Đề chọn đội tuyển môn Toán

Hình chiếu H của S lên mặt phẳng đáy nằm miền trong hình vuông ABCD.. Các góc nhị diện SA, SB bằng nhau, SAB=SBC.[r]

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN Thời gian: 180 phút Bài 1(4đ): Cho hàm đa thức f(x) bậc có các hệ số nguyên thoả mãn: f(2)=13, f(4)=7, f(10)=5 CMR: Phương trình f(x)=0 không có nghiệm nguyên Bài2(4đ): Giải phương trình: f(x)=0 Biết hàm số f(x) nghịch biến trên R và thoả mãn f(2f(y)-3x)=4x + 5y + với  x, y  R Bài 3(4đ): Cho các số dương a,b,c,d thoả mãn: a + b + c + d = 5 5 CMR: a  b 6  b  c 6  c  d 6  d  a 6  12 Bài 4(4đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R M là điểm chuyển động trên đường tròn Gọi   AOM ,   BOM ,   COM CMR: S  sin   sin   sin  không phụ thuộc vào vị trí điểm M Bài 5(4đ): Cho hình chóp SABCD, đáy là hình vuông ABCD Hình chiếu H S lên mặt phẳng đáy nằm miền hình vuông ABCD Các góc nhị diện SA, SB nhau, SAB=SBC Tìm tập hợp điểm cách các mặt bên hình chóp - Hết ĐÁP ÁN Bài Bài 4đ Nội dung Điểm Đặt P(x)=(x-2)Q(x)+13 Trong đó Q(x) là đa thức bậc với hệ số nguyên Giả sử P(x)=0 có nghiệm nguyên x=a 0,5 1  (a  2)Q(a)  13  a   13 a  15 a   13 a  11   13(a  2)   (1) a   a    a   1 a  Tương tự: *) (a  10)Q(a)   a  11 a  a  10  1   ( a  10)    a  15 a  10     a  *) (a  4)Q(a)   0,5 ( 2) 0,5 0,5 Lop10.com a a a   1  7(a  4)    a a      a  11  3 (3) 3 5 Từ (1), (2), (3) ta suy không tồn a nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán Hay phương trình f(x)=0 không có nghiệm nguyên Bài Xác định phương trình hàm: f(2f(y)-3x)=4x+5y+1 x, y  R (1) 4đ 15 5y Thay x= x   vào (1) ta được: f (2 f ( y )  y )  (2) 4 Thay x=0,y=0 vào (1) ta được: f(2f(0))=1 (3) Từ giả thiết f(x) nghịch biến trên R và từ (2) và (3) suy ra: 15 y  f (0) (4) 15 y  f ( y)    f (0) 15 y  f ( x)    f (0) Thay x  f (0), y  vào (1) ta f (0)  f (0)  3  f (0)   15  f ( x)   x  thử lại thấy thoả mãn yêu cầu bài toán 15 24 Khi đó f(x)=0   x    x   75 0,5 0,5  f ( y)  Bài Nhận xét hàm số y=ax (0<a<1) nghịch biến trên R 3đ 0,5 0,5 0,5 ab ab  6    abcd abcd  (1) 0.25 (2) 0,25 bc bc  6    abcd abcd  cd cd  6    abcd abcd  d a d a      abcd abcd  (3) 0,25 (4) 0,25 Từ (1), (2), (3), (4) ta suy 5 5 a  b 6  b  c 6  c  d 6  d  a 6  2(a  b  c  d ) 6  VT   63  63  12 Bài Dựng MH  MA Lop10.com 5đ  AH AM  AO 2R  AM  sin  16 R  sin  Tương tự:  BM 16 R  CM sin  16 R S ( MA4  MB  MC ) 16 R sin  Bài toán chuyển thành: CMR tổng MA4+MB4+MC4 = số Thật vậy: Chọn hệ trục toạ độ vuông góc, với A là gốc toạ độ, trục hoành chứa AO và chiều dương từ A tới O (hình vẽ) Dễ thấy A(0;0), B( R; 3 R), C ( ; R) 2 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: Giả sử M(x0,y0) thì (x0-R)2+y02=R2 Hay x02+y02=2Rx0 (1) Ta có: (x-R)2+y2=R2  2  3 2 MA  MB  MC  ( x  y )  ( x0  R )  ( y0  R )   ( x0  R )  ( y0  R)  2     4 2     ( x02  y02 )  x02  y02  3R  3Rx0  3Ry0  x02  y02  3R  3Rx0  3Ry0   R x02  R  (3R  Rx0  3Ry0 )  (3R  Rx0  3Ry0 ) (vì x02  y 02  2Rx0 )  R x02  R  R x02  3R y0  R x0  3R y0  3R x0 y0  R  x02 R  3R y02  R x0  3R y0  3R x0 y0  R ( x  y )  12 R x0  18 R 0.5  18 R S 0.5 18  16 Lop10.com Bài Trước hết ta chứng minh bổ đề: đ Trong tam diện Oxyz Thì sin Ox sin Oy sin Oz   sin yOz sin xOz sin xOy (1) (Ox, Oy, Oz là góc nhị diện canh Ox, Oy, Oz) Thật vậy: lấy A thuộc Ox Dựng AH  ( yOz ) Trên yOz kẻ HB  Oy , HC  Oz Suy ra: ABH=Oy, ACH=Oz AH AH , sin Oz  Ab AC sin Oy AC AC : AO sin xOz Suy     sin Oz AB AB : AO sin xOy sin Oy sin Oz   sin xOz sin xOy sin Oy  0,5 0,5 chứng minh tương tự ta có đẳng thức (1) (Bổ đề chứng minh) Áp dụng vào tứ diện đỉnh A và B ta có: sin SA sin AB  (2) sin BAD sin SAD sin SB sin AB  (3) sin CBA sin SBC 0,5 Vì CBA=BAD và SA=SB suy sinSAD=sinSBC  SAD=SBC  SAD=SAB Kẻ các đường cao SI, SJ, SK các mặt bên SAD, SAB, SBC Ta có: SAI  SAJ (vì tam giác vuông có chung cạnh huyền và SAI=SAJ) Mặt khác: SAI  SBK ( vì HK  BC , HI  AD (định lý đường vuông góc))  I, J, K thẳng hàng và IK//AB  BK=AI Và SAI  SBK  SAJ  SI=SJ=SK  HI=HJ=HK  H là trực tâm  Hình chóp SABCD là hình chóp  Tập hợp điểm cách mặt bên là đoạn SH - Hết Lop10.com 0,5 0,5 0,5 0,5