Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một[r]
(1)Chương III: NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN Bài : NGUYÊN HÀM I/ Tóm tắt lí thuyết : 1/ Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên K Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên K F’(x) = f (x) với x thuộc K Định nghĩa 2: Nếu F(x) là nguyên hàm f(x) trên K thì F(x) + C là họ tất các nguyên hàm f(x) trên K Kí hiệu f ( x)dx ta có: 2/ Tính chất: Tính chất 1: f / ( x)dx f ( x) C f ( x)dx F ( x) C Tính chất 2: kf ( x)dx k f ( x)dx (k 0) Tính chất 3: [f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx Tính chất 4:Nếu F(x) là nguyên hàm f(x) thì f ( ax b) dx F ( ax b) C ( a≠0) a 3/ Bảng nguyên hàm thường dùng 1.dx x C x dx x x 1 C ( 1) 1 dx 1 C x dx ln x C ( x 0) x e dx e x x C ax C (0 a 1) ln a sinx.dx cos x C x a dx cosx.dx= sinx + C dx cos x tan x C dx sin k.dx k.x C (ax b) dx (ax b) (ax b) 1 C (a 0, 1) a ( 1) dx 1 C a(ax b) ln ax b C (a 0, ax b 0) a eax+b (ax+b) e dx C (a 0) a a bx c bx c a dx C (0 a 1, b 0) b.ln a cos(ax b) C sin(ax+b).dx a sin(ax+b) cos(ax+b).dx= a + C dx tan(ax b) cos2 (ax b) a C (a 0) dx cot(ax b) sin (ax b) a C dx ax b cot x C x 4/ Các phương pháp tính nguyên hàm: a/ Phương pháp đổi biến: Định lý: Nếu f (u )du F (u ) C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì: f (u ( x))u ( x)dx F (u ( x)) C ' b/ Phương pháp phần: Định lý: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì: u dv u.v v du II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: 20 Lop12.net (2) Dạng 1: Tìm nguyên hàm hàm số định nghĩa và tính chất Phương pháp giải: Thường đưa nguyên hàm đã cho nguyên hàm tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau: a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = x + x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx x Giải f ( x )dx (x - 3x + )dx a/ x x dx xdx 3 dx x x4 x ln x c 2x 3x f ( x )dx (2 + ) dx dx dx c b/ ln ln 3) (5 x 3)6 5 d (5 x f ( x )dx (5x+ 3) dx (5x+ 3) c c/ 30 sin x 4 f ( x )dx sin x cosxdx sin x d (sin x ) c d/ x x x x Dạng 2: Tìm nguyên hàm hàm số thoả điều kiện cho trước Phương pháp giải: B1: Tìm họ nguyên hàm hàm số đã cho B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm C thay vào họ nguyên hàm nguyên hàm cần tìm Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( )= Giải Ta có F(x)= x – cos3x + C Do F( ) = - cos + C = C = - 6 Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x Dạng 3: Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến: Phương pháp giải: Tính nguyên hàm f[ (x)] '(x)dx (1) phương pháp đổi biến b1: Đặt t = (x) dt = '( x ) dx b2: Thay vào (1) ta f (t )dt , dựa vào bảng nguyên hàm thường dùng tính f (t )dt b3: Thay t= (x) vào nguyên hàm vừa tìm suy kết Ví dụ : a) Xét nguyên hàm I ( x 1)10 dx x 1 C u11 Đặt u = x-1 du = (x-1)’dx = dx Ta có: x 1 dx u du C 11 11 2 ln x t ln x ln x b) Xét dx tdt C C dx ; đặt t=lnx dt = dx x x 2 x x c)Tính A = dx ( x 1) 11 10 10 Giải Đặt u = x + x = u – 1; du = dx A = u 5 du 14 u u 21 Lop12.net du u5 (3) u 4 du u 5 du 1 1 C C 3 4( x 1) 3u 4u 3 x 1 Dạng 3: Tìm nguyên hàm phương pháp Từng phần: Phöông phaùp giaûi: B1: Đặt biểu thức nào đó dấu nguyên hàm u tính du phần còn lại là dv tìm v B2: Khai triển nguyên hàm đã cho theo công thức phần B3: Tính v du suy keát quaû Ví dụ : a/ Tìm u dv uv v du x sinxdx u x du dx dv sinxdx v - cosx Đặt Ta có : x sin xdx = - x.cosx + cosxdx = - xcosx + sinx + C b/Tìm I= x e x dx du 2xdx u x x x dv e dx v e Đặt Khi đó: x e x dx =x2.ex - x e x dx Tính x e x dx u1 x du1 dx x x dv e dx v e Đặt x e dx =x.ex - e dx =x.ex – ex +C1 x x I=x2.ex – 2(x.ex – ex +C1)=x2.ex – 2x.ex +2 ex +C c/ Tìm ln xdx u lnx du dx Đặt x ln xdx = xlnx - 1.dx = xlnx – x + C dv dx v x B/ Bài tập tự giải: Bài : Tìm nguyên hàm các hàm số sau 2x 1 f(x) = x2 – 3x + f(x) = x x2 ( x 1) x 1 f(x) = f(x) = x2 x 3 f(x) = x x x f(x) = x x ( x 1) x 1 f(x) = f(x) = x x x f(x) = sin 10 f(x) = tan2x 11 f(x) = cos2x 12 f(x) = (tanx – cotx)2 cos x 13 f(x) = 14 f(x) = 2 sin x cos x sin x cos x 22 Lop12.net (4) 15 f(x) = sin3x 16 f(x) = 2sin3xcos2x ex ) 18 f(x) = ex(2 + cos x 20 f(x) = e3x+1 17 f(x) = ex(ex – 1) 19 f(x) = 2ax + 3x Bài 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + và f(1) = f’(x) = – x2 và f(2) = 7/3 f’(x) = x x và f(4) = f’(x) = x - và f(1) = x b f’(x) = 4x3 – 3x2 + và f(-1) = f’(x) = ax + , f ' (1) 0, f (1) 4, f (1) x f’(x)=sin2x.cosx, bieát f( )= f’(x) = e1-2x , bieát f( ) 2 x 3x 3x 1 f’(x) = , bieát f( 1) b) f ( x ) 5cos x; F ( ) 2 x 2 x 3 5x ; F (e) x 10) f ( x ) 11) f ( x ) x2 ; F (1) x Bài Dùng phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm các hàm số sau: dx (5 x 1)dx x dx (3 x) 5 (2 x 1) xdx 3x (x 5) x dx x (1 x ) sin x dx 13 sin x cos xdx 14 cos x dx dx 17 18 19 sin x cos x 2x3 e tgx cos x dx 22 23 2 x dx dx 10 dx 24 2x 1 x dx x 5 x 1.xdx 11 ln x x dx 12 x.e 15 cot gxdx 16 cos 21 tgxdx 4 x dx x x 25 x e 20 dx dx x 1 dx tgxdx x x e dx ex dx x dx 26 1 x2 dx 32 x x 1.dx 1 1 x Bài Dùng phương pháp phần tìm nguyên hàm các hàm số sau x sin xdx x cos xdx ( x 5) sin xdx ( x x 3) cos xdx 27 x dx x sin xdx 10 ln 15 sin 20 2 x xdx x dx xdx 28 x sin xdx x cos xdx 11 16 21 cos ln xdx x e x cos xdx x lg xdx 22 x 30 x.e x e dx x 18 x 1.dx dx 13 x e x2 dx x ln(1 x)dx ln xdx x cos 19 23 e 31 x dx x x ln xdx xtg 14 x ln(1 x 2 xdx )dx ln(1 x) dx 24 x2 x cos xdx Bài : TÍCH PHÂN I/TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1/ Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là nguyên hàm f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) 23 Lop12.net (5) b f ( x) dx Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| hàm số f(x), ký hiệu: a b a để hiệu số F(b) -F(a) Như b F là nguyên hàm f trên k thì : f ( x)dx = F(x)| b a =F(b) -F(a) a 2/ Tính chất tích phân a 1) f ( x)dx = a a b b 2) f ( x)dx = – f ( x)dx a 3) f ( x)dx + a b b b 4) b f ( x) g ( x)dx a f ( x)dx + a g ( x)dx c c f ( x)dx = f ( x)dx b a b b a a 5) kf ( x)dx = k f ( x)dx a II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Tính tích phaân baèng ñònh nghóa vaø tính chaát Phöông phaùp giaûi: Thường đưa tích phân đã cho tích phân tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau: (x a/ b/ ( 3sin x )dx cos x 1)dx 1 c/ x dx 2 Giaûi 3 ( x 1)dx = a/ 1 3 x4 x dx dx ( 1 b/ ( 3sin x )dx cos x 4 x) ( 1 81 3) ( 1) 24 4 dx sin xdx cos2 x 4 cos x ) 4 (4tgx 4 3cos ) [4 tg( ) 3cos( )] =8 = (4tg 4 4 c/ 2 2 2 2 x dx = x dx + x dx = (1 x )dx + ( x 1)dx =(x- Bài tập đề nghị: Bài 1: Tính caùc tích phaân sau: e 1 ( x3 x 1)dx ( x x )dx x x x2 x2 ) 2 ( 2 x dx x ) =5 x 1dx (2sin x 3cosx x)dx (e x x)dx ( x3 x x )dx ( x 1)( x x 1)dx (3sin x 2cosx )dx x (e x 1)dx x 2 10 ( x x x x )dx 11 ( x 1)( x x 1)dx 1 3 12 (x 1).dx 1 x.dx 13 -1 x e2 7x x 14 dx x 24 Lop12.net dx 15 x2 x2 (6) ( x 1).dx 16 x x ln x x e dx 20 e x e x 24 (2 x x 1)dx 1 cos3 x.dx 17 sin x tgx dx 18 cos x e x e x 19 x x dx 0e e dx 21 4x 8x 2 25 (2 x x )dx ln dx 22 x x e e dx 23 sin x x( x 3)dx 26 (x 27 2 4)dx 3 2 28 dx x 1 x 29 e2 33 x 3 x2 1 Bài : Tính caùc tích phaân sau: x 7x 32 dx x e x 2x 1 x dx 30 e dx 16 dx x 31 x dx 1 34 (3 cos x ).dx 35 (e x 2)dx 0 x 2 1dx 3 x x x m dx x dx sin x dx ( x x )dx 10 2 x dx 11 14 3 cos x 2 x )dx ( x cos x dx 13 sin x dx 3 2 2 3 tg x cot g x 2dx sin x dx x x 2 2dx 12 sin xdx cos x cos x dx 15 2x 4dx 16 cos 2xdx Bài : CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN : I/ Tóm tắt lí thuyết : Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến là công thức b a f[u(x)].u'(x)dx u(b) u(a) f(u).du (1) Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y=f(u) liên tục và cho hàm hợp f(u(x)) xác định trên K; a và b là số thuộc K Phương pháp phần Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì: b a u(x).v '(x)dx u(x).v(x) a v(x).u '(x)dx Hay b b a b a u(x)dv u(x).v(x) a v(x)du II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Daïng 1: Tính tích phaân b f[(x)] '(x)dx phương pháp đổi biến a Phöông phaùp giaûi: 25 Lop12.net b b a (7) b1: Ñaët t = (x) dt = '( x ) dx b2: Đổi cận: x = a t = (a) ; x = b t = (b) b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm Ví duï : Tính tích phaân sau : 1 2x a/ I b/ J x 3.x.dx dx x x 0 Giaûi: a/ Ñaët t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx dt x = t =1 ; x = t = Vaäy I= ln t t Đổi cận: b/ Ñaët t= x t2= x2+ ln 3 tdt = x dx t3 x = t = ; x = t = Vaäy J = t dt 3 Đổi cận: 2 (8 3) Daïng Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn: b Công thức phần : u.dv u.v a b a b v.du a Phöông phaùp giaûi: B1: Đặt biểu thức nào đó dấu tích phân u tính du phần còn lại là dv tìm v B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức phần B3: Tích phaân b vdu suy keát quaû a Chuù yù: b b a a a/Khi tính tính tích phân phần đặt u, v cho vdu dễ tính udv khó phải tìm cách ñaët khaùc b b/Khi gaëp tích phaân daïng : P( x ).Q( x ).dx a - Nếu P(x) là đa thức ,Q(x) là các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân phần 2,3,4 lần theo cách đặt treân - Nếu P(x) là đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: a/ I= x.cos x.dx e b/J= x.ln x.dx Giaûi du dx u x (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx ) v sin x dv cos x.dx a/ Ñaët : vaäy I=x cosx - sin x.dx = cosx = -1 26 Lop12.net (8) du dx u ln x x b/ Ñaët : dv x.dx v x e e x e2 x e Vaäy J= lnx dx xdx x 2 1 2e x e2 e2 B/Bài tập tự giải: Tính caùc tích phaân sau phương pháp đổi biến Bài : a) esin x cos x.dx b) x x2 3 dx c) 4dx sin 2 x d) cos x sin xdx 2 ex e) x dx e 1 e ln x dx x l/ g) sin xd x ln 2 x 1 h) e e 1 x dx sin x cos k) xdx m/ x ( x 3)5 dx Bài : 24 a) tan x dx ; b) c) tan x cos2 x tan t ) x4 dx x5 1 g) x3 x 3.dx dx (đặt u tan x ) e dx x ln x (đặt x d) e) 25 x 2 sin3 x cos4 x dx (đặt u cos x ); dx h) 24 k) x xdx l) tan x dx ; Tính các tích phân sau phương pháp tích phân phần : Bài : e4 a) x ln x dx b) x dx sin2 x ; c) x sin x dx ; 27 Lop12.net d) 2x 3 e 1 x dx ; (9) e) e ( x 1)sin xdx g) j) h) k/ x.e3 x dx l/ dx ln(1 x)dx e i) (x x 1)e xdx x dx e x cos x.dx m/ n/ p/ ln x dx x ln( x 1) dx cos x ò ò x + 3x + x3 x2 23 dx =ò ( x + x + + )dx = [ + + x + ln x -1]-0 = - ln x -1 x -1 -1 b/ x2 ln xdx 1 1 Dạng 4: Tính tích phân số hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc tử lớn hay bậc mẫu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng phần nguyên và phần phân số tính Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: 2x 1 dx =ò (1 + )dx = [ x + ln x -1]12 = + ln = ln 2 x -1 x -1 2 a/ ln(1 x ) x -1 Bài tập đề nghị: Tính caùc tích phaân sau: x 2 x x 1/I= dx x2 x 5 x 2/J= dx x 1 b/Daïng baäc1 treân baäc 2: Phöông phaùp giaûi: Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt: 5( x -1) dx Ví duï: Tính caùc tích phaân : ò x - x -6 Giaûi 5x - A B A( x - 3) + B( x + 2) = + = Ñaët = ( x + 2)( x - 3) x - x - ( x + 2)( x - 3) x + x - A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3 cho x=3 B=2 vaäy ta coù: 2 5( x -1) dx 16 ò x - x - = ò ( x + + x - )dx = (3ln x + + ln x - ) = ln 27 1 5( x -1) CI: ò Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: (2 x + 1)dx Ví duï: Tính caùc tích phaân : ò x - 4x + Giaûi 1 (2 x + 1)dx 2x - d ( x - x + 4) =ò ( + )dx = ò + 5ò dx 2 x - 4x + x x + x x + x x + ( x 2) 0 5 ) ln x 2 2 x +1 x +1 A B A( x - 2) + B = = + = Û A( x - 2) + B = x + CII: Đặt 2 x - x + ( x - 2) x - ( x - 2) ( x - 2)2 4x =(ln x 28 Lop12.net (10) A A 2 Ax -2A+B= 2A B B ò Vaäy 1 x + 1dx 5 =ò [ + ]dx = (2ln x-2 ) ln 2 x - 4x + x - ( x - 2) x-2 Trường hợp mẫu số vô nghiệm: (2 x - 3)dx x2 + 2x + -1 Giaûi: 2x + d ( x + x + 4) dx - ò dx = ò - 5J 2 x + 2x + ( x + 1) + x2 + 2x + -1 Ví duï: I=ò -1 Ta có ò Tính caùc tích phaân :I= ò d ( x + x + 4) ln ln ln = ln/x +2x+4/ 1 x + 2x + Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: b 2x 1 2 dx dx ( x a )( x b) x 3x a x 0 (3x 1) dx 10 dx x 5 x 11 1 x 1 x(1 x 2008 ) dx x2 1 x( x 3x 2) dx 2x 15 dx x 1 0 x 11 dx 12 x 5x x2 16 x 1dx 2x 1 x2 x 1 2x x x 1dx 20 x 1dx 19 x 1 x 1 1 0 1 2x 3x 22/I= dx 23/ I= dx x 6 x x 4 x x 2x 0 x dx b Ñaët t= n ax b a a ax b )dx cx d Ví duï: Tính tích phaân I = Ñaët t= n ax b cx d xdx Giaûi Ñaët t = x t3= 1-x x= 1-t3 dx= -3t2dt Đổi cận: x=0 t=1; x=1 t=0 Vaäy I= t.( 3t )dt Bài tập đề nghị: dx 2x x 2x3 6x 9x dx x 3x 1 18 Daïng1: R( x , n ax b )dx b Daïng 5: Tính tích phaân haøm voâ tæ: Daïng 2: R( x , n x 2008 x2 14 dx x 1 3x x 1dx 17 x2 0 x n 3 0 (1 x ) n dx 3x 3x 13 dx x 3x 21/I= x4 2 ( x 1) dx 0 ( x 2) ( x 3) dx x3 x dx x 1 Tính caùc tích phaân sau: 29 Lop12.net t dt t4 4 (11) 1 1/ x xdx 2/ 2 x dx 2 x Dạng 6: Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp Daïng: sin ax.cos bxdx , sin ax.sin bxdx , cos ax.cos bxdx Phöông phaùp giaûi: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu các tích phân giải Daïng: sin n xdx; cosn xdx Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến Ví duï : sin n 1 cos 2n xdx sin n x sin xdx (1 cos2 x )n sin xdx Ñaët t =cosx n Daïng: n 1 cos x xdx (cos x ) dx dx R(sin x ).cos xdx Ñaëc bieät: sin n x.cos2 k 1 xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx Daïng: R(cos x ).sin xdx Ñaëc bieät: sin n 1 x.cos2 k xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx Các trường hợp còn lại đặt x=tgt Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: 2 a/ sin x.cos x.dx b/ sin xdx c/ cos3 xdx 0 d/ cos3 x sin xdx Giaûi 4 a/ sin x.cos x.dx = (sin x s in2 x )dx 0 cos x ( cos x 2 )0 2 cos x dx b/ sin xdx 0 2 sin x 2 (x )0 2 2 0 c/I= cos3 xdx = cos2 x.cos x.dx (1 sin x ).cos x.dx ñaët u=sinx du = cosx dx x=0 u=0 ; x= u=1 vaäy: I= (1 u2 ).du (u 2 0 u3 ) 3 d/J= cos3 x sin xdx = cos2 x sin x.cos x.dx (1 sin x )sin x.cos x.dx 30 Lop12.net (12) ñaët u=sinx du = cosx dx x=0 u=0 ; x= Bài tập đề nghị: u=1 J= (1 u )u du 2 2 2 sin x cos xdx (u u3 ( u ).du u5 ) 15 Tính caùc tích phaân sau: sin x cos xdx 2 cos x(sin x cos x)dx sin x cos xdx (sin x cos )dx 0 (2 sin x sin x cos x cos x)dx dx sin x 10 10 4 (sin x cos x cos x sin x)dx dx 11 sin x cos x 2 13 cot g xdx 3 14 sin x dx sin x dx cos x 15 2 16 sin x(1 sin x) dx 20 (2 x 1) cos xdx 0 sin x 24 dx cos x 23 ln(1 tgx)dx 32/ dx sin x x cos x.dx 22 e sin x sin x cos xdx 2 sin x sin xdx 2 29/ cos 30/ sin3 x.cos3 x.dx x.dx 0 x 28 sin cos xdx 2 cos x cos 3xdx 26 25 27 sin xdx 18 sin x.e x 1 dx 21 sin x sin xdx 2 19 e x sin xdx 17 x cos xdx sin 10 12 tg xdx sin x 0 cos x dx Cosx 0 sin x dx 33/ sin x cos4 x.dx MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG a Bài 1: 1) CMR f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : f(x)dx a a 2) CMR f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a f(x)dx f(x)dx a Ví dụ: Tính tích phân I= p ò cos x.ln(x + -p x + 1)dx Bài 2: 1) CMR f(x) là hàm số liên tục trên đọan [-a; a] với a > thì: 31 Lop12.net 31/ (13) a a -a ò f(x).dx = ò (f(x) +f(-x)).dx Ví dụ: Tính tích phân Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) = Tính tích phân I = 3p ò -3 p 2 - 2.cos 2x f(x).dx a Bài 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 0; a] với a > 0, thì ò f(x)dx = a ò f(a - x).dx Bài 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì b b a+b x.f(x)dx = ò ò f(x).dx a a 2 a) f(sin x)dx f(cos x)dx Hệ quả: b) xf(sin x)dx f(sin x)dx 20 Ví du: Tính tích phân a) I = p ò x.sin x.cos x.dx ; b)J = p ò ( cos (cos x) - tan (sin x)).dx 2 Bài 5: Nếu f (x) là hàm số liên tục, tuần hoàn có chu kỳ T thì : a +T ò a f(x)dx = T T ò f(x)dx = ò f(x)dx, "a Î R -T Ví dụ: Tính các tích phân a) I = 2p ò ln(sin x + + sin2 x)dx; b) J = Bài 6:CMR f(x) liên tục và chẵn trên R thì 2008 p ò sin2007 x.dx f (x) dx f ( x )dx x 1 a với R + vaø a > ; a Ví dụ : Tính các tích phân sau: x4 a) x dx 1 1 b) 1 sin x c) x dx 1 1 x2 dx 2x III/ Dieän tích hình phaúng: 1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đó diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) b :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= là : S f ( x ) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) và trục ox : f(x)=0 (1) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: 32 Lop12.net (14) TH1: Nếu phương trình (1) vô nghiệm (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: b S f ( x ) dx a TH2: Nếu phương trình (1) có nghiệm là x1 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 b S f ( x ) dx a b f ( x ) dx a f ( x ) dx x1 TH3: Nếu phương trình (1) có nghiệm là x1; x2 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: S x1 x1 f ( x ) dx a f ( x ) dx x2 x2 f ( x ) dx b Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp 2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] đó diện tích hình b phẳng giới hạn đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : S f ( x ) g ( x ) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) và (C’) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: b S [ f ( x ) g ( x )]dx a TH2: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm là x1 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 b S f ( x) g ( x ) dx a b [ f ( x) g ( x )]dx a [ f ( x) g ( x )]dx x1 TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 S f ( x) g ( x ) dx a x1 f ( x) x2 g ( x ) dx x2 f ( x) g ( x ) dx b Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp Ví du1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ] và trục hoành Giải : Ta có : sinx = có nghiệm x= 0;2 diện tích hình phẳng cần tìm là: S= 2 sin x dx sin xdx 0 sin xdx = cos x cos x =4 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + và các đường thẳng x = -1 ; x =2 Giải Ph tr hđgd : x2 –2 x = x2 + Û 2x +1= Û x = -1/2 Do đó : 33 Lop12.net (15) S = ò ( x - x ) - ( x + 1) dx = -1 -1/ = ò -1 (2 x + 1) dx + ò -1/ -1/ ò -1 [( x - x ) - ( x + 1)]dx + (2 x + 1) dx = ( x + x ) -1 ò -1/ [( x - x ) - ( x + 1)]dx 25 13 + ( x + x ) -1 = + = 4 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (P): y2 = x , và đường thẳng(d): 2x+y-4 = y2 4y Giải: Ta có (P): y = x x = và (d): 2x+y-4 = x= y y2 y Phương trình tung độ giao điểm (P) và đường thẳng (d) là: = y diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ( 4 y y2 )dy (2 4 y y2 )dy (2 y y2 y3 ) 12 4 Bài tập tự giải: Bài : Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = và đường thẳng x = c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = Bài : Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) và 0x có diện tích phía trên 0x và phía 0x Bài 3: Cho (p) : y = x2+ và đường thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn hai ®êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt x x Bài 4: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn y o x Cã hai phÇn y diÖn tÝch b»ng Bµi 5: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn Bµi 6: Tính diện tích các hình phẳng sau: 3x y x y x y x 1) (H1): y 2) (H2) : 3) (H ): 2 x y y 2 x x ln x y x y 4) (H4): 5) (H5): x y x y 0; x e; x y x 2x 6) y x 4x y 2y x 9) x y 7) y x x y y y x 8) x y y y 2x y x; y 10) 11) x y x, y 0, y y 0; x e 34 Lop12.net (16) (C ) : y e x 12) (d ) : y () : x y 2x 13) y x 1 y x3 y x 2; x x2 y 16 y 1 x2 17 ): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6) 14) y ln x, y 15) x e , x e 18) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt 2/ Dạng toán 3: Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các b đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng xung quanh trục ox là: V f ( x ) dx a Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh quay hình tròn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục ox tạo Giải: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2 R x3 Thể tích khối cầu là : V= R x dx = R x R R = R 2 R R3 = R (đvtt) 3 Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x Giải: Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là : S ( x 2 x ) dx 2 ( x 4 x x )dx x 18 x x ) 1 = (đvtt) 5 Bài tập đề nghị: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh trục Ox: Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn các đường : y x; y x; y Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2)2 và y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y x2; y x2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x2 Bài 5: Cho miền D giới hạn các đường : y ; y x 1 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn các đường y = 2x2 và y = 2x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn các đường y = y2 = 4x và y = x Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox = ( x Bài 8: Cho miền D giới hạn các đường y = x e ; y = ; x= ; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn các đường y = xlnx ; y = ; x = ; x = e 35 Lop12.net (17) Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn các đường y = x ln(1 x ) ; y = ; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox HƯỚNG DẪN HỌC CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC I/ Tóm tắt lí thuyết : DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: * Một số phức là biểu thức dạng a + bi, đó a, b là số thực và số i thỏa mãn i2 = -1 Kí hiệu số phức là z và viết z = a + bi * Tập hợp các số phức kí hiệu C * i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực và b gọi là phần ảo số phức z = a + bi * Số thực a coi là số phức có phần ảo : z = a + 0i = a R Số phức có phần thực gọi là số ảo : z = + bi, b R * Ta có i = + 1i = 1i * Số là số phức vừa là số thực, vừa là số ảo BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Mỗi số phức z = a + bi biểu diễn bỡi điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo y b M(z) O a x CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC : Cho hai số phức z = a + bi (a, b R ); z’ = a’ + b’i (a’, b’ R ) i z = z’ a = a’ và b = b’ ii z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i iii z – z’ = (a – a’) + (b – b’)i iv z.z’ = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i v Số đối z là – z = – a – bi vi Số phức liên hợp z là z a bi vii Môđun z là z a b ; viii Số nghịch đảo z là ix z ' z '.z z '.z ; z z.z z z z.z z = z 1 z z z' w z ' z.w z CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w gọi là bậc hai w Tính chất: Cho số phức w, bậc hai w có các tính chất: i w = có đúng bậc hai là z = ii w có đúng hai bậc hai đối khác không thỏa z2 = w iii Số thực a > có hai bậc hai là a và - a 36 Lop12.net x Với z thì (18) Số thực a < có hai bậc hai là a.i và - -a.i Chú ý : Cách tìm bậc hai số phức Cho số phức w = a + bi và z = x = iy là bậc hai số phức w Ta có (x ; y) là nghiệm hệ phương trình : x y2 a 2xy b PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình bậc hai az2 + bz + c = ; a , a,b,c là các số phức b b ; z2 i Gọi z1, z2 là nghiệm phương trình thì z1 Trong đó là 2a 2a bậc hai b 4ac b ii Khi = thì z1 z 2a b b ; z2 iii Khi là số thực dương thì z1 2a 2a b i b i z1 ; z2 iv Khi là số thực âm thì 2a 2a II/ Bài tập : Thực Các phép tính C©u1: Thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n sau: 1 2 a (2 - i) + 2i b 3i i 3 3 3 c i 2i i d i i 3 i 4 C©u2: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: 1 a (2 - 3i)(3 + i) b (3 + 4i) b 3i 2 C©u3: Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau: 1 i 3i 3i a b c d 2i 5i 5i i 2i C©u4: 1 i 1 i a 1 i 1 i b 2i 3 i 2i c 14 3 i 7 Giải phương trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức : C©u 1: a 5i z i c z i i b 2i d 5i z z i 3i 4i C©u 2: a (3 + 4i)z = (1 + 2i)(4 + i) b 2iz + = 5z + 4i Tính : + (1 + i) + (1 + i) + (1 + i)3 + … + (1 + i)20 Hướng dẫn: Tính tổng cấp số nhân có công bội là + i Tìm x và y để: a (x + 2y)2 = yi 37 Lop12.net c 3z(2 – i) + = 2iz(1 + i) + 3i Đáp số: -210 + (210 + 1)i b (x – 2i)2 = 3x + yi (19) Đáp số: x 2 x a ; y 8 y x 1 x b ; y y 16 Tính: a (1 + i)2 b (1 + i)3 c (1 + i)4 d (1 + i)5 Đáp số: a 2i b -2 + 2i c -4 d -4 – 4i Giải các phương trình bậc cao Câu1: Giải các phương trình sau trên tập số phức a x2 + = b x2 - 3x + = c x2 + 2(1 + i)x + + 2i = 2 d x - 2(2 - i)x + 18 + 4i = e ix + 4x + - i = g x2 + (2 - 3i)x = Câu2: Giải các phương trình sau trên tập số phức 2 a z 3i z 2z b z z z c 2z 3z 5z 3i Câu3: Tìm hai số phức biết tổng và tích chúng là: a + 3i vµ -1 + 3i b 2i vµ -4 + 4i Câu4: Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm: a = + 4i b = i Câu5: Tìm tham số m để phương trình sau đây có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn điều kiện đã ra: 2 3 a z2 - mz + m + = ®iÒu kiÖn: z1 z z1z b z2 - 3mz + 5i = ®iÒu kiÖn: z1 z 18 C©u6: a 2z2 + 3z + = b z2 – (2+ i)z + (-1 + 7i) = c z + (3 – 2i )z + (5 – 5i) = d z4 – 3z2 + = Câu Gọi , là hai nghiệm phương trình: z2 + (2 – i)z + + 5i = Không giải phương trình, hãy tính: a 2 b 4 c d 2 4 Câu Giải các phương trình : a z3 – = b z3 + = c z4 – = d z4 + = Câu Giải phương trình z z 4i Câu 10: Giải phương trình sau trên tập số phức: a z2 + = b z2 + 2z + = c z2 + 4z + 10 = 2 d z - 5z + = e -2z + 3z - = g 3z2 - 2z + = Câu 11: Giải phương trình sau trên tập số phức: a (z + i)(z2 - 2z + 2) = b (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = c (z + 5i)(z - 3)(z + z + 3) = d z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = Câu 12: Cho phương trình: (z + i)(z - 2mz + m2 - 2m) = Hãy xác định điều kiện tham số m cho phương trình a Chỉ có đúng nghiệm phức b Chỉ có đúng nghiệm thực c Cã ba nghiÖm phøc 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước C©u1: T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tháa m·n: a z b z i z 3i C©u2: T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tháa m·n: a z + 2i lµ sè thùc b z - + i lµ sè thuÇn ¶o z 3i lµ sè thùc c z.z d zi 38 Lop12.net (20) BÀI TẬP BỔ SUNG DẠNG 1: Tìm phần thực phần ảo và mođun số phức 39 Lop12.net (21)