BÀI 4: TIỆM CẬN I LÝ THUYẾT lim+ y = +∞ x → x0 lim+ y = −∞ x → x0 Tiệm cận đứng: Hàm y = f(x) thỏa ĐK: ⇒ x = x0 gọi TCĐ lim− y = +∞ x → x0 lim y = −∞ x → x0− y = y0 xlim →+∞ Tiệm cận ngang: Hàm y = f(x) thỏa ĐK: ⇒ y = y0 gọi TCN y = y0 xlim →−∞ [ f ( x) − (ax + b)] = xlim →+∞ Tiệm cận xiên: Hàm y = f(x) thỏa ĐK: ⇒ y = ax + b gọi [ f ( x) − (ax + b)] = xlim →−∞ TCX f ( x) [ f ( x) − ax ] ( a = lim f ( x ) ; b = lim [ f ( x) − ax ] ) *Cách xác định: a = lim ; b = xlim →+∞ x →−∞ x →+∞ x →−∞ x x (Khi a = ta có tiệm cận ngang) bac *Chú ý: + Hàm đa thức bậc 3, bậc tiệm cận; hàm hữu tỷ có TCĐ TCN; hàm bac bac có TCĐ TCX; … bac1 * Nhắc lại số giới hạn (lớp 11): (an x n + an −1 x n −1 + + a0 ) = ±∞ (Dấu tùy thuộc vào dấu an n chẵn hay lẻ) + Hàm đa thức: xlim →±∞ P ( x) = (nếu bậc tử < bậc mẫu) Q( x) P ( x) = ±∞ (nếu bậc tử > bậc mẫu) • xlim x → +∞ →±∞ Q ( x ) x → −∞ an x n + an −1 x n −1 + a0 an P ( x) = lim = ( bậc tử = bậc mẫu)(Kết giới • lim n −1 x →±∞ Q ( x ) x →±∞ b x n + b + b0 bn n n −1 x hạn tỉ số hệ số với bậc cao nhất) P ( x) P( x0 ) P ( x) = Q( x0 ) ≠ 0) (thay x0 vào tỉ số • xlim (Nếu xong) ± → x0 Q ( x ) Q( x0 ) Q( x) + x → x0 P ( x) − lim = ±∞ (Nếu thay x0 vào mà tử P(x0) ≠ 0, mẫu Q(x0) = 0) • ± x → x0 x → x0 Q ( x ) ( x − x0 ) A( x) P ( x) A( x) = lim± = lim± • xlim (Nếu thay x0 vào mà tử P(x0) = 0, → x0± Q ( x ) x → x0 ( x − x ) B ( x ) x → x0 B ( x ) mẫu Q(x0) = 0) + Hàm vô tỷ (chứa căn): tùy theo tình mà áp dụng: nhân lượng liên hợp, đặt biến chứa bậc cao thức, áp dụng tổng, hiệu, tích, thương giới hạn (chi tiết SGK 11) II VÍ DỤ MẪU 2x −1 VD1: Tìm TCN TCĐ đồ thị hàm số y = x+2 + Hàm phân thức: • xlim →±∞ VD2 : Tìm phương trình tiệm cận y = 2x2 − x + x − x + 15 x3 + x2 − x VD3 : Tìm phương trình tiệm cận y = VD4 : Tìm đường tiệm cận y = Giải - TXĐ : D = R \ ( − ; 1) x2 −1 y = lim + x − = ⇒ x = − không TCĐ - Xét : x →lim + ( −1) x →( −1) lim+ y = lim+ x − = x →1 lim y = lim x →+∞ ⇒ x = không TCĐ x →1 x →+∞ x − = lim x − x →+∞ 1 = lim x − = +∞ ⇒ TCN x →+∞ x x Giả sử hàm số có TCX : y = ax + b x = lim − = x →+∞ x x2 −1 −1 lim [ f ( x) − x] = lim ( x − − x) = lim = lim =0 x →+∞ x →+∞ b = x →+∞ x − + x x →+∞ x( − + 1) x2 Suy ra: y = x TCX đồ thị hàm số cho III BÀI TẬP TỰ GIẢI 1) Tìm phương trình tiệm cận hàm sau: 2x −1 −x −1 − x + 3x − 2 x − 3x + a) y = b) y = c) y = d) y = x−2 1− x 2x2 − x −1 x−2 x − x + x e) y = x + x − f) y = g) y = h) y = 3x + x −1 x +1 x + x +1 i) y = j) y = x + x + −5 x − x + f ( x) x2 −1 a = lim = lim = lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x x 1− TRẮC NGHIỆM TIÊM CẬN Câu 1:Hàm số sau nhận đường thẳng x = −2 làm đường tiệm cận: 1 A y = x + + B y = C y = 1+ x + 2x x −1 4− x Câu 2:Đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận là: x−3 A y = x = -3 B y = x = C y = x = 2x −1 có tiệm cận đứng là: − 7x 2 A x = B x = − C x = 7 2x − Câu 4:Đồ thị hàm số y = có tiệm cận ngang là: + 6x 1 A x = B x = − 3 D y = 5x x−2 D y = - x = Câu 3:Đồ thị hàm số y = Câu 5:Tiệm cận ngang hàm số y = a) y = b) y = –2 Câu 6:Cho hàm số y = A y = 1− 2x là: x+2 D y = − C y = − D y = c) y = –1 d) y = –1/2 2x − Tiệm cận ngang đồ thị hàm số có phương trình x−3 B x = C y = 3 Câu 7:Cho hàm số y = Chọn phát biểu đúng: 2− x D x =3 A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = ; tiệm cận ngang y = Câu 8:Cho hàm số ( C): y = Phát biểu sau đúng? x +1 A Hàm số có cực tiểu B Hàm số đồng biến miền xác định C Hàm số có cực đại D Hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang x −3 Câu 9:Đường tiệm cận ngang hàm số y = 2x + 1 1 A x = B x=− C y = − 2 D y = 3x + 10 là: x+ C (−2;3) Câu 10:Giao điểm hai đường tiệm cận hàm số y = B (3;2) D (−3;2) f (x) = lim f (x) = −3 Khẳng định sau khẳng định ? Câu 11:Cho hàm số y = f (x) có lim x →+∞ x →−∞ A (2;3) A Đồ thị hàm số cho tiệm cận ngang B Đồ thị hàm số cho có tiệm cận ngang C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng y = y = −3 D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận ngang đường thẳng x = x = −3 −2 x + Khẳng định sau ? x2 + A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = −2 C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = D Đồ thị hàm số tiệm cận Câu 13:Trong hàm số sau, hàm số có tiệm cận đứng x = −3 Câu 12:Cho hàm số y = A y= −3x + x−5 B y= 2x −1 3+ x C −3 x + x y= x2 + Câu 14:Đường tiệm cận đứng đồ thị (C ) : y = A m = B m = D y= −3 x + x+2 mx − qua điểm A(−1; 0) ? 2x + m C m = −1 D m = Câu 15:Trong hàm số sau hàm số có tiệm cận đứng x = ±1 : x2 − x − −2 x + x2 y = a) b) c) y = d) y = y = 2 ( x − 1) x −1 x −1 x +1 3x − Câu 16:Với giá trị m tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = qua điểm M (1;3) 2x − m a) m = b) m = c) m = d) m = −2 mx + Câu 17:Với giá trị m tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = qua điểm A(1;– 2) x−m a) –2 b) –1 c) d) Câu 18:Với giá trị m đồ thị hàm số y = A Câu 19:Cho hàm số y = phương trình là: A x = 2, y = 2mx + nhận đường thẳng x = làm tiệm cận đứng x−m B C – D x +1 Các đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho có x −2 B x = 4, y = − C x = 4, y = D x = 4, y = −2 Số tiệm cận đồ thị hàm số là: ( x + 3) x B.2 C.3 D.Nhiều Câu 20:Cho hàm số y = A.1 Câu2 1:Hàm số y = A x = 2x3 + x2 + x3 có tiệm cận đứng là: B y = C y = D x = x − 3x + x2 −1 A Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = -1 ; x = đường tiệm cận ngang đường thẳng y = B Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng đường thẳng x = -1 x = C Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng đường thẳng x = đường tiệm cận ngang đường thẳng y = D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng đường thẳng y = -1 ; y = đường tiệm cận ngang đường thẳng x = Câu2 Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số y = Câu22:Gọi (H) đồ thị hàm số y = tiệm cận nhỏ điểm nào? A M (−2;1) B M (2;1) 2x + Điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( H ) có tổng khoảng cách đến hai x +1 C M (2; −1) Câu 23:Gọi (H) đồ thị hàm số y = đến hai tiệm (H) số nào? A 19 B 18 C 17 − 3x Điểm M ( −4; y0 ) ∈ ( H ) có tích số khoảng cách từ M x+5 D 16 Câu 24:Tìm tất gia trị m cho đồ thị hàm số y = a/ m ≠ D M (1; 2) b/ ∀m (m + 2) x + x2 − x + c/ m ≠ có hai đường tiệm cận d/ kết khác 2x + x − 4x + m y= Câu 25: Tìm m để đồ thị hàm số sau có tiệm cận đứng tiệm cận ngang A m= B m = C.m = -2 D m = -4 3mx + m Với giá trị tham số m đường tiệm cận đứng, tiệm cận x −1 ngang đồ thị hàm số hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích A m ≠ ±2 B m = ± C m = ±1 D m = ±2 Câu 26:Cho hàm số y = x +1 x −1 A x = −1 B x = C x = x +1 Câu 28: Tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = x −1 A y = −1 B y = C y = Câu 27: Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = D x = D y = 3x + Khẳng định sau đúng? x −1 3 A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y = 2 C Đồ thị hàm số tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x= 3x + Câu 30: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số : y = : x −4 A B C D Câu 29 Cho hàm số y = 2x − Hàm số có tiệm ngang tiệm cận đứng : − 2x 2 3 A y = ; x = B y = −1; x = C y = −1; x = D y = ; x = 3 2 x−2 Câu 32: Cho hàm số y = Số tìm cận đồ thị hàm số là: x −9 Câu 31: Cho hàm số y = A B C Câu 33: Số đường tiệm cân đồ thi hàm số y = A B x − 3x + là: x2 − x + C D D x − 3x + Khẳng định sau đúng? x2 − 2x − A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x = 2 C Đồ thị hàm số tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x= -1;x=3 Câu 34 Cho hàm số y = x − 3x + Khẳng định sau đúng? x2 − 2x + A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x = B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y = C Đồ thị hàm số tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x= 1;x=3 Câu 36: Số đường tiệm cân đồ thi hàm số y = là: 5− x A B C D Câu 35 Cho hàm số y = Câu 37: Cho hàm số y = x + 2m − x+m Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị hàm số qua điểm M( 3; 1) A m = B m = −3 C m = D m = mx − 2x Câu 38: Cho hàm số y = x +1 Với giá trị m x = −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số A m ≠ B m ≠ −2 C m = D m ≠ ±2 2x + m Câu 39: Cho hàm số y = Với giá trị m đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang đồ mx − thị hàm số hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích 8.A m = B 1 C m = D m ≠ ±2 m=± 2 x+2 Câu 40: Cho hàm số y = Với giá trị m đồ thị hàm số tiệm cận đứng x − 2x + m A m > B m < C m = D m ≤ Câu 41: Cho hàm số y = E ( −1; 2) A m = mx − Với giá trị m tiệm cận đứng đồ thị hàm số qua điểm 2x + m B m = −2 C m = −1 D m = ... : D = R ( − ; 1) x2 −1 y = lim + x − = ⇒ x = − không TCĐ - Xét : x →lim + ( −1) x →( −1) lim+ y = lim+ x − = x →1 lim y = lim x →+∞ ⇒ x = không TCĐ x →1 x →+∞ x − = lim x − x →+∞ 1 = lim x −... i) y = j) y = x + x + −5 x − x + f ( x) x2 −1 a = lim = lim = lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x x 1− TRẮC NGHIỆM TIÊM CẬN Câu 1:Hàm số sau nhận đường thẳng x = −2 làm đường tiệm cận: 1 A y = x + + B... ngang y = D Đồ thị hàm số tiệm cận Câu 13:Trong hàm số sau, hàm số có tiệm cận đứng x = −3 Câu 12: Cho hàm số y = A y= −3x + x−5 B y= 2x −1 3+ x C −3 x + x y= x2 + Câu 14:Đường tiệm cận đứng đồ