Chuyên đề Số phức - Dùng cho ôn thi TN – CĐ – ĐH

Dạng 4: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Loại 1: Số phức z thỏa mãn về độ dài modun, khi đó ta sử dụng công thức z  a 2  b 2 Loại 2: Số [r]

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: www.Mathvn.com Bỉm sơn 10.04.2011 www.mathvn.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Một số phức là biểu thức có dạng a  bi , đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i  1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z  a  bi (dạng đại số) i gọi là đơn vị ảo a gọi là phần thực Ký hiệu Re  z   a b gọi là phần ảo số phức z  a  bi , ký hiệu Im  z   b Tập hợp các số phức ký hiệu là C Chú ý: - Mỗi số thực a dương xem là số phức với phần ảo b = - Số phức z  a  bi có a = gọi là số ảo hay là số ảo - Số vừa là số thực vừa là số ảo Hai số phức Cho z  a  bi và z’  a’  b’i a  a ' z  z’   b  b ' Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức là z  a  bi Phép cộng và phép trừ các số phức Cho hai số phức z  a  bi và z’  a’  b’i Ta định nghĩa:  z  z '  (a  a ')  (b  b ')i   z  z '  (a  a ')  (b  b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z  a  bi và z’  a’  b’i Ta định nghĩa: zz '  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z  a  bi Số phức z  a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên Vậy z  a  bi  a  bi Chú ý: 1) z  z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với 2) z z = a2 + b2 - Tính chất số phức liên hợp: (1): z  z (2): z  z '  z  z ' (3): z.z '  z.z ' (4): z z = a  b ( z  a  bi ) Môđun số phức www.mathvn.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Cho số phức z  a  bi Ta ký hiệu z là môđun số phư z, đó là số thực không âm xác định sau:  - Nếu M(a;b) biểu diễn số phức z  a  bi , thì z  OM  a  b - Nếu z  a  bi , thì z  z.z  a  b Phép chia số phức khác Cho số phức z  a  bi  (tức là a  b  ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z 1 số phức z ≠ là số 1 z 1  z z a b z z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z  z z 1  z z Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường Thương II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z  Gọi M là điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM gọi là acgumen z Như  là acgumen z, thì acgumen có dạng:  + 2k, k  Z Dạng lượng giác số phức Xét số phức z  a  bi  a, b  R , z   Gọi r là môđun z và  là acgumen z Ta có: a = rcos , b = rsin z  r  cos   i sin   đó r  , gọi là dạng lượng giác số phức z  z = a + bi (a, b  R) gọi là dạng đại số z r  a  b là môđun z a  cos    r  là acgumen z thỏa  b sin    r Nhân và chia số phức dạng lượng giác Nếu z  r  cos   i sin   , z '  r '  cos  ' i sin  '  r  0, r’   thì: z.z '  r.r '  cos    '  i sin    '  và z r  cos    '  i sin    '   z' r' Công thức Moivre n Với n  N * thì  r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n  Căn bậc hai số phức dạng lượng giác www.mathvn.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Căn bậc hai số phức z  r  cos   i sin   (r > 0) là Email: Loinguyen1310@gmail.com    r  cos  i sin  và 2           r  cos  i sin   r  cos      isin      2  2  2   A BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC THUỘC TÍNH Dạng 1: Các phép tính Số phức Phương pháp: - Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức Chú ý: Trong tính toán số phức ta có thể sử dụng các đẳng thức đáng nhớ số thực Chẳng hạn bình phương tổng hiệu, lập phương tổng hiệu số phức… Bài 1: Cho số phức z  3  i Tính các số phức sau: z ; z ; z ;  z  z 2  Giải: a Vì z  3  iz  i 2 2   3 b Ta có z    i    i  i  i 4 2  2  2   3  z    i    i  i  i 2 4 2   1   3 z  z z    i    i    i i i 2 2 4    1 3  1 Ta có:  z  z    i  i  i 2 2 2 Nhận xét:     Trong bài toán này, để tính z ta có thể sử dụng đẳng thức số thực Tương tự: Cho số phức z    i Hãy tính :  z  z 2  1 3    Ta có z    i Do đó:  z  z      i      i   4 2 2     Bài 2: a Tính tổng sau:  i  i  i3    i 2009 b Cho hai số phức z1 , z thoả mãn z1  z2  1; z1  z2  Tính z1  z2 Giải: www.mathvn.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long www.MATHVN.com DĐ: 01694 013 498 Ta có – i 2010  1 – i  1  i  i  i    i 2009  2009  Mà  i 2010  Nên  i  i  i   i 1 i Email: Loinguyen1310@gmail.com  1 i b Đặt z1  a1  b1i; z2  a2  b2 i a12  b12  a22  b22  Từ giả thiết ta có  2 (a1  a2 )  (b1  b2 )  Suy 2(a1b1  a2 b2 )   (a1  a2 )  (b1  b2 )   z1  z2  Bài 3: Tính giá trị biểu thức: i  i  i   i 2009 a P  (i  1) 2010 i  i  i  i b M   (1  i)  (1  i )4   (1  i )10 100 c N  1  i  Giải: 1003 a Ta có i  i  i   i 2009  i 1  i  i   i 2004   i i  i5  i   i 2010  i2   i2  1  i  i3  i  i  i  i 2010   1  i  i3  i  i 2011 i 1  (1   i )  i   P    i 1 i i 1 2 b M là tổng 10 số hạng đầu tiên cấp số nhân có số hạng đầu tiên u1  , công bội q  (1  i )2  2i  Ta có : M  u1 100 c N  1  i   q10  (2i )10  210 1025(1  2i)     205  410i 1 q  2i  2i  1i   50  ( 2i ) 50 50  ( 2) ( i ) 50  2 50 Bài 4: 1 i Tính giá trị z 2010 1 i 2010 2008 2006 b Chứng minh 1  i   4i 1  i   1  i  a Cho số phức z  Giải:  i (1  i )2  i 1 i  i 2010  i 4502   i 4502 i  1.(1)  1 a Ta có : z  nên z 2010 b Tacó: 1  i  2010  4i 1  i  2008  1  i  2006 4  1  i   4i 1  i    1  i   4  4i  4  (đpcm) Bài 5: Tính số phức sau: 16 1 i  1 i  a z      1 i  1 i  15 b z  1  i  www.mathvn.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long www.MATHVN.com DĐ: 01694 013 498 Giải:  i (1  i)(1  i ) 2i 1i a Ta có:   i  i 1 i 2 1 i 16 Email: Loinguyen1310@gmail.com 8 1 i  1 i  16 Vậy      i   i   1 i  1 i  b Ta 14 7 1  i    2i –  2i  1  i    2i   128.i  128.i 15 14 z  1  i   1  i  có: 1  i   128i 1  i   128  1  i   128 – 128i Bài 6: Tính: i105  i 23  i 20 – i 34 Giải: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Ta có: i  1; i  i; i  i i  1; i  i; i  1 Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i n  1; i n 1  i; i n   1; i n 3  i; n  N * Vậy i n  1;1; i; i , n  N n n 1 Nếu n nguyên âm, i   i       i  i Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: i105 i 23  i 20 – i 34  i 4.26 1  i 4.53  i 4.5 – i 4.8  i – i    n 1  n Bài 7: a Tính : 1  i 2 b (TN – 2008) Tìm giá trị biểu thức: P  (1  3i)  (1  3i) Giải: 1  i  2 a Ta có:      3  i   i   i 2  2  2  i   i b P  4 Dạng 2: Số phức và thuộc tính nó Loại 1: Tìm phần thực và phần ảo Phương pháp: Biến đổi số phức dạng z  a  bi , suy phần thực là a, phần ảo là b Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo các số phức sau www.mathvn.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com b z  (1  i)3  (2i)3 a z  i    4i     2i  Email: Loinguyen1310@gmail.com c z  (1  i) 2010 1 i Giải: a z     3  1    i  1  i Vậy số phức đã cho có phần thực là − 1, phần ảo là − b Kết quả: + 10i (1  i) 2010 (2i )1005 (1  i ) c z    21004 i (1  i)  21004  21004 i 1 i Bài 2: a Tìm phần thực, phần ảo số phức i   – 4i  –  – 2i  b (TN – 2010) Cho hai số phức: z1   2i, z2   3i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1  z2 c (TN – 2010) Cho hai số phức: z1   5i, z   4i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1 z  z 1   i d Cho số phức z thỏa mãn  z   Tìm số phức liên hợp z z  Giải: a Ta có: i   – 4i  –  – 2i       1   i   3  2i    – 3   3   i  1 – i Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – b Phần thực – ; Phần ảo c Phần thực 26 ; Phần ảo  a  b  ab  d Theo giả thiết   2 2  a  b    2ab  1  41 a  b     2 2  i  i z  z  2 2      2 2  i  i z   z    2  2 Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức 3  1  i    2i  20 b z   1  i   1  i   1  i     1  i  2009 c 1  i  a Giải: a Ta có: 3  1  i    1   1 i   1 i  i   2i  2i   23  i  8i www.mathvn.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long www.MATHVN.com DĐ: 01694 013 498 3   1  i    2i    10i Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10 (1  i) 21  20 b Ta có P   (1  i )   (1  i )  i Email: Loinguyen1310@gmail.com 10 (1  i )21  (1  i)  (1  i)  (2i )10 (1  i )  210 (1  i ) 210 (1  i )   210  210  i i Vậy: phần thực 210 , phần ảo: 210   P c Ta có 1  i  2009   1  i   1004  (1  i )  (2i)1004 (1  i )  21004 (1  i )  21004  21004 i Vậy phần thực số phức trên là 21004 và ảo là 21004 Bài 4: (ĐH – A 2010) Tìm phần ảo số phức z, biết z   2i  1  2i  Giải: Ta có: z   i  1  2i   1  2i 1  2i    2i  2i  4i   2i  z   2i Phần ảo số phức z  2 Bài 5: (CD – 2010) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   3i  z    i  z   1  3i  Tìm phần thực và phần ảo z Giải: Gọi z  a  bi  a  R , b  R   z  a  bi Đẳng thức đã cho trở thành   3i  a  bi     1 a  bi    1  3i   6a  4b  2(a  b)i   6i (coi đây là phươn trình bậc theo i) Đồng theo i hệ số hai vế ta  6a  4b  a  2   2a  2b  b  Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2 , phần ảo là Bài 5: (CD – A 2009) Cho số phức z thỏa mãn 1  i    i  z   i  1  2i  z Tìm phần thực và phần ảo z Giải: Ta có: 1  i    i  z   i  1  2i  z  z 1  i    i   1  2i     i  z  2i   i    2i    i    i   i 1  2i   15i  10  15i z      3i 2i  5 Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 n Bài 8: Tìm phần thực số phức z  1  i  , biết n  N thỏa mãn phương trình www.mathvn.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 log  n – 3  log  n    www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giải: n  N Điều kiện:  n  Phương trình log  n – 3  log  n     log  n –  n    n   (n – 3)(n + 9) = 43  n2 + 6n – 91 =    n  13 Vậy n = (thoả mãn) (không thoả mãn) n Khi đó z  1  i   1  i   1  i  1  i    1  i  (2i)  (1  i).(8i)   8i   Vậy phần thực số phức z là Loại 2: Biếu diễn hình học số phức Phương pháp: - Sử dụng điểm M  a; b  biếu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy Chú ý: Với câu hỏi ngược lại “ Xác định số phức biểu diễn điểm M  a; b  ” đó ta có z  a  bi … cập nhật Loại 3: Tính modun số phức Phương pháp: Biến đổi số phức dạng z  a  bi , suy modun là z  a  b Bài 1: a Tìm môđun số phức z   4i  (1  i )3 (1  3i )2 Tìm môđun số phức z  iz 1 i 11 1 i   2i  c Cho số phức z thỏa mãn i z      Tìm môđun số phúc w  z  iz 1 i  1 i  b (ĐH – A 2010) Cho số phức z thỏa mãn z  d Tính mô đun số phức: Z   4i  1 – i  Giải: a Vì (1  i)3  13  3i  3i  i   3i   i  2  2i Suy : z   4i  (1  i)3  1  2i  z  (1)  22  (1  3i)3 b z  1 i Cách 1: (dành cho ban bản)  Ta có  3i      13  3.12  3i  3.1  3i   3i3  8 www.mathvn.com Lop12.net Giáo viên: Nguyễn Thành Long www.MATHVN.com DĐ: 01694 013 498 8 8 1  i  Do đó z     4i  z  4  4i 1 i  z  iz  4  4i   4  4i  i  8  8i Email: Loinguyen1310@gmail.com Vậy z  iz  Cách 2: (Dành cho ban nâng cao) Biếu diễn dạng lượng giác Ta có       (1  3i )   cos     i sin      (1  3i )3  cos(  )  i sin(  )   8     3 8 8(1  i ) z     4i 1 i  z  iz  4  4i  i(4  4i)  8(1  i)  z  iz  11 11  1  i    2i 1  i   1 i   2i  c Ta có i.z          i.z   1 i  1 i      11  i z   i   1  i   16  i  z  1  16i  z  1  16i Do đó w  z  iz  1  16i  i  1  16i   17  17i Vậy w  17  17  17 d Z   4i  1 – i    4i   3i 3i  i  1  2i  Z   1  22  Bài 2: Tìm mô đun số phức z  (1  i )(2  i)  2i Giải: Ta có : z  5i  1 i 5 26 1 Vậy, mô đun z bằng: z      5 Loại 4: Tìm số đối số phức z Phương pháp: Biến đổi số phức dạng z  a  bi , suy số đối z   a  bi …đang cập nhật Loại 5: Tìm số phức liên hợp số phức z Phương pháp: Biến đổi số phức dạng z  a  bi , suy số phức liên hợp là z  a  bi Bài 1: Tìm nghiệm phương trình z  z , đó z là số phức liên hợp số phức z www.mathvn.com Lop12.net 10 Giáo viên: Nguyễn Thành Long www.MATHVN.com DĐ: 01694 013 498 Giải: Gọi z  a  bi , đó a,b là các số thực Ta có : z  a  bi và z  (a  b )  2abi Email: Loinguyen1310@gmail.com a  b  a Khi đó : z  z  Tìm các số thực a,b cho :  2ab  b  3  3 Giải hệ trên ta các nghiệm (0;0) , (1;0) ,   ;  ,   ;   2 2     Bài 2: Tìm số phức liên hợp của: z  (1  i)(3  2i)  3i Giải: 3i 3i  5i  Ta có: z   i  (3  i)(3  i) 10 53 Suy số phức liên hợp z là: z   i 10 10 Loại 6: Tìm số phức nghịch đảo số phức z Phương pháp: 1 Sử dụng công thức  z z z …đang cập nhật Loại 7: Ứng dụng hai số phức để tìm các số thực Phương pháp: Cho z  a  bi và z’  a’  b’i a  a ' z  z’   b  b ' Bài 1: Tìm các số nguyên x, y cho số phức z  x  yi thoả mãn z  18  26i Giải:  x  xy  18 Ta có ( x  yi)  18  26i    18(3 x y  y )  26( x  xy ) 3 x y  y  26 Giải phương trình cách đặt y  tx ( x  0) ta t   x  3, y  Vậy z   i Bài 2: Tìm các số nguyên x, y cho số phức z  x  yi thỏa mãn 1  3i  x  yi    i Giải: Ta có 1  3i  x  yi    i  x  y   y  x  i   i   Coi   là phương trình bậc theo i, đồng nhắt hệ số hai vế ta kết www.mathvn.com Lop12.net 11 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498   x   10 2 x  y        y  6x  y   www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Bài 3: Tìm hai số thực x, y thoả mãn: x(3  5i)  y (1  2i)   14i Giải: Ta có x(3  5i)  y (1  2i )3  x (3  5i )  y (11  2i)  (3 x  11y )  (5 x  y)i 3 x  11y  Do đó x, y thoả mãn hệ  5 x  y  14 172 Giải hệ ta x  và y   61 61 Bài 9: Giải phương trình nghiệm phức: z  z Giải: a  b  a 2 Đặt z  a  bi (a, b  R) , ta có: z  z  (a  bi)  a  bi   2ab  b  3 Giải hệ trên ta tìm (a; b)  (0;0); (1;0);   ;   2   Vậy z  0; z  1; z    i 2 Dạng 3: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: Tìm số phức z thỏa mãn a   3i  z  z  2 b z  z.z  z  và z  z  Giải: a Ta có: z (1  3i )  1  z  1 3i  1    i  3i 10 10 10 b z  z z  z   4( x  y )   ( x  y )  (1) z  z   x   x  (2) Từ (1) và (2) tìm x = ; y = 1 Vậy các số phức cần tìm là  i và  i  z i Bài 2: Tìm số phức z thỏa mãn :   1  z i  Giải:  z  i    z  i    z i Ta có        1    1   z i  z  i    z  i   www.mathvn.com Lop12.net 12 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com z i  z i TH 1:   1  z   1   z i  z i 2  z i  z i TH 2:   1     i    z i  z i Vậy có số phức thỏa mãn  z  i    z  i    z  i   i   z  i   i    z  1        z 1  z  i  1  Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn hệ   z  3i     z  i Giải: Cách 1: (Phương pháp đại số) z 1 Giả sử z  x  yi , đó   z   z  i  x  yi   x  yi  i z i 2   x  1  y  x   y  1  x  y z  3i 2   z  3i  z  i  x  yi  3i  x  yi  i  x   y –   x   y  1  zi  y   x  Vậy số phức phải tìm là z   i Cách 2: (Phương pháp hình học) Nhận xét: z z Với hai số phức z và z '  z '   ta luôn có  z' z' Ta lại có: Từ (1) z   z  i Gọi A và B là hai điểm biếu diễn các số và i tức là A 1;0  , B  0;1 Từ đó z   z  i  MA  MB , đây M  M  z  là điểm biểu diễn số phức z Vậy M nằm trên đường trung trực AB tức là M nằm trên đường thẳng y  x Tương tự    z  3i  z  i  MA'  MB ' hay M nằm trên trung trực A' B ' tức là M nằm trên đường thẳng y  Từ (1) và (2) ta có M nằm trên giao hai đường thẳng trên tức là M 1;;1  z   i Bài 4: (ĐH – D 2010) Tìm số phức z thỏa mãn: z  và z là số ảo Giải: Gọi z = a + bi  a  R , b  R  , ta có: z  a  b và z  a  b  2abi 2 a  b  a  a  1 Yêu cầu bài toán tỏa mãn và khi:    a  b  b  b  1 Vậy các số phức cần tìm là:  i; – i;   i;  – i Bài 5: (ĐH –B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn z    i   10 và z.z  25 Giải: Gọi z = a + bi  a  R , b  R  , www.mathvn.com Lop12.net 13 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Ta có: z    i    a     b  1 i; 2 Từ giả thiết ta có: z    i   10   a     b  1  10 và z.z  25  a  b  25 Email: Loinguyen1310@gmail.com www.MATHVN.com 1 2 a  a  Giải hệ (1) và (2) ta   b  b  Vậy các số phức cần tìm là: z   4i z  Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn: z  z  Giải: Gọi z = x + yi  x, y  R  ,   Khi đó z  z    x  yi   x  y   x  y  x  y  xyi    x   x2  y  x2  y2  2  x  y  x  y    x  y  x  y      x     y   2 xy  y     2 2   x  y  x  y   x  x     x    x     y    x  0, y      y     x  0, y   y 1  y     y  y   1  y   y            x  0, y  1 y    y    y     y       x 1  x     x  x     x  0, y   x         x   x       1  x  Vậy các số phức cần tìm là: z  0; z  i; z  i Bài 7: Tìm số phức z thoả mãn : z   i  Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Giải: Gọi số phức z  a  bi Theo bài ta có:  a    2  b  1   a    b  1 i   a     b  1     b  a  b  a   a     b  1    Bài 8: Tìm số phức z thỏa mãn  z  1  z  2i  là số thực và 2 2   Vậy số phức cần tìm là: z    1  i ; z    1  i z 1  Giải: www.mathvn.com Lop12.net 14 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Đặt z  a  bi (a,b là số thực) Ta có www.MATHVN.com  z  1  z  2i   a  b  a  2b   2a  b   i Email: Loinguyen1310@gmail.com là số thực  2a  b   1  a  1  b    Từ (1) và (2) ta có  a; b    0;  ;  2; 2  z 1   Vậy z  2i; z   2i Bài 9: a Tìm số phức z để cho: z z  z  z   3i   b (ĐH – D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z –  – 4i    Giải: Gọi số phức z  x  yi ( x , y  R ) Ta có z.z  z  z   3i     x  yi  x  yi    x  yi    x  yi     3i  x  y   yi    3i  x  y  yi   3i  y  x  y     6 y  3  x   15  15 15 Vậy: z   i; z    i 2 2 b Giả sử M  a; b  biểu thị số phức z  x  yi ( x , y  R ) 2 Theo giả thiết ta có z –  – 4i   x –   y   i 2 Vậy  z –  – 4i    ( x  3)2  ( y  4)    x – 3   y    Do đó tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z mp Oxy là đường tròn tâm I  3; 4  và bán kính R = 2 z  i  z  z  2i  Bài 10: Tìm số phức z thỏa mãn:  2  z  ( z )  Giải: Gọi số phức z  x  yi ( x , y  R ) 2 x  ( y  1)i  (2 y  2)i 2 x   y  1 i   y  1 i Hệ     xyi   xyi  www.mathvn.com Lop12.net 15 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com  x2 y   x    2 x   y  1   y  1     y    x  xyi   y    y    x  Vậy số phức cần tìm là : z    i Bài 11: (ĐH – B 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  i  1  i  z Giải: Giả sử z  a  bi  a, b  R  Suy : z  i  a  (b  1)i và 1  i  z  1  i  a  bi    a – b    a  b  i Theo giả thiết z  i  (1  i ) z  a   b  1 i   a  b    a  b  i  a  (b  1)2  (a  b)2  (a  b)2  a   b – 2b  1   a  b   a  b  2b –   a   b  1  Vậy tạp hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn I  0; 1 và bán kính R  Bài 12: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z   3i  Tìm số phức z có modul nhỏ Giải: Giả sử z  x  yi , đó: 3 2 z –  3i    x     y  3 i    x     y  3  2 Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn  C  tâm I  2; 3 và bán kính R  Môđun z ( z ) đạt giá trị nhỏ và M thuộc đường tròn  C  và gần O  M trùng với M1 là giao đường thẳng OI với đường tròn  C  Ta có: OI    13 Kẻ M1H  Ox Theo định lý Talet ta có: 13  M H OM1   OI 13 13   2 13  78  13  M1 H   26 13  13M H  13  www.mathvn.com Lop12.net 16 Giáo viên: Nguyễn Thành Long www.MATHVN.com DĐ: 01694 013 498 13  OH  OH  26  13 Lại có:  13 13 Email: Loinguyen1310@gmail.com 26  13 78  13  13 26 Bài 13: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z   2i  , tìm số phức z có modun nhỏ Vậy số phức cần tìm là: z  Giải: Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z Ta có 2 z   2i    x  1   y  2  2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn (C) :  x  1   y    có tâm (1;2) Đường thẳng OI có phương trình y  2x Số phức z thỏa mãn điều kiện và có môdun nhỏ và điểm biểu diễn số phức đó thuộc đường tròn (C) và gần gốc tọa độ O nhất, điểm đó là hai giao điểm đường thẳng OI với (C), đó tọa độ nó thỏa mãn hệ  x  1  y  x Chọn   2   x  1   y    x  1       y  2 Với x  1 nên số phức z      2  i 5 5  5  Cách 2: Gọi z = x + yi, M(x ; y ) là điểm biểu diễn số phức z 2 Ta có z   2i    x  1   y  2  2 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn (C) :  x  1   y    có tâm I 1;  và R   x   sin t Chuyển đường tròn dạng tham số đặt   M 1  sin t ;  cos t  y   cos t   Modun số phức z chính là độ dài OM 2 Ta có z  OM  1  2sin t     2cos t     sin t  2cos t  Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxki ta có  sin t  2cos t   12  22  sin t  cos t      sin t  cos t     z   Vậy z    sin t  2cos t    sin t    x 1 ,y  2 , cos t        z  1    2  i 5  5  Chú ý: Nếu yêu cầu tìm www.mathvn.com Lop12.net 17 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com z max    sin t  2cos t   sin t  , cos t       x 1 ,y  2  z  1    2  i 5 5  5  Bài 14: Tìm số phức z có môđun nhỏ thỏa mãn: Email: Loinguyen1310@gmail.com z   5i  z 3i Giải: Gọi z  a  bi (a,b thuộc R)  z  a  bi z   5i a  bi   5i  a  1   b   i Ta có   a  bi   i  a  3   b  1 i z 3i Theo giả thiết  a  1 z   5i  z 3i   a  1  *  a  3  a  3 2  b  5   b  1 2  b  5   b  1    a  b  10a  14b   * là phương trình đường tròn mặt phẳng phức Nên số phức có môđun nhỏ phần thực và phần ảo là nghiệm đường tròn  * và đường thẳng IO với I  5; 7  là tâm đường tròn Gọi I là tâm mặt cầu (S) I  d  I 1  3t; 1  t ; t  , R  IA  11t  2t   34  370 t  a  5t 37 IO :   Phương trình 37t  74t      37  370 b  7t t  37  Khi đó ta 34  370 34  370 37  370 37  370 z  5 7 , z  5 7  loai  37 37 37 37 34  370 34  370 7 37 37 Bài 15: Trong số các số phức thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có modun nhỏ Vậy số phức cần tìm là z  5 Giải: Giả sử số phức z  x  yi ( x , y  R ) Theo giả thiết ta có z   4i  z  2i   x     y   i  x   y   2   x  2   y    x2   y    x  y    y   x  www.mathvn.com Lop12.net 18 Giáo viên: Nguyễn Thành Long www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 Do đó tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là đường thẳng y   x  2 Mặt khác ta có z  x  y  x    x    x  x  16   x     2 z  2  x   y  2  z   2i Nhận xét: Qua các bài ta thấy để tìm ta có thể dùng hình học, bất đẳng thức tam thức bậc hai bài toán sau đây 1 m Bài 16: Xét số phức z thỏa mãn z  m  R  m  m  2i  a Tìm m để z z  c Tìm số phức z có modun lớn HD: b Tìm m để z  i  b  a m  1 c Ta có z  m2  m  1  m2  1 15 m 15   z max   m   z  i Dạng 4: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Loại 1: Số phức z thỏa mãn độ dài (modun), đó ta sử dụng công thức z  a  b Loại 2: Số phức z là số thực (thực âm thực dương) Khi đó ta sử dụng kết a Để z là số thực điều kiện là b  a  b Để z là số thực âm điều kiện là  b  a  c Để z là số thực dương điều kiện là  b  d Để z là số ảo điều kiện là a  Bài 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn mặt phẳng phức các số phức z thoả mãn: z i a z  z   4i b 1 zi Giải: a Đặt z  x  yi ( x, y  R) , ta có z  z   4i  x2  y   x  3  4  y  x  y  ( x  3)2  (4  y )  x  y  x  x   16  y  y  x  y  25 Vậy tập hợp các điểm cần tìm là đường thẳng có phương trình x  y  25 www.mathvn.com Lop12.net 19 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com Email: Loinguyen1310@gmail.com z i   z  i  z  i  x  ( y  1)i  x  ( y  1)i zi  x  ( y  1)2  x  ( y  1)2  y  Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục thực Ox b Đặt z  x  yi ( x, y  R) , ta có Bài 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn mặt phẳng phức số phức   (1  i 3) z  biết số phức z thoả mãn: z   Giải: Đặt z  a  bi (a, b  R) và   x  yi ( x, y  R) Ta có z    (a  1)  b  (1)  x  a  b   x   a   b Từ   (1  i 3) z   x  yi  (1  i 3)(a  bi )      y  3a  b  y   3(a  1)  b Từ đó ( x  3)  ( y  3)2  (a  1)  b   16 (do (1)) Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn ( x  3)  ( y  3)  16 , tâm I (3; 3) , bán kính R  Bài 3: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn các điều kiện sau: a z   i  b  z  z  c  z   i  Giải: a Cách 1: Ta có M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và I 1; 1 là điểm biểu diễn số phức z   i Theo giả thiết ta có: MI  Vậy tập hợp điểm M chính là đường tròn tâm I 1; 1 bán kính là R  Cách 2: Đặt z  x  yi suy z   i   x  1   y  1 i nên z   i   ( x  1)  ( y  1)   ( x  1)2  ( y  1)2  Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I 1; 1 bán kính R2 b Ta có:  z  z – 1 2  Ta có M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A  2;  là điểm biểu diễn số phức z  2 , B  2;  là điểm biểu diễn số phức z = Dựa vào giải thiết ta có: MA  MB  M (nằm bên phải) đường trung trực  x   A và B Hay x  c Ta có: z   i  z  (1  i) Ta có M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A  1;1 là điểm biểu diễn số phức z  1  i Ta có:1  MA  Vậy M thuộc miền có hình vành khăn tạo đường tròn tâm A  1;1 bán kính là và Bài 4: Xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thõa mãn các điều kiện sau www.mathvn.com Lop12.net 20