[r]
(1)Sở giáo dục đào Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn Thanh Hoá năm học 2009-2010
Đáp án đề thi thức
Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 19 tháng năm 2009 (Đáp án gồm 04 trang)
Câu ý Nội dung Điểm
1
1
Tõ gi¶ thiÕt suy ra: (x +
x )2 = x +
1
x = (do x > 0)
21 = (x +
x )(x2 +
1
x2 ) = (x3 +
1
x3 ) + (x +
1
x ) A = x3 +
1
x3 =18
7.18 = (x2 +
x2 )(x3 +
1
x3 ) = (x5 +
1
x5 ) + (x +
1
x )
B = x5+
x5 = 7.18 - = 123
0.25 0.25 0.25 0.25
2
Từ hệ suy
√x+√2−
1
y=
1
√y+√2−
1
x (2)
Nếu
√x>
1
√y √2−
1
y>√2−
1
x nên (2) xảy
x=y
thế vào hệ ta giải x=1, y=1
0.5
0.5
2
Theo ViÐt, ta cã: b x x
a
,
c x x a Khi 2 2
a ab b Q
a ab ac
= 2 b b a a b c a a
( V× a 0)
=
2
1 2
1 2
2 3( ) ( )
2 ( )
x x x x x x x x
V× 0 x1 x2 2 nªn
1
x x x vµ x22 4 x12 x22 x x1 4
2
1
x x x x
Do
1 2
1 2
2 3( )
3
2 ( )
x x x x Q
x x x x
Đẳng thức xảy x1 x2 2 hc x1 0,x2 2
(2)Tøc lµ
4
4
2
2
0
b a
c c b a
a
b a b
c a
c a
VËy maxQ=3
0.25
3
1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Phơng trình cho tơng đơng với:
x + y + z = √x −2 +2 √y+2009 +2 √z −2010
( √x −2 - 1)2 + (
√y+2009 - 1)2 + (
√z −2010 - 1)2 = 0
√x −2 - = x = √y+2009 - = y = - 2008 √z −2010 - = z = 2011
0.25 0.25 0.25 0.25 NhËn xÐt: p số nguyên tố 4p2 + > 6p2 + > 5
Đặt x = 4p2 + = 5p2- (p - 1)(p + 1)
y = 6p2 + 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2)
Khi đó:
- NÕu p chia cho d d (p - 1)(p + 1) chia hÕt cho
x chia hÕt cho mà x > x không số nguyªn tè
- NÕu p chia cho d d (p - 2)(p + 2) chia hÕt cho
4y chia hÕt cho mµ UCLN(4, 5) = y chia hÕt cho mµ y >
y không số nguyên tố
Vậy p chia hết cho 5, mà p số nguyên tố p = Thư víi p =5 th× x =101, y =151 số nguyên tố Đáp số: p =5
0.25
0.25
0.25
0.25
1
(3)
2
5
Trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = CM Ta cã Δ IBE = Δ MCE (c.g.c)
Suy EI = EM , ∠MEC=∠BEI MEI vuông cân E Suy EMI=450=BCE
Mặt khác: IB AB=
CM CB =
MN
AN IM // BN
∠BCE =∠EMI=∠BKE tø gi¸c BECK néi tiÕp
∠BEC +∠BKC=1800
L¹i cã: ∠BEC=900⇒∠BKC=900 VËy CK BN
Vì AO = √2 , OB=OC=1 ABO=ACO=900 suy OBAC
hình vng
Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho DOM = DOB MOE=COE
Suy Δ MOD= Δ BOD DME=900
Δ MOE= Δ COE EMO=900
suy D,M,E thẳng hàng, suy DE tiếp tuyến (O) Vì DE tiếp tuyến suy DM=DB, EM=EC
Ta có DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy DE<1 Đặt DM= x, EM=y ta có AD2 + AE2 = DE2
(1-x)2 + (1-y)2 = (x+y)2
1- (x+y) = xy (x+y)2
4 suy DE
2 + 4.DE - 40
DE 2√2−2
Vậy 2√2−2≤ DE<1
Ta cã: ad−bc¿
2=a2c2
+2 abcd+b2d2+a2d2−2 abcd+b2c2
ac+bd¿2+¿
¿ ¿a2(c2+d2)+b2(d2+c2)=(a2+b2) (c2+d2)
V× ad−bc=1 nªn ac+bd¿
❑2
=(a2+b2) (c2+d2)(1)
1+¿
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25
0.25
(4)áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm (a2
+b2);(c2+d2)
cã: P=a2
+b2+c2+d2+ac+bd≥2√(a2
+b2) (c2
+d2)+ac+bd ⇒P ≥2√1+(ac+bd)2+ac+bd (theo (1))
Râ ràng P>0 vì: 21+(ac+bd)2>|ac+bd|2
Đặt x=ac+bd ,ta có: P21+x2+x ⇔P2≥4(1
+x2)+4x√1+x2+x2=(1+x2)+4x√1+x2+4x2+3
¿(√1+x2+2x)2+3≥3
VËy P≥3