Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán quan sát đa mục tiêu: đưa ra khái niệm lời giải tối ưu từng bước, chứng minh sự tồn tại lời giải tối ưu và đồng thời đề xuất thuật t[r]
(1)Nghiên cứu khoa học công nghệ
BÀI TOÁN QUAN SÁT ĐA MỤC TIÊU: SỰ TỒN TẠI LỜI GIẢI TỐI ƯU VÀ THUẬT TOÁN KALMAN TÌM NGHIỆM
THEO NGƯỠNG XÁC ĐỊNH Nguyễn Thị Hằng1*, Nguyễn Hải Nam2
Tóm tắt: Trong báo này, chúng tơi xét tốn quan sát đa mục tiêu: đưa khái niệm lời giải tối ưu bước, chứng minh tồn lời giải tối ưu đồng thời đề xuất thuật toán tìm lời giải chấp nhận theo ngưỡng xác định cho trước bằng công cụ lọc Kalman
Từ khóa: Quan sát đa mục tiêu, Kết hợp liệu, Dây chuyền, Phép gán, Tối ưu bước
1 MỞ ĐẦU
Bài toán quan sát đa mục tiêu áp dụng rộng rãi thực tế Trong lĩnh vực quân như: hệ thống phịng khơng, hệ thơng giám sát, hệ thống trinh sát điện tử, Trong lĩnh vực dân như: hệ thống giám sát giao thông, hệ thống giám sát không lưu, hệ thống giám sát, bảo vệ,
Bài toán quan sát đa mục tiêu nhiều tác giả đề xuất, xem xét đưa nhiều phương pháp giải [1 - 4], [7] Phương pháp phổ biến để giải toán đa mục tiêu phương pháp ước lượng Bayes (Bayesian sequential Estimation) mà tư tưởng phương pháp cập nhật cách đệ quy hàm phân bố hậu nghiệm trạng thái mục tiêu Tất thuật toán quan sát đa mục tiêu công bố thời điểm phức tạp lẽ gắn với mơ hình xác suất phức tạp Có thể điểm qua phương pháp như: Thuật tốn lân cận gần tồn cục (GNN); Thuật toán kết hợp liệu xác suất đồng thời (JPDA), kết hợp liệu đa giả thiết (MHT); Bộ lọc PHD; Bộ lọc hạt Rao – Blackwellized (RBMCDA), [6] Cho đến nay, thuật toán toán quan sát đa mục tiêu di động sử dụng thuật tốn kết hợp liệu nói cải tiến nhỏ thuật tốn Điều cần nhấn mạnh tất thuật toán cơng bố tốn quan sát đa mục tiêu di động đưa lời giải chấp nhận theo nghĩa
Trong báo này, chúng tơi xét tốn quan sát đa mục tiêu di động tổng quát, đó, đưa khái niệm lời giải tối ưu bước, chứng minh tồn lời giải tối ưu bước tốn đó, đồng thời, chúng tơi đưa thuật tốn tìm lời giải chấp nhận theo ngưỡng cho trước
2 BÀI TỐN QUAN SÁT ĐA MỤC TIÊU: MƠ HÌNH TỐN HỌC VÀ CÁC KHÁI NIỆM, ĐỊNH NGHĨA LIÊN QUAN
Giả sử ta cần quan tâm đến số đối tượng di động (hay gọi mục tiêu) miền khơng gian khoảng thời gian Ký hiệu miền không gian mà ta cần quan tâm, nX với nXlà không gian trạng
(2)sát t hiểu t 1,Tvà t , nói cách khác, ta giả thiết thời điểm quan sát ti với ti i i, 1, 2, ,T
Số mục tiêu có miền thời điểm t t, 1,T, số ngẫu nhiên chưa biết, ký hiệu Kt Kt( ) Giả thiết rằng, mục tiêu thứ k xuất vị trí ngẫu nhiên có phân bố thời điểm tikvà di chuyển cách độc lập mục tiêu khác đến thời điểm tfkthì biến Cũng giả thiết rằng, mục tiêu thứ k, 1 k Kt , tồn với xác suất
, (0 1)
k k
p p biến với xác suất 1pk Số mục tiêu thời điểm , Kt Kt( ), biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số
, 0 Các mục tiêu xuất hiện, tồn biến cách độc lập với Trong thời gian quan sát, miền quan sát có mục tiêu giả clutter gây Cũng tương tự giả thiết đặt với mục tiêu, giả thiết có
( )
t t
N N mục tiêu giả thời điểm t Mục tiêu giả thứ
j,1 j Nt, tồn với xác suất qj,(0qj 1)và biến với xác suất
1 qj Số mục tiêu giả thời điểm , biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson với tham số , 0 Các mục tiêu giả xuất hiện, tồn biến độc lập với độc lập với mục tiêu Cũng mục tiêu, mục tiêu giả xuất vị trí ngẫu nhiên có phân phối
Bài toán quan sát đa mục tiêu yêu cầu từ số liệu quan sát được, xác định số mục tiêu thời điểm, quỹ đạo (vết) mục tiêu miền quan sát trình quan sát
Nhận xét Tham số hoàn toàn biểu diễn qua pk , 1 k Kt Hoàn toàn tương tự, tham số cũng hoàn toàn biểu diễn qua qj, 1 j Nt.
Trên thực tế, mục tiêu giả có vai trị nên ta khơng cần phân loại mục tiêu giả Bởi vậy, ta giả thiết mơ hình xét có loại mục tiêu giả, ký hiệu FA, có phân phối Poisson với tham số , 0
Nhận xét Đặt Mt( ) Kt( ) Nt( ) không hạn chế nhiều giả thiết Mt( ) bị chặn h.c.c, nghĩa tồn At,0At , choMt( ) A h c ct Gọi
inft t t t( )
M A A M h c c (ở [ ]a là phần nguyên a) Khi 0M ,M .
(3)Nghiên cứu khoa học công nghệ
định M Việc bổ sung khơng ảnh hưởng đến tính đắn cơng thức tính xác lời giải tốn phương pháp giải trình bày báo
Mơ hình tốn học toán quan sát đa mục tiêu định nghĩa liên quan
Ký hiệu: X ktk, 1,2, ,M trạng thái mục tiêu thứ k, k nX
t
X , nX
là số chiều véctơ trạng thái Mơ hình chuyển động (chuyển trạng thái) mục tiêu thứ k mô tả hệ động lực phi tuyến tổng quát không gian trạng thái nX sau:
X
tk1
F X
k(
tk)
V
tk (1) với :nX nXk
F ánh xạ đo từ nX vào nX; k nX
t
V nhiễu trắng với ma trận hiệp phương sai Qk Các V ktk, 1,2, ,M khơng tương quan Mơ hình quan sát (đo đạc) xác định bởi:
( )
W
t t t
Y
G X
(2) với G :nX nY ,Y
n số chiều véctơ quan sát, G ánh xạ đo từ
nXvào nY, W nY
t nhiễu trắng với ma trận hiệp phương sai Rvà Wt không tương quan với V ktk, 1,2, ,M Trong mơ hình trên, Vtk gọi nhiễu hệ thống Wt gọi sai số đo đạc (quan sát)
Ký hiệu: Y t( ){Ytj |j 1,2, , }nt tập giá trị quan sát thời
điểm t; nt số kết quan sát thời điểm t;
1
(1 : ) ( )
t
i
Y t Y t
tập giá trị quan sát thời điểm t
Yêu cầu toán quan sát đa mục tiêu từ kết quan sát, xác định (ước lượng) quỹ đạo mục tiêu Lưu ý rằng, tập giá trị quan sát thời điểm t, tập Y t( ) chứa giá trị quan sát mục tiêu này, mục tiêu khác, mục tiêu giả FA, chưa phân định
Chúng ta đưa số định nghĩa số kết bổ trợ sau
Định nghĩa 2.1 Một quỹ đạo mục tiêu thứ k xuất thời điểm tik
biến thời điểm tkf [ , ]k k
|
, [1, ], [1, ]
i f
k k k k k k
t i f i f t t
X X t t t t T t T
Với As tập hợp, ta sử dụng ký hiệu tích trực tiếp
1 s
( , , , ) |
1 n s s,
1,
.
n
s
A
a a
a
a
A s
n
(4)tích ( ) f
i
t
t t Y t nghĩa
1
1
[ , ] , , , , , tf ti ( ),
s
i i f
f
i
j
j j j
i f t t t t
t
t t
d d t t Y Y Y Y Y t
đó, js
t
Y gọi đỉnh thời điểm t dây chuyền d d t t[ , ]i f
Định nghĩa 2.3 Dây chuyền d t t[ , ]i f gọi ảnh quỹ đạo [ , ]k k
i f
k t t
X mục
tiêu thứ k ti t tik; f tfk giá trị đỉnh js
t
Y là giá trị quan sát Xtk thời điểm t qua mơ hình quan sát (2) với t t ti, i1, , tf
Nhận xét Nếu xác định dây chuyền ảnh d t t[ , ]i f việc ước lượng quỹ đạo
[ , ]k k i f
k t t
X việc làm có nhiều cơng trình cơng bố, chẳng hạn người ta dùng lọc Kalman để ước lượng quỹ đạo (xem [5] ).
Như vậy, yêu cầu toán quan sát đa mục tiêu trở thành yêu cầu dùng phương pháp liên kết liệu để xác định dây chuyển ảnh “một cách tốt nhất” Để tiện cho việc trình bày phần sau, đưa vào khái niệm xác suất cảm sinh không gian giá trị quan sát (có thể gọi khơng gian mẫu) đưa cơng thức tính xác suất
Với mục tiêu thứ k có xác suất xuất pk, 0pk 1, qua mơ hình quan sát (2), giả sử:
( )
k k
t t t
Y G X W (2’) giá trị quan sát thời điểm t mục tiêu thứ k Với Wtlà nhiễu trắng có ma trận hiệp phương sai R cho; với G(.) ánh xạ đo được, ta biểu diễn (2’) dạng: Ytk H X( tk), đó, H :nX nYlà ánh xạ đo
Ký hiệu H1( )A nghịch ảnh tậpA A, nY, ta có:
1
[ k ] [ k ( )]
t t
Y A X H A
(3)
Như vậy, phân phối xác suất Ytkhoàn toàn xác định qua phân phối củaXtk Phân phối gọi phân phối cảm sinh không gian giá trị quan sát (khơng gian mẫu)
Nói riêng, mục tiêu thứ k Xtk xuất thời điểm t với xác suất pk, giá trị quan sát Y Ytk, tk Y t( ), có xác suất xuất xác suất cảm sinh pk (pkđược tính theo pk theo mối quan hệ (3))
3 SỰ TỒN TẠI LỜI GIẢI TỐI ƯU TỪNG BƯỚC CỦA BÀI TOÁN QUAN SÁT ĐA MỤC TIÊU
(5)Nghiên cứu khoa học công nghệ
đỉnh dây chuyền tính đến thời điểm t), tập giá trị ký hiệu Y tT( );
( )
t
n NT giá trị đơn lẻ điểm khởi tạo cho dây chuyền mới, tập giá trị ký hiệu YNT( )t ; n FA( ) giá trị giá trị quan sát mục tiêu giả gây ra, tập giá trị ký hiệu Y tFA( ) Ta có:
t t t t
n T n NT n FA n Y tT( )YNT( )t Y tFA( )Y t( )
Đến thời điểm t 1, ta có Y t( 1){Yts1 |s 1,2, , nt1} tập giá trị quan sát thời điểm t 1 Ký hiệu: Y Y t( 1) { }
Định nghĩa 3.1 Một phép gán t thời điểm t ánh xạ:
: ( ) ( 1)
t
f Y t Y t thỏa mãn điều kiện t( ( ) ( )) t( ( ))
T NT FA
f Y t Y t f Y t
Nhận xét 4. Với phép gán t thời điểm t, ta có:
Dây chuyền liên kết liệu thời điểm t có điểm cuối làY Ytk, tk Y tT( )YNT( )t , kết thúc t( k)
t
f Y
Dây chuyền liên kết liệu thời điểm t Y Ytk, tk Y tT( )YNT( )t , tiếp tục kéo dài t( k) s1 ( 1)
t t
f Y Y Y t và đó, Yts1 gọi đỉnh dây chuyền thời điểm t 1
Giá trị quan sát Ytj1,Ytj1 Y t( 1), xem số đo mục tiêu giả
nếu
1
1 ( )
t j
t FA
f Y Y t
Các giá trị thuộc tập hợp mà ta ký hiệu YNT(t 1)được xác định bởi ( 1) ( 1) t( ( ))
NT
Y t Y t f Y t gọi giá trị xuất hiện, khởi đầu cho dây chuyền
Tại thời điểm xuất phát ta coi tập Y(0) tập tất giá trị mục tiêu báo động giả Ta có #( (0))Y M hữu hạn (ký hiệu #( )A lực lượng tậpA)
Số phép gán t có thời điểm t hữu hạn
Như vậy, với phép gán t thời điểm t tập giá trị quan sát thời điểm t 1 phân hoạch thành tập rời nhau:
( 1) T( 1) NT( 1) FA( 1)
Y t Y t Y t Y t
Quá trình gán lại tiếp tục thời điểm t1,t 2,
Định nghĩa 3.2 Một lời giải hay gọi chiến lược liên kết liệu đối với toán quan sát đa mục tiêu họ phép gán { |t t 0,1, ,T 1}
(6)nhận xét Đã nêu mục (mục 2) nhận lời giải toán quan sát đa mục tiêu
Định nghĩa 3.3 Lời giải { |t* t 0,1, ,T 1}được gọi lời giải tối ưu bước hay tối ưu cục nếu [ | (1 :* 1)] max [ | (1: 1)],
t
t t t
P Y t P Y t
Ở đây,
(1: 1)
[ |t t ]
P Y xác suất hậu nghiệm phép gán t.
Chúng ta có số kết sau:
Mệnh đề 3.1 Với điều kiện tốn quan sát đa mục tiêu xét, ln tồn lời giải tối ưu bước.
Chứng minh Do M , ta suy nt M , t
Hay nói cách khác, nt biến ngẫu nhiên bị chăn bởiM Từ suy tính hữu hạn { },t t 0,1, ,T 1
Do đó, t t( 0,1, ,T1), tập { [ |Pt Y(1:t1)],t có} tập hữu hạn bị chặn Bởi vậy, t* cho [ |* (1: 1)] max [ | (1: 1)]
t
t t t t
P Y P Y
Nhận xét Với phương pháp chứng minh kết Mệnh đề 3.1, chúng ta khẳng định tồn lời giải tối ưu bước thuật tốn kiến thiết để tìm lời giải chưa ra.
Một suy nghĩ trực quan ta tìm biểu thức giải tích P[ |t Y(1:t1)] từ tìm cực trị Chúng ta có kết sau
Mệnh đề 3.2 Phân phối hậu nghiệm phép gán t tính theo cơng thức: (1: 1)
[ |t t ]
P Y A B C D F (4) trong đó:
( ) ( ); ( )
(1 )
k t k
t T NT t
k k
Y Y t Y t f Y
A p p
( ) ( ); ( ) ( 1)
j t j
t T NT t
j j
Y Y t Y t f Y Y t
B p p
1
#( ( 1))
mà ( ) ( ) ( ) ,
#( ( 1))!
NT s t t Y t s s
NT s f Y Y t
C e p p
Y t
#( ( 1))
,
#( ( 1))!
FA Y t FA D e Y t
xác định nhận xét
F số chuẩn hóa
Chứng minh Việc chứng minh dựa vào tính độc lập chuyển động mục tiêu mục tiêu giả tính trực tiếp từ cơng thức xác suất tích
(7)Nghiên cứu khoa học công nghệ
trong thực tế, người ta coi vai trò mục tiêu không phân biệt, vậy, người ta thường xét mơ hình với giả thiết mục tiêu xuất biến với xác xuất Nghĩa pk p,k Dẫn đến, ta có quyền đặt qp pk k hằng số (đã biết) công thức xác suất hậu nghiệm (4) trở thành:
2
0
(1: )
2
[ | ] (1 )
! !
n n
n n n q
t t
P Y q q e e F
n n
(5)
Do vậy, việc tìm t* trường hợp trở thành đơn giản hơn, tức tìm cực trị hàm biến
2
0
0
2
( , , , ) (1 )
! !
x x
x x x q
f x x x x F p q e e
x x
với điều
kiện ràng buộc: xi {0,1, 2, }, i 0, 3 ;x0 nt ;x1 x2 x3 nt1
Sử dụng tính đồng biến hàm ( )z lnz dùng phương pháp giải tích ta đưa lời giải toán phương pháp nhân tử Lagrange (tuy không đơn giản)
Nhận xét Dễ dàng từ Định nghĩa 3.3 từ việc chứng minh Mệnh đề 3.1, thấy rằng lời giải tối ưu bước chưa nhất.
Do vậy, có nhiều phương pháp cách tiếp cận để xây dựng lời giải xấp xỉ tối ưu (chấp nhận được) Trong phần tiếp theo, chúng tơi trình bày số cách xây dựng lời giải chấp nhận theo ngưỡng xác định cho trước
4 MỘT THUẬT TỐN TÌM LỜI GIẢI CHẤP NHẬN ĐƯỢC
THEO NGƯỠNG XÁC ĐỊNH 4.1 Lọc Kalman
Lọc Kalman có đặc điểm phù hợp để nghiên cứu tốn xử lý tín hiệu toán liên kết liệu Ở đây, chúng tơi nêu số nét chính: mơ hình ký hiệu cần sử dụng cho mục đích trình bày kết phần (xem lọc Kalman [5])
Xét lọc Kalman với thời gian rời rạc
Phương trình trạng thái: Y t( )k F t Y t( , (k k1), ( ))V tk (6) với mơ hình quan sát: Z t
k H t Y t W t
k,
k , k
(7) đó: ( ) nYk
Y t véctơ trạng thái; nY số chiều véc tơ trạng thái; ( ) nZ
k
Z t véctơ quan sát; nZ số chiều véctơ quan sát
(.,.,.) : [0, ] nY nY nY
F T ánh xạ mô tả hệ động lực chuyển trạng thái
(.,.,.) : [0, ] nY nZ nZ
H T ánh xạ mơ tả mơ hình quan sát ( )
V t nhiễu hệ thống,được giả thiết nhiễu trắng có ma trận hiệp phương sai R ( )
W t nhiễu quan sát,được giả thiết nhiễu trắng có ma trận hiệp phương saiQ ( )