Trong Luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu mô hình bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ cố định và trí nhớ có thể suy giảm theo thời gian.. Trong bài báo [22], các tác giả đã tính toán dáng đi[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -
Nguyễn Văn Quyết
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
CHO BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
(2)BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -
Nguyễn Văn Quyết
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
CHO BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ
Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH ĐOÀN THÁI SƠN
(3)LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Đồn Thái Sơn thầy Cấn Văn Hảo Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan
Hà Nội, tháng 10 năm 2020
Học viên
(4)3
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Đoàn Thái Sơn TS Cấn Văn Hảo, hai người thầy trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tìm đề tài luận văn định hình hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thời gian dài hai thầy Các thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu
Tôi xin chân thành cảm ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo Nghiên cứu Toán học, Viện Tốn học hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm học thạc sỹ Bên cạnh đó, q trình học tập, nghiên cứu thực Luận văn, tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu thầy cơ, anh chị bạn bè ngồi Viện Tốn học
Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nơi đào tạo Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam suốt q trình thực Luận văn
(5)Danh mục hình vẽ, đồ thị
Hình 3.1: Minh họa hai trình X Xˆ xây dựng từ bước ngẫu nhiên đơn giảnZ tập J với hai thời điểm resett1, t2 40
Hình 3.2: Đồ thị so sánh kết báo [22] 54 Hình 3.3: Kết thực nghiệm dáng điệu M√n
n Xn
√
n vớin = 10
(6)Mục lục
Lời cam đoan 2
Lời cảm ơn 3
Danh mục hình vẽ, đồ thị 4
Mục lục 6
Mở đầu 7
1 Giới thiệu 10
1.1 Sơ lược số kết 10
1.2 Kiến thức chuẩn bị 14
1.2.1 Bước ngẫu nhiên dừng 14
1.2.2 Quá trình tái tạo 17
2 Bước ngẫu nhiên có trí nhớ cố định 21 2.1 Mơ hình tốn học 21
2.2 Các định lý giới hạn cho Mn vàXn 25
2.2.1 Tính chất củaτ vàKn 25
2.2.2 Các định lý giới hạn cho Mn Xn 30
3 Bước ngẫu nhiên có trí nhớ suy giảm 34 3.1 Một hiệu chỉnh (Xn)n≥0 36
3.2 Dáng điệu tiệm cận E[Xn]vàE[Mn] 40
3.2.1 Pha dưới0< a < 44
(7)3.2.2 Điểm chuyển phaa = 48 3.2.3 Pha a > 55
Kết luận kiến nghị 62
(8)7
MỞ ĐẦU
(9)ngẫu nhiên thường bị rơi vào tắc nghẽn thường phải khởi động lại thuật toán [9]-[13] Chiến lược bước dài mơ hình phụ thuộc vào ứng dụng xác định [4], chẳng hạn quay lại Poissonian đến cấu hình ban đầu, quay lại khơng Poissonian, hay quay lại sử dụng trí nhớ khứ Một phương thức bước dài quan trọng quay lại vị trí xác định với xác xuất hữu hạn Khi ta tìm kiếm khơng thành cơng bước ngắn để tốt ta nên khởi động lại trình tiếp tục Sự ảnh hưởng phương thức quay lại ngẫu nhiên nghiên cứu đa dạng [14]-[17]
Mơ hình đơn giản tìm kiếm Brownian với quay lại ngẫu nhiên đến vị trí ban đầu giới thiệu Evans and Majumdar [19] Sau mở rộng nghiên cứu theo nhiều cách khác nhau, với nhiều cách quay lại ngẫu nhiên, đa dạng từ hệ đơn hạt hệ nhiều hạt Ví dụ quay lại ngẫu nhiên đến vị trí tốt vị trí ban đầu (có thể chọn ngẫu nhiên)
(10)9
định khác đến vị trí cực đại cực tiểu Tuy nhiên, động vật già thường có trí nhớ suy giảm theo thời gian, nghĩa xác suất chúng thăm lại nơi đến giảm dần theo theo thời gian Hiện tượng thú vị yêu cầu cần đưa nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ thay đổi theo thời gian Đặc biệt, cần quan tâm liệu tốc độ suy giảm trí nhớ ảnh hưởng đến hoạt động tìm kiếm
(11)CHƯƠNG 1
GIỚI THIỆU
1.1 Sơ lược số kết chính
Trong Luận văn này, nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ Cụ thể Chương 2, nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ trênZ1 đề xuất trước vào năm 2015 [22] Các tác giả nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên mà người không vị trí cực đại có khả reset vị trí cực đại với xác suất cố địnhr, sang trái phải với xác suất 1−2r Ngược lại vị trí cực đại, người bước sang trái phải với xác suất 12 Họ < r < kì vọng phương sai biến ngẫu nhiên vị trí Xn biến ngẫu
nhiên vị trí cực đại Mn tăng trưởng tuyến tính theo thời gian với tốc độ lần
lượt số v(r)và D(r) (xem công thức (2.1.5),(2.1.6)): v(r) = r(1−r)
r −2r2 +√2r −r2,
và
D(r) = h
(2−2r −5r2 + 3r3) + (2−r −r2 + 2r3)pr(2−r) i
× (1−r)r
2
p
r(2−r)[r −2r2 +pr(2−r)]3
Bằng cách tiếp cận từ lý thuyết trình tái tạo, kiểm chứng lại ước lượng kì vọng phương sai, đồng thời từ xây dựng định lý
(12)11
giới hạn luật mạnh số lớn định lý giới hạn trung tâm thông thường cho cảXn vàMn (cụ thể Định lý 2.2.1) ta có
Luật mạnh số lớn kỳ vọng:
Mn
n
h.c.c
−−→ v(r) Xn n
h.c.c
−−→ v(r),
khin→ ∞,
lim
n→∞
E[Mn]
n = limn→∞
E[Xn]
n = v(r), vớiv(r) cho (2.1.5)
Định lý giới hạn trung tâm phương sai:
Mn−µ0λn
√
n
d
−
→N(0, D(r)) Xn−µ
0λn
√
n
d
−
→N(0, D(r)),
khin→ ∞
lim
n→∞
Var[Mn]
n = limn→∞
Var[Xn]
n = D(r), vớiD(r) cho (2.1.6)
Ở Chương Luận văn, ta nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ suy giảm theo thời gian Lúc thời điểmn, xác suất reset vị trí cực đại làrn = min{nra,
1
2} Chúng ta dáng điệu tiệm cận kì vọng
của biến ngẫu nhiên vị trí vị trí cực đại thay đổi theo giá trị a Cụ thể, Định lý 3.0.1 ta có
Dáng điệu tiệm cận củaE[Xn]vàE[Mn]:
lim
n→∞
E[Xn]
ϕa(n)
= FX(a, r) lim
n→∞
E[Mn]
ψa(n)
= FM(a, r)
Khi0 < a < 1:
ϕa(n) =ψa(n) = n1−a/2,
và
FX(a, r) =FM(a, r) =
√ 2r
(13)Tạia = 1:
ϕa(n) =ψa(n) =
√
n ,
FX(a, r) = 2r2
r
πB(3/2, r),
FM(a, r) = (2r2 +r)
r
πB(3/2, r)
Khia > 1:
ϕa(n) =
n
3
2−a khi1 < a < 2,
logn khia = 32,
1 khia > 32,
ψa(n) =
√
n ,
FX(a, r) = λ2(a, r)−λ3(a, r) +λ4(a, r),
và
FM(a, r) = λ1(a, r) +λ5(a, r),
vớiλ1(a, r), λ2(a, r), , λ5(a, r)là số Bổ đề 3.2.8
Chúng ta thấy < a < 1, dáng điệu tiệm cận kì vọng củaMn
Xn cỡ, hàm tỷ lệ Nhưng a = 1, chúng cỡ khác hàm
tỷ lệ Còn a > 1dáng điệu tiệm cận E[Xn] nhỏ hẳn E[Mn]
(14)13
cận hàm tỷ lệ:
FM(a, r) ∼
pr
2 ∼v(r) khia = 0, r →0,
pr
2 ∼v(r) khia → 0, r → 0,
q
2
π khia = 1, r →0,
q
2
π khia →
+, r → 0,
√
2r khia = 1, r → ∞,
√
2r khia → 1−, r → ∞
FX(a, r) =
0 khia = 1, r →0,
0 khia → 1+, r → 0,
FX(a, r) ∼
pr
2 ∼ v(r) khia = 0, r →0,
pr
2 ∼ v(r) khia → 0, r →0,
√
2r khia = 1, r → ∞,
√
2r khia → 1−, r → ∞
Bây ta thấy lại trường hợp trí nhớ cố định < r < 1, D(r → 0) = 12 Từ suy phương sai Mn Xn cỡ tuyến tính
nhưng khác hệ số tỷ lệ với trường hợpr = 0(với hệ số tỷ lệDM(0) = 1−2/π
và DX(0) = 1), nghĩa r = điểm kỳ dị Trong báo [22],
tác giả nghiên cứu chuyển pha điểm kỳ dịr = 0này thơng qua mơ hình tương đương với trường hợp a = đưa hàm tỷ lệ (xem công thức (124),(132) [22]):
FM(r) = lim
n→∞
E[√Mn]
n =
1 √
2r[(r + 1/2)erf(
√
(15)và
FX(r) = lim
n→∞
E√[Xn]
n =
1 √
2r[(r −1/2)erf(
√
r) +pr/πexp(−r)]
Trên hàm erf(z) = √2
π
Rz
0 exp(−u 2)du.
Dựa vào dáng điệu tiệm cận hàm tỷ lệ r → 0và r → ∞ (xem công thức (125) (133)), tác giả suy hàm tỷ lệ nội suy trơn hai trường hợprn = r = rn > 0, r → ∞ Từ nghiên cứu cách
tiếp cận báo kết lý thuyết thực nghiệm, công thức tường minh hàm tỷ lệ báo đưa chưa xác (cụ thể Nhận xét 3.2.7) Bên cạnh đó, cơng thức tường minh củaFM(1, r)vàFX(1, r)mà xây dựng điểm chuyển phaa =
được nghiệm mô
1.2 Kiến thức chuẩn bị
Trong phần này, giới thiệu số kiến thức kết cần thiết lý thuyết bước ngẫu nhiên lý thuyết trình tái tạo Bên cạnh đó, số tính chất cần thiết sử dụng cho kết chương đề cập đến
1.2.1 Bước ngẫu nhiên dừng
Cho(Xk)k≥1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối (i.i.d.)
Chúng ta xét bước ngẫu nhiên(Sn)n≥0 có gia số(Xk)k≥1 cho S0 =
vàSn = Sn−1 +Xn vớin ≥
Trước hết ta có bổ đề hội tụ dãy ứng với thời điểm ngẫu nhiên dãy biến ngẫu nhiên hội tụ
(16)15
(i) Giả sử Yn h.c.c
−−→ Y khin → ∞ và Nt h.c.c
−−→ ∞ khit → ∞ Khi đó thì
YNt
h.c.c
−−→ Y khi t → ∞
(ii) Giả sửYn h.c.c
−−→ Y khin → ∞vàNt p
−
→ ∞ khi t→ ∞ Khi đó,
YNt
p
−
→Y khit → ∞
Chứng minh. Với (i), ta đặt A = {ω : Yn(ω) Y(ω)}, B = {ω : Nt(ω)
∞} and C = {ω : YNt(ω)(ω) Y(ω)} Khi đó,C ⊆ A∪B, ta thu (i)
Để chứng minh (ii), ta dãy (YNt)t≥0 có dãy hội tụ hầu chắn Thật vậy, giả sử (Ntk)k≥0 dãy (Nt)t≥0 Theo giả thiết ta có Ntk hội tụ theo xác suất đến∞ Do đó, tồn dãy con(Ntkj)j≥0 hội tụ hầu chắn Kết hợp điều với giả thiết
Yn h.c.c
−−→ Y khin → ∞ (i) suy YNtk
j
h.c.c
−−→ Y khij → ∞ Do ta kết luậnYNt
p
−
→ Y khit → ∞
Định lý 1.2.2. Xét bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 với gia số i.i.d. (Xk)k≥1 Giả sử rằngNt
h.c.c
−−→ ∞ khit → ∞ Khi đó, nếuE[|X1|] < ∞vàE[X1] = µ, thì
SNt
Nt h.c.c
−−→ µ khi t→ ∞ (1.2.1)
Hơn nữa, nếu Nt
t h.c.c
−−→ θ ∈ (0,∞) khi t→ ∞, thì
SNt
t
h.c.c
−−→ µθ khi t → ∞ (1.2.2)
Chứng minh. Bởi luật mạnh số lớn Bổ đề 1.2.1 ta có phần đầu chứng minh Biến đổi đại số, ta có phần thứ hai
SNt
t =
SNt −µNt
Nt
ì Nt
t +à Nt
t
h.c.c
(17)Tiếp theo, có định lí giới hạn trung tâm bước ngẫu nhiên với thời gian ngẫu nhiên
Định lý 1.2.3. [[25], Định lý Anscombe] Xét bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 với gia số i.i.d. (Xk)k≥1 Giả sử E[X] = và Var[X] = σ2 ∈ (0,∞) Xét
dãy thời điểm ngẫu nhiên(Nt)t≥0 thỏa mãn
Nt
t
p
−
→ θ khi t→ ∞ (1.2.3)
Khi đó, (i)
SNt
σ√Nt d
−
→N(0,1)khi t → ∞, (1.2.4)
(ii)
SNt
σ√tθ
d
−
→ N(0,1)khi t→ ∞ (1.2.5)
Chúng ta gọi N thời gian dừng dãy tăng σ-đại số (Fn)n≥1 (chẳng hạn Fn = σ(X1, X2, , Xn),F0 = {∅,Ω}), với
n≥ 1thì
{N = n} ∈ Fn
Bây ta thu đẳng thức quan trọng cho moment bậc 1và moment bậc2của tổng dừng
Định lý 1.2.4. [[29], Định lý 1.5.3] Xét bước ngẫu nhiên (Sn)n≥0 với gia số i.i.d.(Xk)k≥1 NếuE[X1] = µvà E[N] < ∞thì
E[SN] = µE[N] (1.2.6)
Hơn nữa, nếuσ2 = Var[X1] < ∞thì
(18)17
1.2.2 Quá trình tái tạo
Xét bước ngẫu nhiên(Sn)n≥0 với gia số i.i.d.(Xk)k≥1 Nếu (Xi)i≥1
biến ngẫu nhiên không âm, ta gọi (Sn)n ≥ 0là trình tái tạo
(renewal process) Chúng ta đặt
Nt = max{n ≥ : Sn ≤t},
là số lần tái tạo trình đoạn[0, t] Bây ta có số kết đầu tiên:
Khẳng định 1. [[29], Định lý 2.3.1] Nếu X1 ≥ tồn a > cho
P(X1 ≥ a) > 0thì
(i) P(Nt < ∞) = ;
(ii) E[Ntr] < ∞với mọir > 0;
(iii) Tồn tạis0 > 0thỏa mãn E[esNt] < ∞với mọis < s0
Một mối liên hệ quan trọng mà số chứng minh sử dụng quan hệ ngược q trình tái tạo trình đếm,
{Nt ≥ n} = {Sn ≤t}
Tuy nhiên,Nt thời gian dừng (stopping time) Thay vào
đó, xét dãy thời gian vượt đầu tiên(νt)t≥0 (first passage time
process), định nghĩa
νt = min{n: Sn > t}
Khi đó,νt thời gian dừng với mọit > Ngoài ra,
νt = Nt + 1,
(19)Bây giới thiệu đến định lý giới hạn quan trọng luật mạnh số lớn, định lý giới hạn trung tâm cho trình đếm tái tạo Các định lý đưa Doob (1948), Feller (1941) Hatori (1959), Smith (1954)
Đầu tiên, nhận xét t→ ∞, Nt
h.c.c
−−→ ∞, νt h.c.c
−−→ ∞
Định lý 1.2.5. [Luật mạnh số lớn cho q trình đếm] Giả sử < µ = E[X1] < ∞ Khi đó, khi t→ ∞,
(i)
Nt
t
h.c.c
−−→
µ, (1.2.8)
(ii) với mọi r > 0,
E
Nt
t
r
→
µr (1.2.9)
Chứng minh. Bởi định nghĩa, ta có
SNt ≤ t < Sνt
SNt
Nt
≤ t
Nt
< Sνt
νt
Nt +
Nt
Sử dụng Định lý 1.2.2, ta chứng minh chặn chặn Nt t hội tụ hầu chắn đếnµkhit → ∞, điều suy
t Nt
h.c.c
−−→ µ Để chứng minh (ii), Nt
t
r
t≥1 khả tích với
r > Hơn nữa,νt = Nt + 1, đó, ta cần
nνt
t
ro
t≥1 họ khả tích với
(20)19
Ta chứng minh tính chất cộng tính trình(νt)t≥1 Trước hết, ta
thấy để đạt mức(t+s)thì phải đạt đến mứct Khi điều hồn thành q trình bắt đầu làm lại VìSνt > t nên khoảng cách lại cần nhiều làs, thời gian cần bị chặn biến ngẫu nhiên đồng phân phối vớiνs Nghĩa là,
νt+s ≤ νt+ min{k −νt : Sk −Sνt > s} = νt +ν
0 s,
vớiνs0 phân phối với νs
Bây với n≥ 1là số nguyên Bởi lập luận đệ quy có νn ≤ ν1,1 + .+ ν1,n,
với(ν1,k)k≥1 đồng phân phối với ν1 Kết hợp với bất đẳng thức Minkowski
thu
kνnkr ≤nkν1kr
Cuối bởiνt ≤ν[t]+1 nên ta có với mọit≥ 1,
νt
t ≤ ν[t]+1
[t] + 1,
kνt
t kr ≤2k ν[t]+1
[t] + 1kr ≤2kν1kr < ∞ Do đó, νt
t
p
t≥1 họ khả tích với p < r Bởi r bất kì, dương
nên ta suy (1.2.10) (ii)
Nhận xét 1.2.6. Trong chứng minh ta sử dụng tính chất họ biến ngẫu nhiên bị chặn theo Lp với < p < ∞thì họ biến ngẫu nhiên khả tích