ChÝnh sù lan truyÒn cña c¸c phonon ©m ngoµi vµo b¸n dÉn lµm gia t¨ng chuyÓn ®éng cña c¸c ®iÖn tö dÉn trong vËt liÖu lµm xuÊt hiÖn mét dßng ©m-®iÖn... Schlapp, “Surface acoustic wave [r]
(1)HIệU ứNG ÂM-ĐIệN LƯợNG Tử PHI TUYếN TRONG DÂY LƯợNG Tử HìNH Trụ
VớI Hố THế CAO VÔ HạN
NGUYễN VĂN NGHĩA*, NGUYễN Vũ NHÂN**, NGUYễN QUANG BáU***, ĐINH QUốC VƯƠNG***
Tóm tắt: Hiệu ứng âm-điện lượng tử phi tuyến dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn nghiên cứu lý thuyết sở phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử tương tác với sóng âm (phonon trong) sóng âm ngồi (phonon ngồi) Đã nhận biểu thức giải tích cho dịng âm-điện phi tuyến dây lượng tử hình trụ với hố cao vô hạn Đã phụ thuộc biểu thức dòng âm-điện vào nhiệt độ hệ, vào số sóng âm, tần số sóng âm ngồi tham số dây lượng tử hình trụ Kết nhận dòng âm-điện bước đầu đánh giá số, khảo sát đồ thị bàn dây hình lượng tử trụ GaAs/AlAs Kết khảo sát so sánh với kết tương ứng bán dẫn khối giếng lượng tử để thấy rõ khác biệt
Tõ khãa: VËt lý b¸n dÉn, vËt lý b¸n dÉn cÊu tróc nano, vËt lý b¸n dÉn thÊp chiỊu
1 ĐặT VấN Đề
Trong nhng thp niờn gn đây, nhà nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm quan tâm nhiều tới màng mỏng vật liệu bán dẫn thấp chiều [1-2] hố lượng tử (quantum wells), siêu mạng (superlattices) dây lượng tử (quantum wires) chấm lượng tử (quantum dots) Các kết nghiên cứu cho thấy hứa hẹn xuất công nghệ vật liệu, thiết bị điện tử hệ Trong cấu trúc thấp chiều đó, dây lượng tử thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu
Tương tác sóng âm với bán dẫn thấp chiều nói chung hay dây lượng tử nói riêng đặc biệt quan tâm Chính lan truyền phonon âm vào bán dẫn làm gia tăng chuyển động điện tử dẫn vật liệu làm xuất dòng âm-điện Đối với dây lượng tử xuất hiệu ứng âm-điện dọc, hay dịng điện khơng đổi chạy dọc mẫu (dây lượng tử) ngược chiều với sóng âm Một số cơng trình lý thuyết hiệu ứng âm-điện nghiên cứu bán dẫn khối, bán dẫn mẫu Kane bán dẫn lưỡng cực [3-5] Gần đây, toán hiệu ứng âm-điện bán dẫn thấp chiều bắt đầu quan tâm nghiên cứu hố lượng tử [6], siêu mạng pha tạp [7, 8] dây lượng tử hình trụ [9] Ngoài nhà thực nghiệm đo đạc hiệu ứng phương pháp thực nghiệm dây dẫn lượng tử [10], ống nano cacbon [11], giếng lượng tử InGaAs [12] Tuy nhiên, tốn hiệu ứng âm-điện dây lượng hình trụ cịn bỏ ngỏ Vì vậy, chúng tơi quan tâm nghiên cứu hiệu ứng âm-điện lượng tử phi tuyến dây lượng tử hình trụ với hố cao vơ hạn sở phương pháp phương trình động lượng tử
(2)hố lượng tử [12,13] để lm rừ s khỏc bit
2 HIệU ứNG ÂM-ĐIệN LƯợNG Tử TRONG DÂY LƯợNG Tử HìNH TRụ
2.1.Hm sóng phổ lượng dây lượng tử hình trụ với hố cao vô hạn Xét dây lượng tử hình trụ với hố cao vơ hạn, giả thiết 0z phương điện tử chuyển động tự bị giam cầm theo hai phương lại 0x 0y Hàm riêng phổ lượng điện tử dây lượng tử hình trụ bán kính R với hố cao vơ hạn viết dạng:
exp ( ) exp ) ( , ,
, z r
p i in
L R
r z nl
p l n
(r < R) (1)
* 2
2 , * 2 ,
2 m R
B m
p
p z nN
z l n (2)
trong m* khối lượng hiệu dụng điện tử; l = 1,2,3, là số lượng tử xuyên tâm,
n = 0, 1, 2, là số lượng tử góc phương vị; R là bán kính dây lượng tử; L chiều
dài dây lượng tử; p= (0,0,pz) véc tơ động lượng điện tử dọc theo trục z
R r B J B J
r n nl
l n n l n , , , ) ( ) (
hàm sóng xuyên tâm điện tử chuyển động mặt phẳng (Oxy), với Bn,l nghiệm thứ l của hàm Bessel cấp n
2.2 Phương trình động lượng tử dây lượng tử hình trụ có mặt sóng âm Chúng ta giả sử sóng âm bên ngồi có tần số q truyền dọc theo dây lượng tử hình trụ với hố vơ hạn Chúng xét trường hợp thực tế từ điểm thực nghiệm nhiệt độ thấp, q / s q /1và ql >> 1, tần số dao động điện tử, vs vận tốc sóng âm, q số sóng âm l quãng đường tự trung bình điện tử Giả thiết sóng âm ngồi bó sóng phonon, xuất phát từ Hamiltonian tương tác hệ điện tử-phonon phonon ngồi dây lượng tử hình trụ lượng tử hóa lần thứ hai (thứ cấp) viết dạng sau:
q l n l n q q p l n q p l n l n l n q k k k k k l n l n k k p l n k p l n k l n l n p l n p l n p l n z l n t i b a a U C b b b b a a C I a a p H z z z z z z z ,' ,' , , ,' ,' ,' ,' ' ,' , ,' ,' , , ,' ,' ,' ,' ' ,' , , , , , , , , ) exp( ) ( ' ' (3)
ở đây, C k vsSL
k / 2 thừa số tương tác điện tử-phonon âm trong; mật
độ khối lượng bán dẫn; số dạng; Cq i vl q/2FS
2
lµ thõa sè
tương tác điện tử-phonon âm ngoài, với F q1 l /2t l/t 21 t /2t 2 , / 2 ) / ( s l
l v v
, 2 1/2
) / ( s t
t v v
S = LxLy thiết diện dây lượng tử hình trụ;
vl (vt) lµ vËn tèc däc (ngang) cđa sãng ©m;
z p N n a ,
, (anN pz ,
, ) toán tử sinh (hủy) cđa ®iƯn
tư; bk (
k
b) toán tử sinh (hủy) phonon âm trong;
q
b toán tử hủy phonon ©m
ngồi; q véctơ sóng phonon ngồi; n,k n',kq trạng thái tương tác trước (sau)
cđa ®iƯn tư;
R l n l n l l n l
n r r iq r dr
L k
U * ,
' ,' '
,'
, ( ) ( )exp
) exp(
2
(3)U = exp(iqy - klz); kl = (q
– (ïq/vl)
)1/2 thừa số tắt dần theo không gian vùng điện trường thay đổi;
R l n l n n n l n l
n J q R r r rdr
R I , * ' ,' '| | ' ,' , ( ) ( ) ( )
2
thừa số dạng điện tử q véc tơ sóng mặt phẳng (Oxy)
Để thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử có mặt sóng siêu âm, sử dụng phương trình chuyển động cho giá trị trung bình thống kê điện tử
t p l n p l n H t f t t f i z z ), ( ) ( , , , ,
, kí hiệu
t
X có ý nghĩa trung bình nhiệt động lực học tốn tử X thơng thường
t p l n p l n p l
n z t a za z
f
, , , , , , ( )
toán tử số hạt hay hàm phân bố ®iƯn tư
Sử dụng Hamiltonian phương trình (3) thực tính tốn, nhận phương trình động lượng tử cho điện tử dây lượng tử có mặt sóng siêu âm ngồi viết dạng sau:
2 , , , , ', ' , , ', ', ', ', ( ) z z z
n l p
q n l n l q n l p n l p q n l q
f t
C I N f f
t
n l p', ', z q n l p, , z q fn l p, , z fn l p', ', z q n l p', ', z q n l p, , z q
fn l p', ', zq fn l p, , z n l p, , z n l p', ', 'zq q
fn l p', ', zq fn l p, , z n l p, , z n l p', ', 'zq q
2 , , ', ' , , , ,
2 ', ', ', ',
', ',
z z z z
k n l n l k n l p n l p k n l p k n l p q k
n l k
C U N f f
fn l p', ', zq fn l p, , z n l p, , z n l p', ', zq q k
(4)
ở đây, Nq (Nk) số hạt phonon (phonon trong) hàm delta Kronecker 2.3 Dòng âm-điện lượng tử phi tuyến dây lượng tử hình trụ với hố cao vơ
h¹n
Để giải phương trình động lượng tử (4) thuận lợi, thay fn,l,p fF + f(t), với fF hàm Fermi cân f(t) hàm có dạng:
z z z z z z 2 2 n',l'
q n ,l q n ,l ,p n',l', p q n',l' z n ,l z q 2
n',l',q
n ,l ,p n',l', p q n',l' z n ,l z q 2
2 n',l'
k n ,l k n ,l ,p
2 n',l', p k
n',l',k
2
f ( t ) C I N f f ( p q ) ( p )
f f ( p q ) ( p )
C U N f f
z z
n',l' z n ,l z q k
n ,l ,p n',l' z n ,l z q k n',l', p k
( p k ) ( p )
f f ( p k ) ( p )
(4)Mật độ dịng âm-điệncó biểu thức chung:
l n
z
p f t dp
v e j
z ,
2
(6)
ở đây, thời gian hồi phục xung lượng; vpz vận tốc dịch chuyển trung bình điện tích dịch chuyển tính cơng thức vp nl pz pz
z
, ( )/
Thay phương trình (5) vào phương trình (6) với giả thiết chế tán xạ điện tử-phonon âm trong, kết tính thu biểu thức giải tích cho dịng âm-điện dây lượng tử hình trụ với hố cao vơ hạn có dạng:
F
2 3 2
2
0 n',l' 2
n ,l n ,l
5
n ,l ,n',l'
s q
3 3
3 2 1 0
e f 2m
j e I exp B
2 v m 2m
2m
e K ( ) 3K ( ) 3K ( ) K ( )
F
3 3
3 2 1 0
2 4 2 2 3 / 2 2
2
l q 0 n',l' 2
n ,l n ,l
6
n ,l ,n',l' s
5 / 2
5 3 1 1
2 2 2 2
2m
e K ( ) 3K ( ) 3K ( ) K ( )
e v f W 4m
e U exp B
FSv 2m
e K ( ) 3K ( ) 3K ( ) K ( )
5 / 2
5 3 1 1
2 2 2 2
e K ( ) 3K ( ) 3K ( ) K ( )
(7)
ở đây,
q
l n l n
m R
B B
m
2
2 ,
' ,'
2
) (
2
;
2
k
với = 1/kBT; kB số Boltzmann; T nhiệt độ hệ; F lượng Fermi Kn(x) hàm Bessel loại
Biểu thức (7) biểu thức giải tích dịng âm-điện dây lượng tử hình trụ với hố cao vô hạn Như vậy, từ phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử, thu biểu thức giải tích dịng âm-điện dây lượng tử hình trụ với hố cao vô hạn Biểu thức (7) cho thấy phụ thuộc dòng âm-điện vào nhiệt độ T
của hệ, vào số sóng, tần số sóng âm ngồi bán kính dây lượng tử hình trụ với hố cao vô hạn phi tuyến Những kết hoàn toàn khác biệt so với kết thu tính tốn dịng âm-điện bán dẫn khối [4] hố lượng tử [12,13] 2.4 Kết khảo sát số thảo luận
(5)vt = 18.10 2ms-1; v
s = 5370ms
-1; =13,5eV; q
= 1,46.109 s-1; e = 2,07e 0; m
* = 0,067m e (me khối lượng electron tự do) n=0,±1; n’=0,±1; l=1; l’=1
Đồ thị biểu diễn hình biểu diễn phụ thuộc dịng âm-điện vào nhiệt độ T
của hệ ứng với giá trị khác số sóng: q = 2.108 m-1, q = 3,1.108 m-1 q = 4,2.108 m-1 Nhận thấy từ đồ thị, ứng với giá trị số sóng q khác đường biểu diễn dịng điện khác Cụ thể, giá trị số sóng lớn đồ thị biểu diễn dịng âm-điện mở rộng phía Tuy nhiên, dáng điệu có đặc điểm chung trị số dòng âm-điện giảm nhanh nhiệt độ hệ tăng vùng nhiệt độ thấp trị số tăng nhiệt độ hệ tăng lên vùng nhiệt độ cao Giá trị dòng âm-điện đạt xấp xỉ số nhiệt độ dao động miền nhiệt độ từ 40K đến 70K Khi so sánh kết với kết thu hố lượng tử [12,13] bán dẫn khối [4] cho thấy dịng âm-điện có dạng phi tuyến phụ thuộc hay dáng điệu đường cong biểu diễn hoàn ton khỏc bit
Đồ thị biểu diễn hình 2, biểu diễn phụ thuộc dòng âm-điện vào b¸n kÝnh R
của dây lượng tử ứng với giá trị nhiệt độ khác nhau: T = 200K, T = 130K T = 100K Đồ thị cho thấy ứng với giá trị T đường cong biểu diễn khác Kết cho thấy đường biểu diễn tồn vùng cộng hưởng hay dịng âm-điện có giá trị cực đại ứng với giá trị R=rđ xác định Nhận thấy đỉnh cực đại dịch chuyển ứng với giá trị khác nhiệt độ T Cụ thể nhiệt độ T tăng lên, đỉnh cực đại đồ thị dịch chuyển bên phải theo chiều tăng bán kính dây lượng tử Để làm rõ phụ thuộc dịng âm-điện vào bán kính dây, xem xét bán kính dây miền giá trị khác Nhận thấy, miền bán kính R<rđ dịng âm-điện tăng nhanh theo trị số bán kính dây Còn miền R>rđ dòng âm-điện suy giảm chậm bán kính dây tăng lên Nếu tiếp tục tăng bán kính R lên cỡ micromet phụ thuộc trở thành tuyến tính hay khơng cịn cấu trúc dây lượng tử
H×nh Sù phụ thuộc dòng âm-điện
vo nhit T ca hng vi
các giá trị số sóng khác nhau.
Hình Sự phụ thuộc dòng âm-điện vào bán kính ứng với giá trÞ
nhiệt độ khác nhau.
(6)3 cho thấy vị trí đỉnh cực đại khơng bị dịch chuyển số sóng q thay đổi mà khác biên độ, đồ thị hình đỉnh cực đại dịch chuyển vị trí có biên độ thay đổi ứng với giá trị khác nhiệt độ T
Hình Sự phụ thuộc dòng âm-điện vào bán kính ứng với giá trị
sè sãng q kh¸c nhau.
Hình Sự phụ thuộc dòng âm-điện vào chiều dài dây dẫn ứng với giá trị nhiệt độ
kh¸c nhau.
Đồ thị biểu diễn hình biểu diễn phụ thuộc dòng âm-điện vào chiều dài L
của dây lượng tử ta xét số sóng q = 2.2.107 m-1, bán kính R = 3,6.10-9 m ứng với nhiệt độ: T = 100K, T = 160K T = 170K Đồ thị cho thấy, ứng với giá trị nhiệt độ T
xác định, đồ thị biểu diễn khác Cụ thể, nhiệt độ cao, đường cong đồ thị biểu diễn bị dịch chuyển bên phải theo chiều tăng độ dài L dây lượng tử Trong miền L
có giá trị nhỏ dịng âm-điện giảm nhanh L > 1,7.10-7 m cường độ dòng âm-điện có giá trị gần khơng đổi
Đồ thị biểu diễn hình biểu diễn phụ thuộc dịng âm-điện vào bán kính dây lượng tử nhiệt độ hệ ứng với chiều dài dây lượng tử L = 90.10-9 m số sóng q = 3,2.108 m-1 Từ đồ thị nhận thấy, dòng âm-điện đạt giá trị cực đại nhiệt độ bán kính dây xác định tương ứng rđ Tđ Trong miền R < rđ T < Tđ dòng âm-điện tăng nhanh, miền R > rđ T > Tđ dòng âm-điện bắt đầu suy giảm
(7)3 KÕT LUËN
Trong báo này, sở phương pháp phương trình động lượng tử xuất phát từ Halmiltonian hệ điện tử-phonon âm dây lượng tử hình trụ với hố cao vơ hạn, trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm coi trội nhận được: Phương trình động lượng tử dây lượng hình trụ có mặt sóng âm ngồi, nhận biểu thức giải tích hàm phân bố điện tử biểu thức giải tích dịng âm-điện dây lượng tử hình trụ kể Kết dịng âm-điện khơng phụ thuộc phi tuyến vào thông số đặc trưng dây lượng tử hình trụ chiều dài dây L và bán kính dây R mà cịn phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ T hệ, số sóng q tần số sóng âm ngồi
Kết lý thuyết nhận cho hiệu ứng âm-điện lượng tử phi tuyến dây lượng tử hình trụ với hố cao vơ hạn bước đầu tính số, vẽ đồ thị bàn luận dây lượng tử GaAs/AlAs Kết tính số đồ thị biểu diễn cho thấy dòng âm-điện phụ thuộc phi tuyến mạnh vào tham số nhiệt độ T, bán kính chiều dài dây lượng tử dịng âm-điện có giá trị cực đại (đỉnh cực đại) Khi bán kính dây lượng tử hình trụ có kích thước vào cỡ 10-6m kết trở lại kết dòng âm-điện bán dẫn khối [4] Sự phụ thuộc dòng âm-điện vào chiều dài dây lượng tử giảm nhanh vùng L có giá trị nhỏ, L > 1,7.10-7 m giá trị dịng âm-điện gần khơng đổi Theo nhiệt độ T, dòng âm-điện giảm đáng kể vùng nhiệt độ thấp lại tăng mạnh vùng nhiệt độ cao Tuy nhiên miền nhiệt độ từ 40K đến 70K dịng âm-điện có giá trị gần khơng đổi Các kết hồn toàn khác biệt so với kết thu bán dẫn khối [4] hố lượng tử [12, 13] dây lượng tử thuộc cấu trúc hệ chiều hố lượng tử thuộc cấu trúc hệ hai chiều bán dận khối có cấu trúc ba chiều
Lời cám ơn: Nghiên cứu hồn thành với giúp đỡ tài từ đề tài nghiên cứu cấp Đại học Quốc gia Hà Nội (mã số QG.TD.12.01)
TµI LIƯU THAM KH¶O
[1] A Wixforth, M Wassermeier, J Scriba, J P Kotthaus, G Weimann, and W Schlapp, “Surface acoustic wave on GaAs-AlGaAs heterostructures”, Phys Rev., B40 (1989), p.7874
[2] I L Drichko, A M D’Yakonov, A M Kreshchuk, et al., “Electron localization in sound absorption oscillations in the quantum hall effect regime”, Sov Phys Sol State., 31 (1997), pp.451-458
[3] V.V Afonin, Y.M Galperin, “Acoustoelectric effect and phonon-drag electron thermoelectric-power under weak localization conditions” Semiconductor., B27, No.1 (1993), pp.61-65
[4] E M Epshtein, Y V Gulyaev, “Acoustomagnetoelectric effect in conductors with monopolar condutivity”, Sov Phys Sol State., B9, No.2(1967), pp.288-293
[5] Y M Galperin, O Entin-Wohlman, Y Levinson, “Quantized acoustoelectric current in a finite-length ballistic quantum channel: The nose spetrum ”, Phys Rev., B63
(2001), pp.153309-153313
[6] R H Parmenter, “The acousto-electric effect”, Phys Rev., B89 (1953), pp.990-998 [7] S Y Mensah, F.K.A Allotey, N.G Mensah, H Akrobotu, G Nkrumah, “The
influence of external electric field on acoustoelectric effect in a superlattice”, J Phys Superlatt Micros., B37 (2005), pp.87-97