Chuyên đề Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng)

ThS Lê Văn Đoàn Chuyên đề Mũ – Logarit (Dùng cho ôn luyện TNPT Đại học – Cao đẳng) 07/2013 Email: vandoan_automobile@yahoo.com.vn www.MATHVN.com MỤC LỤC Trang A – Công thức mũ & logarit cần nhớ B – Phương trình & Bất phương trình mũ Dạng toán Giải cách đưa số logarit hóa Các thí dụ Bài tập tương tự 16 Dạng toán Giải cách đặt ẩn phụ 25 Các thí dụ 25 Bài tập tương tự 67 Dạng toán Giải cách sử dụng tính đơn điệu hàm số 77 Các thí dụ 77 Bài tập tương tự 88 C – Phương trình & Bất phương trình logarit 92 Dạng toán Giải cách đưa số 92 Các thí dụ 93 Bài tập tương tự 124 Dạng toán Giải cách đặt ẩn phụ 138 Các thí dụ 138 Bài tập tương tự 154 Dạng toán Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức 164 Các thí dụ 165 Bài tập tương tự 175 D – Hệ phương trình & Hệ bất phương trình mũ – logarit 180 Dạng toán Giải hệ phép biến đổi tương đương 180 Các thí dụ 180 Bài tập tương tự 192 Dạng toán Giải hệ cách đặt ẩn phụ 197 Các thí dụ 197 Bài tập tương tự 206 Dạng toán Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức 216 Các thí dụ 216 Bài tập tương tự 226 E – Bài toán chứa tham số mũ – logarit 230 Các thí dụ 231 Bài tập tương tự 250 www.DeThiThuDaiHoc.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn A – CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ Công thức mũ lũy thừa: a b số thực dương, x y số thực tùy ý  a x =   bx  b  ax a n = a.a.a a n số a a x + y = a x a y a x−y = ax ay y ⇒ a −n = y = ay a =a x y   u (x) = ⇒ x = 1, ∀u (x)   x ≠  an x ( ) ( ) a x.y = a x x x a x bx = (a.b) n a.n b = n ab n am = m m ( ) n a = an Công thức logarit: Cho < a ≠ b, c > b = loga b − loga c c loga b = x ⇔ b = a x loga lg b = log b = log10 b α log b α lẻ a loga bα =  α loga b α chẳn  (logarit thập phân) ln b = loge b , (e = 2, 718 ) log (logarit tự nhiên hay log nepe) aα b= loga b α loga = 0, loga a = b = loga a b loga (b.c) = loga b + loga c b=a loga b Công thức đổi số loga b = loga b = logc b a logc a ln b , loga b = logb a ln a logb c log a =c b logab c = Hàm số mũ – logarit đạo hàm a/ Hàm số mũ y = a x , (a > 0, a ≠ 1)  Tập xác định: D = » www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - 1 + loga c logb c www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit  Tập giá trị: T = (0, +∞) ● Khi hàm số đồng biến  Tính đơn điệu ● Khi : hàm số nghịch biến  Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang  Dạng đồ thị: 1 O O b/ Hàm số logarit y = loga x , (a > 0, a ≠ 1)  Tập xác định: D = (0, +∞)  Tập giá trị: T = » ● Khi : hàm số đồng biến  Tính đơn điệu ● Khi : hàm số nghịch biến  Nhận trục tung làm tiệm cận đứng  Dạng đồ thị O O c/ Đạo hàm hàm mũ logarit Đạo hàm hàm số sơ cấp ' (x ) = α.x α ' α−1 , (x > 0) (a ) = a ln a x ' (e ) = e x x ⇒ eu = eu u ' ' ( ) a = ' ( ) ⇒ a u = a u u ' ln u ' ' ' ( ) ⇒ uα = α.uα−1 u ' x (log x ) = x ln1 a (ln x) Đạo hàm hàm số hợp , (x > 0) x ( ⇒ loga u ' ) = u uln' a ' ⇒ (ln u) = u' u www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - Ths Lê Văn Đoàn Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn B – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng Giải phương trình mũ cách đưa số logarit hóa I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN Đưa số: Phương trình mũ:  Dùng công thức mũ lũy thừa đưa dạng Với  Trường hợp số a có chứa ẩn thì: Bất phương trình mũ:  Dùng công thức mũ lũy thừa đưa dạng Nếu Nếu  Trường hợp số a có chứa ẩn Logarit hóa: Lưu ý: Khi giải phương trình, bất phương trình cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Sau giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để nhận nghiệm (tập nghiệm) thích hợp II – CÁC THÍ DỤ 2x +3 Thí dụ Giải phương trình: x +8 3.243 x+8 = x+2 9 (∗) Bài giải tham khảo x ≠ −8 ● Điều kiện:   x ≠ −2  ● Ta có: = ; 243 = 35 ; = 32 ;  2x +3   5  x +8  (∗) ⇔ 3 ⇔3 ⇔  2x +3  +5   x +8  −2 = 3−2 nên:  x +8   2  x +2  = 3  x +8  −2+2   x +2  =3  2x +   x +   = −2 +   +   x +   x +  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Ths Lê Văn Đoàn ⇔ 41x + 102x − 248 = ⇔ x = −4 ∨ x = 62 41 ● Kết hợp với điều kiện, phương trình cho có hai nghiệm: x = −4 ∨ x = Thí dụ   Giải phương trình: 3 3 3  6x +7 3x−1     =  27      62 41 (∗) Bài giải tham khảo ● Ta có:  3 3 3 3  (∗) ⇔ ⇔ 16 (3x−1) 3x−1    =3 2    3  2   6x +     16 3  23        2     = 3 3 3.3    =  3 27  = 3 32.3   = 24                      23 (6x +7) 24 16 23 3x − 1) = ( (6x + 7) 24 ⇔ x=− 611 30 ● Vậy phương trình cho có nghiệm x = − Thí dụ Giải phương trình: 42x+1.54x +3 = 5.102x +3x−78 611 30 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » (∗) ⇔ 4x +2 5.54x +2 = 5.102x +3x−78 ⇔ 5.104x +2 = 5.102x +3x−78 ⇔ 4x + = 2x2 + 3x − 78 ⇔x= ± 641 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = Thí dụ ± 641 Giải phương trình: 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Ths Lê Văn Đoàn (∗) ⇔ 5.3x + 4.3x = 7.2x − 3.2x ⇔ 3x.9 = 2x.4  x  −2 ⇔   =       ⇔ x = −2 ● Vậy phương trình có nghiệm x = −2 Thí dụ Giải phương trình: 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » (∗) ⇔ 5x + 5x 5x 3x 3x + = 3.3x + + 5   1 1 ⇔ 5x 1 + +  = 3x 3 + +    25   ⇔ 31 x 31 = 3x 25 x 5 25   ⇔   = =       ⇔ x = ● Vậy phương trình có nghiệm x = Thí dụ Giải phương trình: ( 17 + 2x−1 3x ) = ( 17 − ) x−1 x +1 (∗) Bài giải tham khảo ● Ta có: (∗) ⇔ ⇔ ( ( 17 + 17 + )( 2x−1 3x ) = ) 17 − = ⇒ ( − 17 + ) ( ) 17 − = ( 17 + ) = ( −1 17 + ) x−1 x +1 2x − x −1 =− 3x x +1 ⇔ 5x2 − 2x − = ⇔ x = 1± ● Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 1− 1+ ∨ x= 6 Nhận xét: Dạng tổng quát toán a Ta có: a.b = ⇒ b = f ( x) =b g( x) với a.b = f ( x) −g(x ) = a −1 ⇒ (∗) ⇔ a = a ⇔ f (x ) = −g (x ) a www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Thí dụ (∗) Giải phương trình: 2x+2 − 2x+1 − = x+1 + Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » (∗) ⇔ 4.2 x − 2.2x − = 2.2x + ⇔ 2.2 x − = 2.2 x − 2.2x − ≥   ⇔ 2.2x − = 2.2 x −  x 2.2 − = −2.2 x +   x 2 ≥ = 2−1 ⇔   x 4.2 =  x ≥ −1  ⇔  x 2 = = 2−1  ⇔ x = −1 ● Vậy nghiệm phương trình x = −1 Thí dụ Giải phương trình: x−1 ( x + 2) x−3 = ( x + 2) (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x − ≥ ⇔ x ≥ (∗) ⇔ (x + 2) − 1  x − − (x − 3) =  x + = ⇔   x − = x −  x = −1  ⇔ x − ≥  x − = x − 6x +   x = −1  ⇔ x ≥ x = ∨ x =   x = −1 ⇔   x = ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình x = Thí dụ Giải phương trình: (x ) +3 x2 −5x +4 ( x +4 ) = x2 + www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - (∗) Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » (∗) ⇔ (x + − 1  x − 5x + − (x + 4) =   )  x + − = (VN)  ⇔  x − 5x + = x +  x + ≥ ⇔  x − 5x + = x +   x − 5x + = −x − (VN) x ≥ −4 ⇔  x = ∨ x =  ⇔ x = ∨ x = ● Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = ∨ x = Thí dụ 10 (∗) Giải phương trình: 2x−3 = 3x −5x+6 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » ● Lấy logarit số hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 2 2x−3 = log 3 x −5x +6 ( ) ⇔ (x − 3) log2 = x − 5x + log2 ⇔ (x − 3) − (x − 2)(x − 3) log2 = ⇔ (x − 3) 1 − (x − 2) log2 3 =   x − = ⇔  1 − (x − 2) log2 x = ⇔   x = log3 + = log3 18 ● Vậy phương trình có hai nghiệm x = ∨ x = log3 18 Thí dụ 11 Giải phương trình: 52x −5x2 +3 −7 x2 − =0 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » ● Lấy logarit số hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 5 2x −5x2 + − log5 x2 − =0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Ths Lê Văn Đoàn  3 ⇔ 2x − 5x + log5 − x −  log =   ( )  )x ( ⇔ x2 − 3  3 −  − x −  log5 =     3 ⇔ x2 −  2 x − − log5  =     ( )   x2 =  ⇔  log5  +1 x =   x − = ⇔ ⇔  2 x − − log5 =  ( ) ● Vậy phương trình có nghiệm x = ± Thí dụ 12  x = ±    log5 175 x = ±  ∨ x=± log5 175 2 (∗) Giải phương trình: 2x −4.52−x = Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » ● Lấy logarit số hai vế, ta được: (∗) ⇔ log (2 x2 −4 ) 52−x = log2 ⇔ log2 2x −4 + log2 52−x = ⇔ x2 − + (2 − x ) log2 = ⇔ (x − 2)(x + 2) − (x − 2) log2 = ⇔ (x − 2)(x + − log2 5) = x = ⇔   x = −2 + log2 ● Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = ∨ x = −2 + log2 Thí dụ 13 Giải phương trình: 2x −2x = (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » ● Lấy logarit số hai vế, ta được: (∗) ⇔ log 2 2x −2x = log2 ⇔ x − 2x.log2 = log2 − log2 ⇔ x2 − 2x + − log2 = (1) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit (∗) ⇔ log (3 + ) www.MATHVN.com ( − x = log2 − x − Ths Lê Văn Đoàn ) ⇔ + − x = − x −1 ⇔ − x + x −1 = ⇔ + (5 − x )(x − 1) = ⇔ x = ∨ x = ● Điều kiện đủ: Khi x = (∗) ⇔ log2 (a2 − 5a − 5) = log2+a2 Hiển nhiên không thỏa mãn với: 5− 5+ −4x   f (x ) = 5x − 4x + ≥ m (1)  x2 + ⇔ g x = − 4x < m (2)  ( ) x + ( )  5x − 4x + ● Xét hàm số f (x ) = » x2 + ( ) Ta có : f ' (x ) = 4x2 − (x Bảng biến thiên −∞ x f ' (x ) ) +1 Cho f ' (x ) = ⇔ x = ∨ x = −1 −1 + − 14 f (x) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 243 - +∞ + www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Dựa vào bảng biến thiên (1) ta : m ≤ f (x ) = Ths Lê Văn Đoàn (3 ) » ● Xét hàm số g (x ) = Ta có: g ' (x ) = −4x (x ) +1 4x2 − ( ) x2 + Bảng biến thiên −∞ x » Cho g ' (x ) = ⇔ x = −1 ∨ x = −1 + g ' (x ) − +∞ + g (x ) Dựa vào bảng biến thiên (2) ta được: m > max g (x ) = (4 ) » ● Từ (3), (4) ta được: m ∈ (2; 3 thỏa yêu cầu toán  Thí dụ 21 ( ) Tìm m để bất phương trình: log x2 − 2x + m > −3 (∗) có nghiệm ? Bài giải tham khảo −3 (∗) ⇔ log ( 1 x − 2x + m > log     ) x − 2x + m < ⇔  x − 2x + m >  f (x ) = −x2 + 2x + < m (1)  ⇔ g (x ) = −x + 2x > m (2)  ● Xét hàm số f (x ) = −x + 2x + » f ' (x ) = −2x + Cho f ' (x ) = ⇔ x = O Bảng biến thiên −∞ x + f ' (x ) +∞ − f (x) −∞ +∞ Dựa vào bảng biến thiên (1) ta : m < max f (x ) = ● Xét hàm số g (x) = −x2 + 2x » g ' (x ) = −2x + Cho g ' (x ) = ⇔ x = Bảng biến thiên −∞ x +∞ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 244 - (3) Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit + g ' (x) www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn − g (x ) −∞ +∞ Dựa vào bảng biến thiên (2) ta m < max g (x ) = (4 ) ● Vậy m < bất phương trình có nghiệm Các thí dụ hệ (bất) phương trình mũ – logarit chứa tham số Thí dụ 22 Xác định giá trị tham số m để hệ sau hai nghiệm phân biệt: log (x + 1) − log (x − 1) > log (1)  3  log2 (x − 2x + 5) − m log 2=5 (2) x −2x +5  Đại học Cần Thơ năm 2001 Bài giải tham khảo x > 1 ⇔ ( ) 2 log (x + 1) − log (x − 1) > log 3  x >  ⇔  log x + > log 3 x −1  x >  ⇔  x +  >2  x − x >  ⇔  − x  >0  x − ⇔ < x < ● Đặt y = x2 − 2x + xét hàm y = x2 − 2x + (1; 3) y ' = 2x − Cho y ' = ⇔ x = −∞ x − y' +∞ + y ● Do : ∀x ∈ (1; 3) ⇒ y ∈ (4; 8) ( ) ● Đặt t = log2 x2 − 2x + ( ) Do : y = x − 2x + ∈ (4; 8) ⇒ t = log2 x − 2x + ∈ (2; 3) (2) ⇔ t − mt = ⇔ f (t) = t − 5t = m (∗), ∀t ∈ (2; 3) ● Xét hàm số f ( t) = t − 5t khoảng (2; 3) 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 245 - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit f ' (t) = 2t − Cho f ' (t) = ⇔ t = Bảng biến thiên t −∞ 2 − f ' (t) Ths Lê Văn Đoàn +∞ + −6 −6 f (t) − 25 25 < m < −6 (2x + 1)  ln (x + 1) − ln x  = (2y + 1) ln (y + 1) − ln y (1)     Tìm m để hệ  có nghiệm ?   y − − (y + 1)(x − 1) + m x + = 2) (  ● Dựa vào bảng biến thiên, hệ có hai nghiệm phân biệt ⇔ − Thí dụ 23 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > 0, y > y +1 = (2y + 1) ln (1) ⇔ (2x + 1).ln x + x y ⇔ f (x ) = f (y) ● (3) t+1 khoảng (0; +∞) t Giả sử t1 < t2 t1, t2 ∈ (0; +∞) Xét hàm số f (t) = (2t + 1) ln 2t + > 2t + >  2 t +1 t +1  Ta có:  t2 + ⇒ (2t2 + 1) ln > (2t1 + 1) ln t1 + ln > ln >0 t2 t1  t2 t1 ⇒ t2 > t1 ⇔ f (t2 ) > f (t1 ) ⇒ f (t) : đồng biến (4) ● Từ (3), (4) ⇒ f (x ) = f (y) ⇔ x = y (2) ⇔ ⇔ ● x − − (x + 1)(x − 1) + m x + = x −1 x −1 − +m=0 x +1 x +1 Đặt a = (5) x −1 , với a ∈  0;1) x +1 (5) ⇔ −a2 + 2a = m = f (a) ● Xét hàm số f (a) = −a2 + 2a 0;1)  f ' (a ) = −2a + Cho f ' (a ) = ⇔ −2a + = ⇔ a = ∉  0;1)  ● Để phương trình có nghiệm ⇔ f (0) ≤ m < f (1) ⇔ ≤ m < ● Vậy m ∈ 0;1)  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 246 - Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Thí dụ 24 www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn x  3x − ≥ (1) có nghiệm ? Tìm a cho hệ:  1 + log a − x ≥ log x + ) () 2(  Đại học Tổng Hợp Tp Hồ Chí Minh năm 1995 ( ) Bài giải tham khảo x (1) ⇔ x x ≥4+ ( 5) x        ⇔ ≥   +       (1') x x       ● Xét hàm số f (x ) =   +   »  3   x x      f ' (x ) = 4.  ln +   ln < 0, ∀x ∈ » ⇒ f (x ) nghịch biến »     (1') ⇔ ≥ f (x ) ⇔ f (2) ≥ f (x) ⇔ x ≥ (2) ⇔ log 2 (a − x ) ≥ log (x + 1) ⇔ (a − x ) ≥ x + 2 4 x + 2x + = g (x ) ● Xét hàm số g (x ) = x + 2x + với x ≥ g ' (x ) = 4x + > 0, ∀x ∈ 2; +∞) ⇒ g (x ) đồng biến 2; +∞)   Bảng biến thiên +∞ x −∞ + g ' (x) ⇔a≥ ( ) ( ( ) ) +∞ g (x) 21 ● Vậy hệ có nghiệm a ≥ Thí dụ 25 21 9x2 − 4y2 =  Tìm giá trị lớn tham số m cho hệ  logm (3x + 2y) − log3 (3x − 2y) =  có nghiệm (x; y) thỏa 3x + 2y ≤ ? Bài giải tham khảo (3x + 2y)(3x − 2y) = ● Ta có:  ⇒ 3x − 2y ≥ 3x + 2y ≤  ● Đặt t = 3x − 2y ⇒ 3x + 2y = t www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 247 - (1) (2) Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn     − log t =  t  5 ⇔ log m 3.log   = + log t  t  (2) ⇔ log m ⇔ log m = ⇔ log m = ● + log3 t 5 log    t  + log t (3) log3 − log t Đặt z = log t, (z ≥ t = 3x − 2y ≥ 1) (3) ⇔ log m 3= z +1 = f (z), ∀z ≥ z ≠ log3 −z + log ● Xét hàm số: f (z) = f ' (z ) = z +1  0; +∞ ) \ {log 5}  −z + log log + (−z + log 5) > 0, ∀z ∈  0; +∞) \ {log 5} Bảng biến thiên z −∞ log3 + f ' (z ) +∞ + −1 +∞ f (z ) log5 −∞ ● Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thỏa 3x + 2y ≤ logm ≤ −1 ∨ logm ≥ log5 ⇔ 1 ≤ −1 ∨ ≥ log m log m log5 ⇔ log3 m ≥ −1 ∨ log3 m ≤ log3 ∨ m ≤ ● Vậy giá trị lớn m m =  5x + x +1 − 5+ x +1 + 2014x ≤ 2014 7 Tìm m để hệ bất phương trình:  x − (m + 2) x + 2m + ≥  ⇔m≥ Thí dụ 26 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ −1 (1) ⇔ 75x.7 ⇔7 x +1 x +1 (7 − 5.7 5x x +1 ≤ 2014 − 2014x ) − ≤ 2014 (1 − x ) (3) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 248 - (1) (2) có nghiệm ? www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit  x +1 5x − 75 > 7 ● Với x > ⇒  ⇒7 2014 (1 − x) <  Vô nghiệm x > , ⇒ : ( )( ) ( ) ( ) x +1 (7 5x Ths Lê Văn Đoàn ) − > 2014 (1 − x) ● Với x ∈ −1;1 ⇒ (3) :   ● Hệ có nghiệm ⇔ x2 − (m + 2) x + 2m + ≥ có nghiệm ∀x ∈ −1;1   ⇔m≥ x2 − 2x + = f (x) có nghiệm ∀x ∈ −1;1 ⇔ m ≥ f (x)   −1;1 x−2   x2 − 2x + −1;1   x −2 x2 − 4x + f ' (x ) = , ∀x ∈ −1;1   (x − 2) ● Xét hàm số f (x) =  x = + ∉ −1;1    Cho f ' (x) = ⇔ x2 − 4x + = ⇔     x = − ∈ −1;1    f (−1) = f (1) = −2  ⇒ f (x) = −2 Tính  −1;1 f − = −    ● Vậy m ≥ −2 thỏa yêu cầu toán ( ) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 249 - ( 4) www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Ths Lê Văn Đoàn BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 25 Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm ? 1/ x + 5.2 x + m = 2/ 3/ 4/ 9x + 3x + m = 9x + m.3x − = x − x +1 = m 5/ 2x + (m + 1) 2−x + m = 6/ 25 x − 2.5 x − m − = 7/ 16x − (m − 1) 22x + m − = 8/ 25x + m.5x + − 2m = 9/ 81sin 10/ x 4−2x2 + 81cos x = m 2− x − 2.3 x +1 + 3−x + 2m − = − 14.2 x +1 + 3−x 11/ 12/ 9x + 1−x2 − 8.3x + 13/ 91+ 1− x2 − (m + 2) 31+ 1−x2 Bài tập 27 + = m +4=m 1− x2 x Bài tập 26 ĐS: m ∈ (−∞; 0) + 2m + =  48  ĐS: m ∈ 4;   7   x  +      + m  −  = 14/  ĐS: m ∈ (−∞;16         Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm ? 1/ m.2x + 2−x − = ĐS: m = ∨ m = 2/ m.16x + 2.81x = 5.36x ĐS: m = 3/ ( 4/  x  x  +   −   + m   =  2     ĐS: m = 5/ x − 2x + + = m ĐS: m ∈ (−13; 3) 6/ 9x + m.3x + = ĐS: m ∈ (−∞; −4 ) x ) +1 + m ( x ) −1 = 2x 25 25 ĐS: m = Tìm tham số m để phương trình mũ sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu ? 1/ 49x + (m − 1) x + m − 2m2 = 2/ (m + 1).4x + (3m − 2).2x +1 − 3m + = 3/ 9x + (m − 1) 3x − 5m + = 4/ (m + 3).16x + (2m − 1).4x + m + = ĐS: Không có m thỏa YCBT  1 ĐS: m ∈ −1;     2 ĐS: m ∈ 0;     3 ĐS: m ∈ −1; −    www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 250 - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit 5/ x − (m + 1) 2x + 3m − = 6/ x − 2x + = m (x − ) 1−x Bài tập 28 Tìm m để bất phương trình: Ths Lê Văn Đoàn 8  ĐS: m ∈  ; 9   ĐS: Không tồn m thỏa YCBT   (m − 1) 6x − + 2m + 1 x     ≥ có nghiệm ex − πx + 2014 ∀x ∈  0;1 ? Tìm tham số m để phương trình ĐS: m ≤ Bài tập 29 1/ 16x − m.8 x + (2m − 1) 4x = m.2x có ba nghiệm phân biệt ? ĐS: m > + 2 ∨ m < − 2 2/ x − 2x +2 + = m có ba nghiệm phân biệt ? ĐS: m = 3/ 2 9x − 4.3x + = m có ba nghiệm phân biệt ? ĐS: m = Bài tập 30 Bài tập 31 Bài tập 32 Cho phương trình: Bài tập 34 = (∗) m +1 1/ Giải phương trình m = 2/ Tìm m để (∗) có hai nghiệm trái dấu ? 3/ Tìm m để (∗) có hai nghiệm thuộc (1; 4) ? Cho phương trình: 2x −5x + Giải phương trình m = 2/ Tìm m để (∗) có nghiệm phân biệt ? Cho phương trình: 3x −2x +2 ĐS: x = ∨ x = ĐS: m >   ĐS: m ∈ − ; 0   + 21−x = 2.26−5x + m 1/ 1/ 2/ 3/ Bài tập 33 x2 −4x + + 22x −4x + ĐS: x = ±1 ∨ x = ∨ x =  1  ĐS: m ∈ (0;2) \  ;   256  + x2 − 2x + − m = Giải phương trình với m = Giải phương trình với m = 27 Tìm m để phương trình có nghiệm ? Cho phương trình: 27 mx −2x2 + 3x −2 = (∗) (∗) ĐS: x = ĐS: x = ∨ x = ĐS: m > 9−mx − x +2 (∗) 1/ Giải phương trình với m = −3 2/ Tìm m để (∗) có ba nghiệm dương phân biệt ? ∨x= 3   ĐS: m ∈ (0;1) \     ĐS: x = −1 ∨ x = Cho phương trình: (2m + 3).16x − (4m − 2) 4x + 3m − = (∗) 1/ Giải phương trình với m = ĐS: x = ∨ x = − log2 2/ Tìm m để (∗) có hai nghiệm trái dấu ?   ĐS: m ∈ − ; 3   www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 251 - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Bài tập 35 Tìm m để phương trình x − m.2x + m + ≤ có nghiệm ? ĐS: m < −3 ∨ m ≥ Bài tập 36 Tìm m để phương trình: log27 2x − x + 2m − 4m + log ( ) Ths Lê Văn Đoàn x + mx − 2m = 2 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa: x + x > ? Đề thi thử Đại học 2012 – Đề 18 – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quãng Nam 2 1 ĐS: m ∈ (−1; 0) ∪  ;    Bài tập 37 2 Tìm m để bất phương trình: m.92x −x − (2m + 1).62x −x + m.42x −x ≤ nghiệm với x thỏa mãn x ≥ ? ĐS: m ∈ (−∞;1  Bài tập 38 Tìm m để phương trình: log25 x + log25 x + − m − = có nghiệm thuộc đoạn 1;  ?   Đề thi thử Đại học năm 2009 khối A – THPT Nguyễn Trung Ngạn ĐS: m ∈ 0; 5 Bài tập 39 Tìm a để phương trình: log x + a log x + a + = có hai nghiệm phân biệt ? Đề thi thử Đại học năm 2012 lần – THPT Chuyên – Đại học Sư Phạm Hà Nội Bài tập 40 1− ∨ a ∈ (−∞; −1) Tìm m để phương trình: 25 x + (m − 1) x + 2m + = có nghiệm ? Bài tập 41 Đề thi thử Đại học năm 2010 – TTBDVH Thăng Long – Tp HCM Tìm a để phương trình: log 25x − log5 a = x có nghiệm ? ĐS: a = ( ) Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội ĐS: a = Bài tập 42 ∨ a ≥ Tìm m để phương trình: log (27x + 1) + log (x + m ) + = có nghiệm x ≥ ? 27 Đề thi thử Đại học năm 2011 – Đợt – TTBDVH Thăng Long – Tp HCM  1 ĐS: m ∈ 0;    Bài tập 43 Tìm m để phương trình: 4cos x + − 4cos x − = m có nghiệm ? HSG tỉnh Hưng Yên – Khối 12 – năm học 2008 – 2009 Bài tập 44 x2 + > log (ax + a ) có nghiệm ? Tìm a để bất phương trình: log 3 Đề thi thử lần năm 2011 khối A, B – THPT Nguyễn Huệ    a ; ; ∈ −∞ − ∪ +∞ ĐS:  ( )    www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 252 - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Bài tập 45 Bài tập 46 Bài tập 47 Ths Lê Văn Đoàn (2x − 1)  ln x + ln (x − 1) − (2y + 1) ln (y + 1) y =     Tìm m để hệ  có nghiệm ?   y − − (y + 1)(x − 2) + m x =   ĐS: m ∈ 0;1)  log (x + 1) − log (x − 1) > log  3 Tìm m để hệ  có hai nghiệm thực phân biệt ? log x2 − 2x + − m log = x −2x +  Đề thi thử Đại học 2012 – Đề – Thầy Văn Phú Quốc – Đại học Quảng Nam  25  ĐS: m ∈ − ; −6     log x − log y = 3 Tìm m để hệ phương trình:  có nghiệm ?  x + y − my =  ( ) Đề thi thử Đại học khối A năm 2011 – Đại học Sư Phạm Hà Nội ĐS: m ∈ (0; +∞) Bài tập 48 Bài tập 49 Bài tập 50 x  3 x − x ≥ Tìm a để hệ phương trình:  ? 1 + log a − x ≥ log x + ( ) 2  Đề thi thử Đại học năm 2010 – TTBDVH & LTĐH Quang Minh 21 ĐS: a ≥  x 2 + x = x2 + y + m Xác định m để hệ phương trình  có nghiệm ? x2 + y2 =  ĐS: m = ( ( Bài tập 53 x ( ) ( x + 2− ) =m Giải phương trình m = Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt ? Cho phương trình: m.16x + 2.81x = 5.36x 1/ Giải phương trình m = 2/ Tìm m để phương trình có nghiệm ? 1 Cho hương trình:     1/ 2/ Bài tập 54 Giải phương trình m = Tìm m để phương trình có nghiệm ? Cho phương trình: + 1/ 2/ Bài tập 52 ) Cho phương trình: 4x − 4m 2x − = 1/ 2/ Bài tập 51 ) x2 −2x (∗) = m2 + m + Giải phương trình m = − Tìm m để (∗) có bốn nghiêm phân biệt ? 1 Tìm tham số m để phương trình     x2 −4x +3 = m − m + có bốn nghiệm phân biệt ? www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 253 - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Ths Lê Văn Đoàn ĐS: < m < Bài tập 55 Cho phương trình: x − (2m + 1).2x + m + m = Bài tập 56 Giải phương trình m = m = − 2/ Tìm tham số m để phương trình có nghiệm ? Cho phương trình: m.4 x − (2m + 1).2 x + m + = 1/ 1/ (∗) Giải (∗) m = m = Tìm m để phương trình có nghiệm ? Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ −1;1 ?   x x +1 Cho phương trình: − m.2 + 2m = (∗) 2/ 3/ Bài tập 57 Bài tập 58 1/ Giải (∗) m = 2/ Tìm m để (∗) có hai nghiệm thỏa x1 + x2 = Tìm tham số m để phương trình logarit sau có nghiệm ? log (x + 3) = log3 mx 1/ 2/ lg (x + 3) = + lg mx 3/ lg x2 + mx = lg (8x − 3m + 3) 4/ ( lg (x ) 5/ lg (2x − m − 1) + log x + 4mx = ) + 2mx − lg (8x − 6m − 3) = ( ) 10 7/ log2+ x2 − 2(m + 1) x + log2− (2x + m − 2) =   log (x − 2) = log2 (mx ) 8/ log 9/ log x + 4mx = log (2x − 2m − 1) 6/ +2 (x ( ) + mx + m + + log −2 x = ) Bài tập 60 (mx − x ) = Tìm tham số m để phương trình: log (4 − m ) = x + có hai nghiệm phân biệt ? Tìm tham số m để phương trình: log (9 + 9m ) = có hai nghiệm phân biệt ? Bài tập 61 Tìm tham số m để phương trình: log 23 x − (m + 2) log x + 3m − = có hai nghiệm 10/ Bài tập 59 log2 2+ (x − m + 1) + log 2 2− x x 3 phân biệt x1, x2 thỏa: x1x2 = 27 ? Bài tập 62 Tìm m để phương trình ( ) log22 x + log x2 − = m log4 x2 − có nghiệm x ≥ 32 ? Bài tập 63 Tìm m để phương trình (m − 1) log2 (x − 2) − (m − 5) log (x − 2) + m − = có 2 nghiệm x1, x2 thỏa: ≤ x1 ≤ x2 ≤ ? Bài tập 64 Tìm m để phương trình: (m − 3) log21 (x − 4) − (2m − 1) log (x − 4) + m + = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa: < x1 < x2 < ? www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 254 - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit Bài tập 65 Ths Lê Văn Đoàn Tìm m để phương trình: (m − 4) log22 (2 − x ) − (2m − 1) log2 (2 − x ) + m + = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa: < x1 < x2 < ? ( ) − log ( ) x + m = có nghiệm (0;1) ? Bài tập 66 Tìm m để phương trình log2 x Bài tập 67 Tìm m để phương trình lg x + 2mx − lg (2x − m − 1) = có nghiệm ? Bài tập 68 Tìm m để phương trình log Bài tập 69 nghiệm ? Tìm m để tổng bình phương tất nghiệm phương trình log m x − − log m x = 34 ? Bài tập 70 Tìm tham số m để phương trình (x − 2) x x + log m x = log m2 4.log m log m2 log2 4(x−2) x1, x2 thỏa: x m có nghiệm tìm = 2m.(x − 2) có hai nghiệm phân biệt ≤ x1 < x ≤ ? cos πx−sin x Bài tập 71 Bài tập 72 Bài tập 73  αx 3π    Tìm α ∈ (5;16), biết phương trình: + cos  có nghiệm +  =       ∈ 1;2 ?  π 5π  Tìm α ∈ (2;7 ), biết phương trình: log3 1 + sin2  x +  = cos αx − có  2  nghiệm thuộc 1;2 ?   Tìm tham số m để bất phương trình mũ – logarit sau có nghiệm ? 1/ x + m.3x + ≤ ĐS: m ≤ 2 2/ 3x ≥ + m2 3/ 4/ 5/ 6/ = 2m − 4x − m.2x + m + ≤ 7/ 9x − m.3x + m + ≤ x −1 −x ≤ − m2 ≥ + m2 x −2 2x + + 2x − ≤ m 8/ x2 ) ( 10/ 4x + m.2x + m − ≤ 11/ 32x +1 − (m + 3) 3x < (m + 3) 12/ 4x − (2m + 1).2x +1 + m2 + m ≥ 13/ 9x − (2m − 1) 3x + m2 − m ≥ 14/ 3.4x − (m − 1).2x − (m − 1) < 15/ m.25x − 5x − m − > +1 + ( x2 −1 9/ ) −1 ≥ −m www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 255 - Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit 16/ 17/ 18/ 19/ 32x − m.3x+ Bài tập 74 x +4 ĐS: m > log2 x + m > log2 x ( ) ( ) log x−m x2 − > log x−m x2 + x − Tìm tham số m để bất phương trình mũ – logarit sau có nghiệm với: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ (3m + 1).12x + (2 − m).6x + 3x < 0, ∀x > (m − 1).4x + 2x +1 + m + > 0, ∀x m.9x − (2m + 1) 6x + m.4x ≤ 0, ∀x ∈  0;1   x x +2 m.9 + (m − 1) + m − > 0, ∀x cos x cos x + (2m + 1).2 + 4m2 − < 0, ∀x 3x + + − 3x ≤ m, ∀x 6/ Bài tập 75 − 9.9 Ths Lê Văn Đoàn log x 100 − logm 100 > 2 + < − log m x + logm x 20/ 21/ x+4 www.MATHVN.com 7/ 2.25x − (2m + 1) 10x + (m + 2).4x ≥ 0, ∀x ≥ 8/ 4x−1 − m 2x + > 0, ∀x 9/ 10/ 4sin x + 21+sin x > m, ∀x 11/ + log5 x2 + ≥ log5 mx2 + 4x + m , ∀x 12/ log2 7x2 + ≥ log2 mx2 + 4x + m , ∀x 13/ log 14/       m  m  m      x − 1 + log  x − 1 + log  > 0, ∀x 2 − log  m + 1 m + 1 m + 1   2 ( − x +3 ) − 4.7 − x +3 ( ) ( m −1 ( ) (x − m > 0, ∀x ) ( ) ) + m > 0, ∀x Tìm tham số m để nghiệm bất phương trình (1) nghiệm bất phương trình (2) : 1/  +1   x   x   +   > 12       m − 2 x − m − x − m − < ) ( ) ( (1) (2) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 256 - Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ Logarit 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ www.MATHVN.com  +1  x x >8 2 − 2  4x − 2mx − (m − 1) <  2x +1 − 2x + ≤ 2   m + x + m (x + 3) + >   +2  x   x   +   > 12       2x2 + (m + 2) x + − 3m <   log x + log x <   2 x mx m + + + 6m <   log x 5x − 8x + >  x − 2x + − m >  ( ) ( ) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 257 - Ths Lê Văn Đoàn [...]... 2 3 x x = 2 x 3 3 3  1 1 1 1 1 ⇒ t = 3x + x  = 33 x + 3. 32x x + 3. 3x 2x + 3x ⇒ 33 x + 3x = t3 − 3t  3  3 3 3 3 3 (1) ⇔ 27 (t 3 ) − 3t + 81t = 1 03 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 33 - www.MATHVN.com Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit ⇔ t3 = Ths Lê Văn Đoàn 1 03 27 ⇔ t = 3x + 1 10 = >2 x 3 3 y = 3x > 0 ⇔  2 ⇔ 3y − 10y + 3 = 0 (N )  y = 3x = 3   ⇔ x = ±1  y = 3x = 1 3 ... 20t + 36 = 0 t = 42 cos2 x , 1 ≤ t ≤ 16 ( )  ⇔ t = 18 (L) ∨ t = 2 (N)  2 ⇔ 42 cos Thí dụ 47 x = 2 ⇔ 2 cos2 x = 1 1 π ⇔ cos x = ± ⇔ x = ± + kπ , (k ∈ ») 2 2 3 Giải phương trình: 33 +3x + 33 −3x + 34 +x + 34 −x = 1 03 (∗) Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » (∗) ⇔ 27 .3 3x + 27 81 + 81.3x + x = 1 03 3x 3 3   1  1 ⇔ 27  33 x + 3x  + 81 3x + x  = 1 03 3  3    ● Đặt t = 3x + (1)... 1 + 13 1 + 13 = 1 ⇔ 3x = ⇔ x = log 3 x 2 2 3 ● V ới t = 2 ⇒ 3 x − 3 = 2 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 3x ● Với t = 3 ⇒ 3x − 3 = 3 ⇔ 3 x = x 3 21 − 3 21 − 3 ⇔ x = log 3 2 2 ● Vậy phương trình có ba nghiệm: x = 1 ∨ x = log 3 Thí dụ 49 1 Giải phương trình: 23x − 6.2 x − 2 3( x−1) + 12 =1 2x 21 − 3 1 + 13 ∨ x = log 3 2 2 (1) Đại học Y Hà Nội năm 2000 Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » (1) ⇔ 2 3x − 6.2 x... x−2 + 4 x +1 = 3x +2 − 3x−2 ĐS: x = log 4 3 2 2 2 2 1280 729 5/ 2x −1 + 2x +2 = 3x + 3x −1 ĐS: x = ± 3 6/ 3x−1 + 3x + 3x +1 = 9477 ĐS: x = 7 7/ 22x +5 − 3 8/ 1 1 3. 4 x + 9x+2 = 6.4 x+2 − 9x+1 3 2 9/ 9x − 2 x+ x+ 3 2 9 2 =3 =2 x+ 1 2 x+ 7 2 3 ĐS: x = − 2 − 4x +4 − 32 x−1 ĐS: x = log 9 4 ĐS: x = log 9 2 10/ 3 x + 3 x +1 + 3 x +2 = 5 x + 5 x +1 + 5 x +2 ĐS: x = log 3 5 Bài tập 3 Ths Lê Văn Đoàn... 1 2 x 11/ 5 12/ 4−x − 3 2x−2 −9 = 3 −x − 1 2 1 = 32 −5 −x x− 1 2 ĐS: x = − 2−2x−1 62 21 9 2 4 31 16 3 2 3 ĐS: x = − 2 Giải các phương trình sau 1 ĐS: x = − 3 3x 1/ ( 2/ (5 + 2 6 ) 3/ (3 + 2 2 ) 3 2 2 ) = 3+ 2 2 3x +1 5x +8 ( ) ( ) = 5−2 6 x +1 = 3 2 2 7 ĐS: x = − 8 2x +8 ĐS: x = 3 3x 3 −4x 4/ (3 − 2 2 ) = 3+ 2 2 ĐS: x = 1 ∨ x = www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 18 - 3 ± 21 6 www.MATHVN.com... 3 Giải phương trình: 27 x − 271−x − 16 3x − x  + 6 = 0  3  (∗) Đề thi thử Đại học lần 1 năm 20 13 – THPT Trần Phú – Hà Tĩnh Bài giải tham khảo ● Tập xác định: D = » (∗) ⇔ 27 x −  27 3 − 16 3x − x  + 6 = 0 x  27 3  ● Đặt t = 3x − (1) ⇔ t 3 (1)  x  3 3  3 − 3  ⇒ 27 x − 27 = t3 + 9t ⇒ t =  3x 3x  27 x  − 7t + 6 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 2 ∨ t = 3 ● V ới t = 1 ⇒ 3 x − 3 1 + 13. .. logarit cơ số 3 hai vế, ta được: 2x 3   3x2 −2.4 x  = log 18 ∗ ⇔ log ()  3 3   2 ⇔ log 3 3x −2 + log 3 4 ( ) ⇔ x 2 − 2 + log 3 2 2x 3 x 4x−6 x = log 3 18 = log 3 9.2  4x − 6  ⇔ x 2 − 2 +   log 3 2 = log 3 9 + log 3 2  x  ( )  4x − 6   log 3 2 − 2 − log 3 2 = 0 ⇔ x 2 − 2 +   x  ( )  4x − 6  ⇔ x 2 − 4 +  − 1 log 3 2 = 0   x ( ) ( ) ⇔ x2 − 4 + 3x − 6 log3 2 = 0 x... trình: 10 + 3 ) x 3 x−1 < ( 10 − 3 ) x +1 x +3 (∗) Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998 – Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002 Bài giải tham khảo x − 1 ≠ 0 x ≠ 1 ● Điều kiện:  ⇔   x + 3 ≠ 0 x ≠ 3   ● Ta có: (∗) ⇔ ( ⇔ ⇔ ( 10 + 3 10 + 3 ) x 3 x−1 )( ) 10 − 3 = 1 ⇔ < ( − 10 + 3 ) ( ) 10 − 3 = 1 ( 10 + 3 ) = ( −1 10 + 3 ) x +1 x +3 x 3 x +1 ... 53. 22 3x 3 5x x ⇔ ⇔ 5x 3. 2 ⇔ 5x 3. 2 =1 3x 3 −2 x x 3 x =1 (1) =1 ● Lấy logarit số hai vế, ta được: (1) ⇔ log x 3   5x 3. 2 x  = log  5   ⇔ log5 5x 3 + log5 ⇔ (x − 3) + x 3 x =0 x 3. ..  3 3 3  6x +7 3x−1     =  27      62 41 (∗) Bài giải tham khảo ● Ta có:   3 3 3 3  (∗) ⇔ ⇔ 16 (3x−1) 3x−1    =3 2    3  2   6x +     16 3 ... 3  23        2     =  3  3  3. 3    =  3 27  =  3  32 .3   = 24                      23 (6x +7) 24 16 23 3x −