– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh caù[r]
(1)Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian CHÖÔNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN Định nghĩa và các phép toán • Định nghĩa, tính chất, các phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng • Löu yù: + Qui taéc ba ñieåm: Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: AB + BC = AC + Qui taéc hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: AB + AD = AC + Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A′B′C′D′, ta coù: AB + AD + AA ' = AC ' + Hêï thức trung điểm đoạ thaú m ađoạnthẳng AB, O tuỳ ý n ng: Cho I laø trung ñieå cuû Ta coù: IA + IB = 0; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tam c: Cho c ABC, O tuyø yù giaù G laø troïng taâm cuû a tam giaù Ta coù: GA = + GB + GC 0; OA= + OB + OC 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ dieä : Cho G laø troïng taâm cuû a tứ diệ yù. n n ABCD, O tuyø Ta coù: GA + GB + GC + = GD 0; OA + OB + OC + = OD 4OG + Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông: a vaø b cuøng phöông (a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý OA − kOB Ta coù: = MA k= MB; OM 1− k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi là đồng phẳng các giá chúng cùng song song với mặt phaúng • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , đó a và b không cùng phương Khi đó: a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: = c ma + nb • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc Tích vô hướng hai vectơ • Góc hai vectơ không gian: AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 1800 ) • Tích vô hướng hai vectơ không gian: + Cho u , v ≠ Khi đó: u.v = u v cos(u , v ) + Với u 0= = v Qui ước: u.v = + u ⊥ v ⇔ u.v = + u = u2 Trang Lop12.net (2) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian II HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ Đêcac vuông góc không gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi và chung điểm gốc O Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz đơn giản là hệ tọa độ Oxyz 2 Chuù yù: 2 2 j i.= k k= j i= j= k= vaø i= Tọa độ vectơ: a) Ñònh nghóa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk b) Tính chaá t: Cho a (a= = 1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ), k ∈ R • a ± b= (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) • ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 = b1 • a =⇔ b b2 a2 = a = b • a cuøng phöông b (b ≠ 0) • (0= = ; 0; 0), i (1= ; 0; 0), j (0= ;1; 0), k (0; 0;1) ⇔ = a kb (k ∈ R) a1 = kb1 ⇔ a2 = kb2 a = kb • a.b =a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 a.b , b ) = • cos(a= a.b a1 a2 a3 = = , (b1 , b2 , b3 ≠ 0) b1 b2 b3 • a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = • a = a12 + a22 + a32 ⇔ • a= a12 + a22 + a22 a1b1 + a2 b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 (với a , b ≠ ) Tọa độ điểm: a) Ñònh nghóa: M ( x; y; z) ⇔ OM = ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chuù yù: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = b) Tính chaát: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( xB ; yB ; zB ) • AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA ) • AB= ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 + ( zB − zA )2 x − kxB y A − kyB zA − kzB • Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M A ; ; 1− k 1− k 1− k x + xB y A + yB zA + zB • Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M A ; ; 2 • Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC G A ; ; 3 Trang Lop12.net (3) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian • Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD: x + xB + xC + xD y A + yB + yC + yD zA + zB + zC + zC G A ; ; 4 Tích có hướng hai trình naâng cao) vectô: (Chöông a) Ñònh nghóa: Cho a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) a1 a2 = ( a2 b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2 b1 ) b b b b b b 3 1 Chú ý: Tích có hướng hai vectơ là vectơ, tích vô hướng hai vectơ là số b) Tính chaát: j , k i = [k , i ] j • i , j k ;= • [a, b] ⊥ a; = ; [a, b] ⊥ b a2 [ a , b ] = a ∧ b = a3 a3 ; a1 ; • [a, b] = a b sin ( a , b ) • a, b cuøng phöông ⇔ [a, b] = c) Ứng dụng tích có hướng: • Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b và c đồng phẳng ⇔ [a, b].c = • Dieän tích hình bình haønh ABCD: S ABCD = AB, AD • Dieän tích tam giaùc ABC: S∆ ABC = • Theå tích khoái hoäp ABCD.A′B′C′D′: VABCD A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ] AA ' • Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = AB, AC [ AB, AC ] AD Chuù yù: – Tích vô hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh caùc vectô cuøng phöông a ⊥ b⇔ a.b = [ ⇔ a vaø b cuø n g phöông a ,b] = a , b , c đồng phẳng ⇔ [ a , b ] c = Phöông trình maët caàu: • Phöông trình maët caàu (S) taâm I(a; b; c), baùn kính R: ( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 = R2 • Phöông trình x + y + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = với a + b + c − d > là phương trình maët caàu taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = a2 + b2 + c2 − d Trang Lop12.net (4) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian VẤN ĐỀ 1: Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Dieän tích – Theå tích – Sử dụng các công thức toạ độ vectơ và điểm không gian – Sử dụng các phép toán vectơ không gian – Công thức xác định toạ độ các điểm đặc biệt – Tính chaát hình hoïc cuûa caùc ñieåm ñaëc bieät: • A, B, C thaúng haøng ⇔ AB, AC cuøng phöông ⇔ AB = k AC ⇔ AB, AC = • ABCD laø hình bình haønh ⇔ AB = DC • Cho ∆ABC có các chân E, F các đường phân giác và ngoài góc A ∆ABC AB AB treân BC Ta coù: EB = − AC .EC , FB = AC .FC • A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC , AD không đồng phẳng ⇔ AB, AC AD ≠ Bài Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M: • Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) M(1; 2; 3) b) M(3; −1; 2) c) M(−1;1; −3) d) M(1; 2; −1) e) M(2; −5; 7) f) M(22; −15; 7) g) M(11; −9;10) h) M(3; 6; 7) Bài Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M′ đối xứng với điểm M: • Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua truïc Oy b) M(3; −1; 2) c) M(−1;1; −3) a) M(1; 2; 3) e) M(2; −5; 7) f) M(22; −15; 7) g) M(11; −9;10) d) M(1; 2; −1) h) M(3; 6; 7) Baøi Xeùt tính thaúng haøng cuûa caùc boä ba ñieåm sau: a) A(1; 3;1), B(0;1; 2), C (0; 0;1) b) A(1;1;1), B(−4; 3;1), C (−9; 5;1) c) A(10; 9;12), B(−20; 3; 4), C (−50; −3; −4) d) A(−1; 5; −1 ),0B(5; −7; 8), C (2; 2; −7) Baøi Cho ba ñieåm A, B, C • Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác • Tìm toạ độ trọng tâm G ∆ABC • Xaùc ñònh ñieåm D cho ABCD laø hình bình haønh • Xác định toạ độ các chân E, F các đường phân giác và ngoài góc A ∆ABC trên BC Tính độ dài các đoạn phân giác đó • Tính soá ño caùc goùc ∆ABC • Tính diện tích ∆ABC Từ đó suy độ dài đường cao AH ∆ABC b) A(0;13; 21), B(11; −23;17), C (1; 0;19) a) A(1; 2; −3), B(0; 3; 7), C (1 25 ; ; 0) c) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2), C (1; 2; −3) d) A(4; 2; 3), B(−2;1; −1), C (3; 8; 7) e) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1), C (−1;1; −3) f) A(4;1; 4), B(0; 7; −4), C (3;1; −2) g) A (1; 0; ) , B ( 0; 0;1) , C ( 2;1;1) h) A(1; −2; 6), B(2; 5;1), C (−1; 8; 4) Bài Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách hai điểm: a) A(3;1; 0) , B(−2; 4;1) b) A(1; −2;1), B(11; 0; 7) d) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1) e) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2) c) A(4;1; 4), B(0; 7; −4) f) A(4; 2; 3), B(−2;1; −1) Bài Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm: a) A(1;1;1), B(−1;1; 0), C (3;1; −1) b) A(−3; 2; 4), B(0; 0; 7), C (−5; 3; 3) c) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1), C (−1;1; −3) d) A(0;13; 21), B(11; −23;17), C (1; 0;19) Trang Lop12.net (5) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian e) A(1; 0; 2), B(−2;1;1), C (1; −3; −2) f) A(1; −2; 6), B(2; 5;1), C (−1; 8; 4) Bài Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) điểm M • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? • Tìm tọa độ điểm M a) A ( 2; −1; ) , B ( 4; 5; −2 ) b) A(4; 3; −2), B(2; −1;1) c) A(10; 9;12), B(−20; 3; 4) d) A(3; −1; 2), B(1; 2; −1) e) A(3; −4; 7), B(−5; 3; −2) f) A(4; 2; 3), B(−2;1; −1) Baøi Cho boán ñieåm A, B, C, D • Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện • Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD • Tính góc tạo các cạnh đối diện tứ diện ABCD • Tính thể tích khối tứ diện ABCD • Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy độ dài đường cao tứ diện vẽ từ A a) A(2; 5; −3), B(1; 0; 0), C (3; 0; −2), D(−3; −1; 2) b) A (1; 0; ) , B ( 0;1; ) , C ( 0; 0;1) , D ( −2;1; −1) c) A (1;1; ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; ) , D (1;1;1) e) A(2; 3;1), B(4;1; −2), C (6; 3; 7), D(−5; −4; 8) g) A(2; 4;1), B(−1; 0;1), C (−1; 4; 2), D(1; −2;1) i) A(3; 4; 8), B(−1; 2;1), C (5; 2; 6), D(−7; 4; 3) Baøi Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D' • Tìm toạ độ các đỉnh còn lại • Tính theå tích khoái hoäp a) A (1; 0;1) , B ( 2;1; ) , D (1; −1;1) , C ' ( 4; 5; −5 ) c) A(0; 2;1), B(1; −1;1), D(0; 0; 0;), A '(−1;1; 0) d) f) h) k) A ( 2; 0; ) , B ( 0; 4; ) , C ( 0; 0; ) , D ( 2; 4; ) A(5; 7; −2), B(3;1; −1), C (9; 4; −4), D(1; 5; 0) A(−3; 2; 4), B(2; 5; −2), C (1; −2; 2), D(4; 2; 3) A(−3; −2; 6), B(−2; 4; 4), C (9; 9; −1), D(0; 0;1) b) A(2; 5; −3), B(1; 0; 0), C (3; 0; −2), A '(−3; −1; 2) d) A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (−1;1;1), C '(1; −2; −1) Baøi 10 Cho boán ñieåm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB) b) Chứng minh S.ABC là hình chóp c) Xác định toạ độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH Baøi 11 Cho boán ñieåm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4) a) Chứng minh SA ⊥ (SBC), SB ⊥ (SAC), SC ⊥ (SAB) b) Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB Chứng minh SMNP là tứ diện c) Vẽ SH ⊥ (ABC) Gọi S′ là điểm đối xứng H qua S Chứng minh S′ABC là tứ diện Bài 12 Cho hình hộp chữ nhậ OABC.DEFG Goïi I laø taâm cuûa hình hoäp t a) Phaân tích caùc vectô OI , AG theo caùc vectô OA, OC , OD b) Phaân tích vectô BI theo caùc vectô FE , FG, FI Baøi 13 Cho hình laäp phöông ABCD.EFGH a) Phaân tích vectô AE theo caùc vectô AC , AF , AH b) Phaân tích vectô AG theo caùc vectô AC , AF , AH Bài 14 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N là trung điểm AD và BB′ Chứng minh raèng MN ⊥ A′C Bài 15 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh Trên các cạnh BB′, CD, A′D′ lấy các điểm M, N, P cho B′M = CN = D′P = x (0 < x < 1) Chứng minh AC′ vuông góc với mặt phẳng (MNP) Trang Lop12.net (6) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian VẤN ĐỀ 2: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R mặt cầu Daïng 1: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø baùn kính R: (S): ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 Daïng 2: (S) coù taâm I(a; b; c) vaø ñi qua ñieåm A: Khi đó bán kính R = IA Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: x A + xB y A + yB zA + zB – Tâm I là trung điểm đoạn thẳ= ng AB: xI = ; yI = ; zI 2 AB – Baùn kính R = IA = Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x + y + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = (*) – Thay toạ độ các điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự dạng Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước: – Xaùc ñònh taâm J vaø baùn kính R′ cuûa maët caàu (T) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu (S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc và tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): x + y + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = thì (S) coù taâm I(–a; –b; –c) vaø baùn kính R = Baøi với a + b + c − d > a2 + b2 + c2 − d Tìm taâm vaø baùn kính cuûa caùc maët caàu sau: a) x + y + z2 − x + y + = b) x + y + z2 + x + y − z − = c) x + y + z2 − x − y + z = d) x + y + z2 − x + y − z − 86 = e) x + y + z2 − 12 x + y − z + 24 = f) x + y + z2 − x − 12 y + 12 z + 72 = g) x + y + z2 − x + y + z − = h) x + y + z2 − x + y = i) x + 3y + 3z2 + x − 3y + 15z − = k) x + y + z2 − x + y − z + 10 = Bài Xác định m, t, α, … để phương trình sau xác định mặt cầu, tìm tâm và bán kính các mặt cầu đó: a) x + y + z2 − 2(m + 2) x + 4my − 2mz + 5m + = b) x + y + z2 − 2(3 − m) x − 2(m + 1) y − 2mz + 2m + = c) x + y + z2 + 2(cos α + 1) x − y − cos α z + cos 2α + = d) x + y + z2 + 2(3 − cos2 α ) x + 4(sin α − 1) y + z + cos 4α + = Trang Lop12.net (7) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B Baøi PP Toạ độ không gian Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø baùn kính R: a) I (1; −3; 5), R = b) I (5; −3; 7), R = c) I (1; −3; 2), R = d) I (2; 4; −3), R = Baøi Vieát phöông trình maët caàu coù taâm I vaø ñi qua ñieåm A: a) I (2; 4; −1), A(5; 2; 3) b) I (0; 3; −2), A(0; 0; 0) e) I (4; −1; 2), A(1; −2; −4) d) I (4; −4; −2), A(0; 0; 0) Bài Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) A(2; 4; −1), B(5; 2; 3) b) A(0; 3; −2), B(2; 4; −1) d) A(4; −3; −3), B(2;1; 5) e) A(2; −3; 5), B(4;1; −3) Baøi a) c) e) c) I (3; −2;1), A(2;1; −3) c) A(3; −2;1), B(2;1; −3) f) A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: b) A ( 2; 0; ) , B ( 0; 4; ) , C ( 0; 0; ) , D ( 2; 4; ) A (1;1; ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; ) , D (1;1;1) d) A(5; 7; −2), B(3;1; −1), C (9; 4; −4), D(1; 5; 0) A(2; 3;1), B(4;1; −2), C (6; 3; 7), D(−5; −4; 8) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (−2; 2; 2), D(1; −1; 2) A(6; −2; 3), B(0;1; 6), C (2; 0; −1), D(4;1; 0) Baøi Vieát phöông trình maët caàu ñi qua ba ñieåm A, B, C vaø coù taâm naèm maët phaúng (P) cho trước, với: A(1; 2; 0), B(−1;1; 3), C (2; 0; −1) A(2; 0;1), B(1; 3; 2), C (3; 2; 0) a) b) ( P ) ≡ (Oxz) ( P ) ≡ (Oxy ) Baøi Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với: I (−5;1;1) I (−3; 2; 2) a) b) 2 2 2 0 (T ) : x + y + z − x + y − z + = (T ) : x + y + z − x + y − 8z + = VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối hai mặt cầu mặt cầu Cho hai maët caàu S1(I1, R1) vaø S2(I2, R2) • I1I < R1 − R2 ⇔ (S1), (S2) • I1I > R1 + R2 ⇔ (S1), (S2) ngoài • I1I= R1 + R2 ⇔ (S1), (S2) tiếp xúc ngoài R1 − R2 ⇔ (S1), (S2) tieáp xuùc • I1I= 2 • R1 − R2 < I1I < R1 + R2 ⇔ (S1), (S2) cắt theo đường tròn Baøi Xét vị trí tương đối hai mặt cầu: ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = x + y + z2 − x + y − z − = a) b) 2 2 0 x + y + z − x − 10 y − z − 21 = x + y + z + x − y − z + = x + y + z2 − x + y − z +05 = x + y + z2 − x + y − z − 15 = 0 c) d) 2 2 0 x + y + z − x − y + z − = x + y + z + x − 12 y − z + 25 = x + y + z2 − x − y + z + = x + y + z2 + x − y + z − = 0 e) f) 2 2 0 x + y + z − x + y − z − = x + y + z − x + y − z − = Bài Biện luận theo m vị trí tương đối hai mặt cầu: ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + ( z + 3)2 = ( x − 3)2 + ( y + 2)2 + ( z + 1)2 = 64 81 a) b) 2 2 2 2 ( x − 4) + ( y + 2) + ( z − 3) =(m + 2) ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) =(m − 3) ( x + 2)2 + ( y − 2)2 + ( z − 1)2 = ( x + 3)2 + ( y + 2)2 + ( z + 1)2 = 25 16 c) d) 2 2 2 2 ( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) =(m − 1) ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) =(m + 3) Trang Lop12.net (8) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian III PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG Vectô phaùp tuyeán – Caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng • Vectơ n ≠ là VTPT (α) giá n vuông góc với (α) • Hai vectô a , b khoâng cuøng phöông laø caëp VTCP cuûa (α) neáu caùc giaù cuûa chuùng song song nằm trên (α) Chuù yù: • Neáu n laø moät VTPT cuûa (α) thì kn (k ≠ 0) cuõng laø VTPT cuûa (α) • Neáu a , b laø moät caëp VTCP cuûa (α) thì n = [ a , b ] laø moät VTPT cuûa (α) Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng Ax + By + Cz= + D với A + B + C > • Neáu (α) coù phöông trình Ax + By + Cz + D = thì n = ( A; B; C ) laø moät VTPT cuûa (α) • Phöông trình maët phaúng ñi qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù moät VTPT n = ( A; B; C ) laø: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Các trường hợp riêng Caùc heä soá Phöông trình maët phaúng (α) Ax + By + Cz = By + Cz + D = D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 Chuù yù: Ax + Cz + D = Ax + By + D = Cz + D = By + D = Ax + D = Tính chaát maët phaúng (α) (α) qua gốc toạ độ O (α) // Ox (α) ⊃ Ox (α) // Oy (α) ⊃ Oy (α) // Oz (α) ⊃ Oz (α) // (Oxy) (α) ≡ (Oxy) (α) // (Oxz) (α) ≡ (Oxz) (α) // (Oyz) (α) ≡ (Oyz) • Nếu phương trình (α) không chứa ẩn nào thì (α) song song chứa trục tương ứng x y z + + = a b c (α) cắt các trục toạ độ các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai maët phaúng (α), (β) coù phöông trình: (α): A1 x + B1y + C1z + D1 = 0 (β): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = • (α), (β) caét ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A A2 • (α) // (β) ⇔ = B1 C1 D1 = ≠ B2 C2 D2 A A2 • (α) ≡ (β) ⇔ = B1 C1 D1 = = B2 C2 D2 • (α) ⊥ (β) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M0 ,(α ) ) = A2 + B + C Trang Lop12.net (9) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định điểm thuộc (α) và VTPT nó Daïng 1: (α) ñi qua ñieåm M ( x0 ; y0 ; z0 ) coù VTPT n = ( A; B;C ) : (α): A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Daïng 2: (α) ñi qua ñieåm M ( x0 ; y0 ; z0 ) coù caëp VTCP a , b : Khi đó VTPT (α) là n = [ a , b ] Dạng 3: (α) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0: (α): A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Daïng 4: (α) ñi qua ñieåm khoâng thaúng haøng A, B, C: Khi đó ta có thể xác định VTPT (α) là: n = AB, AC Dạng 5: (α) qua điểm M và đường thẳng (d) không chứa M: – Treân (d) laáy ñieåm A vaø VTCP u – Moät VTPT cuûa (α) laø: n = AM , u Dạng 6: (α) qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d): VTCP u đường thẳng (d) là VTPT (α) Dạng 7: (α) qua đường thẳng cắt d1, d2: – Xác định các VTCP a , b các đường thẳng d1, d2 – Moät VTPT cuûa (α) laø: n = [ a , b ] – Lấy điểm M thuộc d1 d2 ⇒ M ∈ (α) Dạng 8: (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định các VTCP a , b các đường thẳng d1, d2 – Moät VTPT cuûa (α) laø: n = [ a , b ] – Laáy moät ñieåm M thuoäc d1 ⇒ M ∈ (α) Dạng 9: (α) qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: – Xác định các VTCP a , b các đường thẳng d1, d2 – Moät VTPT cuûa (α) laø: n = [ a , b ] Dạng 10: (α) qua đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (β): – Xaùc ñònh VTCP u cuûa (d) vaø VTPT nβ cuûa (β) – Moät VTPT cuûa (α) laø: n = u , nβ – Laáy moät ñieåm M thuoäc d ⇒ M ∈ (α) Dạng 11: (α) qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt (β), (γ): – Xaùc ñònh caùc VTPT nβ , nγ cuûa (β) vaø (γ) – Moät VTPT cuûa (α) laø: n = uβ , nγ Dạng 12: (α) qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: – Giả sử (α) có phương trình: Ax + By + Cz+D = ( A2 + B + C ≠ ) – Lấy điểm A, B ∈ (d) ⇒ A, B ∈ (α) (ta hai phương trình (1), (2)) – Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,(α )) = k , ta phương trình (3) – Giaûi heä phöông trình (1), (2), (3) (baèng caùch cho giaù trò moät aån, tìm caùc aån coøn laïi) Dạng 13: (α) là tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H: Trang Lop12.net (10) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I vaø baùn kính R – Moät VTPT cuûa (α) laø: n = IH Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học lớp 11 Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M và có VTPT n cho trước: ( 3;0;1) c) M ( 4; −1; −2 ) , n = ( 0;1;3 ) a) M ( 3;1;1) , n = ( −1;1;2 ) b) M ( −2;7;0 ) , n = (1;0;0 ) d) M ( 2;1; −2 ) , n = e) M ( 3;4;5 ) , n = (1; −3; −7 ) f) M (10;1;9 ) , n = ( −7;10;1) Bài Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước, với: b) A(1; −1; −4), B(2; 0; 5) c) A(2; 3; −4), B(4; −1; 0) a) A(2;1;1), B(2; −1; −1) 1 1 d) A ; −1;0 , B 1; − ;5 e) A 1; ; , B −3; ;1 f) A(2; −5; 6), B(−1; −3; 2) 2 2 Bài Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M và có cặp VTCP a , b cho trước, với: a) M (1; 2; −3), a = (2;1; 2), b = (3; 2; −1) b) M (1; −2; 3), a = 3; −1; −2), b = (0; 3; 4) c) M (−1; 3; 4), a = (2; 7; 2), b = (3; 2; 4) Baøi d) M (−4; 0; 5), a = (6; −1; 3); b = (3; 2;1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M và song song với mặt phẳng ( β ) cho trước, với: a) M ( 2;1; ) , ( β ) = ( Oxy ) b) M (1; −2;1) , ( β ) : x − y + = e) M (2; −3; 5), ( β ) : x + y − z + = f) M (1;1;1), ( β ) : 10 x − 10 y + 20 z − 40 = c) M ( −1;1; ) , ( β ) : x − y + z − 10 = d) M ( 3; 6; −5 ) , ( β ) : − x + z − =0 Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M và song song với các mặt phẳng toạ độ, với: a) M ( 2;1; ) b) M (1; −2;1) c) M ( −1;1; ) d) M ( 3; 6; −5 ) e) M(2; −3; 5) f) M(1;1;1) g) M(−1;1; 0) h) M(3; 6; −5) Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với: a) A(1; −2; 4), B(3; 2; −1), C (−2;1; −3) b) A(0; 0; 0), B(−2; −1; 3), C (4; −2;1) c) A(−1; 2; 3), B(2; −4; 3), C (4; 5; 6) d) A(3; −5; 2), B(1; −2; 0), C (0; −3; 7) e) A(2; −4; 0), B(5;1; 7), C (−1; −1; −1) f) A(3; 0; 0), B(0; −5; 0), C (0; 0; −7) Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A và vuông góc với đường thẳng qua hai điểm B, C cho trước, với: b) A(0; 0; 0), B(−2; −1; 3), C (4; −2;1) a) A(1; −2; 4), B(3; 2; −1), C (−2;1; −3) c) A(−1; 2; 3), B(2; −4; 3), C (4; 5; 6) d) A(3; −5; 2), B(1; −2; 0), C (0; −3; 7) e) A(2; −4; 0), B(5;1; 7), C (−1; −1; −1) f) A(3; 0; 0), B(0; −5; 0), C (0; 0; −7) Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với: A(2; −1; 3), B(−4; 7; −9) A(3;1; −1), B(2; −1; 4) A(−2; −1; 3), B(4; −2;1) a) b) c) 0 ( β ) : x + y − 8z − = ( β ) : x − y + 3z − =0 ( β ) : x + 3y − z + = A(3; −1; −2), B(−3;1; 2) d) ( β ) : x − y − z + = Bài Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (β), (γ) cho trước, với: Trang 10 Lop12.net (11) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian a) M (−1; −2; 5), ( β ) : x + y −= + z +1 3z + 0, ( γ ) : x − 3y= b) M (1; 0; −2), ( β ) : x + y −= z − 0, ( γ ) : x − y −= z−3 c) M (2; −4; 0), ( β ) : x + 3y −= z + 0, ( γ ) : 3x + y −= 8z − d) M (5;1; 7), ( β ) : x − y + 3= z + 0, ( γ ) : x − y + 5= z−3 Baøi 10 Vieát phöông trình maët phaúng (α) ñi qua ñieåm M vaø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q) cho trước, với: a) M (1; 2; −3) , ( P ) : x − 3= y + z − 0, ( Q ) : 3x − y= + 5z − b) M ( 2;1; −1) , ( P ) : x − y= + z − 0, ( Q ) : x − = y + z −1 c) M ( 3; 4;1) , ( P ) : 19 x − y − = z + 27 0, ( Q ) :42 x − y += 3z + 11 d) M ( 0; 0;1) , ( P ) : x − 3y += 2z − 0, ( Q ) : x − y= − z −1 Bài 11 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : y + 2= z − 0, (Q) : x + y −= z − 0, ( R) : x + y += z−2 b) ( P ) : x − y + = z − 0, (Q) : y + = z − 0, ( R) : x − = y + 90 c) ( P ) : x − y += z − 0, (Q) : x + 4= y − 0, ( R) : x −= z+7 Bài 12 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : x += 3y − 0, (Q) : y −= 3z − 0, ( R) : x + y −= 3z − b) ( P ) : y + 2= z − 0, (Q) : x + y −= z + 0, ( R) : x + y += z−2 c) ( P ) : x + y −= z − 0, (Q) : x + y += z + 0, ( R) : x − y − 3= z+6 d) ( P ) : x − y += z − 0, (Q) : x + 4= y − 0, ( R) : x −= z+7 Bài 13 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước khoảng k, với: a) ( P ): x = − y − 0, (Q) : x − 13= y + z 0, M (1;= 2; 3), k VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng Bài Xét vị trí tương đối các cặp mặt phẳng sau: x + 3y − z + = 3 x − y + 3z + = 0 a) b) x + y − z − = x − y + z − = 2 x − y − 4z + = x − y − 6z + = d) e) 25 0 12 x − y − 12 z − = 5 x − y − 10 z + = Bài Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: • song song 3 x + my − z − = 5 x − y + mz − 11 = 0 a) b) 0 nx + y − z + = x + ny + z − = 3 x − y + mz − = d) x + ny + z − = x + my − z + = g) 2 x + y + 4nz − = x + y + 3z − = e) mx − y − z − = 2 x − ny + z − =0 h) 3 x − y + mz − = 5 x + y − 5z − =0 c) 3 x + 3y − 3z + = 3 x − y − z − 23 = f) x − y − z + 33 = • caét • truøng 2 x + my + 3z − = c) nx − y − z + = 3 x − y + mz − = f) x + y − z + = 3 x − (m − 3) y + z − = i) (m + 2) x − y + mz − 10 = Bài Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với Trang 11 Lop12.net (12) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B 2 x − y + mz + = a) x + y − z + 15 = mx + y + mz − 12 = c) + + + = x my z x − 3y − 3z = e) mx + y − z − =0 PP Toạ độ không gian (2m − 1) x − 3my + z + = b) mx + (m − 1) y + z − = 3 x − (m − 3)y + 2z − = d) ( m + ) x − y + mz − 10 = 3 x − y + mz − = f) x + 3y + z + = VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm trên mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M0 ,(α ) ) = A2 + B + C • Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách chúng MH , n cuøng phöông • Ñieåm H laø hình chieáu cuûa ñieåm M treân (P) ⇔ H ∈ (P ) • Điểm M′ đối xứng với điểm M qua (P) ⇔ MM ′ = MH Baøi Cho maët phaúng (P) vaø ñieåm M • Tính khoảng cách từ M đến (P) • Tìm toạ độ hình chiếu H M trên (P) • Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P) a) ( P ) : x −= b) ( P ) : x + = y + 5z − 14 0, M (1; −4; −2) y + z − 0, M (2; −3; 5) d) ( P ) : x − 4= c) ( P ) : x − y= + 3z + 12 0, M (3;1; −2) y + z + 0, M (2; −3; 4) e) ( P= f) ( P ) : x − y + z − = ) : x − y + z − 0, M (2;1; −1) 0, M (1; 2; 4) Bài Tìm khoảng cách hai mặt phẳng: x − y + 3z + = 6 x − y + z + = 2 x − y + 4z + = 0 a) b) c) 0 x − y + 3z + = 6 x − y + z − = 3 x + y − z − =0 x − y + 8z + = 2 x − y + 4z + = 3 x + y − 3z + = 0 d) e) f) x − y + z + = x + y − z − = x + y − z + = Bài Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng khoảng k cho trước: a) x − 3y + 2z = b) x − y − z= + 0, = k − 0, = k c) x − y + 3z + 12 d) x − y + z − 14= 0, k= = 0, = k Bài Tìm tập hợp các điểm cách hai mặt phẳng: x − y + 3z + = 6 x − y + z + = 2 x − y + 4z + = 0 a) b) c) 0 x − y + 3z + = 6 x − y + z − = 3 x + y − z − =0 x − y + 8z + = 2 x − y + 4z + = 3 x + y − 3z + = 0 d) e) f) x − y + z + = x + y − z − = x + y − z + = Bài Tìm tập hợp các điểm có tỷ số các khoảng cách đến hai mặt phẳng k cho trước: x + y − z − 10 = 6 x − y + z + = 6 x + 3y − z − =0 0 a) 2 x + y − z + = b) 6 x − y + z − = c) 2 x + y − z + = 0 k = k = k = Trang 12 Lop12.net (13) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B Baøi a) c) e) PP Toạ độ không gian Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách điểm N và mặt phẳng (P): b) ( P ) : x + y + 5z −= ( P ) : x + y += z − 0, N (1; 2; −2) 14 0, N (1; −4; −2) d) ( P ) : x − y + z= ( P ) : x − y + 3z= + 12 0, N (3;1; −2) + 0, N (2; −3; 4) f) ( P ) : x − y + z − = ( P ) : x − y += z − 0, N (2;1; −1) 0, N (1; 2; 4) Bài Tìm điểm M trên trục Ox (Oy, Oz) cách hai mặt phẳng: x + y − z +1 = x + y − 2z + = 2 x − y + 4z + = 0 a) b) c) x − y + z − = x + y + z − = x + y − z − = x − y + 8z + = 2 x − y + 4z + = 3 x + y − 3z + = 0 d) e) f) 0 x − y + 8z + = 3 x + y − z − =0 x + 2y − z + = Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua điểm A và song song với mặt phẳng (Q) cho trước Tính khoảng cách (P) và (Q): a) A (1; 2; –3) , (Q) : x − y − z + = b) A ( 3; 1; –2 ) , (Q) : x − y + 3z + 12 = 0 Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A khoảng k cho trước: b) (Q) : x − y + z= a) (Q) : x + y − z= + 0, A(2; −1; 4= ), k + 0, A(2; −3; 4= ), k Bài 10 Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) khoảng k: a) (Q) : x − y + z − 3= 0, k= b) (Q) : x + 3y − z + 5= 0, k= 14 29 VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng Cho hai maët phaúng (α), (β) coù phöông trình: (α): A1 x + B1y + C1z + D1 = (β): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Góc (α), (β) bù với góc hai VTPT n1 , n2 cos ( (α= ),( β ) ) Chuù yù: n1.n2 = n1 n2 • 00 ≤ ( (α ),( β ) ) ≤ 900 Bài Tính góc hai mặt phẳng: x + y − z +1 = a) b) x − y + z − = 4 x + y − 2z + = d) e) 2 x + 4z − = A1 A2 + B1B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 • (α ) ⊥ (β ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = x + y − 2z + = 2 x + y + z − = 2 x − y − 2z + = y + 2z + 12 = 2 x − y + 4z + = c) 4 x + y − z − =0 f) x − 3y + 3z + = 4 x + y + 4z − = Bài Tìm m để góc hai mặt phẳng sau α cho trước: (2m − 1) x − 3my + z + = mx + y + mz − 12 = (m + 2) x + 2my − mz + = 0 a) mx + (m − 1) y + 4z − = b) c) 0 mx + (m − 3) y + z − = x + my + z + = α = 900 α = 900 α = 450 mx − y + mz + = d) (2m + 1) x + (m − 1) y + (m − 1)z − = 0 α = 30 Bài Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với đôi Gọi α , β , γ là các góc hợp các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC) Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng: a) Tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn b) cos α + cos β + cos γ = Trang 13 Lop12.net (14) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Cho maët phaúng (α): Ax + By + Cz + D = R2 vaø maët caàu (S): ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = • (α) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung ⇔ d (I ,(α )) > R • (α) tiếp xúc với (S) ⇔ d (I ,(α )) = R (α) laø tieáp dieän Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) và vuông góc với (α) – Tìm toạ độ giao điểm H d và (α) H là tiếp điểm (S) với (α) • (α) cắt (S) theo đường tròn ⇔ d (I ,(α )) < R Để xác định tâm H và bán kính r đường tròn giao tuyến ta có thể thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) và vuông góc với (α) – Tìm toạ độ giao điểm H d và (α) H là tâm đường tròn giao tuyến (S) với (α) Bán kính r đường tròn giao tuyến= :r R − IH Bài Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): ( P ) : x + y + z − =0 ( P ) : x − 3y + z − = a) b) 2 2 2 (S ) : x + y + z − x − y + z + = (S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2) = ( P ) : x + y − z − 11 = c) 2 (S ) : x + y + z + x − y − z + = ( P ) : x + y + z = e) 2 (S ) : x + y + z − x + y − z + 10 = ( P ) : x − y + z + = d) 2 (S ) : x + y + z − x − y − 8z + 13 = ( P ) : z − = f) 2 (S ) : x + y + z − x + y − 16 z + 22 = Bài Biện luận theo m, vị trí tương đối mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): a) ( P ) : x= − y − z − 0; (S ) : x + y + z2 − 2(m − 1) x + 4my = + z + 8m b) ( P ) : x − y + z − = 0; (S ) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3)2 = (m − 1)2 c) ( P ) : x + y − 6z + = 0; (S ) : ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + ( z + 1)2 = (m + 2)2 d) ( P ) : x − 3y= + z − 00; (S ) : x + y + z2 + 4mx − 2(m + 1) y − z + +3m 2= + 5m − Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: b) I (1; 4; 7), ( P ) : x + y − z + 42 = a) I (3; −5; −2), ( P ) : x − y − 3z + = 0 c) I (1;1; 2), ( P ) : x + y + z + = d) I (−2;1;1), ( P ) : x + y − z + = 0 Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước: a) (S ) : ( x − 3)2 + ( y − 1)2 + ( z + 2)2 = 24 taïi M(−1; 3; 0) b) (S ) : x + y + z2 − x − y + z + = taïi M(4; 3; 0) c) (S ) : ( x − 1)2 + ( y + 3)2 + ( z − 2)2 = 49 taïi M(7; −1; 5) d) (S ) : x + y + z2 − x − y − z − 22 = và song song với mặt phẳng x − y + z + = 40 e) (S ) : x + y + z2 − x + y + z − 11 = 0 và song song với mặt phẳng x + 3z − 17 = f) (S ) : x + y + z2 − x − y + z = và song song với mặt phẳng x + y + z + = Trang 14 Lop12.net (15) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian g) vaø chứa đường thaúng (S ) : x + y + z − x + y + z + = d:x= 4t + 4, y = 3t + 1, z = t +1 h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; – 1), D(4; 1; 0) i) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − 10 x + y + 26 z − 113 = và song song với đường x + y +1 z − x + y − z + 13 thaúng: d1 : = = , d1 : = = −2 −3 2 Baøi taäp oân: Phöông trình maët phaúng Bài Cho tứ diện ABCD • Viết phương trình các mặt tứ diện • Viết phương trình mặt phẳng chứa cạnh và song song với cạnh đối diện • Viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh và song song với mặt đối diện • Viết phương trình mặt phẳng qua cạnh AB và vuông góc với (BCD) • Viết phương trình mặt phẳng trung trực các cạnh tứ diện • Tìm toạ độ các điểm A′, B′, C′, D′ là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C, D qua các mặt đối diện • Tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện đến mặt đối diện • Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm I và bán kính R cuûa (S) • Viết phương trình các tiếp diện (S) các đỉnh A, B, C, D tứ diện • Viết phương trình các tiếp diện (S) song song với các mặt tứ diện a) A ( 5;1; 3) , B (1; 6; ) , C ( 5; 0; ) , D ( 4; 0; ) b) A (1;1; ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; ) , D (1;1;1) c) A ( 2; 0; ) , B ( 0; 4; ) , C ( 0; 0; ) , D ( 2; 4; ) d) A(2; 3;1), B(4;1; −2), C (6; 3; 7), D(−5; −4; 8) e) A(5; 7; −2), B(3;1; −1), C (9; 4; −4), D(1; 5; 0) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (−2; 2; 2), D(1; −1; 2) Bài Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt ba trục toạ độ các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; –3) vaø E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1) a) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa (P) vaø (Q) b) Tính độ dài đường cao hình chóp O.ABC c) Tính góc hai mặt phẳng (P), (Q) Baøi Cho boán ñieåm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) vaø D(1; 3; 3) a) Chứng minh ABCD là tứ diện b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi vuông góc c) Tìm phöông trình toång quaùt cuûa caùc maët phaúng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD) d) Tính góc các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD) Trang 15 Lop12.net (16) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng • Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) : = x xo + a1t (d ) : y = yo + a2t = z zo + a3t ( t ∈ R) x − x0 y − y0 z − z0 = • Neáu a1a2 a3 ≠ thì (d ) : = ñgl phöông trình chính taéc cuûa d a1 a2 a3 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d′ có phương trình tham số là: = = x x0 + ta1 x x0′ + t′a1′ vaø d : = y y0 + ta2 d ′ : = y y0′ + t′a2′ = z z0′ + t′a3′ = z z0 + ta3 • d // d′ a , a′ cuøng phöông x + ta = x ′ + t′a′ 1 ⇔ heä y0 + ta2 =y0′ + t′a2′ (aån t, t′) voâ nghieäm z0 + ta3 =z0′ + t′a3′ [ a , a′] = a , a′ cuøng phöông a , a′ cuøng phöông ⇔ ⇔ ⇔ M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∉ d ′ a , M0 M0′ khoâng cuøng phöông a , M0 M0′ ≠ • d ≡ d′ x0 + ta1 = x0′ + t′a1′ ⇔ heä y0 + ta2 =y0′ + t′a2′ (aån t, t′) coù voâ soá nghieäm z0 + ta3 =z0′ + t′a3′ a , a′ cuøng phöông ⇔ M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d ′ • d, d′ caét ⇔ a , a′, M0 M0′ ñoâi moät cuøng phöông ⇔ [ a , a′] = = a , M0 M0′ x0 + ta1 = x0′ + t′a1′ ⇔ hệ y0 + ta2 =y0′ + t′a2′ (ẩn t, t′) có đúng nghiệm z + ta =z′ + t′a′ 3 [ a , a′] ≠ a , a′ khoâ ng cuøng phöông ⇔ ⇔ ′ ′ a , a , M M đồ n g phaú n g [ a , a′] M0 M0′ = 0 a , a′ khoâng cuøng phöông x + ta = x ′ + t′a′ 1 • d, d′ cheùo ⇔ heä y0 + ta2 =y0′ + t′a2′ (aån t, t′) voâ nghieäm z0 + ta3 =z0′ + t′a3′ • d ⊥ d′ ⇔ a , a′, M0 M0′ không đồng phẳng ⇔ [ a , a′] M0 M0′ ≠ ⇔ a ⊥ a′ ⇔ a.a′ = Trang 16 Lop12.net (17) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng = x x0 + ta1 Cho maët phaúng (α): Ax + By + Cz + D = y y0 + ta2 và đường thẳng d: = = z z0 + ta3 A( x0 + ta1 ) + B( y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = (aån t) Xeùt phöông trình: (*) • d // (α) ⇔ (*) voâ nghieäm • d cắt (α) ⇔ (*) có đúng nghiệm • d ⊂ (α) ⇔ (*) coù voâ soá nghieäm Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu = x x0 + ta1 Cho đường thẳng d: = y y0 + ta2 (1) vaø maët caàu (S): ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R (2) = z z0 + ta3 Để xét VTTĐ d và (S) ta thay (1) vào (2), phương trình (*) • d vaø (S) khoâng coù ñieåm chung ⇔ (*) voâ nghieäm ⇔ d(I, d) > R • d tiếp xúc với (S) ⇔ (*) có đúng nghiệm ⇔ d(I, d) = R • d caét (S) taïi hai ñieåm phaân bieät ⇔ (*) coù hai nghieäm phaân bieät ⇔ d(I, d) < R Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d qua M0 và có VTCP a và điểm M M M , a d(M , d ) = a Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo d1 và d2 d1 ñi qua ñieåm M1 vaø coù VTCP a1 , d2 ñi qua ñieåm M2 vaø coù VTCP a2 a1 , a2 M1M2 d (d1 , d2 ) = a1 , a2 Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng (α) chứa d2 và song song với d1 Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với nó khoảng cách từ điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (α) Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có các VTCP a1 , a2 Góc d1, d2 bù với góc a1 , a2 a1.a2 cos ( a1 , a2 ) = a1 a2 Góc đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng (α) có VTPT n = ( A; B; C ) Góc đường thẳng d và mặt phẳng (α) góc đường thẳng d với hình chiếu d′ noù treân (α) Aa1 + Ba2 + Ca3 sin d ,(α ) = A + B + C a12 + a22 + a32 ( ) Trang 17 Lop12.net (18) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d và VTCP nó Daïng 1: d ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø coù VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) : = x xo + a1t (d ) : y = yo + a2t = z zo + a3t ( t ∈ R) Daïng 2: d ñi qua hai ñieå mA, B: Moät VTCP cuûa d laø AB Dạng 3: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d // ∆ neân VTCP cuûa ∆ cuõng laø VTCP cuûa d Dạng 4: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d ⊥ (P) neân VTPT cuûa (P) cuõng laø VTCP cuûa d Daïng 5: d laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P), (Q): • Caùch 1: Tìm moät ñieåm vaø moät VTCP ( P ) – Tìm toạ độ điểm A ∈ d: cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị (Q) cho moät aån) – Tìm moät VTCP cuûa d: a = nP , nQ • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm đó Dạng 6: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2: Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 neân moät VTCP cuûa d laø: a = ad , ad 2 Dạng 7: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng ∆ • Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc M0 trên đường thẳng ∆ H ∈∆ M0 H ⊥ u Khi đó đường thẳng d là đường thẳng qua M0, H • Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng qua A và chứa d Khi đó d = (P) ∩ (Q) Dạng 8: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2: • Cách 1: Gọi M1 ∈ d1, M2 ∈ d2 Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm M1, M2 Từ đó suy phương trình đường thẳng d • Cách 2: Gọi (P) = ( M0 , d1 ) , (Q) = ( M0 , d2 ) Khi đó d = (P) ∩ (Q) Do đó, VTCP d coù theå choïn laø a = nP , nQ Dạng 9: d nằm mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2: Tìm các giao điểm A = d1 ∩ (P), B = d2 ∩ (P) Khi đó d chính là đường thẳng AB Dạng 10: d song song với ∆ và cắt hai đường thẳng d1, d2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và d1, mặt phẳng (Q) chứa ∆ và d2 Khi đó d = (P) ∩ (Q) Dạng 11: d là đường vuông góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: MN ⊥ d1 • Cách 1: Gọi M ∈ d1, N ∈ d2 Từ điều kiện , ta tìm M, N MN ⊥ d2 Khi đó, d là đường thẳng MN Trang 18 Lop12.net (19) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian • Caùch 2: – Vì d ⊥ d1 vaø d ⊥ d2 neân moät VTCP cuûa d coù theå laø: a = ad , ad 2 – Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1, cách: + Laáy moät ñieåm A treân d1 + Moät VTPT cuûa (P) coù theå laø: nP = a , ad 1 – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d2 Khi đó d = (P) ∩ (Q) Dạng 12: d là hình chiếu đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (P): • Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và vuông góc với mặt phẳng (P) cách: – Laáy M ∈ ∆ – Vì (Q) chứa ∆ và vuông góc với (P) nên nQ = a∆ , nP Khi đó d = (P) ∩ (Q) Dạng 13: d qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2: • Cách 1: Gọi N là giao điểm d và d2 Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm N Khi đó, d là đường thẳng MN • Caùch 2: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2 Khi đó d = (P) ∩ (Q) Bài 14 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M và có VTCP a cho trước: a) M (1;2; −3), a = b) M (0; −2;5), a = c) M (1;3; −1), a = (1;2; −1) (−1;3;5) (0;1; 4) d) M (3; −1; −3), a = (1; −2; 0) e) M (3; −2;5), a = (−2; 0; 4) f) M (4;3; −2), a = (−3; 0; 0) Bài 15 Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước: b) A (1; −1; ) , B ( 0;1; ) c) A ( 3;1; −5 ) , B ( 2;1; −1) a) A ( 2; 3; −1) , B (1; 2; ) d) A ( 2;1; ) , B ( 0;1; ) e) A (1; 2; −7 ) , B (1; 2; ) f) A ( −2;1; 3) , B ( 4; 2; −2 ) Bài 16 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ cho trước: a) A ( 3; 2; −4 ) , ∆ ≡ Ox b) A ( 2; −5; 3) , ∆ ñi qua M (5; 3; 2), N (2;1; −2) x= − 3t x + y −5 z−2 c) A(2; −5; 3), ∆ : y = d) A(4; −2; 2), ∆ : = = + 4t z= − 2t x= + 4t x + y −1 z + e) A(1; −3; 2), ∆ : y = f) A(5; 2; −3), ∆ : == − 2t z= 3t − Bài 17 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: a) A ( −2; 4; 3) , (P) : x − 3y + z + 19 = b) A (1; −1; ) , ( P ) : các mp toạ độ c) A ( 3; 2;1) , ( P ) : x − y + = d) A(2; −3; 6), ( P ) : x − 3y + z + 19 = Bài 18 Viết phương trình tham số đường thẳng là giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: Trang 19 Lop12.net (20) Ñinh Xuaân Thaïch - THPT Yeân Moâ B PP Toạ độ không gian ( P ) : x + y + z + = a) (Q) : x − y − z − =0 ( P ) : x − 3y + 3z − = ( P ) : x + 3y − z + = 0 b) c) 0 (Q) : x + y − z + = (Q) : x + y + z − = ( P ) : x + y + z − =0 (P ) : x + y − z + = (P ) : x + z − =0 d) e) f) ( Q ) : x + y + z − = ( Q ) : y − = (Q) : x + z − =0 Bài 19 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x = x = x = x = + 2t 1− t 1+ t + 3t b) A(2; −1;1), d1 : y =−2 + t , d2 : y =−2 + t a) A(1; 0; 5), d1 : y = − 2t , d : y = 2+t z= z= + t z = z = 1+ t − 3t x = x = x =−7 + 3t x =1 + t 1− t c) A(1; −2; 3), d1 : y =−2 − 2t , d2 : y =−2 + t d) A(4;1; 4), d1 : y =4 − 2t , d2 : y =−9 + 2t z = z = z =+ z = −12 − t − 3t 3+ t 3t x = x = x t= x t = + 3t 2t e) A(2; −1; −3), d1 : y =1 + t , d2 : y =−3 + 4t f) A(3;1; −4), d1 : y = − t , d2 : y = − 2t z =−2 + 2t z =2 − t z = z = −2t Bài 20 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng ∆ cho trước: x = t x =−3 + 2t a) A(1; 2; −2), ∆ : y = b) A(−4; −2; 4), d : y =1 − t 1− t z = 2t z =−1 + 4t x = + 3t x = t c) A(2; −1; −3), ∆ : y = + t d) A(3;1; −4), ∆ : y = 1− t z = −2t z =−2 + 2t x = 1− t x = 1+ t e) A(1; −2; 3), ∆ : y =−2 − 2t f) A(2; −1;1), ∆ : y =−2 + t z= − 3t z = Bài 21 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x = x = x = x = + 2t 1− t 1+ t + 3t b) A(2; −1;1), d1 : y =−2 + t , d2 : y =−2 + t a) A(1; 0; 5), d1 : y = − 2t , d : y = 2+t z= z= + t z = z = 1+ t − 3t x =−1 + 3t x =2 + 2t x = x = + 3t −t c) A(−4; −5; 3), d1 : y =−3 − 2t , d2 : y =−1 + 3t d) A(2;1; −1), d1 : y =−2 + 4t , d2 : y =t z = z = z =−3 + 5t z =2t 2−t − 5t x =2 + t x =−4 + 3t x =−3 + 3t x =3 + 2t e) A(2; 3; −1), d1 : y = f) A(3; −2; 5), d1 : y = − 2t , d : y = 1+ t + 4t , d : y = 1− t z =1 + 3t z =−2 + 3t z = z = + 2t − 3t Bài 22 Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: ( P ) : y + z = ( P ) : x + y + z + = 0 x = x= − t x = + 2t 1− t a) b) x −1 y z d : = = , d : y = + t d : y t , d : y 2+t = − = −1 z = 1+ t − 3t z = z = Trang 20 Lop12.net (21)