Chuyên đề số phức tổ hợp luyện thi ĐH

wWw.VipLam.Info Chuyên đề SỐ PHỨC−ĐẠI SỐ TỔ HỢP I SỐ PHỨC A LÝ THUYẾT I Dạng đại số (vẫn nhớ) II Dạng lượng giác số phức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0) * r = a + b môđun z a  cos ϕ = r * ϕ acgumen z thỏa  sin ϕ = b  r Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , z ' = r ' ( cos ϕ '+ i sin ϕ ' ) thì: z r = cos ( ϕ − ϕ ' ) + i sin ( ϕ − ϕ ' )  * z.z ' = r.r ' cos ( ϕ + ϕ ' ) + i sin ( ϕ + ϕ ' )  * z' r' n Công thức Moivre: n ∈ N *  r ( cos ϕ + i sin ϕ )  = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác ϕ ϕ ϕ ϕ   Căn bậc hai số phức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) r  cos + i sin ÷ − r  cos + i sin ÷ 2 2   B BÀI TẬP (ĐH_Khối A 2009) 2 Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình z2+2z+10=0 Tính giá trị biểu thức A = z1 + z ĐS: A=20 Cho z1, z2 nghiệm phức phương trình z − z + 11 = Tính giá trị biểu thức 2 A= z1 + z2 ( z1 + z2 ) 2 ĐS: A=11/4 (CĐ_Khối A 2009) a Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z Tìm phần thực, phần ảo z z − − 7i = z − 2i b Giải phương trình sau tập số phức: z −i ĐS: a a=2, b=−3 b z=1+2i, z=3+i Tìm số phức z thoả mãn: z − + i = Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị ( ) ( ) ĐS: z = − − + i, z = + − − i (ĐH_Khối B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn z − ( + i ) = 10 z.z = 25 ĐS: z=3+4i z=5 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC wWw.VipLam.Info  z −1  z −i =1  Tìm số phức z thỏa mãn:   z − 3i =  z + i HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1 ( 1) ( 2) ĐS: z=1+i z+i Giải phương trình:  ÷ =  z −i  ĐS: z∈{0;1;−1} Giải phương trình: z + z = HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z ĐS: z∈{0;i;−i} Giải phương trình: z + z = HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z ĐS: z=0, z=−1, z = ± i 2 z2 10 Giải phương trình: z − z + + z + = HD: Chia hai vế phương trình cho z2 1 ĐS: z=1±i, z = − ± i 2 11 Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + =0 HD: Đặt thừa số chung 3 ± i, z = − ± i 2 2 12 Cho phương trình: (z + i)(z2−2mz+m2−2m)=0 Hãy xác định điều kiện tham số m cho phương trình: a Chỉ có nghiệm phức b Chỉ có nghiệm thực c Có ba nghiệm phức 13 Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết: a α = 2−5i b α = −2−i c α = - i 14 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: a z3−iz2−2iz−2 = b z3+(i−3)z2+(4−4i)z−7+4i = 15 (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z − ( − 4i ) = ĐS: (x−3)2+(y+4)2=4 16 Xác định tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức: z − i = z − z + 2i ĐS: z = −1, z = ĐS: y = x2 Tìm số phức z có môđun nhỏ 2 *Gọi z=x+yi z − + 3i = ⇒ … ⇒ ( x − ) + ( y + 3) = 17 Trong số phức thỏa mãn z − + 3i = HD: Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC wWw.VipLam.Info * Vẽ hình ⇒|z|min ⇒z ĐS: z = 26 − 13 78 − 13 + i 13 26 18 Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: (1 + i)10 π π5  a b  cos − i sin ÷i + i 3 +i  ( ( ) ) HD: Sử dụng công thức Moivre ĐS: a Phần thực − , phần ảo 0, b Phần thực 0, phần ảo 128 16 19 Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20 HD: Áp dụng công thức tính tổng CSN ĐS: phần thực −210, phần ảo: 210+1 II ĐẠI SỐ TỔ HỢP A LÝ THUYẾT Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2) … 3.2.1, n≥0 n! k Số chỉnh hợp chập k n phần tử: An = ( n − k )! , n≥k>0 n! k Số tổ hợp chập k n phần tử: C n = , n≥k≥0 k!( n − k )! Quy ước n!=0!=1 n Nhị thức Newton ( a + b ) = C n0 a n + C n1 a n −1b + C n2 a n −2 b +  + C nn − a b n − + C nn −1 ab n −1 + C nn b n k n−k k Công thức số hạng tổng quát: Tk +1 = C n a b , B BÀI TẬP (CĐ_Khối D 2008) 0≤k≤n 18   Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton  x +  , (x>0) x  ĐS: 6528 (ĐH_Khối D 2004)   Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton  x +  với x>0 x  ĐS: 35 (ĐH_Khối A 2003) n   n +1 n Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton  + x  , biết C n + − C n +3 = 7( n + 3) , x  k (n nguyên dương, x>0, ( C n số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: 495 (ĐH_Khối D 2005) A + An3 2 2 Tính giá trị biểu thức M = n +1 , biết C n +1 + 2C n + + 2C n +3 + C n + = 149 (n số nguyên ( n + 1)! k k dương, An số chỉnh hợp chập k n phần tử C n số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: M = Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC wWw.VipLam.Info (ĐH_Khối A 2006) n   Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton  + x  , biết x  n 20 k C n +1 + C n +1 +  + C n +1 = − , (n nguyên dương C n số tổ hợp chập k n phần tử) 26 ĐS: 210 (ĐH_Khối D 2008) n −1 k Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C n + C n +  + C n = 2048 ( C n số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: n=6 (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức x(1−2x)5+x2(1+3x)10 ĐS: 3320 (ĐH_Khối D 2003) Với n số nguyên dương, gọi a3n−3 hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức (x2+1)n(x+2)n Tìm n để a3n−3=26n ĐS: n=5 (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n cho Cn0 + 2C1n + 4Cn2 +  + 2n Cnn = 243 ĐS: n=5 10 (ĐH_Khối B 2008) n +1  1   k + k +1  = k (n, k số nguyên dương, k≤n, C nk số tổ hợp chập k Chứng minh n +  C n +1 C n +1  C n n phần tử) 11 (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Newton (2+x)n, biết: k 3nCn0−3n−1Cn1+3n−2Cn2−3n−3Cn3+ … +(−1)nCnn=2048 (n số nguyên dương, C n số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: 22 12 (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết rằng, số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k∈{1,2,…,n} cho số tập gồm k phần tử cua A lớn ĐS: k=9 13 (ĐH_Khối B 2003) 2 − 1 23 − 2 n +1 − n k Cho n số nguyên dương Tính tổng C n + Cn + Cn +  + C n , ( C n số tổ hợp chập n +1 k n phần tử) n +1 − n +1 ĐS: n +1 14 (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1A2…An, tìm n ĐS: n=8 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC wWw.VipLam.Info 15 (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, n∈N* hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức a a a + +  + nn = 4096 Tìm số lớn số a0, a1,…an 2 ĐS: a8=126720 16 (ĐH_Khối A 2007) 1 1 2n −1 22n − C k Chứng minh C12 n + C23n + C25n +  + , ( n số tổ hợp chập k n phần C2 n = 2n 2n + tử) 17 (ĐH_Khối A 2005) 2 3 2n n +1 Tìm số nguyên dương n cho C n +1 − 2.2C n +1 + 3.2 C n +1 − 4.2 C n +1 +  + ( 2n + 1).2 C n +1 = 2005 , ( C nk số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: n=1002 18 (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức [1+x2(1−x)]8 ĐS: 238 19 (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n n n −1 n −1 n −x  x2−1   −x   x −1   x −1   − x   x −1  − x   +  = C n0  2  + C n1  2    +  + C nn −1  2   + C nn                             (n số nguyên dương) Biết khai triển C n = 5C n số hạng thứ 20n, tìm n x ĐS: n=7, x=4 20 Cho số phức z=1+i a Viết khai triển nhị thức Newton nhị thức (1+i)n b Tính tổng S1=1−Cn2+Cn4−Cn6+… S2=Cn1−Cn3+Cn5−… 98 21 Chứng minh C100 –C100 +C100 –C100 + … –C100 +C100100=–250 −o0o− Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC ... dương, An số chỉnh hợp chập k n phần tử C n số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: M = Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC wWw.VipLam.Info (ĐH_ Khối A 2006) n   Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton... −1, z = ĐS: y = x2 Tìm số phức z có môđun nhỏ 2 *Gọi z=x+yi z − + 3i = ⇒ … ⇒ ( x − ) + ( y + 3) = 17 Trong số phức thỏa mãn z − + 3i = HD: Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC wWw.VipLam.Info *... tròn tâm (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1A2…An, tìm n ĐS: n=8 Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC wWw.VipLam.Info 15 (ĐH_ Khối A 2008)