Nhận thấy : Phƣơng trình 1 và phƣơng trình 1’ đều không thể có hai nghiệm trái dấu Do các hệ số a , c cùng dấu Để phƣơng trình * có 3 nghiệm phân biệt thì : Không thể xẩy ra các trườ[r]
(1)TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 ************************************************************ MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI PT, HỆ PT MŨ VÀ LOGARIT Bài số : a/ Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ : Đặt: Ta có (I) Nhân hai phƣơng trình hệ ( I ) vế theo vế , đƣợc: 3(3x+2y)(3x-2y) = Kết hợp (1) với (*) Ta có 15 = Do đó t = 1Thế vào hệ ( I ) đƣợc hpt : (*) Thỏa mãn điều kiện đã nêu Nên đây là nghiệm hệ phƣơng trình Lời giải 2: Điều kiện Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ : Nhân hai vế phƣơng trình (2) với dƣơng a và b ) Ta đƣợc : và áp dụng = (Với a,b,c ( Vì từ pt (1) suy 3x-2y = ) 3x+2y = Kết hợp với phƣơng trình (1) Ta đƣợc hệ phƣơng trình : mãn điều kiện đã nêu Nên đây là nghiệm hệ phƣơng trình đã cho b/ Giải hệ phương trình : Lời giải : Điều kiện Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với : Lop12.net Thỏa (2’) (2) TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 Thỏa mãn điều kiện là nghiệm hệ phƣơng trình đã cho Nên Bài số : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện xy = Phƣơng trình (1) trở thành : t = ( Loại t = - ) Nhƣ vậy: =2 Do đó Suy ra: - = Đặt t = - = Ta có t2 – t – = (1’) =1 Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình -Hệ (II) có hai nghiệm : Cả hai nghiệm này thỏa mãn và điều kiện xy Nên đây là hai nghiệm hệ phƣơng trình đã cho Bài số : Tìm giá trị tham số m để phương trình sau đây có nghiệm phân biệt : - 2mx + m2 = – x2 Lời giải : Viết phƣơng trình thành : = = (x – m)2 (*) - (x – m)2 = (Chú ý : = Bài toán trở thành :Tìm giá trị m để phƣơng trình (*) có nghiệm phân biệt -Viết phƣơng trình (*) thành : = Lop12.net ) (3) TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 (Đặt t = x – 1) Nhận thấy : Phƣơng trình ( ) và phƣơng trình ( 1’) không thể có hai nghiệm trái dấu (Do các hệ số a , c cùng dấu ) Để phƣơng trình (*) có nghiệm phân biệt thì : Không thể xẩy các trường hợp : *- Trong hai pt (1) và (1’) : phương trình có hai nghiệm cùng dấu – nghiệm thỏa mãn điều kiện ; Phương trình có hai nghiệm trái dấu – nghiệm thỏa mãn điều kiện và nghiệm bị loại **- Hai phương trình (1) và (1’) có hai nghiệm phân biệt , đồng thời chúng có nghiệm chung Do mà phƣơng trình (*) có nghiệm phân biệt trƣờng hợp sau xẩy ra: -Trường hợp 1: pt (1) có hai nghiệm dƣơng phân biệt ,đồng thời pt ( 1’) có nghiệm kép t0 Điều này xẩy m = -Trường hợp 2: pt (1) có nghiệm kép dƣơng , đồng thời phƣơng trình (1’) có nghiệm âm phân biệt Điều này xẩy m = Trả lời :Có hai giá trị m để phƣơng trình đã cho có nghiệm phân biệt là m1 = và m2 = (Bài kiểm tra Học Kỳ I năm học 2009-2010 Lớp 12 CB Trƣờng THPT Tân kỳ I Tỉnh Nghệ an – Thầy Đặng Hữu Trung đề ) Bài số : Giải và biện luận theo tham số m phƣơng trình sau : (1) Lời giải :Viết phƣơng trình thành dạng Lời giải : (Cùng dạng với Bài số trên).Ta có : = x2 + 2mx + m = Lop12.net (2) (4) TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 -Giải và biện luận phƣơng trình (1) Đƣa giải và biện luận phƣơng trình (2) *Nếu ’= m2-m < Tức là < m < Thì phƣơng trình vô nghiệm *Nếu ’= m2- m = Tức là m1 = m2 = Thì phƣơng trình có nghiệm Kép (m = 1nghiệm kép x = - ; m = nghiệm kép là x = ) *Nếu ’= m2- m > Tức là : m < m > thì phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - m và x1 = - m + / Bài số : Giải phương trình : Lời giải : Điều kiện x = và = = Ta có = Do đó Phƣơng trình trở thành : = ( x2 – ).Chia vế cho đƣợc phƣơng trình: = x2 – (*) Điều kiện x – , kết hợp điều kiện x Ta suy điều kiện x Với điều kiện x Lấy lôgarit số hai vế phƣơng trình (*),đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng : = t = (Đặt = t ) Thì có hpt: x = thỏa mãn điều kiện x Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = Bài số : Giải phương trình : Lời giải : Lấy lôgarit số hai vế ,đƣợc (x – 2) = (x – 2) =0 Bài số : Giải phương trình : Lời giải : Điều kiện Đặt t = Thì : (*) : Thế (2) vào (1) suy hai vế phƣơng trình cho đƣợc : Phƣơng trình này có nghiệm t = - (Nhẩm nghiệm ,Chứng minh – Dựa vào tính chất các hàm số liên tục ).Thế t = -1 vào hpt (*) Lop12.net Chia (5) TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 Nhƣ ta có : , k z là nghiệm pt x= Bài số : Giải phương trình : = (*) Lời giải : Điều kiện - Chú ý : = Nên = Do đó ta có : (*) - và x =và lại có = =1 = (4-x)(3+x) = = x2-7x -18 = x=9 ( Loại x = -2 ) Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = Bài số : Giải phƣơng trình : = Lời giải : Điều kiện x > , x Phƣơng trình viết thành : = 4.4t – 6t - 18.9t = với t = hai vế phƣơng trình cho 4t đặt X= ( Loại X = - Nhƣ ta có: > đƣợc pt : ) Vậy =-2 .Chia = , t = -2 (Thỏa mãn < x x= ) Trả lời : Phƣơng trình có nghiệm x = Bài số 10 : Giaỉ hệ phƣơng trình với điều kiện , theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân (3) Lời giải : Điều kiện x , y , z dƣơng và khác Theo giả thiết theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân suy ra: = =1 = suy y = z Do đó ,ta có hệ phƣơng trình : là nghiệm hpt Bài số 11 : Với giá trị nào tham số m thì phƣơng trình sau đây có nghiệm phân biệt : = + (*) Lop12.net (6) TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 Lời giải : + = (m2 - Ta có số )2 + hai vế (*) thì ta có :(*) > với m , Do đó lấy lôgarit = + 1) =- + 1) -Gọi t (1) (Gọi cho gọn.) Ta tìm giá trị t để phƣơng trình = t Có nghiệm phân biệt Sau đó, tìm đƣợc m , từ đẳng thức (1) Dùng phƣơng pháp đồ thị,(chỉ cần lập bảng biến thiên,không cần vẽ đồ thị )Ta có: phƣơng trình = t có nghiệm phân biệt < t < Suy :phƣơng trình có nghiệm phân biệt < <1 0> > -1 1> > Giải hệ bpt này ta đƣợc giá trị cần tìm m Bài số 12 : Giải hệ phƣơng trình Lời giải : Viết hệ phƣơng trình thành: Là nghiệm hệ phƣơng trình đã cho Bài số 13 : Cho phƣơng trình = (1) -Tìm tích các nghiệm số phƣơng trình Lời giải : Điều kiện x > và x Chuyển vế lấy lôgarit số hai vế, đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng : =2+ Đặt t = ta có phƣơng trình bậc hai : t2 – t ( - )–2 = (2) -Với giá trị x > , x tƣơng ứng với giá trị t = Và ngƣợc lại,mỗi giá trị t tƣơng ứng giá trị x = ( Do t = ) -Phƣơng trình (2) có tối đa là nghiệm Do đó phƣơng trình (1) có tối đa nghiệm -Gọi : là hai nghiệm phƣơng trình (1)thì ta có Mà t1 và t2 là hai nghiệm phƣơng trình (2) nên theo Vi-et : t1 + t2 = Do đó : = Lop12.net - (7) TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 Bài số 14 : Giải và biện luận theo tham số a hệ phƣơng trình: Lời giải : Viết hệ phƣơng trình thành : Theo Vi-et ta có: x , y là hai nghiệm phƣơng trình : t2 – (1-a).t + (1-a)2 = (*) Phƣơng trình (*) có nghiệm = -(1-a)2 tức là a = 1.Với a = ta có x = y = Trả lời :-Nếu a thì hệ phƣơng trình vô nghiệm - Nếu a = hệ phƣơng trình có nghiệm Bài số 15 : Giải hệ phƣơng trình: Lời giải :Điều kiện Với điều kiện đã nêu hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với với hệ phƣơng trình: (Do điều kiện đã nêu: nên x-2 0) x=y Vậy hệ phƣơng trình có vô số nghiệm ,công thức tổng quát nghiệm Tức là : Bài số 16 : Cho hệ phƣơng trình: 1/ Giải hệ phƣơng trình m = 2/ Tìm giá trị m cho hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm ? Hãy xác định nghiệm đó ? Lời giải : Điều kiện xy Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với hệ : Lop12.net (8) TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 1/Với m =3 : Hệ phƣơng trình trở thành -Phƣơng trình (2) có nghiệm t1 = *Với t = - và t2 = Ta có : *Với t = Ta có : Nhƣ với m = hệ phƣơng trình có hai nghiệm và 2/Xác định m để hệ phƣơng trình có nghiệm : Hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm và hệ phƣơng trình : có nghiệm Khi và phƣơng trình (*) có nghiệm Khi và Vậy m = - thì hệ phƣơng trình có nghiệm -Khi m = - = 8m +25 = thì phƣơng trình (*) có nghiệm kép t = Hệ phƣơng trình trở thành: Trả lời : m = - thì hệ phƣơng trình có nghiệm nhất, Bài số 17 : Cho hệ phƣơng trình Với a >0 và a Xác định giá trị a để hệ phƣơng trình có nghiệm và giải hệ phƣơng trình trƣờng hợp đó Lời giải : Điều kiện : Ta có : Lop12.net (9) TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 -Thấy :hệ phƣơng trình (1a),(2) không thỏa mãn yêu cầu có nghiệm Mọi cặp (x;y) thỏa mãn x+y > và x2-y2 = là nghiệm Chẳng hạn ( ) và ( là hai nghiệm hệ phƣơng trình -Xét a ,(a > ,a ): -Hệ phƣơng trình (1b) ,(2) : có nghiệm là : (với < a ,a và a Trả lời : Với < a , a Đây là nghiệm hệ phƣơng trình ) và a Hệ phƣơng trình có nghiệm nhất: : MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT MŨ,LÔGARIT Bài số 18 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI) Cho n là số tự nhiên lớn Hãy so sánh hai số : A= và B = Lời giải : Với số tự nhiên n , ta có : n(n+2) Lấy lôgarit số n hai vế bđt (*) đƣợc bđt tƣơng đƣơng : 1+ 1+ (*) (**) Vì nên bđt (**) có vp Vậy với số tự nhiên lớn , ta có: Lop12.net Do đó từ (**) suy : (10) TRẦN ĐỨC NGỌC - YÊN SƠN, ĐÔ LƢƠNG, NGHỆ AN - GV THPT TÂN KỲ I – ĐT : 0985128747 Lời giải : Áp dụng bđt côsi ,có : + (1) -Với số tự nhiên ta có (n+1) n(n+2) Lấy lôgarit số (n+1) hai vế đƣợc bđt Cùng chiều: + (2) -Từ (1) và (2) suy : đúng với n là số tự nhiên lớn Bài số 19 : (TRẦN ĐỨC NGỌC RA ĐỀ VÀ GIẢI - Tổng quát hóa Bài số 18) Cho ba số thực a , b , k với k > , b > a > Hãy so sánh hai số : A= B= Lời giải : Vì b > a > , k > Nên : b(a+k) > a(b+k) Lấy lôgarit số b hai vế, đƣợc bđt cùng chiều : > 1+ > + > - ( Chú ý: < –1 > < 1) > Trả lời :Nếu a , b , k là số thực với k > , b > a > Thì Bài số 20 : Chứng minh với a ,b thì : > + Lời giải : Với a >1 , b >1 ta có >0, > Do đó áp dụng bđt côsy : loga+logb > 2(loga+logb) > loga+logb+ 4log Ta lại có: >( )2 > (1) > Từ (1) và (2) suy điều phải chứng minh : (2) > ***************************************************************************** ***************************************************************************** 10 Lop12.net (11)