bài tập chương 1

Tính các giới hạn một phía và kết luận về giới hạn hàm số tại điểm cho trước... HÀM NHIỀU BIẾN Bài 1..[r]

BÀI TẬP CHƯƠNG A Tính giới hạn dãy số

2

2

2

2

3

2 2

3

2

5.2 3.5

) lim ) lim ) lim

1 10.2 2.5

sin 6.9 7.4 ( 5) ( 7)

) lim ) lim ) lim

1 5.6

cos

g) lim ) lim

3

n

n n

n n

n n n

n n

n n

n n n

n n

n

a n n n b c

n

n n n n n

d e f

n n n

n n

h n n n

n                                               

7

2

2

5 ) lim

2

3

) lim ) lim 5 ) lim

3 1

n n

n

n n n

n

n i

n

n n n

j k n n n n l

n n                                             

B Giới hạn hàm số

Bài Tính giới hạn sau

 

2

4

2 2

6

4

2

2

0

1 cos

) lim ) lim ) lim

2 1

2

) lim ) lim 1 ) lim 13

6

sin sin 2

) lim ) lim ) lim

sin sin sin sin sin

x x x

x x x

x x

x

x x x

x x x x

a b c

x

x x

x

d e x x f x x x

x

x x

g h i

x x x x x

                                               





2 2

0

) lim cos x ) lim ) lim

x x x

j x k x x x l x x x x

                       

Bài Tính giới hạn phía kết luận giới hạn hàm số điểm cho trước

 

 

 

2

1 sin

) ; ) ( ) ; ) ;

1

2

5

) ( ) ; ) ;

sin

1

x x x x

a f x x b f x x c f x x

x x x

x x x x khi x

d f x x e f x x

x x khi x

                        

Bài Sử dụng vô bé tương đương để tìm giới hạn sau

3 3 12

sin

ln(cos ) sin ln(1 )

ln(1 ) tan ln(1 )

0 0

(1 )(1 cos ) arcsin ( 1)

tan ln(1 ) sin

0 0

ln( ) (

ln(1 )

0

) lim ) lim ) lim

) lim ) lim

) lim ) lim

x

x x

xarc x e

x x x x

x x x

x x x x x x

e x x x e

x x x x x x cos x x x x

a b c

d h e f                           

4

1 )(1 cos ) arctan(2 ) sin( 2)

2 sin

) lim

x

e x x x

x x x x

g

    

  

Bài Sử dụng quy tắc L’ Hospital để tìm giới hạn sau





ln

0

0

cos

0

ln 1

) lim ) lim ) lim (1 )

ln sin arctan

ln cos

) lim (tan ) ) lim ) lim arctan

ln cos

x x

x x

x

x x

x

x

a b c x

x x x x

x

d x e f x x

x

 

 





 

 



 

 

 

 



C Hàm số liên tục

Bài Xét tính liên tục hàm số sau x0 0

2

( 3) ln(4 1)

sin , 0

,

) ( ) ) ( )

, 2 , 0

x

x x

x khi x

khi x

a f x x b f x e

m khi x x x khi x

 



   



  

  

    

Bài Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định

2

4 1 , 1

,

) ( ) 2 ) ( )

2,

,

ln(2 1)

, 1 , 1

) ( ) 1 ) ( )

3 ,

,

x

x x khi x

khi x

a f x x b f x

mx khi x m khi x

x x

khi x x x khi x

c f x e d f x

x khi x x a khi x

    

  

  

 



  





  

    

  

 



   



Bài Tìm a để hàm số sau liên tục tập xác định:

3

64

,

( ) 16

,

x

khi x f x x

a khi x

 

 

  

 

 BÀI TẬP CHƯƠNG II A ĐẠO HÀM

Bài Tính đạo hàm hàm số sau

a) y(x23x1)ex; b) yln(sinx2cos )x c)

3

2 cosx x

ye  ; d) ysin(3lnx2 )x e) ytg x( 43 )x ; f) yarctg e( 2x1) g) y(sin )x x h) y(cos )x sinx i)

1 (1 )x y x Bài Tính đạo hàm phải, đạo hàm trái hàm số sau x0 0

a)

3

,

( )

ln ,

x x f x

x x x  

 



 b)

2 ,

( )

ln ,

x khi x f x

x khi x  



     

 

  

 Bài Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau

2 x

Bài Tính đạo hàm cấp n hàm số sau

a) yeax b) ysinx c) ycosx d) y

x

 e) yln(ax b ) f) ysin(ax b ) B VI PHÂN

Bài Tính vi phân hàm số sau

a) yln(x2 x 1) b) y exx3 c) ysin(lnx2 )x Bài Tính vi phân cấp hai hàm số sau

a) yln(sinxcos )x b) yecosx c) yarctan(ex) Bài Áp dụng vi phân tính gần : a) arctan1, 01 b) sin 29

Bài Viết khai triển hàm số ysinx lân cận điểm x0 0 Bài Viết khai triển hàm số yex lân cận điểm x0 0 Bài Tính đạo hàm vi phân cấp một, cấp hai hàm số sau

a) y 1x2 b) yln(1x2) c) ye2x(cosxsin )x d) yln(x x21) e) ysin2x f) yln(cos 2xx)

BÀI TẬP CHƯƠNG III HÀM NHIỀU BIẾN Bài Tìm tập xác định hàm số:

 

2

2 2

1

) , ) ( , ) ln(2 1)

ln( 1)

c) ) sin ) arcsin

a f x y b f x y x y

y x

y

z x y x y d z x y e z

x

   

 

        

Bài Tính đạo hàm riêng hàm số sau a) z x y

x y  

 b) z xexy c) z y e2 2x y d) xyz u

x y z 

 

Bài Tính đạo hàm riêng vi phân cấp một, cấp hai hàm số sau a) z3x22xy3y2 b) z xy

x y 

 c) zln(3x2 )y Bài Tính đạo hàm cấp một, cấp hai hàm ẩn y = y(x) cho phương trình sau

a) x y ex y b) x y arctgy0 c) x22xyy2 0 Bài Tìm cực trị hàm số sau

a) z 4 x2y2 b) z xy 1 x y

   c) z2x3y33x23y12x4 Bài Tìm cực trị với điều kiện hàm số sau

BÀI TẬP CHƯƠNG IV A TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Bài Tính tích phân sau

a)





x3x2  x dx



b) 2x 4ex dx x

   

 

 



c)

2

sin cos dx x x



d)





2cos 2x8sin4x



dx

Bài Tính tích phân sau a) tan



xdx b)

2

2

1 x

dx x

 



c)

4

4 x

dx x

 



d)

1

x

dx e 



Bài Tính tích phân sau phương pháp đổi biến số

a)

2 ln

dx x x



b)



x 2x dx2 c)

2 sin cos

x dx x 



d)



x



1x



2008dx e) lnx 1x2dx

 



f)

2 sin

xdx x



g)



e xdx h)

6

x dx x 



i)

2 arcsin

1 x

dx x 



j)



cos3xdx B TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Bài Tính tích phân xác định sau









1

2

0

1 3 2 3 2

2

0

1

4

2

2

0

2 3

2

2

3

) ) ) cos

2

3 2

) ) )

2

3 2

) cos ) )

1

) )

1

x x x

a x x dx b dx c xdx

x

x x x x x x

d dx e x x dx f dx

x x

x x x dx

g xdx h dx i

x x

x dx

j k x dx

x







 

  

 



       

 

  

 

























Bài Tính tích phân xác định sau phương pháp tích phân phần

2

) ln ) (2 1)sin ) ) cos

e

a x xdx b x xdx c xarctgxdx d x xdx

 



Bài Tính tích phân xác định sau phương pháp đổi biến số

7 2 3 2

2

2

0

2

cos ln

) ) ) ) sin

1 sin

e

xdx x

a x x dx b c dx d xdx

x x    









Bài Tính tích phân xác định sau a) sin(ln ) e x dx x



b)

11

dx x  



c)

(2x3)e dxx



d)

1

arctgxdx



e)

1

sin xdx



f)

2

15

(2 ) x x dx



C TÍCH PHÂN SUY RỘNG Ví dụ

2

1

1 1

lim lim lim 1

1

b

b b b

b dx dx x b x x                    





Ví dụ





0

2

0

1

lim lim arctan lim ( arctan )

2

1 a a a

a

dx dx x a

a x x            





Ví dụ

0

2 2

0

1 1

lim lim

1 1

b

a b

a

dx dx dx

x x x

         







lim ( arctan ) lim arctan

2

a b

a b   

 

     

Ví dụ









2

0 0

1

2

lim lim lim 2

1

1

dx dx

x

x    x      



     



 





Ví dụ









2

0 0

1

2

1

lim lim ln(2 ) lim ln

1

2 xdx xdx x

                       





Ví dụ





1

2 0 0

1

lim lim arcsin(1 ) arcsin( )

2 1 dx dx x x                                 





Ví dụ





1 1

0 0

1 1

1

lim lim ln ln lim ln ln

1

dx dx dx dx dx

x x

x x x x x

                                          











Bài tập Tính tích phân suy rộng sau đây:

2

1

3

3

1 1

) , ) , ) )

(2 1)

dx dx dx dx

a b x dx x dx c d

x x

x x x

     

 