Trong nh÷ng kiÕn thøc ®ã t«i nhËn thÊy ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n quû tÝch ®îc ¸p dông rÊt nhiÒu trong c¸c k× thi häc sinh giái còng nh thi vµo c¸c trêng chuyªn chän... Bèn tia nµy t¹o th[r]
(1)A đặt vấn đề I/ Cơ sở lí luận
Bớc vào kỹ 21, nớc ta công đổi giáo dục - đào tạo nhằm đáp ứng yêu cầu cao xã hội Vấn đề nâng cao chất lợng dạy học cấp học, bậc học đợc đặt cấp bách Chính năm gần ngành giáo dục - đào tạo coi trọng việc đổi phơng pháp dạy học với định hớng "Tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tích cực để sáng tạo
Để làm đợc điều Tốn học đóng vai trị quan trong, chìa khố mở cữa cho ngành khoa học khác Chính vậy, hết giáo viên dạy toán ng ời phải suy nghĩ: Làm để "Tích cực hoá hoạt động học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học" nhằm hình thành cho học sinh t tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề , rèn luyện kĩ vận dụng vào thực tiển, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh
II/ C¬ së thùc tiĨn
Qua thực tiển dạy mơn tự chọn toán - chủ đề nâng cao bồi dỡng học sinh giỏi nhận thấy học sinh có ý thức học tập đặc biệt học sinh giỏi, hay tìm tịi học hỏi kiến thức khơng có chơng trình học Trong kiến thức tơi nhận thấy phơng pháp giải tốn quỷ tích đợc áp dụng nhiều kì thi học sinh giỏi nh thi vào trờng chun chọn Trong đa số học sinh giải tốn “Quỹ tích” thờng gặp khó khăn, số em làm đợc thiếu bớc giải khơng giới hạn đợc quỹ tích cần tìm Do tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Một số tốn quỹ tích bản”
B Giải vấn đề
Với định hớng giúp học sinh hoạt động tích cực, độc lập, sánh tạo khơi dậy học sinh khả tự học Tôi trăn trở suy nghĩ làm để học sinh biết cách giải dạng toán dạng tốn tốn “Quỹ tích” Cho nên tơi hớng dẫn cho học sinh cách giải Sau l cỏch lm ca tụi
I/. Đôi nét toán tập hợp điểm.
1 Định nghĩa tập hợp điểm
Mt hỡnh H c gọi tập hợp điểm (Quỹ tích) điểm M thoả mãn tính chất T chứa chứa điểm có tính chất T
2 Phơng pháp giải toán tập hợp điểm
Để tìm tập hợp điểm điểm M có tính chất T ta làm theo bớc sau:
B
ớc 1 Tìm cách giải
- Xác định yếu tố cố định không đổi - Xác định điều kiện điểm M
- Dự đoán tập hợp điểm (vẽ số trờng hợp để biết quỷ tích đờng thẳng, đoạn thẳng, đờng tròn hay cung tròn)
B
ớc 2 Trình bày cách giải
- Phn thun Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H - Giới hạn Căn vào vị trí đặc biệt điểm M, chứng tỏ M thuộc
một phần B hình H (nếu đợc)
- Phần đảo Chứng minh điểm M’ thuộc hình B có tính chất T
II/ Các tập hợp điểm bản.
1 Tập hợp điểm trung trực.
Định lí:
(2)M H
K O
y z x
O
t' t
z' z
y'
y x'
x
O' O
M' M
B A
Tập hợp điểm M cách hai điểm phân biệt A B cố định đờng trung trực đoạn thẳng AB. Gọi tắt tập hợp điểm đ“ ờng trung trực
2 Tập hợp điểm tia phân giác
Định lí:
Tập hợp điểm M nằm góc xoy khác góc bẹt cách hai cạnh góc tia phân giác góc xoy.
Gäi tắt tập hợp điểm tia phân giác .
Hệ quả:
Tp hợp điểm M cách hai đờng thẳng xx yoy bốn tia phân giác bốn góc tạo ’ ’
thành Bốn tia tạo thành hai đờng thẳng vng góc với
3 Tập hợp điểm hai đờng thẳng song song.
Định lí:
Tp hp cỏc im M cách đờng thẳng d khoảng cho trớc khoảng a (a > 0) cho trớc hai đờng thẳng song song với
đờng thẳng cho cách đờng thẳng một khoảng a
Gọi tắt tập hợp điểm “hai đờng thẳng song song ”
4 Tập hợp điểm đờng thẳng song song.
Định lí:
Tp hp điểm M cách hai đờng thẳng song song cho trớc đờng thẳng song song nằm cách hai đờng thẳng đó.
Gọi tắt tập hợp điểm “một đờng thẳng song song ”
5 Tập hợp điểm ng trũn
Định lí:
Tp hợp điểm M cách điểm O cho trớc khoảng cách không đổi (R > 0) là đờng trịn tâm O bán kính R.
Gäi t¾t tập hợp điểm đờng tròn
6 Tập hợp điểm cung chứa góc.
Định lí:
Tp hp cỏc im M nhìn đoạn thẳng AB cho trớc góc AMB có số đo khơng đổi
(0 < < 1800) lµ hai cung chøa gãc dựng đoạn AB
Gọi tắt tập hợp điểm cung chứa góc
M
B
O R M
a a
M
a d
d’ M
2
h
2
h
(3)B
M1 z
M
A O
x y
x y
z
K
C1
C B
A H
O HÖ qu¶:
Tập hợp điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trớcdới góc 900 là đờng trịn đờng kính AB. III/ Một số tốn quỷ tích
1. Các tốn quỹ tích đoạn thẳng, tia, đờng thẳng.
Ví dụ 1 Cho góc vng xOy cố định A điểm cố định tia Ox, B điểm chuyển động Oy Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB
Gi¶i
a) PhÇn thn
Góc xOy góc vng nên Δ ABO vuông O M trung điểm AB nên OM trung tuyến Do OM = MA= MB
Suy MO = MA
Mà O A cố định nên M thuộc đờng trung trực đoạn thẳng OA
b) Giíi h¹n
Khi B O M M1 ( M1 trung điểm đoạn OA)
Khi B chy xa vụ tn Oy M chạy xa vơ tận tia M1z thuộc đờng trung trực đoạn thẳng OA
Vậy điểm M chuyển động tia M1z đờng trung trực đoạn thẳng OA nằm góc xOy
c) Phần đảo
Giả sử M điểm thuộc tia M1z Đờng thẳng AM cắt tia Oy B Vì M thuộc đờng trung trực đoạn thẳng OA nên MO = MA
⇒ MAO = MOA (1) Mặt khác OAB vuông O nên OBM + OAM = 90o (2) vµ BOM + MOA =90o (3)
Tõ (1),(2) vµ (3) suy OBM = BOM
⇒ MB = MO MO = MA MB = MO ⇒ MB = MA Do M trung điểm AB
d) KÕt luËn
Tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB tia M1z thuộc đờng trung trực ca
đoạn thẳng OA thuộc miền gãc xOy.
Ví dụ 2 Cho góc vng xOy, tia Ox lấy điểm A cố định, B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho tam giác ABC vuông cân C
Giải
a) Phần thuận
Vẽ CH Ox ( H Ox) CK Oy ( K Oy)
Xét hai tam giác vuông HAC vµ Δ KBC cã: CA = CB (ABC vuông cân C)
(4)Do Δ HAC = Δ KBC ( cạnh huyền , góc nhọn) ⇒ CH = CK
Mà góc xOy cố định nên C thuộc đờng phân giác góc xOy b) Giới hạn
Khi B O C C1(C1 thuộc OZ OA C1vuông cân C1)
Khi B chạy xa vô tận Oy C chạy xa vô tận tia C1z thuộc phân giác góc vuông xOy
Vy điểm C chuyển động tia C1z thuộc phân giác góc vng xOy c) Phần đảo
Giả sữ C thuộc tia C1z Từ C vẽ đờng thẳng vng góc với CA cắt tia Oy B
Gọi H K lần lợt chân đờng vng góc hạ từ C xuống tia Ox Oy Ta có CH = CK HCK = 90o
Xét hai tam giác vuông HAC Δ KBC cã: CH = CK
ACH = BCK ( hai góc có cạnh tơng ứng vng góc) Do Δ HAC = Δ KBC ( cạnh góc vng , góc nhọn)
⇒ CA = CB
Do tam giác ABC vng cân C d) Kết luận
VËy tËp hỵp điểm C tia C1z thuộc phân giác góc vuông xOy.
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC cã AB = cm, AC = cm, BC = cm Tìm tập hợp M cho diƯn tÝch tam gi¸c MBC b»ng diƯn tÝch tam giác ABC
Giải
a) Phần thuận Tam giác ABC cã: AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 = BC2
nên Δ ABC vuông A Do S ❑ΔABC =
2 AB.AC =
2 3.4 = cm2
Gọi MH đờng cao Δ MBC Vì S MBC = cm2
Nên MH = 2ì SΔABC
BC =
2×6 =
12
5 cm
Do M thuộc đờng thẳng a a' song song với BC cách BC khoảng 12
5 cm
b) Giíi h¹n
M điểm tuỳ ý hai đờng thẳng a a' c) Phần đảo
Lấy điểm M đờng thẳng a a' Vẽ MH BC ⇒ MH = 12
5 cm
S ❑ΔMBC =
2 BC MH =
2 4.3 = cm2
Do S ❑ΔMBC = S ❑ΔABC
d) KÕt luËn
cm 12
C M
H B
A
a' a
cm 12 cm cm
(5)I O
M
B A
C
D M
2 M1
Vậy tập hợp điểm M hai đờng thẳng a a' song song với đạon thẳng BC v
cách BC khoảng 12
5 cm
Ví dụ 4 Cho hai đờng thẳng d d' song song với cách khoảng cm, Avà B điểm chuyển động d d' Tìm tập hợp trung điểm M AB
Gi¶i
a) PhÇn thuËn
VÏ MH d ( H d) MK d' ( H d') Ta cã: MH d , d // d'(gt) ⇒ MH d'
MH d' , MK d'
H, M , K thẳng hàng; HK = cm Δ AMH cã AH // BK (d // d')
⇒ MH
MK = MA MB =
⇒ MH = MK Do MH = MK = HK
2 = cm
d vµ d' song song víi vµ cách khoảng cm
Do ú M thuộc đờng thẳng a song song nằm hai đờng thẳng d d' cách đờng thẳng d d' khoảng cm
a) Giíi h¹n
A chuyển động d, B chuyển động d’ nên M thuộc đờng thẳng a b) Phần đảo
Lấy điểm M thuộc đờng thẳng a Qua M kẻ đờng thẳng cắt d, d’ lần lợt A, B vẽ MH d, MK d’(H d, K d’)
Ta cã : H, M, K thẳng hàng MH = MK = 2cm
Δ AMK cã AH // BK (d // d’)
⇒ MAMB = MH
MK =
⇒ MA = MB
Vậy M trung điểm AB c) KÕt luËn
Tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB đờng thẳng a song song nằm
giữa hai đờng thẳng d d cách đ’ ờng thẳng d d' khoảng cm.
Ví dụ 5 Cho hình bình hành ABCD, điểm I chuyển động đờng chéo AC M điểm đối xứng D qua I Tìm tập hợp điểm M điểm I chạy trờn on thng AC
Giải
a) Phần thuận
Gọi O giao điểm AC BD Ta có, O I trung điểm cạnh DB DM tam giác DBM Nên OI // MB
Đờng thẳng AC cố định , điểm B cố định
M H A
K B
d
(6)F E
P K
H
I I2
I1
G
N M
D
B C
A
Do M thuộc đờng thẳng qua B song song cới AC b) Giới hạn
Khi I A M M1(M1 đối xứng với D qua A) Khi I C M M2(M2 đối xứng với D qua C) Vậy M chuyển động đoạn thẳng M1M2
c) Phn o
Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng M1M2 DM cắt AC I
Tam giác DBM có OI // BM BO = DO nên ID = IM (I trung điểm BM) ⇒ D M đối xứng qua I
d) KÕt luËn
Tập hợp điểm M điểm I chạy đoạn thẳng AC đoạn thẳng M1M2 thuộc đờng thẳng qua B song song với AC
Ví dụ 6 Cho Đoạn thẳng AB = a, điểm B di chuyển AB Trên mặt phẳng bờ AC vẽ tam giác ABM BCN Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng nối trọng tâm tam giác ABM v BCN
a) Phần thuận
Gọi E F trọng tâm ABM BCN Ta cã EH =
3 MH =
3 AB √
2 = AB
√3 :
FK =
3 NK =
3 BC √
2 = BC √ :
Mà IP đờng trung bình hình thang EFKH nên:
IP =
2 (EH+FK) =
2 ( AB √
6 + BC
√3 )
= √3
12 (AB + BC) =
a.√3 12
Do I nằm đờng thẳng song song với AC cách AC khoảng a.√3
12
b) Giíi h¹n
Gọi G trọng tâm tam giác ACD
Khi B C E G F C I I2(I2 trung điểm GC) Khi B A E A F G I I1(I1 trung điểm GA)
Vậy I nằm đoạn thẳng I1I2 thuộc đờng thẳng song song với AC cách AC khoảng a.√3
12
c) Phần đảo
Gi· sö I’ điểm thuộc đoạn thẳng I1I2, Vẽ đoạn thẳng EF cho I trung điểm EF (E GA, F GC)
Đờng thẳng vuông góc với AC cắt AD CD M N, cắt AC H K Ta có: EH
MH= ;
FK NK=
(7)I
B
M
0 A
Do MH + NK = 3(EH + FK) = 6.I’P = a.√3
12 =
a.√3
2 (IP AC)
Từ M vẽ MB//DC (B AC)=> Tam giác AMB đều, mà MH AB nên E trọng tâm
=> MH = AB √3
2
Suy NK = a.√3
2 - AB
√3
2 = BC
√3
Mặt khác CK = NK.cotg C = BC
2
√3 = BC
2 => KB = KC
=> Tam giác BNC đều, mà MH AB nên F trọng tâm d) Kết luận
Vậy tập hợp điểm I đoạn thẳng I1I2 thuộc đờng thẳng song AC cách AC khoảng a.√3
12
2. Các tốn quỹ tích cung trịn, đờng trịn.
Ví dụ 7 Cho đờng trịn tâm O bán kính R A điểm cố định nằm đờng trịn, B điểm chuyển động đờng trịn Tìm tập hợp trung điểm M AB
Giải
a) Phần thuận
Gi I l trung điểm OA ⇒ I cố định Điểm I M lần lợt trung điểm đoạn thẳng AO AB nên:
IM đờng trung bình tam giác ABO
⇒ MI =
2 OB =
R
2
MI = R
2 không đổi I cố định
Do M nằm đờng trịn tâm I bán kính R
2
b) Giíi h¹n
Điểm B chuyển động đờng tròn (O; R) nên M chuyển động đờng tròn (I; R
2 )
c) Phần đảo
Gi· sö M (I; R
2 ) Trên tia đối tia MA lấy điểm B cho MB = MA Cần
chøng minh ®iĨm B (O; R)
Thật vậy: M I lần lợt trung điểm của cạnh AB AO tam giác AOB nên IM đờng trung bình tam giác AOB
⇒ MI =
2 OB OB = OM = R
(8)I
C B
A
y
x A
C B
I'
x B1
D C
B A
Tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB đờng tròn (I; R
2 ) (I trung điểm OA)
Vớ d 8 Cho tam giác ABC vng A, có cạch BC cố định Gọi I giao điểm ba đờng phân giác Tìm tập hợp điểm I A thay i
(Bài 44 trang 86 SGK toán 9-T2) Giải
a) Phần thuận
Ta có BIC = 1800 – (IBC + ICB) = 1800 –
2 (ABC + ACB)
= 1800 –
2 900 = 1350
Điểm I nhìn đoạn BC cố định dới góc 1350 nên I nằm hai cung chứa góc 1350 dựng đoạn AB.
b) Giíi h¹n
Vì ABC tam giác nên B C không thuộc quỹ tích nói c) Phần đảo
Gi· sư I điểm thuộc c4eung chứa góc 1350 dựng đoạn AB. Vẽ tia Bx cho BI tia phân giác CBx
Vẽ tia Cy cho CI tia phân giác BCy Gọi A giao điểm Bx Cy
Ta cã BI’C = 1350
=> I’BC + I’CB = 1800 -1350= 450 Do ABC + ACB = 900 => BAC = 900 Vậy tam giác ABC vuông A
d) KÕt luËn
VËy quü tích điểm I hai cung chứa góc 1350 dựng đoạn AB trừ hai điểm B C
Ví dụ 8 Cho đờng trịn đờng kính AB cố định C điểm đờng tròn, dây AC kéo dài lấy điểm D cho CD = CB Tìm quỹ tích điểm D C chạy đờng tròn cho
(Bài 36 trang 79 SBT toán 9-T2) Giải
a) Phần thuận
Ta có ACB = 900 CD = CB
=> tam giác vuông cân t¹i C => ADB = 450
Điểm D nhìn đoạn BC cố định dới góc 450 nên D nằm hai cung chứa góc 450 dựng đoạn AB. b) Giới hạn
Khi C A D B0(B0là giao điểm cung chứa góc 450 vad tia tiếp tuyến ã A đờng tròn
Khi C B th× D B
(9)d D
C B
A
x E
O
I D
C
B A
c) Phần đảo
Giã sử D’ điểm cung BB1, AD cắt đờng trịn đờng kính AB C
Tam gi¸c BCD vuông B, mà ADB = 450 nên tam giác BCD vuông cân B => CD = CB
d) KÕt luËn
Vậy quỹ tích điểm D cung BB1 thuộc cung chứa góc 450 dựng đoạn AB nằm phía với đờng trịn đờng kính AB
Ví dụ 7. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Một đờng thẳng d quay quanh A nhng không cắt BC D điểm đối xứng B qua đờng thẳng d Tìm tập hợp cỏc im D
Giải
a) Phần thuận:
Điểm D đối xứng với điểm B qua đờng thẳng d nên A d => AD = AB, AB cố định
Vậy D thuộc đờng tròn tâm A bán kính AB b) Giới hạn:
Khi đờng thẳng d chứa đoạn thẳng AB D B Khi đờng thẳng d chứa đoạn thẳng AC D C
Vậy D’ chuyển động cung lớn BC đờng tròn (A; AB) c) Phần đảo:
Lấy điểm D’ cung lớn BC đờng trịn (A; AB) Ta có AD = AB
=> D thuộc đờng trung trực d đoạn thẳng BD qua A d) Kết luận:
Tập hợp điểm D cung trịn AB đờng trịn (A; AB)
Ví dụ 8 Cho AB dây cung cố định đờng tròn (O; R), C điểm chuyển động cung lớn AB Trên tia CA lấy điểm D cho CD = CB Tìm tập hợp điểm D
Giải.
a) Phần thuận:
Gọi I ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá AB XÐt Δ DCI vµ Δ BCI cã:
CD = CB (gt)
DCI = BCI ; CI chung Do Δ DCI = Δ BCI (c.g.c) Suy ID = IB ( IB không đổi)
Điểm I cố định
Vậy D thuộc đờng tròn (I; IB) b) Giới hạn:
Khi C A D E (E giao điểm tiếp tuyến A với đờng tròn (O; R) đờng tròn (I; IB) )
Khi C B th× D B
Vậy D chuyển động cung ABE đờng tròn (I; IB) c) Phần đảo:
(10)LÊy ®iĨm D’ bÊt k× thc cung ABE cđa (I; IB) => ID’ = IB
Vẽ phân giác góc BID cắt (O; R) C Xét DCI BCI có:
ID’ = IB
DIC = BIC ( theo c¸ch vÏ ) CI chung
Do Δ DCI = Δ BCI (c.g.c) => DCI = BCI CD = CB Mà BCI =
2 s® BI => D’CB =
2 s® AB hay ACB =
2 s® AB
Do A, D, C thẳng hàng d) Kết luận:
Tập hợp điểm D cung BAE đờng tròn (I; IB) ( I điểm cung nhỏ AB)
Bài tập áp dụng.
1) Cho ng trũn (O), A điểm cố định nằm ngồi đờng trịn (O) BOC đờng kính quay quanh O Tìm tập hợp tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2) Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, Ax tiếp tuyến đờng tròn (O) C điểm chuyển động đờng tròn (O) qua C cắt Ax D Tìm tập hợp tâm I đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ADC
3) Cho hai điểm cố định A B Tìm tập hợp tâm O đờng tròn cho tiếp tuyến kẻ từ A B đến đờng trịn có bán kính nhỏ AB
2 có độ dài
nhau
4) Cho đờng tròn (O; R) cố định, BC dây cung cố định, A điểm chuyển động cung lớn BC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Tìm tập hợp điểm D
5) Cho AB dây cung cố định đờng tròn cố định (O; R) M điểm chuyển động cung lớn AB H hình chiếu A phân giác Mx góc AMB Tìm tập hợp điểm H
V/ Kết đạt đợc
Sau áp dụng biện pháp cho học sinh giỏi lớp ăm học 2006-2007, nhận đợc số kết sau:
o Học sinh biết vẽ số trờng hợp để nhận biết “Quỹ tích” đờng thẳng hay đ-ờng trịn
o Học sinh giới hạn đợc quỷ tích cuả tốn cụ thể o Học sinh trình bày đầy đủ lời giải tốn “Quỹ tích” o Phát huy tính tích cực, độc lập, tự giác… học sinh
Sau híng dÈn cho häc sinh phơng pháp giải toán toán quỹ tích khảo sát nhận thấy kết nh sau:
Khối Sè häc sinh
KÕt qu¶ Ghi chó
Giái Kh¸ TB Ỹu
Khèi 45 27 10
Khèi 42 24
(11)Trên biện pháp áp dụng cho học sinh giỏi lớp trờng Do tuổi đời tuổi nghề cịn ít, thời gian nghiên cứu cha thật đợc nhiều…., nên tốn đa cha thật hợp lí cách giải củng cha thật logíc Rất mong đợc góp ý đồng nghiệp bạn đọc