Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương này, luận văn trình bày lại một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết đồ thị, các khái niệm về đa giác đơn, cây đối ngẫu, hình ống tay và “Phễu” trong không gian hai chiều đượ[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-
Nguyễn Thị Mỹ Hạnh
SỬ DỤNG KỸ THUẬT “PHỄU” VÀ “CÂY PHỄU” ĐỂ TÌM
ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ MẶT CỦA KHỐI ĐA DIỆN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
(2)BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -
Nguyễn Thị Mỹ Hạnh
SỬ DỤNG KỸ THUẬT “PHỄU” VÀ “CÂY PHỄU” ĐỂ TÌM
ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ MẶT CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Phan Thành An
(3)LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan kết đề tài: Sử dụng kỹ thuật “phễu” “cây phễu” để tìm đường ngắn bề mặt khối đa diện trình bày ba báo [7], [10] [5], ví dụ số liệu luận văn trung thực Nếu không nêu trên, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm đề tài
(4)LỜI CẢM ƠN
Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Phan Thành An hướng dẫn tơi hồn thiện luận văn Mặc dù bận rộn với công việc thầy dành thời gian quý giá để hướng dẫn bảo tơi tận tình Trong q trình làm luận văn thân tơi cịn có nhiều thiếu sót, nhiên thầy luôn động viên tạo điều kiện tốt để tơi hồn thiện luận văn
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới tồn thể thầy Viện Tốn học truyền đạt, chia sẻ cho tơi kiến thức bổ ích Đồng thời, tơi xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới thầy cô anh chị em Học viện Khoa học Công nghệ giúp đỡ quan tâm tơi suốt q trình học tập
Tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè anh chị nhóm nghiên cứu ln cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi q trình tham gia nhóm nghiên cứu để tơi củng cố kiến thức trau dồi kĩ sử dụng phần mềm hỗ trợ cho đề tài
(5)Mục lục
LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC KÍ HIỆU
MỞ ĐẦU
1 TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG
ĐA GIÁC ĐƠN
1.1 ĐA GIÁC ĐƠN 1.2 ĐỒ THỊ, CÂY VÀ CHU TRÌNH, CÂY ĐỐI NGẪU 1.3 HÌNH ỐNG TAY VÀ HÌNH “PHỄU” 11 1.4 THUẬT TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI
ĐIỂM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN 14
2 TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ MẶT CỦA
KHỐI ĐA DIỆN 19
2.1 PHÉP LẬT 19 2.2 THUẬT TỐN DÙNG NGUỒN SÁNG VÀ BĨNG 23
3 TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG
MỘT DÃY MẶT TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN
BA CHIỀU 31
3.1 ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA THẲNG NHẤT VÀ CÁC PHỄU DỌC THEO DÃY MẶT TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN BA
CHIỀU 31
(6)3.2 THUẬT TOÁN TÌM CHÍNH XÁC ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM DỌC THEO DÃY MẶT TAM
GIÁC 35 3.3 ỨNG DỤNG THUẬT TỐN NFU TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN
NHẤT TỪ MỘT ĐIỂM TỚI TẤT CẢ CÁC ĐIỂM TRÊN
BỀ MẶT KHỐI ĐA DIỆN 43
KẾT LUẬN 51
(7)3
DANH MỤC KÍ HIỆU
[a, b] Một đoạn thẳng giới hạn hai điểmavàb E= (e1, , em) Một dãy cạnh chung
F= (f1, , fm+1) Một dãy mặt cóm+ tam giác liền kề
Fpq(s) Một phễu dọc theoF tương ứng với [p, q] có chóp điểms
G Một đồ thị vô hướng
P = (q1, q2, , qn) Một đa giác đơn cónđỉnh
di Một đường chéo đa giácP
vi(1);vi(2) Hai điểm đầu mút đường chéodi
SP(s, vi(j)) Đường ngắn từstới điểm cuốivi(j)
Ri Phễu giới hạn bởiSP(v, vi(1)),SP(v, vi(2))và đường chéodi
Iei Ảnh của điểm nguồnslên cạnhei
P rojeIeii Hình chiếu củaIei lên cạnhei
(8)MỞ ĐẦU
Hiện nay, vấn đề nhà khoa học nghiên cứu lĩnh vực tối ưu, hình học tính tốn tính đường ngắn hai điểm bề mặt khối đa diện, điều có ích ngành công nghiệp chế tạo rô-bốt, tối ưu hệ thống thông tin địa lý điều hướng (xem [1, 2, 3, 4]) Để giải tốn nói trên, nhiều nhà khoa học đưa phương án cho việc tìm đường ngắn hai điểm dãy mặt tam giác bề mặt khối đa diện (xem [5, 6])
(9)5
Luận văn trình bày lại số thuật tốn tìm đường ngắn đa giác đơn, khối đa diện dãy mặt tam giác không gian ba chiều theo ba chương
Chương 1: Tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn Chương đầu tiên, luận văn trình bày lại số khái niệm lý thuyết đồ thị, giới thiệu khái niệm đa giác đơn, đối ngẫu để từ hình thành khái niệm hình ống tay, hình phễu Bên cạnh đó, luận văn trình bày thuật tốn tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn Lee Preparata (hay cịn gọi thuật tốn "Phễu") năm 1984 [7] đưa ví dụ minh hoạ cho thuật tốn
Chương 2: Tìm đường ngắn bề mặt khối đa diện
Trong chương này, luận văn trình bày lại khái niệm phép lật dãy mặt tam giác lên mặt phẳng, định nghĩa hình chiếu ảnh nguồn lên cạnh, bóng hình chiếu thuật tốn "tìm đường ngắn từ điểm nguồn tới tất đỉnh lại bề mặt khối đa diện" việc sử dụng nguồn sáng bóng Thuật tốn trình bày [10] năm 1990
Chương 3: Tìm đường ngắn hai điểm dãy
mặt tam giác không gian ba chiều Ở chương cuối cùng,
(10)Chương 1
TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN
Trong chương này, luận văn trình bày lại số kiến thức lý thuyết đồ thị, khái niệm đa giác đơn, đối ngẫu, hình ống tay “Phễu” khơng gian hai chiều trình bày tảng để xây dựng thuật tốn tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn có sử dụng kĩ thuật “Phễu”
1.1 ĐA GIÁC ĐƠN
Để giải tốn tìm đường ngắn hai điểm
s t nằm đa giác đơn mà đường ngắn khơng cắt biên đa giác, chúng tơi trình bày lại vài định nghĩa sau:
(11)7
Định nghĩa 1.1.1 [7] Một đường gấp khúc đơn dãy điểm qi
(i = 1,2, , k), tất cặp điểm liền kề qi qi+1 nối
thành đoạn (i = 1,2, , k −1) khơng có hai đoạn khơng liên tiếp cắt (xem hình 1.1)
Khi chuỗi đường gấp khúc đơn vòng trịn khép kín xác định đa giác
Định nghĩa 1.1.2 [7] Một đa giác đơn có n đỉnh P = (q1, q2, , qn)
một chuỗi đa giác với qn+1 = q1, tức qn nối với q1 Một đường chéo
của P đoạn [qi, qj], j 6= i+ khơng cắt cạnh
P P tam giác phân miền chia n−2 tam giác n−3 đường chéo
Hình 1.2 Một đa giác đơn P= (q1, q2, q3, q4, q5, q6)
Hình 1.3 Đa giác đơnP tam giác phân đường chéo[q1, q3],[q3, q6],[q6, q4]
(12)1.2 ĐỒ THỊ, CÂY VÀ CHU TRÌNH, CÂY ĐỐI NGẪU Các khái niệm sau kiến thức sở cho tốn tìm đường ngắn đa giác đơn khối đa diện Ở đây, luận văn trình bày khái niệm liên quan đến đồ thị vơ hướng
Hình 1.4 Minh hoạ đồ thị vô hướng
Định nghĩa 1.2.1 [15] Một đồ thị vô hướng G cặp có thứ tự
G = (V, E), V tập khác rỗng gồm đỉnh, E tập gồm cạnh - cạnh có hai đầu mút tạo hai đỉnh đồ thị vô hướng G
Khi biểu diễn đồ thị vô hướng mặt phẳng ta biểu diễn đỉnh đồ thị đường tròn nhỏ, cạnh lại biểu diễn đường cong nối đỉnh cạnh Ta kí hiệu cạnh e giới hạn hai đầu mút hai đỉnh a b e= [a, b], a b gọi hai đỉnh kề nhau, hai cạnh có chung đỉnh gọi hai cạnh kề Cung dạng [b, b] với b ∈ V gọi khuyên (xem Hình 1.4) Bậc v số đỉnh kề với v
Ví dụ 1.2.1 Cho đồ thị G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e} E =
(13)9
Định nghĩa 1.2.2 [15] Với G = (V, E) đồ thị vô hướng, hành
trình định nghĩa G dãy v0e1v1e2 envn cho với
i = 0,1,2, , n, vi ∈ V i = 1,2, , n, ei cạnh kề đỉnh vi−1
và vi Khi đó, n gọi độ dài, v0 gọi đỉnh đầu, gọi đỉnh cuối
Ta nói rằng, hành trình gọi khép kín đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Một hành trình gọi đường đỉnh hành trình khác Một hành trình khép kín gọi chu trình có độ dài xố đỉnh cuối trở thành đường
Định nghĩa 1.2.3 [15] Một đồ thị G = (V, E) gọi liên thông
hai đỉnh vi vj khác G tồn hành trình vơ hướng G với đỉnh đầu vi đỉnh cuối vj
Định nghĩa 1.2.4 [15] Một đồ thị vô hướng liên thơng khơng có khun,
khơng có chu trình gọi
Hình 1.5 Minh hoạ
(14)Định nghĩa 1.2.5 [7] Cây đối ngẫu đa giác đơn P tam giác phân đồ thị G = (V, E) cho nút V tương ứng với tam giác thuộc đa giác đơn P cạnh E nối hai nút thuộc V hai tam giác có chung đường chéo P
Ví dụ 1.2.2 Xét đa giác đơn P = (q1, q2, , q11) tam giác phân
bởi đường chéo [q2, q3], [q2, q4], [q4, q5],[q5, q6], [q6, q7], [q7, q8], [q8, q9],
[q6, q8] Xác định đối ngẫu đa giác đơn P
Hình 1.6 Đa giác đơn đượcP tam giác phân đường chéo
Hình 1.7 Cây đối ngẫu đường màu đỏ đa giác đơn P
Kí hiệu 4(s) tam giác chứa điểm svà 4(t) tam giác chứa điểm
t, đường ngắn từ điểm s tới t đa giác đơn P π
(15)11
củaP điểm Hay nói cách khác, đường ngắn hai điểm s t đường gấp khúc bổ đề sau làm rõ điều
Bổ đề 1.2.1 [7] Xét đa giác đơn P có n đỉnh tam giác phân
bởi đường chéo, ta kí hiệu di (trong i = 1, , n−3) Cho S tập hợp tất điểm đầu mút đường chéo di (i = 1, , n−3) đường ngắn nhất, tất đỉnh đường ngắn
s t nằm tập S ∪ {s, t}
Do S tập hợp điểm đầu điểm cuối đường chéo nên S tập hợp tất đỉnh đa giác đơn P Vậy để tìm đường ngắn hai điểm s t cần phải tìm đường ngắn từ s tới tất điểm đầu mút đường chéo P
và điểm cuối điểm t Hợp tất đường ngắn tạo thành G với gốc điểm s
1.3 HÌNH ỐNG TAY VÀ HÌNH “PHỄU”
Để tìm đỉnh G = (V, E) không cần phải xét hết tất đỉnh đa giác đơn P mà cần tìm miền thuộc đa giác đơn P chứa đường ngắn hai điểm s t Để xác định hình ống tay hay miền đa giác P cần xác định miền chứa đường ngắn từ s tới t
Định nghĩa 1.3.1 [7] Một đa giác đơn P tam giác phân
gọi hình ống tay đối ngẫu đa giác đơn P đường gấp khúc đơn
(16)Hình 1.8 Hình ống tayP0 miền tơ màu nâu
P có n đỉnh, s điểm thuộc hình ống tay P, di đường chéo P (1≤ n ≤n−3) Chúng ta kí hiệu:
vi(1) vàvi(2) hai điểm đầu mút đường chéodi (với 1≤ i ≤ n−3)
SP(s, vi(j))là đường ngắn từ stới điểm cuối vi(j) với (j = 1,2) nằm đa giác đơn P Theo Bổ đề 1.2.1 tập tất đỉnh mà đường SP(s, vi(j)) qua với (j = 1,2) đỉnh thuộc đa giác đơn P
Gọi v điểm chung SP(s, vi(1)) SP(s, vi(2)) cho v đỉnh xa tính từ s
SPi = SP(s, vi(1))∪ SP(s, vi(2))
(17)13
Định nghĩa 1.3.2 [7] Một miềnRi giới hạn bởiSP(v, vi(1)),SP(v, vi(2)) đường chéo di với (1 ≤ i ≤ n−3) gọi “phễu”, v gọi chóp phễu
Giả sử đường gấp khúc đề cập sau khác rỗng, đóSP(v, vi(j)) với j = 1,2 đường gấp khúc lồi hướng vào Khi đó, có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.1 [7] Nếu SP(v, vi(j)) đường gấp khúc lồi hướng vào
trong có nghĩa mặt lồi hướng vào miền P Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp, phễu
Ri nằm hoàn toàn đa giác đơn P
Xét đường chéo ds, ds+1, , di−1 bị cắt đường gấp khúc
SP(v, vi(1)) SP(v, vi(2)) Rõ ràng, 4vv
(1)
s vs(2) = Rs nằm hoàn toàn đa giác đơn P
Giả sử Ri−1 ⊂ P, miền Ri tạo thành từ miền
Ri−1 hợp thêm với phần toàn tam giác (tam giác chứa
cạnh di) nằm đa giác đơn P Từ đó, suy
Ri ⊂P
Trong trường hợp SP(v, v(ij)) không đường gấp khúc lồi theo bất đẳng thức tam giác (tổng hai cạnh lớn cạnh cịn lại), ta ln tìm đường ngắn từ v tới vi đường ngắn nằm đa giác đơnP Điều trái với giả thiết ban đầu SP(v, vi(j)) đường ngắn từ v tới vi (xem Hình 1.10)
Tính chất lồi SP(v, v(1)i ) SP(v, v(2)i ) bị chia nhánh nhiều đỉnh v, chúng bị chia nhánh đỉnh
u1 lại gặp đỉnh u2 đó, hai đường gấp
khúc tách rời từ u1 tới u2 phải đường gấp khúc lồi Khi đó,
SPi = SP(v, v
(1)
i )∪SP(v, v
(2)
i ), v gọi đỉnh hai đường gấp khúc lồi hướng
(18)Hình 1.10 Hình ảnh minh hoạ cho tính lồi củaSP(s, vi(j))
Để làm rõ ý nghĩa tính lồi trong, hai đường gấp khúc rỗng, tìm hiểu kĩ thuật tốn tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn Lee Preparata phần
1.4 THUẬT TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN
Xuất phát từ đỉnh nguồn s thuật toán sau xây dựng đường SPi = SP(v, v
(1)
i )∪ SP(v, v
(2)
i ) chứa đường biên phễu Ri tới điểm đích (tức vi(2) ≡t), xét toán sau:
Bài tốn: Xét hình ống tay P hai điểm cho trước svà tthuộc hình ống tay P Tìm đường ngắn từ s tới t nằm P
Hình 1.11 Hình ảnh minh hoạ cho bước tổng quát; hình a) uj ∈ uaua−1 u0; hình b) uj ∈
(19)15
Algorithm Thuật toán Lee Preparata
1: Bước khởi tạo: Xây dựngSP1 cách nốisvớiv1(1) vàv(2)1
2: Bước tổng quát: (Xây dựngSPi+1 từSPi)
Xétv đỉnh củaSPi=SP(v, v
(1)
i )∪SP(v, v
(2)
i )
SPi chia làm hai nhánh tạiv
Chúng ta kí hiệu hai nhánh làuaua+1 ub vàuaua−1 u0
Ở v=ua, v
(1)
i =ub, v
(2)
i =u0
Bắt đầu duyệt từ điểmu0, u1, , ub
j số nhỏ cho v(2)i+1uj đường tiếp tuyến biênRi Chúng ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1:j≤a(xem Hình 1.11 a))
– Xoá hết cạnhulul+1 với0≤l≤j−1
– Thêm cạnhujv
(2)
i+1
Trường hợp 2:j > a(xem Hình 1.11 b))
– Xố hết cạnhujul+1 với0≤l≤j−1
– Thêm cạnhujv
(2)
i+1
– MiềnRi+1 nhậnuj đỉnh
3: Bước kết thúc: Sau xây dựng SPn−3, đường chéodn−2 chiaP thành hai miền,
trong hai miền chứa điểm đícht
- Gánvn(2)−2=t
- Áp dụng bước tổng quát cho trường hợp vớii=n−3vàSPn−2=SP(s, v (1)
n−2)∪SP(s, t)
- SP(s, t)⊂SPn−2
Ví dụ 1.4.1 Xét đa giác đơn P với 13 đỉnh, điểm nguồn s
điểm đích t (xem Hình 1.12) Tìm đường ngắn từ s tới t cách sử dụng thuật toán Lee Preparata
(20)Hình 1.13 Đa giác đơnP tam giác phân đường chéo nét đứt
Hình 1.14 Cây đối ngẫu đa giác đơnP đường màu đỏ
Hình 1.15 MiềnP0 màu xanh hình ống tay chứa đường ngắn từ stớit