗ad❑ vaø M∈(d
❑ ) }
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M coù vtcp ⃗ad ; (d’) qua N coù vtcp ⃗ad❑
Kc t
đ iểm đến đường thẳng:
AM
⃗
ad;¿⃗
¿ ¿ ¿ ¿
d(A , d)=¿
Kc đường thẳng :
¿[ ⃗ad;⃗ad❑]∨¿ ¿[ ⃗ad;⃗ad❑].⃗MN∨¿
¿
d(d ; d❑)=¿
6.Goùc : (d) coù vtcp ⃗ad ; ’ coù vtcp ⃗ad❑ ; ( ) coù vtpt n
⃗
(8)Góc đường thẳng : ¿⃗ad.⃗ad
❑∨ ¿
|⃗ad|.|⃗ad❑|
cos(d,d')=¿
Góc đ ường vaø m : ặt ¿⃗ad.n∨⃗ ¿
|⃗ad|.|⃗n| sin(d,α)=¿ 2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) qua A,B
(d){quaA¿(hayB) Vtcp⃗ad=⃗AB
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A song song ( ) (d)
¿ ⟨quaA
⟨Vì (d) // (Δ) neân vtcp ⃗ad=⃗aΔ
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A vng góc mp (d)
¿
¿ ⟨quaA
⟨Vì (d)⊥(α) nên vtcp ⃗ad=⃗nα
Dạng4:PT d’ hình chiếu d lên : d = / Viết pt mp chứa (d) vng góc mp
(β){
quaM∈(d)
(β)⊃(d)⇒⃗ad=⃗aβ (β)⊥(α)⇒⃗nα=⃗bβ
⇒⃗nβ=[⃗ad;⃗nα]
ª (d❑){(α)
(β)
Dạng 5:Đường thẳng (d) qua A vng góc (d1),(d2)
(d)
¿ ¿
⟨quaA ⃗
ad1, \{a⃗
⟨vtcp⃗a=[¿¿d2]
¿ ¿
Dạng 6: PT d vuông góc chung d1 d2 :
+ Tìm ⃗ad = [ ⃗a d1, ⃗a d2]
+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d) d =
Daïng 7: PT qua A d cắt d1,d2 : d =
với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)
Daïng 8: PT d // cắt d 1,d2 : d = 1 2
(9)Daïng 9: PT d qua A d 1, cắt d2 : d = AB
với mp qua A, d1 ; B = d2
Dạng 10: PT d (P) cắt d1, d2 : d =
với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 , (P)
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trờng hợp sau : a) (d) qua điểm M(1;0;1) nhận a(3; 2;3)
làm VTCP b) (d) qua điểm A(1;0;-1) B(2;-1;3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát giao tuyến mặt phẳng
( ) : - 3P x y2 - z và mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm M(2;3;-5) song song với đờng thẳng (d) có phơng
tr×nh:
(d): x=−t y=2+2t z=1+2t , t∈R
¿{ {
Bài 4: Cho đờng thẳng (D) mặt phẳng (P) có phơng trình :
(d):
x=−t
y=2+2t
z=1+2t
, t∈R
¿{ {
vµ (P): x+y+z+1=0
Tìm phơng trình đờng thẳng (t) qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) vng góc với đờng thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) qua điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9) Viết phơng trình tham số đờng thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác
Bài6:Lập phơng trình tham số, tắc đờng thẳng (d) qua điểm A(2;1;3) vng góc với mặt phẳng (P) trờng hợp sau:
a) ( ) : P x2y3 - 0z b) P x: 2y3z1 0
Bài 7:Lập phơng trình tham số, tắc đờng thẳng (d) qua điểm A(1;2;3) song song với đờng
th¼ng () cho bëi :
2 : t
3 x t
y t R
z t
.
Bài8: Xét vị trí tơng đối đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) ,biết:
a)
(d): x=1+t y=3−t z=2+t , t∈R
¿{ {
(P): x-y+z+3=0 b)
(d): x=12+4t
y=9+t z=1+t , t∈R
¿{ {
(P): y+4z+17=0
Bài 9: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) đờng thẳng (d) có phơng trình (P): 2x+y+z=0
(d):x −1
2 =
y 1=
(10)a) Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P)
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d1) qua A vng góc với (d) nằm mặt phẳng (P)
Bài 10: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho :
(d1): x −2
1 =
y −1
2 =
z −1
(d2): x=1+2t
y=t+2 z=−1+3t (t∈R)
¿{ {
a) CMR hai đờng thẳng cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm b) Viết phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2)
Bài 11: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho :
(d1): x=−7+3t
y=4−2t z=4+3t
¿{ {
(d2): x=1+t1 y=−9+2t1 z=−12− t1 (t,t1∈R)
¿{ {
a) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
b) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung (d1),(d2)
III.MẶT CẦU 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Ph ương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R S(I,R):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (1) S(I,R):x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 (2) ( vớia2
+b2+c2− d>0 ) Tâm I(a ; b ; c) R=√a2+b2+c2− d 2.Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu
Cho (S):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 vaø : Ax + By + Cz + D =
Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp : d > R : (S) =
d = R : tieáp xúc (S) H (H: tiếp điểm, : tiếp diện) *Tìm tiếp điểm H (là hchiếu tâm I mp )
Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vng góc mp : ta có ⃗ad=⃗nα Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()
d < R : cắt (S) theo đường trịn có pt
¿
(S):(x −a)2+(y −b)2+ (z − c)2=R2 α : Ax+By+Cz+D=0
¿{
¿
(11)+ bán kính r=√R2−d2(I , α)
+ Tìm tâm H ( hchiếu tâm I mp)
Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vng góc mp : ta có ⃗ad=⃗nα Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()
3.Giao điểm đường thẳng mặt cầu
d:
x=xo+a1t
y=yo+a2t
z=zo+a3t
¿
{ {
(1) vaø
(S):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (2) + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) tọa độ giao điểm
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I qua A
ª S(I,R):(x −a)2+(y −b)2+(z − c)2=R2 (1) Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB Tâm I trung điểm AB
Viết phương trình mặt cầu tâm I (1) Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2 Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp
(S)
¿
⟨Pt mặt cầu tâm I
⟨R = d(I,α)=|A.xI+B.yI+C.zI+D| √A2+B2
+C2 Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Dùng (2) S(I,R):x2
+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 A,B,C,D mc(S) hệ pt, giải tìm a, b, c, d Dạng 5:Mặt cầu qua A,B,C taâm I € (α)
S(I,R):x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0 (2) A,B,C mc(S): tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c) (α): a,b,c vào pt (α) Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu A
Tiếp diện mc(S) A : qua A, vtpt \{n⃗=IA→ 3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Trong phơng trình sau ,phơng trình phơng trình mặt cầu ,khi rõ toạ độ tâm bán kính ,biết:
a) (S):x2+y2+z2−2x −4 y+6z+2=0 b) (S):x2+y2+z2−2x+4 y −2z+9=0 c) (S):3x2+3y2
+3z2−6x+3y −9z+3=0 d)
(12)e) (S):2x2+y2+z2− x+y −2=0
Bµi 2: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: (Sm):x2+y2+z24 mx−2 my−6z+m2+4m=0
a) Tìm điều kiện m để (Sm) họ mặt cầu
b) CMR tâm (Sm) nằm đờng thẳng cố nh
Bài 3: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: (Sm):x2+y2+z24 mx2m2y+8m25=0
a) Tỡm iu kin ca m để (Sm) họ mặt cầu b) Tìm quĩ tích tâm họ (Sm) m thay đổi c) Tìm điểm cố định M mà (Sm) ln i qua
Bài 4: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình: (Sm):x
+y2+z22xsinm2ycosm3=0
a) Tỡm điều kiện m để (Sm) họ mặt cầu
b) CMR tâm (Sm) chạy đờng tròn (C) cố định mặt phẳng 0xy m thay đổi c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y A B Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m0) ,cắt (C) T, S , đờng thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S P Tìm tập hợp điểm P m thay i
Bài 5: Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4 b) Đi qua điểm A(2;1;-3) tâm
I(3;-2;-1)
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) tâm I thuộc 0x d) Hai đầu đờng kính A(-1;2;3),
B(3;2;-7)
Bài 6: Cho đờng thẳng (d1),(d2), (d3) có phơng trình :
(d1): x −2
3 =
y+2
4 =
z −1
1 , (d2): x −7
1 =
y −3
2 =
z −9
−1 , (d3): x+1
3 =
y+3 −2 =
z −2 −1
a) Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt hai đờng thẳng (d1),(d2) song song với đờng thẳng (d3) b) Giả sử (d)∩(d1)={A} , (d)∩(d2)={B} Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB
Bài 7: Cho đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình :
(d1): x=2+t y=1−t z=2t t∈R
¿{ {
, (d2):x −7
1 =
y −3
2 =
z −9 −1
a) CMR (d1) vµ (d2) chÐo
b) Viết phơng trình đờng vng góc chung (d1) (d2)
c) Lập phơng trình mật cầu (S) có đờng kính đoạn vng góc chung (d1) (d2) d) Viết phơng trình tổng quát mặt phẳng cách (d1) (d2)
Bài 8: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0 c) Bán kính R = tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 điểm M(1;1;-3)
Bài 9: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5)
a) Viết phơng trình tham số đờng thẳng qua D vng góc với mặt phẳng (ABC) b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) a) (ĐHKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA
b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vng góc với cạnh 0A Gọi K giao điểm hình chiếu với 0A Hãy xác định toạ dộ K
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diÖn ABCD
d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lợt điểm cạnh S0,AB Tìm toạ độ điểm M SB cho PQ KM cắt
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1) a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vng góc D lên (ABC) tính thể tích tứ diện ABCD b) (HVKTQS-98): Viết phơng trình tham số đờng thẳng vng góc chung AC BD c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
d) TÝnh thÓ tÝch tứ diện ABCD
Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1)
(13)b) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tổng quát (BCD) Tìm khoảng cách từ A n mt phng (BCD)
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bi 13: Trong khơng gian 0xyz, cho hình chóp biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4), D(3;1;0)
a) LËp ph¬ng trình mặt hình chóp b) Lập phơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình
chóp
c) Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 14: (HVKTMM-97) Cho ®iĨm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2)
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện b) Xác định toạ độ trọng tâm G tứ
diÖn