[r]
(1)CHƯƠNG 2: HÀM LOGIC HÀM LOGIC CƠ BẢN
9 CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC • Dạng tổng chuẩn
• Dạng tích chuẩn • Dạng số
• Biến đổi qua lại dạng chuẩn RÚT GỌN HÀM LOGIC
• Phương pháp đại số
• Phương pháp dùng bảng Karnaugh • Phương pháp Quine Mc Cluskey
I HÀM LOGIC CƠ BẢN 1 Một số định nghĩa
- Trạng thái logic biểu diễn số
- Biến logic đại lượng biễu diễn ký hiệu (chữ hay dấu) gồm giá trị hay tuỳ theo điều kiện
- Hàm logic diễn tả nhóm biến logic liên hệ với phép toán logic Cũng biến logic, hàm logic nhận giá trị
2 Biểu diễn biến hàm logic
a Giản đồ Venn
Còn gọi giản đồ Euler, đặc biệt dùng lĩnh vực tập hợp Mỗi biến logic chia không gian vùng khơng gian con, vùng giá trị biến hay 1, vùng lại vùng phụ giá trị biến sai hay
Ví dụ: Phần giao tập hợp A B (màu xám) biểu diễn tập hợp A B (A and B = 1)
b Bảng thật
Nếu hàm có n biến, bảng thật có n + cột 2n + hàng Hàng tên biến hàm, hàng cịn lại trình bày tổ hợp n biến, có thảy 2n tổ hợp có Các cột ghi tên biến, cột cuối ghi tên hàm giá trị hàm tương ứng với tổ hợp biến hàng
Ví dụ: Hàm F(A,B) = A OR B có bảng thật sau:
A B F(A,B) = A OR B
0 0
0 1
1
1 1
(2)c Bảng Karnaugh
Đây cách biểu diễn khác bảng thật hàng bảng thật thay mà tọa độ hàng cột có giá trị xác định tổ hợp cho biến
Bảng Karnaugh hàm có n biến gồm 2n ô Bảng Karnaugh thuận tiện để đơn giản hàm logic cách nhóm lại với
Ví dụ: Hàm F(A,B) = A OR B có bảng Karnaugh sau: B
A
0 1 1
d Giản đồ thời gian
Dùng để diễn tả quan hệ hàm biến theo thời gian
Ví dụ: Hàm F(A,B) = A OR B có bảng giản đồ thời gian sau:
A
T
B
T
F(A,B)
T
3 Qui ước
Khi nghiên cứu hệ thống logic, cần xác định qui ước logic Qui ước khơng thay đổi suốt q trình nghiên cứu
Ví dụ: Trong hệ thống số có giá trị điện áp 0V (thấp) 5V (cao), ta chọn hai qui ước sau:
Điện áp Logic dương Logic âm 0V
5V 0
4 Các hàm logic
a Hàm NOT (đảo, bù)
Phép toán (gạch trên):⎯ Bảng thật đây: Y = A
A Y = A
(3)b Hàm OR (hoặc)
Phép toán: + (cộng) Bảng thật
A B F(A,B) = A + B
0 0
0 1
1
1 1
c Hàm AND (và)
Phép tốn: • (nhân – dấu chấm) Bảng thật
A B F(A,B) = A.B
0 0
0
1 0
1 1
d Hàm EX–OR (OR loại trừ)
Phép toán: ⊕ (exor) Bảng thật
A B F(A,B) = A⊕B
0 0
0 1
1
1
5 Tính chất hàm logic
a Tính chất
- Có phần tử trung tính cho tốn tử + (cộng) (nhân) A + = A ;0 phần tử trung tính hàm OR
A = A ;1 phần tử trung tính hàm AND - Tính chất giao hốn
A + B = B + A A B = B A - Tính phối hợp
(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (A B) C = A (B C) = A B C - Tính phân bố
(4)A + A + … + A = A A A … A = A - Tính bù
0
1 A A
= = + =
A A
A A
b Tính song đối (duality)
Tất biểu thức logic ta thay phép tốn + (cộng) phép tốn • (nhân), hay ngược lại
Ta xét ví dụ sau:
A + B = B + A Ù A B = B A
B A B A
A+ = + Ù A.(A+B)=A.B
A + = Ù A =
c Định lý De Morgan
Định lý De Morgan phát biểu biểu thức sau:
C B A C B A
C B A C B A
+ + =
= + +
Định lý cho phép biến đổi qua lại phép nhân phép cộng nhờ vào phép đảo
d Sự phụ thuộc lẫn hàm logic
Định lý De Morgan cho ta thấy hàm logic không độc lập với Chúng biến đổi qua lại dùng hàm [AND NOT] [OR NOT] để biểu diễn tất hàm
Ví dụ: Chỉ dùng hàm AND NOT biễu diễn hàm: Y = AB+BC+AC
Chỉ việc đảo Y hai lần ta kết quả: Y =Y = AB+BC+ AC= AB.BC.AC
II CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC 1 Giới thiệu
Hàm logic biễu diễn tổ hợp tổng tích logic Nếu tổng tích ta có dạng: f(X,Y,Z)=XY+XZ+YZ
Nếu tích tổng ta có dạng: f(X,Y,Z)=(X +Y)(X +Z)(Y+Z)
Một hàm logic gọi hàm chuẩn số hạng chứa đầy đủ biến Ta xem hàm sau: f(X,Y,Z)=XYZ+XYZ+ XYZ tổng chuẩn Mỗi số hạng tổng chuẩn gọi minterm
(5)2 Dạng tổng chuẩn
Để có hàm logic dạng chuẩn ta áp dụng định lý triển khai Shanon Dạng tổng chuẩn triển khai theo định lý Shanon thứ
Tất hàm logic triển khai theo biến dạng tổng tích sau:
Z) , B, (0, . Z) , B, (1, A. Z) , B,
(A, … = f … +A f …
f
Ví dụ: Ta triển khai với hàm biến f(A, B) sau: Khai triển theo biến A: f(A,B)=A.f(1,B)+A.f(0,B)
Mỗi hàm hàm vừa tìm được, tiếp tục khai triển theo biến B: ) , ( ) , ( ) ,
( B B f B f
f = +
) , ( ) , ( ) ,
( B B f B f
f = +
Nhân vào ta được: f(A,B)=AB.f(1,1)+ AB.f(1,0)+AB.f(0,1)+AB.f(0,0)
Với cặp i, j ta có lượng giá trị f(i, j) biểu diễn giá trị riêng f(A, B) toán phải giải
Với hàm biến, khai triển ta được:
) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( f C B A f C B A f C B A f BC A f C B A f C B A f C AB f ABC C B A f + + + + + + + + =
Khai triển hàm n biến, ta 2n số hạng
Mỗi số hạng triển khai tích tổ hợp biến trị riêng hàm Có hai trường hợp xảy ra:
- Giá trị riêng 1, số hạng thu gọn biến
C B A f C B
A (0,0,1)= f(0,0,1) =
- Giá trị riêng 0, số hạng nhân hàm Số hạng biến biểu thức tổng (theo qui tắc X + = X)
0 ) , , (
.f =
C B
A f(0,0,1) = (theo qui tắc X.0 = 0)
Ví dụ: Cho hàm biến A, B, C xác định bảng thật sau, viết dạng hàm tổng chuẩn cho hàm:
Hàng A B C Z = f(A, B, C)
0 0 0
1 0 1 = f(0,0,1) 1 = f(0,1,0) 1 = f(0,1,1)
4 0
5 1 = f(1,0,1)
6 1 0
7 1 1 = f(1,1,1)
- Hàm Z có trị riêng f(0,0,1) = tương ứng với giá trị tổ hợp biến “Hàng 1” A = 0, B = 0, C = Tổ hợp ABC.f(0,0,1)= ABC.1= ABC
là số hạng tổng chuẩn
(6)Thiết lập bảng sau:
Chọn Hàng A B C D
× 0
× 0
× 0
× 1
× 1
× 10 1
× 12 1 0
× 13 1
× 14 1
Mỗi tổ hợp nhóm sẽđược so sánh với tổ hợp nhóm kế cận Nếu tổ hợp khác biến, ta dùng biểu thức AB+AB=B để đơn giản biến Biến đơn giản sẽđược thay dấu – (gạch ngang) Đánh × vào tổ hợp xét để tránh sai sót
Như tổ hợp thứ nhóm thứ nhất: 0001 so sánh với tổ hợp thứ nhóm 2: 0101, chúng khác biến B, ta đơn giản thành 0–01 Hai số hạng gom lại
Thiết lập bảng sau:
Chọn Hàng A B C D
1,5 –
× 2,6 –
× 2,10 –
× 4,5 –
× 4,6 –
× 4,12 – 0
× 5,13 – 1
× 6,14 – 1
× 10,14 –
× 12,13 1 –
× 12,14 1 –
(7)Thiết lập bảng sau:
Chọn Hàng A B C D
2,6; 10,14 – – 2,10; 6,14 – – 4,5; 12,13 – – 4,6; 12,14 – – 4,12; 5,13 – – 4,12; 6,14 – –
Quan sát bảng ta thấy rút gọn nữa, đồng thời có tổ hợp giống nhau, ta loại bỏ bớt tổ hợp giữ lại
Kết hàm rút gọn gồm tổng số hạng tương ứng với tổ hợp khơng gom thành nhóm bảng trước tổ hợp bảng cuối.Ta có tổ hợp sau:
- (1,5) Ù ACD bảng
- (2,6; 10,14) = (2,10; 6,14) Ù CD bảng cuối - (4,5; 12,13) = (4,12; 5,13) Ù BC bảng cuối - (4,6; 12,14) = (4,12; 6,14) Ù BD bảng cuối
Vậy kết thúc bước ta được: f(A,B,C,D)= ACD +CD+ BC+ BD
Đến đây, quan sát tổ hợp cho kết trên, ta thấy tổ hợp chứa số hạng giống (số 4,12) Như kết chưa tối giản Ta tiếp tục chuyển sang bước
• Giai đoạn 2: Để rút gọn ta lập bảng với cách thiết lập sau:
- Cột bên trái ghi tổ hợp chọn giai đoạn 1, cột lại ghi giá trị thập phân hàm ban đầu
- Trên hàng tổ hợp ta đánh dấu * với ô tương ứng cột Ví dụ hàng chứa tổ hợp (1,5) ta đánh dấu * vào ô tương ứng cột 5, dòng (1,5) Tương tự cho tổ hợp khác Sau đó, ta dị dịng từ xuống, đánh × vào dịng cuối tương ứng với dấu * dòng này, đến tất dịng cuối đánh dấu × ta ngưng, lúc tổ hợp dòng chọn kết hàm Như trên, ta bảng sau:
Tổ hợp 1 2 4 5 6 10 12 13 14
1,5 ← *↓ *↓
2,6; 10,14 ← *↓ *↓ *↓ *↓
4,5; 12,13 ← *↓ * *↓ *↓
4,6; 12,14 * * * *
Chn ặ ì ì × × × × × × ×