Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở trong hình học đại số như đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, không gian tiếp xúc và minh hoạ các khái niệm này bằng một số ví dụ.. Tà[r]

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -

Phạm Anh Vinh

ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE VÀ ĐA TẠP SEGRE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -

Phạm Anh Vinh

ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE VÀ ĐA TẠP SEGRE

Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS Đoàn Trung Cường

1

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Đoàn Trung Cường Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan

Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Đồn Trung Cường, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy thuộc phịng Đại số, Viện Tốn học giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Ngồi ra, q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu quý thầy cô, anh chị bạn bè Viện Tốn học Việt Nam

Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn

Đặc biệt, xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè ln sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu

Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên

Mục lục

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục hình vẽ đồ thị

Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Đa tạp đại số

1.2 Không gian tiếp xúc 13

2 Đa tạp cát tuyến tính chất bản 22 2.1 Đa tạp nối đa tạp 22

2.2 Đa tạp cát tuyến thứ s 29

3 Đa tạp Veronese Định lý Alexander-Hirschowitz 39 3.1 Đa tạp Veronese 39

3.2 Định lý Alexander-Hirschowitz 45

4 Đa tạp cát tuyến đa tạp Segre 58 4.1 Đa tạp Segre 58

4.2 Đa tạp cát tuyến đa tạp Segre 64

Kết luận 71

Tài liệu tham khảo 72

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang

1.1 Đường congX = V(x3 −y2) 16

1.2 Đường congY = V(x3−x2−x−1−y) 17 2.1 Hợp nối điểm đường

thẳng trongP2

23

2.2 Đường cát tuyến đường tròn 29

2.3 Đường thẳng cắt đường conic hai điểm

30

3.1 Giuseppe Veronese (1854-1917) 40

3.2 Đường cubic xoắn 43

4.1 Corrado Segre (1863-1924) 59

5

MỞ ĐẦU

Đa tạp cát tuyến chủ đề nhà hình học đại số trường phái Ý nghiên cứu từ kỉ 19 Gần quan tâm nhà hình học đại số đa tạp cát tuyến tăng nhanh Đa tạp cát tuyến có ứng dụng số chun ngành tốn học thống kê đại số, đồng thời có ứng dụng rộng rãi nhiều ngành liên quan trực tiếp đến đời sống khoa học máy tính, sinh học Thơng thường việc tính tốn với đa tạp cát tuyến khó Do đó, nhiều tốn thay cho việc xét đa tạp cát tuyến đa tạp bất kỳ, người ta hạn chế xét đa tạp cát tuyến số đa tạp đặc biệt đa tạp Veronese, đa tạp Grassmannian, đa tạp Segre, đa tạp Segre-Veronese

Đa tạp cát tuyến thứ s đa tạp đại số X ⊂ PN là bao đóng Zariski

của hợp tất khơng gian tuyến tính quas điểm trênX kí hiệu σs(X) Tính tốn số chiều σs(X) câu hỏi

đầu tiên việc nghiên cứu đa tạp cát tuyến Bằng việc xemσs(X)như

hợp nối X với σs−1(X), ta chứng minh dimσs(X) ≤

min (sdimX +s−1, N), giá trị (sdimX +s−1, N) gọi chiều kì vọng củaσs(X) Ta nói đa tạpX làs- khuyết số chiều củaσs(X)

khác với số chiều kì vọng đa tạp Đối với đa tạp Veronese, Alexander Hirschowitz đưa phân loại đa tạp khuyết Trong đó, kết tính tốn số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre đa tạp Segre-Veronese đạt số trường hợp đặc biệt

Mục đích luận văn trình bày lại cách hệ thống số kết chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Veronese đa tạp Segre, đồng thời tính tốn số ví dụ minh hoạ Luận văn chia làm ba chương sau:

Chương 2: Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất hợp nối đa tạp xạ ảnh Trong đó, tính chất liên quan đến khơng gian tiếp xúc đa tạp hợp nối Định lý 2.1.10 xem tính chất quan trọng Trong tiết chương này, chúng tơi trình bày đa tạp cát tuyến, trường hợp đặc biệt đa tạp hợp nối Đồng thời, cuối chương, phát biểu Bổ đề Terracini (Định lý 2.2.11) Đây kết tiếng việc nghiên cứu số chiều đa tạp cát tuyến Từ Bổ đề Terracini, ta dẫn đến hệ quan trọng Mệnh đề 3.2.4 Định lý 4.2.5, cho ta mối quan hệ số chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Veronese đa tạp Segre với giá trị hàm Hilbert lược đồ điểm kép

Chương 3: Trong chương này, chúng tơi trình bày đa tạp Veronese Trong đó, Mệnh đề 3.1.4 cho ta cấu trúc tường minh không gian tiếp xúc đa tạp Veronese Trong tiết hai, phát biểu chứng minh Định lý Alexander - Hirschowitz phân loại đa tạp cát tuyến khuyết (Định lý 3.2.8 Định lý 3.2.9)

Chương 4: Chương dành để trình bày đa tạp cát tuyến đa tạp Serge Kết chương kết chiều đa tạp cát tuyến đa tạp Segre (các định lý 4.2.5, 4.2.13)

CHƯƠNG 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương trình bày số khái niệm sở hình học đại số đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, không gian tiếp xúc minh hoạ khái niệm số ví dụ

Tài liệu tham khảo chương sách [1] [2]

1.1 Đa tạp đại số

Tập không điểm đa thứcf ∈ A := k[x1, , xn]là

V(f) ={P ∈ An|f(P) = 0} ⊆ An

Nếu T tập A, ta định nghĩa tập không điểm T

V(T) ={P ∈ An|f(P) = 0với f ∈ T}

Một tập conY củaAnđược gọi mộttập đại sốnếu tồn tập conT ⊆ A

sao choY = V(T) Những tập đại số thoả mãn tính chất sau

- NếuX, Y hai tập đại số thìX ∪Y tập đại số

- Nếu{Xα}α∈∧ họ tập đại số Tα∈∧Xα tập đại số

- Tập∅vàAn tập đại số

Với tính chất này, lớp tập đại số thoả mãn tiên đề tập đóng tơ pơ khơng gian afinAn, gọi tô pô Zariski Tập mở tô pô phần bù tập đại số

Định nghĩa 1.1.1. Một đa tạp đại số afin (hay đa tạp afin) tập đóng bất khả quy củaAn, nghĩa là, tập khơng hợp hai tập đóng thực

Với tập đa thức T ⊆ A, ký hiệu I iđêan sinh T Khi

V(T) = V(I) Ngược lại, với tập Y ⊆ An, ta định nghĩa iđêan

củaY Abởi

I(Y) = {f ∈ A|f(P) = 0với P ∈ Y}

Mối quan hệ iđêan tập không điểm mô tả Định lý không điểm Hilbert sau

Định lý 1.1.2 (Định lý không điểm Hilbert). [1, Định lý 4.6] Cho iđêan

I ⊂ A Nếu đa thức f ∈ A thỏa mãn f(P) = với mọi P ∈ V(I), thì

fr ∈ I với số nguyên r > 0nào đó.

Định lý khơng điểm Hilbert cho ta mối quan hệ quan trọng đa tạp afin trongAn với iđêan nguyên tố vành đa thứcA Ta thấy rõ điều thơng qua hệ sau

Hệ 1.1.3. Nếu J là iđêan trong A, thì I(V(J)) = J Khi có một tương ứng 1-1 iđêan tập đại số Qua tương ứng này các đa tạp afin tương ứng với iđêan nguyên tố Hơn nữa, iđêan cực đại tương ứng với điểm đóng.

Dưới số ví dụ tập đại số bất khả quy (hay đa tạp afin)

9

(b) Nếuf đa thức bất khả quy k[x, y]thì V(f) bất khả quy Ta gọi đa tạp afinY := V(f)là mộtđường cong phẳng Nếuf có bậcdthì ta nóiY làđường cong bậcd Tổng quát hơn, nếuf đa thức bất khả quy trongA = k[x1, , xn]thì ta nhận đa tạp afin Y = V(f),

được gọi mộtsiêu mặt

(c) XétX tập ma trận cỡ3×3hạng1trên trườngk Khi đó,X đa tạp afin trongA9 Thật vậy, ma trậnP thuộcX có dạng

P =      

x1 x2 x3

x4 x5 x6

x7 x8 x9      

Vì hạng củaP bằng1nên định thức cấp2củaP bằng0, tức

xixj −xkxl = 0với i+j = k+l, i, j, k, l = 1, ,9

Do X = V({xixj −xkxl|i +j = k+ l}) tập đại số Để chứng

minhX bất khả quy, ta xét ánh xạ sau

θ : A3 ×A3 →X,

((a1, a2, a3),(b1, b2, b3)) 7→       a1 a2 a3      

b1 b2 b3

Vì ma trận hạng1 viết thành tích hai véctơ không gian véctơk3 nên ánh xạ θ tồn cấu, hayX = θ(A3 × A3) VìA3 ×A3 ∼= A6 tập bất khả quy với tô pô Zariski nênX tập bất khả quy Vì vậyX đa tạp

Định nghĩa 1.1.5. Số chiều tập đại sốX, kí hiệudim(X), dim(X) := sup{n|tồn dãy Z0 ⊂Z1 ⊂ ⊂ Zn

Định nghĩa 1.1.6. Nếu X ⊆ An là đa tạp đại số vànhk[X] = A/I(X)

được gọi làvành tọa độ củaX

Mệnh đề 1.1.7. [2, Proposition 1.7]Chiều tập đại sốX ⊆ An bằng số

chiều Krull vành tọa độk[X].

Đa tạp xạ ảnh tập không gian xạ ảnh, định nghĩa tương tự đa tạp afin

Định nghĩa 1.1.8. Một điểm P = (a0 : : an) ∈ Pn gọi không

điểmcủa đa thức nhấtf ∈ S := k[x0, , xn]nếu

f(a0, , an) =

Khi ta viếtf(P) =

ĐặtV(f) = {P ∈ Pn|f(P) = 0} Với tập conT ⊂ S gồm đa thức

thuần nhất, đặt

V(T) ={P ∈ Pn|f(P) = với mọif ∈ T}

Các tậpV(T) ⊆ Pn như gọi tập đại số (xạ ảnh).

Tương tự tập đại số không gian afin, tập đại số xạ ảnh thoả mãn tiên đề tập đóng tơ pơ Tơ pô trênPn gọi tô pô Zariski, tập mở phần bù tập đại số

Định nghĩa 1.1.9. Một đa tạp đại số xạ ảnh (hay đa tạp xạ ảnh) tập đại số bất khả quy Pn

Tương tự với trường hợp afin, số chiều tập đại số xạ ảnh độ dài lớn dãy tập đóng bất khả quy lồng tập đại số

Với tập conX ⊂ Pn, xét iđêanI(X)sinh đa thức nhất

11

IđêanI(X)là gọi iđêan định nghĩa củaX Ta định nghĩa vành tọa độ củaX A(X) = S/I(X) Tương tự trường hợp afin, ta có định lý khơng điểm xạ ảnh sau

Định lý 1.1.10 (Định lý không điểm Hilbert xạ ảnh). Cho iđêan thuần nhất I ⊆ S := k[x0, , xn] Nếu đa thức nhất f ∈ S thỏa mãn

f(P) = 0với mọiP ∈ V(I)trongPn, thìfr ∈ I với số nguyên r > 0nào đó.

Định nghĩa 1.1.11. Giả sử X đa tạp Pn Xét ánh xạ

θ : An+1\ {(0, ,0)} → Pn,

(a0, , an) 7→[a0 : : an]

Khi ta định nghĩanón afincủaX

C(X) = θ−1(X)∪ {(0, ,0)}

Nón afinC(X)là tập khơng điểm khơng gian afinAn+1 iđêanI(X), đa tạp afin

Tiếp theo, nhắc lại khái niệm hàm quy đa tạp ánh xạ quy (cấu xạ) đa tạp

Giả sử X đa tạp afin xạ ảnh Chú ý X có tơ pơ Zariski cảm sinh từ khơng gian afin không gian xạ ảnh chứaX

Định nghĩa 1.1.12. Một hàm f : X → k quy điểm P ∈ X tồn lân cận mở U điểm P đa thức g, h ∈ S =

k[x0, , xn], có bậc, cho với điểm Q = (a0 : : an) ∈ U,

h(a0, , an) 6= f(a0, , an) = g(a0, , an)/h(a0, , an) Ta nói f

là quy trênX quy điểm thuộcX

Nếu hàm f : X → k quy Q = (a0 : : an) ∈ X giá trị

phụ thuộc việc chọn toạ độ xạ ảnh (a0 : a1 : : an) Q, ta ký hiệu

f(Q) := f(a0, , an)

Ký hiệu O(X) tập hợp tất hàm quy X Với phép cộng nhân thông thường, O(X) vành Nếu P điểm X, ta định nghĩa vành địa phương củaP trênX, kí hiệu làOX,P, tập hợp gồm mầm

hàm vành quy X điểm P Nói cách khác, phần tử củaOX,P bộ< U, f > đóU tập mở củaX chứa P, f

là hàm quy U ta đồng hai cặp < U, f > < V, g >

nếuf = g giaoU ∩V Tập hợp OX,P thực vành địa phương với

iđêan cực đại gồm hàm triệt tiêu tạiP

Tập hợp K(X) = ∪P∈XOX,P ta đồng < U, f >=< V, g >

nếu f = g giao U ∩ V Với phép cộng nhân mầm hàm, tập

K(X)là trường gọi trường hàm đa tạpX Các phần tử

K(X)được gọi hàm hữu tỷ trênX

Định nghĩa 1.1.13. Cho X, Y hai đa tạp xạ ảnh (hoặc X, Y hai đa tạp afin) Một cấu xạ ϕ : X → Y ánh xạ liên tục tô pô Zariski cho với tập mở V ⊆ Y với hàm quy f : V → k, hàm

f ◦ϕ :ϕ−1(V) → k quy

Hợp hai cấu xạ cấu xạ Đặc biệt, cấu xạ ϕ : X → Y

là đẳng cấu hai đa tạp có cấu xạ ngược ψ : Y → X với

ψ◦ϕ= idX vàϕ◦ψ = idY

Định nghĩa 1.1.14. Cho X, Y đa tạp xạ ảnh đa tạp afin Một ánh xạ hữu tỷ ϕtừ X vàoY lớp tương đương gồm cặp< U, ϕU >, với

U tập mở khác rỗng củaX ϕU cấu xạ từU vàoY, hai cặp

< U, ϕU >và < V, ϕV > tương đương nếuϕU = ϕV trênU ∩V, ta

kí hiệuϕ :X 99K Y Hơn ánh xạ hữu tỷϕđược gọi làtrộinếu với cặp

13

Khác với cấu xạ hai đa tạp, hợp hai ánh xạ hữu tỷ chưa ánh xạ hữu tỷ Tuy nhiên hai ánh xạ hữu tỷ trội hợp chúng ánh xạ hữu tỷ Vì thường quan tâm đến ánh xạ hữu tỷ trội hai đa tạp Khi ta có khái niệm sau

Định nghĩa 1.1.15. Một ánh xạ hữu tỷ trội ϕ : X 99K Y gọi ánh xạ song hữu tỷ tồn ánh xạ hữu tỷ trội ψ : Y 99K X cho

ψ◦ϕ :X 99K X ϕ◦ψ : Y 99K Y ánh xạ đồng tập mở, trù mật củaX Y Nếu tồn ánh xạ song hữu tỷ từX vàoY ta nói hai đa tạpX vàY tương đương song hữu tỷ

1.2 Không gian tiếp xúc

Không gian tiếp xúc đối tượng quan trọng để tìm hiểu tính chất hình học đa tạp Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất khơng gian tiếp xúc đa tạp Tài liệu tham khảo mục sách [3]

Trước hết ta xét X siêu mặt không gian afinAn, tức

X = V(f) = {(x1, , xn) ∈ An|f(x1, , xn) = 0},

trong đóf ∈ k[x1, , xn]là đa thức bất khả quy

Định nghĩa 1.2.1. Cho P = (a1, , an) ∈ X Không gian tiếp xúc với siêu

mặtX điểmP xác định

TPX =

(

(x1 , xn) ∈ An| n

X

i=1

∂f ∂xi

(P)(xi −ai) =

)

TậpTPX tập tuyến tính khơng gian afin An vàP ∈ TPX

Định nghĩa 1.2.2. Điểm P ∈ X trơn (hay quy) ∂x∂f

Từ định nghĩa ta thấy

• P điểm trơn X khiTPX siêu phẳng afin

• P điểm kì dị X khiTPX = An

• Xsmooth = X \Xsing

Định nghĩa 1.2.3. Cho X đa tạp An Ta nói điểm tổng quát

củaX thỏa mãn tính chất Pnào tập điểm S thỏa mãn tính chất Pchứa tập mở, trù mật trongAn

Tiếp theo ta điểm tổng quát siêu mặt afin điểm trơn

Mệnh đề 1.2.4. Giả sử X = V(f) là siêu mặt afin trong An Khi tập

Xsmooth là mở trù mật trongX.

Chứng minh. Ta có tập Xsing := X \Xsmoothđược cho

Xsing = V

f, ∂f ∂x1

, , ∂f ∂xn

⊂ An

Rõ ràngXsing tập đóng nênXsmooth mở VìX tâp bất khả quy

nên để chứng minhXsmoothlà trù mật, ta cần chứng minhXsmooth 6= ∅, hay

Xsing 6= X Giả sửXsing = X,

∂f ∂xi

(P) = 0với P ∈ X với i = 1, , n

Theo Định lý không điểm Hilbert 1.1.2, ∂f

∂xi

∈ (f) với i = 1, , n Vì

deg

∂f ∂xi

< deg(f)nên suy ∂f

∂xi

= 0với mọii = , n

Nếu char(k) = thìf đa thức hằng, mâu thuẫn với giả thiếtf đa thức bất khả quy Giả sửchar(k) = p > Vì ∂f

∂xi

= với i = , nnên f

là đa thức theoxp1, , xpn, nói cách khác

f(x1, , xn) =

X

j=(j1, ,jn)

αj(x p

1)

j1 .(xp

15

Vìk trường đóng đại số nên tồn sốβj ∈ k choβjp = αj với

j = (j1 , jn) Do đó, ta có

f(x1, , xn) =

X

j=(j1, ,jn)

βjp(xp1)j1 .(xp

n) jn =   X

j=(j1, ,jn)

βjx j1

1 x

jn n   p ,

nên f không đa thức bất khả quy, trái với giả thiết ban đầu Tóm lại, tập

Xsmooth không rỗng

Bây ta định nghĩa không gian tiếp xúc đa tạp afin Trước hết, với đa thứcf ∈ k[x1, , xn]và điểmP = (a1, , an) ∈

An, thành phần tuyến tính củaf tạiP

fP(1) :=

n

X

i=1

∂f ∂xi

(P)(xi −ai)

Định nghĩa 1.2.5. Không gian tiếp xúc đa tạp afin X ⊆ An tại điểm

P ∈ X tập hợp

TPX :=

\

f∈I(X)

V(fP(1)) ⊆ An

Ví dụ 1.2.6. Xét đường congX = V(x3−y2) ⊂A2 và điểmP = (1,1) ∈ X. Ta đặtf(x, y) := x3 −y2 ∈ k[x, y] Ta có

     ∂f

∂x = 3x

2,

∂f

∂y = −2y

Khi đó, theo Định nghĩa 1.2.5, ta có

TPX = V (3.12)(x−1) + (−2.1)(y −1)

Hình 1.1: Đường congX =V(x3−y2)

Mặt khác, ta xét gốc tọa độO = (0,0)thì

∂f

∂x(0,0) = ∂f

∂y(0,0) =

Không gian tiếp xúc củaX gốc O làTOX = A2

Ví dụ 1.2.7. Xét đường cong Y = V(x3 − x2 − x − − y) ⊂ A2 Ta đặt

g(x, y) := x3 −x2 −x−1−y ∈ k[x, y] Ta có 

 

 

∂g

∂x = 3x

2 −2x−1,

∂g

∂y = −1

Như ∂g

∂y(P) = −16= 0với điểmP ∈ Y Do điểm trongY

17

Hình 1.2: Đường congY =V(x3−x2−x−1−y)

Ta có mối liên hệ số chiều không gian tiếp xúc đa tạp affineX với chiều Krull đa tạp affineX sau

Mệnh đề 1.2.8. [3, Definition 3.6, Corollary 3.24]Ta có khẳng định sau

dimX = min{dimTPX|P ∈ X}

Từ mệnh đề trên, ta thấy rằngdimX ≤ dimTPX với mọiP ∈ X

Mệnh đề 1.2.9. Hàm X → N, P 7→ dimTPX là hàm nửa liên tục trên

trong tơpơ Zariski, tức với mọir ∈ N thì tập

Sr(X) := {P ∈ X|dimTPX ≥ r}

là đóng.

Chứng minh. Giả sử I(X) = (g1, , gm) Khi ta có

TPX = m

\

i=1

V(fP(1)) ⊂An

Ta có

dimTPX = n−rank

∂gi

∂xj

(P)

m×n

và

P ∈ Sr(X)nếu rank

∂gi

∂xj

(P)

m×n

≤ n−r

Điều tương đương với định thức cỡ(n−r+ 1)×(n−r+ 1)của ma trận

∂gi

∂xj(P)

m×n bằng0 Do đóSr(X)là tập đóng

Mệnh đề 1.2.10. Cho đa tạp afin X ⊆ An Tồn tập mở, trù mật

X0 ⊆X sao cho

dimTPX = dimX với mọiP ∈ X0

Chứng minh. Ký hiệu r = dimX Khi theo Mệnh đề 1.2.8, ta cóSr(X) =

X Sr+1(X) 6= X VìSr+1(X) đóng nên ta lấy X0 := X \Sr+1(X) Ta thấy X0 mở khác rỗng X0 = ∅ dimTPX 6= r với

P ∈ X, điều mâu thuẫn với giả thiếtdimX = r TậpX0 thỏa mãn yêu cầu mệnh đề

Bây ta đưa định nghĩa điểm trơn điểm kì dị đa tạp afinX sau

Định nghĩa 1.2.11. Một điểm P ∈ X gọi điểm trơn X dimTPX = dimX Ngược lại,P gọi điểm kì dị củaV

Nếu X = V(f) siêu mặt An định nghĩa tương đương với Định nghĩa 1.2.2 Thật vậy, ta có

∂f ∂xi

(P) 6= 0với inào đó,

tương đương với

rank

∂f ∂xi

(P)

1×n

=

Do

dimTPX = n−rank

∂f ∂xi

(P)

1×n