PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CONG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ Cho hàm số y = fx, giải sử hàm số đạt cực trị tại các điểm x1, x2, … Với yêu cầu: Lập phương trình đường C đi qua các điểm cực trị c[r]
(1)Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Tóm tắt lý thuyết Tính chất: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, đó: - f ’(x) > với x thuộc K thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K - f ’(x) < với x thuộc K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính f ‘(x) Bước 3: giải phương trình f ‘(x) = tìm nghiệm xo yo Bước 4: lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận II Bài tâp Bài Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = 2x2 – 3x + x 14 y x 23 * y 2 y = + 3x – x x 1 16 x y=3x2 – 8x3 x3 15 * y y = x3 – 6x2 + 9x 24 * y x 5 x2 y x x x 2x 16 * y 25 * y x x x 4 y = x + 8x + 26 * y x x x x 48 y = x4 – 2x2 + 17 * y 27 y x ( x 3) y = x4 + 8x3 + x 3x x 28 * y x x x y 18 * y 1 x x 4 x2 2x 29 * y x2 10 y 19 * y x2 x7 x x 1 x 1 20 *y = x + sinx x 2x 30 * y 11 y x 1 x 1 21 * y 25 x 2 sin x x 2x x 31 * y 12 y 22 * y cos x x 1 x 100 x2 5x 13 y x2 Bài 2: Tìm m để hàm số sau luôn đồng biến với x 1 y = (m 3m 2) x (m 1) x * Chú ý: y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + Hàm số y = f(x) luôn đồng biến với x y = x3 – (m + 1)x2 – (m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) f ' ( x) với x y = x3 + 3x2 + (m +1)x +4m mx y xm3 Bài Tìm m để hàm số sau luôn nghịch biến với x * Chú ý: Hàm số y = f(x) luôn nghịch biến với y (m 5m) x 6mx x x f ' ( x) với x mx (m 2) x m 2m 2 y x 1 Ứng dụng đạo hàm Trang Lop12.net (2) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh ***Bài 1 (m 3m 2) x (m 1) x đồng biến với x 2 2 Cho hàm số y = x – 3(2m + 1)x + (12m + 5)x + Tìm m để hàm số đồng biến 2 ; Tìm m để hàm số sau luôn đồng biến x : y = x3 – (m + 1)x2 – (m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) Tìm m để hàm số sau nghịch biến ; 1 : y = x3 + 3x2 + (m +1)x +4m Tìm m để hàm số sau đồng biến trên 2 ; : y = x4 – 8mx2 + 9m Tìm m để hàm số sau đồng biến trên ; 0 ; 1 : y = mx4 + 2x2 + 3m + 1 Cho hàm số y (m 2) x (5m 2) x x (m 1) x m Tìm m để hàm số đồng biến 1 1 trên ; và nghịch biến trên ; 2 2 x 2(m 1) x Tìm m để hàm số sau luôn đòng biến (0 ; ): y x 1 mx x m Tìm m để hàm số sau luôn đòng biến (0 ; ): y mx x 2mx m 10 Tìm m để hàm số sau luôn đòng biến (1 ; ): y xm Tìm m để hàm số y = * Chú ý: Đê giải các bài toán “Tìm Tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu trên miền K”, ta thực theo các bước sau: + Bước 1: Tìm miền xác định D Hàm số đơn điệu trên K nó xác định trên K K D + Bước 2: Tính y’ + Bước 3: Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K y ' 0, x K y ' 0, x K Bài toán chuyển dấu nhị thức bậc hoạc tam thức bậc hai hoạc sử dụng phương pháp hàm số + Bước 4: kết luận ***Bài Giải các phương trình và bất phương trình sau: x x x x x x x x x x x 11 x x Ứng dụng đạo hàm Trang Lop12.net (3) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ Quy tắc (Dùng bảng biến thiên) Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính f ‘(x) Bước 3: giải phương trình f ‘(x) = tìm nghiệm xo yo Bước 4: lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận Quy tắc (Dùng đạo hàm cấp 2) Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính f ‘(x) Bước 3: giải phương trình f ‘(x) = tìm nghiệm xo yo Bước 4: tính f’’(x) và f’’(xo) Bước 5: Kết luận o Nếu f’’(xo) < thì hàm số đạt cực đại yo xo o Nếu f’’(xo) > thì hàm số đạt cực tiểu yo xo BÀI TẬP Bài Tìm cực trị các hàm số sau: y = x3 – 6x2 + 9x + y = x3 – 3x2 – 9x – y = – x3 + 3x2 – 5 y x x y x x f(x) = x4 – 8x3 + 22x2 – 24x + 10 x2 x y x 1 x 4x y 1 x ĐS: yCĐ = y(0)= 9; yCT = y(3)= ĐS: yCĐ = y(- 1)= - 3; yCT = y(3)= - 35 ĐS: yCĐ = y(0)= 11 ; yCT = y(- 2) = y(2)= 2 ĐS: fCĐ = f(2) = 2; fCT = f(1) = f(3) =1 ĐS: yCĐ = y(0)= - 1; yCT = y(2)= 3 ĐS: f CD f ; f CT f 4 ĐS: yCT = y(1)= 1000 ĐS: Không có cực trị ĐS: yCĐ = y(2)= f(x) = sinx + cosx với x ; 10 y = (x – 1)8 + 1000 11 y = (x – 2008)9 + 2009 x 1 12 y x x2 x 13 y x x 1 x2 x 14 * y x 1 ĐS: yCĐ = y(–1)= 3; yCT = y(1)= ĐS: yCĐ = y(0)= –2; yCT = y(2)=y(–2) = 15 * y x x x ĐS: yCT = y 2 16 * y x x x 17 * y x x Ứng dụng đạo hàm ĐS: yCĐ = y 5 2 Trang Lop12.net (4) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh 18 * y 2 x x 19 * y ĐS yCT = y 5 1 x x 1 20 y sin x cos x 2x ĐS: yCĐ = y k 2 2 21 y cos x cos x ĐS: yCĐ = yk ; yCT = y 22 y = (1 + sinx).cosx ĐS: yCĐ = y 23 y = cot(x + ) 24 y tan x 6 sin x 25 y cos x ; yCT = y 7 k 2 2 k 2 k 2 6 ; yCT = y 5 k 2 ĐS: Không có cực trị ĐS: Không có cực trị ĐS: Không có cực trị II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Để tìm điều kiện cho hàm số y = f)x) có cực trị ta thực theo các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định D Bước 2: Tính đạo hàm y’ Bước 3: lựa chọn theo hai cách sau: Cách 1: Nếu xét dấu y’ thì sử dụng quy tắc với lập luận: Hàm số có k cực trị phương trình y’ = có k nghiệm phân biêt và đổi dấu qua các nghiệm đó Cách 2: Nếu không xét dấu y’ bài toán yêu cầu cụ thể cực đại cực tiểu thì sử dụng quy tắc 2, việc tính thêm y’’ Khi đó: y' Hàm số có cực trị Hệ sau có nghiệm thuộc D y' ' y' Hàm số có cực tiểu Hệ sau có nghiệm thuộc D y' ' y' Hàm số có cực đại Hệ sau có nghiệm thuộc D y' ' xo D Hàm số có cực tiểu xo y ' xo y' ' x o xo D Hàm số có cực đại xo y ' xo y' ' x o BÀI TẬP Bài Ứng dụng đạo hàm Trang Lop12.net (5) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh Chứng minh với giá trị tham số m, hàm số y x (m 1) luôn có cực đại và xm cực tiểu Cho hàm số y x mx (m m 1) x Với giá trị nào m thì hàm số đạt cực đại x = 1? * Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m3 – 3m Chứng minh với m hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu, đồng thời chứng minh m thay đổi thì các điểm cực đại, cực tiểu luôn chạy trên hai đường thẳng cố định Cho hàm số y x (cos a sin a) x 8(cos 2a 1) x a) Chứng minh với a hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu b) * Giả sử hàm số đạt cực đại và cực tiểu x1 và x2 Chứng minh x12 x22 18 Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 a) Khảo sát biến thiên hàm số với m = b) * Chứng minh với m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu, đó hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu thỏa mãn x1 – x2 không phụ thuộc vào tham số m Tìm k để hàm số y = kx4 + (k – 1)x2 + – 2k có cực trị ĐS: k ; 0 1 ; 1 *Cho hàm số y x x mx 2 m0 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu ĐS: 27 b) Chứng minh hàm số có cực đại và cực tiểu thì tổng bình phương hoàng độ các điểm cực trị là số x 3x m * Cho hàm số y Chứng tỏ hàm số có cực đại x1 và cực tiểu x2 x2 thì ta luôn có y x1 y x2 x1 x2 x mx tìm m để: mx a) Hàm số có cực trị ĐS: - < m < Cho hàm số y b) * Hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn x1 + x2 = 4x1x2 c) * Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dương ĐS: < m < ĐS: m 10 Tìm m để hàm số y = (x – m)3 – 3x đạt cực tiểu x = ĐS: m = -1 11 Tìm m để hàm số y x mx (m m 1) x đạt cực tiểu x = ĐS: Không có m 12 Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – đạt cực tiểu x = ĐS: m = -2 13 * Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2m2x2 + có điểm cực trị là đỉnh tam giác vuông cân ĐS: m 1 14 Tìm m để hàm số mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 có cực trị ĐS: m ; 3 0 ; 3 15 *Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + có cực tiểu mà không có cực đại 1 1 m ĐS: m = -1 2 Ứng dụng đạo hàm Trang Lop12.net (6) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (CONG) ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ Cho hàm số y = f(x), giải sử hàm số đạt cực trị các điểm x1, x2, … Với yêu cầu: Lập phương trình đường (C) qua các điểm cực trị đồ thị hàm số y = f(x) Ta có thể làm theo cách sau: Cách 1: Nếu tọa độ các điểm cực trị là số nguyên, số hữu tỉ thì phương trình đường (C) xác định phương pháp thông thường ( Ví dụ công thức phương trình đường thẳng qua điểm) Cách 2: Nếu tọa độ các điểm cực trị có dạng vô tỉ chứa tham số thì phương trình đường (C) thường xác định lập luận sau: y' y' Tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn hệ: y Q( x) y f ( x) y y '.P( x) Q( x) Vậy tọa độ các điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc đường cong (C): y = Q(x) BÀI TẬP Bài Lập phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại và cực tiểu các hàm số sau: y = x3 – 3x2 – 9x + ĐS: 8x – y + 18 = y = x3 – 3x2 + ĐS: y = -2x + 4 y x x x ĐS: y x 3 1 y x x 3 7m y = x3 + mx2 + 7x + ĐS: y (m 2) x 9 2 y x 3mx 3(1 m ) x m m ĐS: y = 2x + m – m2 y x 3(m 1) x (2m 3m 2) x m(m 1) ĐS: y (m 3m 1)( x m 1) y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – ĐS: y = 2(m – 2)x + m – Bài 4: Lập phương trình các đường Parabol (P) qua các điểm cực trị các hàm số sau: 1 y x x , biết (P) tiếp xúc với đường thẳng (d): 4x – 12y – 23 = 3 1 y x2 x ; y x2 x ĐS 3 2 y = x + 2mx + ĐS: y = mx + 3 y = x4 – 6x4 + 4x + ĐS: y = -3x2 + 3x +6 Ứng dụng đạo hàm Trang Lop12.net (7) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, đó: f ( x) M , x D M gọi là giá trị lớn hàm số trên D xo D cho f ( xo ) M Ký hiệu Max y M D f ( x) m, x D m gọi là giá trị nhỏ hàm số trên D xo D cho f ( xo ) m Ký hiệu Min y m D CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ y f (x) TRÊN KHOẢNG a ; b Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’ Bước 3: Giải phương trình y’ = tìm các nghiệm xo yo xo a ; b Bước 4: Lập bảng biển thiên hàm số trên khoảng a ; b Bước 5: Kết luận Max y ? a ; b Min y ? a ; b CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ y f (x) TRÊN ĐOẠN a ; b Bước 1: Tính y’ Bước 2: Giải phương trình y’ = tìm các nghiệm xo yo xo a ; b Bước 3: Tính f(x) và f(b) Bước 4: Từ các giá trị yo, f(a), f(b) ta kết luận GTLN và GTNN hàm số BÀI TẤP: Bài Tìm giá trị lớn các hàm số sau: y = + 8x – 2x2 ĐS: Maxy = y(2) = 2 y = 4x3 – 3x4 ĐS: Maxy = y(1) = Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số: 2 x 2 y x (x > 0) ĐS: miny = y(1) = y (x > 0) ĐS: Miny = y(2) = x x Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: x f ( x) trên nửa khoảng ; 4 x2 x 1 y = ĐS: Miny = y(-2) = , Maxy = y(2) = 4 x 4 x 0 y = ĐS: Maxy = y(0) = f ( x) x 1 x x y = + 4x3 – 3x4 ĐS: maxy = y(1) =2 x x 1 y trên khoảng 1 ; ĐS: miny = y(2) = x 1 Ứng dụng đạo hàm Trang Lop12.net (8) Tài liệu ôn thi lơp 12 y x GV soạn: Phan Quốc Khánh trên 1 ; x 1 y x 3x trên khoảng (1 ; +∞ ) x 1 y x x 1 x 10 y x 11 y x (x > ) x5 12 y x trên khoảng ( ; +∞ ) x với x 13 y x với x < x3 trên khoảng (1; ) x 1 trên khoảng 0 ; Đs: maxy = y( ) = -1 sin x 3 15 y trên khoảng ; Đs: maxy = y( ) = -1 cos x 2 x 1 x 1 16 y 17 y x x 1 x2 x 14 y x 1 18 y x2 Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: y = x3 – 8x2 + 16x – trên 1 ; 3 f(x) = x3 – 3x + trên 0 ; 2 f(x) = x3 + 2x2 + 3x – trên ; 0 13 ĐS: Maxy = y , miny = y(3) = - 27 ĐS: Maxf(x) = f(2) = 3, minf(x) = f(1) = - ĐS: Maxf(x) = f(-3) = f(0) = - 4, minf(x) = f(- 4) = f(- 1) = y = 2x 3x 12x trên [1;2] f(x) = – + trên ; 1 f(x) = x + 3x – 9x + trên ; 4 f(x) = x3 + 5x – trên ; 1 10 f(x) = x4 – 2x2 + trên 0 ; 2 11 f(x) = –x4 + 4x2 + trên 0 ; 2 2x3 12 y = 6x2 x 1 trên đoạn [1;2] x3 18 y ĐS: Miny y(1) 5 , Maxy y(1) 15 [1;2] [1;2] ĐS: Maxf(x) = f(0) = 1, minf(x) = f(-1) = - f(x) = x3 + 3x2 – 9x – trên ; 3 f(x) = x4 – 8x2 + 16 trên ; 3 ĐS: maxf(x) = f(2) = 9, minf(x) = f(1) = ĐS: maxf(x) = f(1) = 5, minf(x) = f(2) = - 13 ĐS: Miny y(1) 1 , Maxy y(2) [1;2] 13 f(x) = – + 16 trên ; 3 14 f(x) = -2x + 4x2 + trên [-1;2] 15 y = -x4 + 2x2 + trên [0; 2] 16 y = x4 - 2x2 + với x [-2; 3] 17 f ( x) x x trên đoạn [–2 ; 0] x4 [1;2] 2x trên đoạn [-1;0] 3x 4x 20 y trên đoạn ; 2 2x 8x2 19 y x2 2x 21 y trên 3 ; 5 x2 22 y 1 x trên đoạn [-2;-1] 2x trên đoạn [-1;-1/2] 3x 23 Ứng dụng đạo hàm 16 Trang Lop12.net x x2 5x y trên đoạn [0;1] x2 (9) Tài liệu ôn thi lơp 12 24 y x GV soạn: Phan Quốc Khánh 31 y x3 3x trên đoạn [-3;3/2] 32 y x3 3x x trên đoạn [-2;2] 33 y x x trên [-3;2] 9 trên [1 ; 4] x 25 f ( x) x x3 trên 1; 2 x2 34 y = x3 - 3x2 + trên [-l ; 4] 35 f ( x) x3 3x x trên đoạn 2; 2 26 y = + - 9x - trên [- ; 3] 27 y = 2 x x x trên [1; 3] 28 3x2 36 y x3 3x trên đoạn 2; x4 y x trên đoạn [-1/2;2/3] 2 2 37 y x 29 y = x3 x x trên [2;3] 30 y 3x3 x x trên đoạn [0;3] 39 x 12 x 10 trên đoạn [-3;3] 38 y x x x 35 trên đoạn [-4;4] Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: f ( x) x x trên 10 ;10 y x x f ( x) x ĐS: maxf(x) = f(0) = 4,minf(x) = f( ) = f ( x) x x ĐS: Minf(x) = f(1) = 5 f ( x) x x ĐS: Maxf(x) = f(1) = 2, minf(x) = f( )= y 7x trên đoạn [-1;1] 11 y x y = x+ x 12 y x x 13 y x x y = (x – 6) x trên đoạn [0 ; 3] 14 y x x trên đoạn [ ;3] y = x 10 y 16 x 15 y x 1 x2 16 *Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: y x cos x trên 0 ; ĐS: maxf(x) = f 1, f ( x) f (0) 2 4 f(x) = sin2x – x trên ; 2 y 3.x 2sin x trên [0; ] ; y = sin2x – x trên đọan f(x) = x – cos2x trên [ 3 f(x) = 2sinx + sin2x trên 0; y ; ] 2 y = sin x + cos x – f ( x) sin x 12 cos x s inx ; với x [0; ] cosx 10 f(x) = cosx.(1 + sinx) với ( x 2 ) 11 y sin x cos x 13 14 f ( x) cos x cos x 15 y 2sin3 x cos2 x 4sin x 12 y = 2sin2x + 2sinx – Ứng dụng đạo hàm f ( x) sin x sin x Trang Lop12.net (10) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh sin x sin x sin x 1 sin x cos x 22 y (sin x cos x) 1 23 y cos x cos x cos x 16 f ( x) sin x sin x 17 f(x) = sin3x - 9cos2 x + 6sin x + 21 y = 18 y 2sin x cos x 4sin x 1 19 y = sin x + cos2 x + 20 f ( x) sin x sin x sin x sin x sin x 25 y = sin x cos x 24 y cos 2x 27 y = sin3x + cos3x 28 y = sin3x - cos3x 26 y = cos x + 2 29 y = sin6x + cos6x 30 y = sin8x + cos8x 31 y = sinx.sin2x 32 y = cosx.cos2x 33 Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: y = x(ln x - 2) trên đoạn [l; e2] y = x2e2x trên nửa khoảng (- ; ] x2 2 x y = e trên đọan [0 ; 2] 10 y = x ln x trên đọan [ 1; e ] ln x 11 y = 0,5sin x y = trên đọan [1 ; e2 ] x y = x e2x trên khỏang (- ; ] ex y 12 trên đoạn [ln ; ln 4] y = x ln x trên đọan [ 1; e ] x e e y = x – lnx + f(x) = x – e2x trên đoạn [1 ; 0] 13 y 3x 32 x x x 14 y xe x2 y 15 y = e x cos x trên đoạn [0, ] ex 16 y trên đoạn [ ln ; ln ] ex e ĐS: y y(ln 2) 2e [ ln ; ln ] + Maxy y(ln 4) 4e [ ln ; ln ] x 17 y 4x 18 1 ; max y y( ) ĐS: y y( ) 42 2 Bài Trong tất các hình chữ nhật có cùng diện tích 64 cm2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ Cho a, b và a + b = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: P = 9a + 9b KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I HÀM SỐ BẬC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d Ứng dụng đạo hàm (a 0) Trang 10 Lop12.net (11) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh Tập xác định: D = R Giới hạn: (a 0) x (a 0) (a 0) Lim y x (a 0) Lim y Sự biến thiên Tính y’ Giải phương trình y’ = tìm các nghiệm xo yo Lập bảng biến thiên Kết luận đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị hàm số Đồ thị Tính y’’ Giải phương trình y’’ = tìm nghiệm x1 y1 Kết luận điểm uốn I(x1 ; y1) Lập bảng giá trị: cho khoảng điểm và lấy điểm uốn I làm điểm chính Vẽ đồ thị Chú ý: Đồ thị hàm số bậc thường có dạng sau: B BÀI TẬP Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y = x3 – 3x + 11 y = x3 + 3x2 + 2x y = x3 – 3x 12 y = x3 + 3x2 – 9x + y = x3 – 3x + 13 y = x3 – 3x2 + y = x3 – 3x – 14 y = x3 – 3x2 + y = x3 – 3x + 15 y = x3 – 3x2 + y = x3 – 2x2 + x 16 y = x3 – 3x2 + y = x3 + 3x2 17 y = x3 – 3x2 + y = x3 + 3x2 – 18 y = x3 – 3x2 + 2x y = x3 + 3x2 + 19 y = x3 + 4x2 + 4x 10 y = x3 + 3x2 + 20 y = x3 + 6x2 + 9x + 25 y = 2x3 – 9x2 + 12x – 21 y = x3 – 6x2 + 9x 26 y = 2x3 – 3x2 22 y = x3 – 6x2 + 9x – 27 y = 2x3 – 3x2 + 23 y = 2x3 – 3x2 + 28 y = 2x3 – 3x2 + 24 y = 2x3 – 3x2 – 29 y = x3 – 3x2 – 9x Ứng dụng đạo hàm Trang 11 Lop12.net (12) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh 30 y = 2x3 + 3x2 – 31 y = 2x3 – 9x2 + 12x + 32 y = 4x3 – 3x 33 y = 4x3 – 3x + 34 y = 4x3 – 3x – 35 y = 4x3 – 12x2 + 9x – 36 y = x(3 – x)2 37 y = x(x + 3)2 + 38 y = x2(x + 3) 3 x x2 3 x x 3x x3 x 3x x3 x 3x 39 y x x 40 y 41 y 42 y 43 y Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y = –x3 + 3x y = –x3 – 3x2 + 2 y = –x3 + 3x – y = (1 – x)(x + 2)2 y = 3x – 4x3 y = –x3 + 3x2 – 4 y = –x3 + 3x + 10 y = –x3 + 3x2 – y = + 3x – x3 11 y = –x3 + 6x2 – 9x + x3 y = –x3 + 3x2 12 y x 3x 13 Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y = 2x3 + y = x3 + x2 + 9x y = x3 + x – y = x3 – 3x2 + 4x y = x3 + x + y = x3 – 3x2 + 3x – y = x3 + 3x – 10 y = x3 – 3x + 4x – y = x3 – x2 + x 11 y = x3 – 4x2 + 6x – 12 Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y = – 4x3 y = –x3 + 3x2 – 4x + 2 y = –2x3 + y = –x3 + x2 – x – y = –x3 + y = –x3 + 3x2 – 3x – y = –x3 + 3x2 – 5x + y = –x3 + 3x2 – 5x + y = –x3 + 3x2 – 3x + II HÀM SỐ BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Dạng: y = ax4 + bx2 + c (a 0) Tập xác định: D = R Giới hạn: Ứng dụng đạo hàm Trang 12 Lop12.net (13) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh (a 0) x (a 0) (a 0) Lim y x (a 0) Lim y Sự biến thiên Tính y’ Giải phương trình y’ = tìm các nghiệm xo yo Lập bảng biến thiên Kết luận đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị hàm số Đồ thị Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Lập bảng giá trị: cho khoảng điểm và lấy điểm cực trị thứ làm điểm chính Vẽ đồ thị Chú ý: Đồ thị hàm số bậc trùng phương thường có dạng sau: a> b>0 a> b <0 a< b>0 a< b <0 B BÀI TẬP Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y = x4 – x2 13 y = x4 – 4x2 + y = x4 – x2 + 14 y = x4 – 4x2 + 3 y = x4 – x2 – 15 y = x4 – 4x2 + 4 y = x4 – 2x2 – 16 y = x4 – 4x2 + 20 y = x4 – 2x2 – 17 y = x4 – 5x2 + y = x4 – 2x2 + 18 y = (x2 – 3)2 y = x4 – 2x2 + 19 y = x4 – 6x2 + y = x4 – 2x2 + 20 y = x4 – 8x2 + 10 y = x4 – 2x2 21 y = x4 – 8x2 – 22 y = x4 – 12x2 + 10 y = (x + 1)2(x – 1)2 11 y = x4 – 3x2 + 12 y = x4 – 4x2 24 y x x 23 y x x Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y x x 1 y = 2x2 – x4 Ứng dụng đạo hàm Trang 13 Lop12.net 25 y = 2x4– 4x2 26 y = 2x4 – 4x2 + 27 y 28 y 29 y 30 y 31 y 32 y x4 x2 x4 x2 2 x x2 2 x 3x 2 x 2x2 4 x 2x2 y x x (14) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh x4 3x 2 y x x 4 y = - x4 + 8x2 – y x 10 x y x4 y x y x x Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y = x4 – y = x4 + 4x2 + 1 y = x4 + x2 – y = x4 + 8x2 – 10 y = x4 + x2 2 10 y = x4 + x2 – y x x 1 11 y x x y = x4 + 2x2 y = 3x4 + 2x2 – 5 y = x4 + 2x2 + Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y x y x x y = – x4 + y x x 2 y = – x4 + y = – x4 – 2x2 x y = - 2x2 – x4 + y x 2 y x x Bài Cho hàm số y x3 3x (C ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M o 2; 4 c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 24 x 2008 (d ) d) Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y Bài Cho haøm soá y x x (C ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 5 b) Viết pt tt với đồ thị (C) điểm M 2; 2 Bài Cho hàm số y x x , gọi đồ thị hàm số là C Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C điểm cực đại C III HÀM NHẤT BIẾN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Dạng: y ax b cx d c 0, ad bc 0 d c Tập xác định: D R \ Giới hạn và tiệm cận: Ứng dụng đạo hàm Trang 14 Lop12.net x 2008 (d ') (15) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh a c a Lim y x c Lim y x a là tiệm cận ngang c ad bc Lim y d ad bc x Đường thẳng y c ad bc 0 ad bc 0 Lim y d x c Đường thẳng x d là tiệm cận đứng c Sự biến thiên y' ad bc cx d 2 Kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số Lập bảng biến thiên Đồ thị d a ; làm tâm đối xứng c c Đồ thị nhận điểm I x= d/ c x= d/ c Lập bảng giá trị: cho khoảng điểm và có cặp điểm đối xứng qua I Vẽ đồ thị Chú ý: Đồ thị hàm biến thường có dạng sau: y= a/c y= a/c B BÀI TẬP Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau x2 x 1 2x y x 1 x3 y x 1 y Ứng dụng đạo hàm 3x x 1 x y x 1 x 1 y x 1 y Trang 15 Lop12.net x 1 x 1 2x y x 1 2x y x 1 y 3x x 1 2x 11 y x 1 2x 12 y 2x 10 y (16) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh 2 x x3 14 y 2 x 15 y 2 x x4 16 y x2 13 y 17 y 2x x2 x 1 x2 3x x2 3x x2 2x x2 18 y 19 y 20 y 21 y x2 22 y 23 y 24 y 25 y 26 y 27 y 2x x2 x7 x3 3x x3 2x x3 x 1 2x 28 y 29 y 30 y 31 y 32 y Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y y y y y y y y y 10 y x x 1 x 1 x 1 2x x 1 x 1 x2 x 1 x3 x 1 2x x 1 2x x 1 3x x 1 2x x 1 x2 x 1 x 1 x 1 2 x x 1 x3 x 1 2x x 1 3( x 1) x2 x 1 x2 x2 x2 x3 x2 2x x2 11 y 12 y 13 y 14 y 15 y 16 y 17 y 18 y 19 y 20 y IV HÀM HỮU TỈ DẠNG TRÊN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Dạng: y ax bx c dx e a 0, d 0 e d Tập xác định: D R \ Giới hạn và tiệm cận: x Lim y x Lim y Lim y x Ứng dụng đạo hàm ad 0 ad 0 ad 0 ad 0 e d Trang 16 Lop12.net 21 y 22 y 23 y 24 y 25 y 26 y 27 y 28 y 29 y 30 y 2x x2 2x x2 x3 2 x x2 x2 x3 x2 x3 2x x3 2x x3 2x x3 2 x 2x 31 y 32 y 33 y 34 y 35 y 36 y 37 y 38 y 39 y 40 y x2 2x 2x 3x 4x 2x 3x 2x 2x x 3 x 2x x2 2x 4x 2x x2 2x x 1 2x x2 2x x 3x x 1 2x 4x 2x x2 2x (17) Tài liệu ôn thi lơp 12 GV soạn: Phan Quốc Khánh Lim y x e d e là tiệm cận đứng d C Ta có: y = Ax B dx e Lim y Ax B Đường thẳng x x Đường thẳng y = Ax + B là tiệm cận xiên Sự biến thiên y' adx 2aex be cd dx e 2 Lập bảng biến thiên Kết luận đồng biến, nghịch biến và cực trị hàm số Đồ thị e Ae ; B làm tâm đối xứng d d Đồ thị nhận điểm I Lập bảng giá trị: cho khoảng điểm và có cặp điểm đối xứng qua I Vẽ đồ thị Chú ý: Đồ thị hàm biến thường có dạng sau: Xieân Xieân Xieân đứng đứng đứng Xieân B BÀI TẬP Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y y y y y x2 x x x x 1 x2 x x 1 x x2 x 1 x 2x x 1 Ứng dụng đạo hàm x2 x x 1 x 2x y x 1 2x 2x y x 1 x2 y x 1 x2 y x 1 y 11 y 12 y 10 Trang 17 Lop12.net 13 y 14 y 15 y x2 x x 1 x x 1 x 2x x 1 x 2x x 1 2x x x 1 x 1 x 2x y 2x y x 1 x2 x 12 y 2 x x2 y x2 16 y x 17 18 19 20 (18) Tài liệu ôn thi lơp 12 21 y x2 x x2 GV soạn: Phan Quốc Khánh 22 y x 3x x2 23 y x2 5x x2 24 y x2 x x3 Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau x 1 x x 3x y 1 x x2 x y x 1 x2 y x2 y x2 x y x2 Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau x 3x y x 1 x2 x 2 y x 1 x2 x y x2 Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y 4x x2 x 1 y x2 x x 1 y x x2 Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau y y y y y y y x2 x x 1 x x 1 x 1 x 2x x 1 x 1 x 1 x 3x 1 x 1 x 3x x 1 x 3x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x2 x 1 x x x 1 x2 x x 1 x2 x 1 x 3x x2 x2 4x x2 1 x x2 2x x2 x2 4x x2 x 6x 2x 8x x 2x y 15 y y 16 y 10 y 11 y 12 y 13 y 14 y 17 y 18 y 19 y 20 y BÀI TẬP NÂNG CAO a) Bài toán tiếp tuyến 1) Tìm tiếp tuyến đồ thị y x 2x 3x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 8x 2)Tìm các tiếp tuyến đồ thị y= -x3+3x-2 kẻ từ điểm A(2;4) 3)Tìm điểm trên trục hoành kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y=x3-3x-2 4)Tìm điểm trên đường thẳng y=-1 kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y=x3-3x2+3 5)Tìm điểm trên đường thẳng y=1 kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y=3x4x3 6)Tìm điểm trên đường thẳng y=x-3 kẻ tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị y=2x3+x-3 7)Tìm điểm trên đường thẳng y=-1 kẻ tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị y=4x33x Ứng dụng đạo hàm Trang 18 Lop12.net (19) Tài liệu ôn thi lớp 12 Giáo viên soạn: Phan Quốc Khánh 2x có khoảng cách đến I(-1;2) lớn x 1 9) Tìm điểm trên Ox kẻ tiếp tuyến đến đồ thị y=(x-2)2(x+2)2 8)Tìm các tiếp tuyến đồ thị y= b) Bài toán cực trị 1) Tìm m để hàm số y=(m-1)x3-3(m+2)x2+3(m-3)x+2m-1 có cực trị Hãy rõ giá trị m mà hàm số có cực đại và cực tiểu 2) Tìm a,b,c để hàm số y=x3+ax2+bx+c đạt cực trị x=0 và x=2 đồng thời điểm uốn có tung độ 3)Tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số sau đây theo m: y=x3-3(2m+1)x2+9(m2+m+1)x+m 5) Tìm m để hai điểm cực trị đồ thị y=x3-3mx2-3x+2m thẳng hàng với điểm C(1;-3) 6) Tìm m để hình chiếu vuông góc hai điểm cực trị đồ thị hàm số y= -x3+3mx2+3x-2m lên đường thẳng y= x+3 trùng 7) Tìm k để tồn m cho đường thẳng nối điểm cực trị đồ thị hàm số y= x3-3mx2-3x+2m song song với đường thẳng y=kx 8)Tìm m để hai điểm cực trị đồ thị hàm số y=(m2-9)x3-3x2+3(m2+2m-3)x-m nằm hai phía trục tung 9) Tìm m để điểm cực trị đồ thị hàm số y=(m2-4)x3-3(m+2)x2-12mx+2m nằm hai phía đường thẳng x=1 10) Tìm m để điểm cực trị đồ thị hàm số y=(m-1)x3-3(m+2)x2+3(m-3)x-m nằm bên phải trục tung 11) Tìm m để hai điểm cực trị đồ thị y=x3-3x2+m2-3m nằm hai phía trục hoành 12)Tìm m để hai điểm cực trị đồ thị y=-x3+3mx2+3(1-m2)x+m3-m nằm hai phía đường thẳng y=1 13) Cho hàm số y=(m2-9)x4-(m2+2m-3)x2+m-1 (1) a) Tìm m để hàm số có cực đại, không có cực tiểu b) Tìm m để hàm số có cực đại lẫn cực tiểu 14) Tìm m để điểm cực trị đồ thị hàm số y=x4-2(m-1)x2+2m-1 là điểm tam giác vuông (cân có góc 1200) c) Bài toán tương giao 1)Tìm k để đồ thị y=x3+x2-2x+2k và y=x2+(k+1)x+2 cắt điểm 2)Tìm m để đồ thị y=x3-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x điểm mà đó giao điểm đó các tiếp tuyến (1) song song với 3)Tìm k để đường thẳng y= x k cắt đồ thị y=x3-3x2+2 điểm mà đó có điểm là trung điểm đoạn nối điểm 4)Tìm a để đồ thị y=-x3+3x+2a (1) cắt trục hoành điểm mà điểm đó các tiếp tuyến (1) vuông góc với 5)Tìm đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai cắt đồ thị y=-4x3+3x điểm theo thứ tự A,B,C (xA<xB<xC) và AB=2BC 6)Cho hàm số y=(m2-9)x4-(m2+2m-3)x2+m-1 (1) a) Tìm m để hàm số có cực đại, không có cực tiểu Trang 19 Lop12.net (20) Tài liệu ôn thi lớp 12 Giáo viên soạn: Phan Quốc Khánh b) Tìm m để hàm số có cực đại lẫn cực tiểu 7) Tìm m để điểm cực trị đồ thị hàm số y=x4-2(m-1)x2+2m-1 là điểm tam giác vuông (cân có góc 1200) 8) Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị hàm số y x 1 điểm có khoảng cách x 1 ngắn d)Bài toán điểm trên đồ thị: 1) Tìm trên đồ thị hàm số y 2x (1) điểm A có khoảng cách đến điểm I(-1;2) nhỏ x 1 Chứng tỏ đó tiếp tuyến đồ thị (1) A vuông góc với IA 2) Tìm trên đồ thị hàm số y y 2x x 1 (1) điểm A có khoảng cách đến đường thẳng 2x (D) ngắn Chứng tỏ đó tiếp tuyến đồ thị (1) A song song với (D) 3) Chứng minh điểm uốn đồ thị y=2x3-3x2+x-4 là tâm đối xứng nó 4) Tìm tập hợp các điểm uốn đồ thị y=x3-6mx2-3mx+6m3+2 (Cm) 5) Tìm m để trên đồ thị hàm số y= y=x3-3x2+m có hai điểm phân biệt đố xứng qua điểm I(-1;-5) 6)Tìm tập hợp trung điểm hai điểm cực trị đồ thị hàm số : y=x3-3(2m+1)x2+3(m2+m+1)x+2m (1) 7) Tìm điểm M(C): y x 1 có tọa độ x,y nguyên 2x CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(xo ; yo) Ta có y = f(x) f’(x) = f’(xo) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(xo ; yo) có dạng: y = f’(xo)(x – xo) + yo Rút gọn và Kết luận BÀI TẬP: 2x (C) x3 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) hàm số b Gọi A là giao điểm đồ thị với trục tung Tìm phương trình tiếp tuyến ( C ) A 1) Cho hàm số y 2) Cho hàm số y x2 có đồ thị (C) x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) và trục Oy 3) Cho hàm số y x x có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Trang 20 Lop12.net (21)