Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi, phương trình thuần nhất bậc hai được chuyển thành phương trình bậc nhất theo sin 2x và cos 2x .... BAI TẬP LÀM THÊM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁ[r]
(1)Đề cương toán 11 Lop12.net (2) www.MATHVN.com Chương PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC Bảng giá trị lượng giác số cung (góc) đặt biệt α π π π π 2π Tăng và dương sinα cosα tanα 2 2 Giảm và dương 2 2 Tăng và dương 1 3 - Không có nghĩa Không có nghĩa 5π Giảm và dương 2 Giảm và âm - - Giảm và dương cotα 3π 2 Tăng và âm -1 π -1 Giảm và âm - -1 - Không có nghĩa GTLG các góc có liên quan đặc biệt a/ Hai góc đối sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tan ( −α ) = − tan α cot ( −α ) = − cot α b/ Hai góc bù sin ( π − α ) = sin α cos (π − α ) = − cos α tan (π − α ) = − tan α cot (π − α ) = − cot α c/ Hai góc phụ π sin − α = cos α 2 π cos − α = sin α 2 π tan − α = cot α 2 π cot − α = tan α d/ Góc π π sin α + = cos α 2 π cos α + = − sin α 2 π tan α + = − cot α 2 π cot α + = − tan α 2 e/ Góc π sin (α + π ) = − sin α cos (α + π ) = − cos α tan (α + π ) = tan α cot (α + π ) = cot α f/ Với k ∈ ℤ , ta có www.mathvn.com Lop12.net www.mathvn.com (3) www.MATHVN.com sin (α + k 2π ) = sin α ; tan (α + kπ ) = tan α ; www.mathvn.com cos (α + k 2π ) = cos α ; cot (α + kπ ) = cot α Lop12.net www.mathvn.com (4) www.MATHVN.com Các công thức lượng giác Công thức lượng giác sin α ; cos α sin α + cos α = ; tan α = tan α cot α = ; = + tan α ; cos α cot α = Công thức cộng sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; cos α ; sin α = + cot α sin α tan α − tan β ; + tan α tan β tan α + tan β tan (α + β ) = − tan α tan β tan (α − β ) = sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β ; cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ; cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ; Công thức nhân đôi sin 2α = 2sin α cos α ; cos 2α = cos α − sin α ; cos 2α = − 2sin α ; cos 2α = cos α − ; 2tanα tan2α = − tan α Công thức hạ bậc + cos 2α cos α = ; − cos 2α ; sin α = − cos 2α tan α = + cos 2α Công thức nhân ba cos 3α = cos3 α − 3cos α ; sin 3α = 3sin α − 4sin α Công thức hạ bậc cos3 α = 3cos α + cos 3α ; 4sin α = 3sin α − sin 3α Công thức biến đổi tích thành tổng cos α cos β = cos (α + β ) + cos (α − β ) ; sin α sin β = − cos (α + β ) − cos (α − β ) = cos (α − β ) − cos (α + β ) ; sin α cos β = sin (α + β ) + sin (α − β ) www.mathvn.com Công thức biến đổi tổng thành tích α +β α −β ; cos α + cos β = cos cos 2 α +β α −β ; cos α − cos β = −2sin sin 2 α +β α −β ; sin α + sin β = 2sin cos 2 α +β α −β sin α − sin β = cos sin 2 Lop12.net www.mathvn.com (5) www.MATHVN.com B BÀI TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1 Tính giá trị các biểu thức sau : a/ A = sin α + cos α , biết tan α = ; sin α − cos α b/ B = Chứng minh các đẳng thức : a/ sin α + cos α = − 2sin α cos α ; 3 tan α + cot α , biết sin α = tan α − cot α b/ cos α − sin α = cos α − ; Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào α : a/ b/ ( cot α + tan α ) − ( cot α − tan α ) sin α + cos α + cos α + 4sin α ; 2 CUNG LIÊN KẾT Tính a/ A = tan1o tan 2o tan 3o … tan 89o ; b/ B = cos10o + cos 20o + cos 30o + … + cos180o CÔNG THỨC CỘNG Cho A, B, C là ba góc tam giác Chứng minh : a/ tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = ; 2 2 2 b/ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C a/ Biến đổi biểu thức sin x + cos x dạng A sin ( x + ϕ ) b/ Biến đổi biểu thức sin x + cos x dạng A cos ( x + ϕ ) c/ Biến đổi biểu thức sin x − cos x dạng A sin ( x + ϕ ) ; d/ Biến đổi biểu thức sin x + cos x dạng A sin ( x + ϕ ) Cho a − b = π 2 Tính giá trị biểu thức A = ( cos a + cos b ) + ( sin a + sin b ) CÔNG THỨC NHÂN Tính a/ A = s in6o s in42o sin 66o sin 78o ; b/ B = sin10o sin 50o sin 70o Chứng minh a/ cot x + tan x = c/ ; sin x b/ cot x − tan x = cot x ; sin x = tan x ; + cos x www.mathvn.com d/ Lop12.net − cos x = tan x + cos x www.mathvn.com (6) www.MATHVN.com e/ sin x cos x + = cos x ; sin x cos x f/ cos x = 8cos x − 8cos x + CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 5π π sin 24 24 10 a/ Tính sin 11 Biến đổi tích thành tổng 12 13 15 16 5π 7π sin 12 12 a/ A = cos x cos x ; b/ B = 4sin x sin x sin x ; c/ C = 2sin ( a + b ) cos ( a − b ) ; d/ D = cos ( a + b ) cos ( a − b ) ; Biến đổi tổng thành tích : a/ A = sin x + sin x + sin x + sin x ; b/ B = cos 2a + cos 2b + cos ( a + b ) + c/ C = − sin x ; d/ D = + cos x e/ E = sin a + sin b + sin ( a + b ) ; f/ F = + sin a + cos a Rút gọn biểu thức a/ A = 14 b/ Tính cos cos 2a − cos 4a ; sin 4a + sin 2a b/ B = sin α + sin 3α + sin 5α cos α + cos 3α + cos 5α Chứng minh a/ cos x cos 3x + sin x sin x = cos x cos x ; b/ sin x − 2sin x ( cos x + cos x ) = sin x ; π π c/ sin x + sin − x + sin x sin − x = ; 3 3 π π d/ sin x sin − x sin + x = sin x 3 3 Chứng minh a/ cos x + sin x = + cos x ; b/ cos x − sin x = cos x ; b/ cos x + sin x = + 3cos x ; c/ cos x − sin x = c/ cos8 x − sin x = cos x + cos x Tính S = cos www.mathvn.com π − cos 15cos x + cos x ; 16 2π 3π + cos 7 Lop12.net www.mathvn.com (7) www.MATHVN.com § HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT Hàm số sin : f ( x ) = sin x Hàm số côsin : f ( x ) = cos x Tập xác định D = ℝ Tập xác định D = ℝ Tập giá trị [ −1;1] Tập giá trị [ −1;1] Nhận xét Nhận xét sin x = ⇔ x = π cos x = ⇔ x = k 2π + k 2π sin x = −1 ⇔ x = − π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π + k 2π cos x = ⇔ x = π + kπ sin x = ⇔ x = kπ Hàm số tang : f ( x ) = tan x Điều kiện xác định : cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ Điều kiện xác định : sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ π Tập xác định : D = ℝ \ + kπ 2 Tập xác định D = ℝ \ {kπ } Tập giá trị ℝ Tập giá trị : ℝ Nhận xét cot x = ⇔ cos x = ⇔ x = Nhận xét tan x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ B BÀI TẬP 17 Tìm tập xác định mội hàm số sau đây : 18 a/ f ( x ) = sin x + ; sin x − b/ f ( x ) = c/ f ( x ) = cot x ; sin x + π d/ y = tan x + 3 π + kπ tan x + ; cos x − Tìm tập xác định mội hàm số sau đây : a/ y = − cos x ; c/ y = 19 Hàm số côtang : f ( x ) = cot x b/ y = − sin x ; cos x ; sin ( x − π ) d/ y = − cos x + sin x Tìm GTLN và GTNN hàm số a/ y = 3cos x + ; www.mathvn.com b/ y = 5sin x − ; Lop12.net www.mathvn.com (8) www.MATHVN.com 20 π c/ y = cos x + + ; 5 d/ f ( x ) = sin x + cos x ; e/ f ( x ) = cos x − sin x ; f/ y = + sin x − cos x ; Xét tính chẵn – lẻ hàm số a/ f ( x ) = sin x ; cos x + b/ f ( x ) = sin x + cos x ; d/ y = x cos x c/ y = 3cos x − 5sin x 21 Cho hàm số y = 3cos x a/ Chứng minh hàm số đã cho là hàm số chẵn b/ Chứng minh hàm số đã cho có chu kỳ T = π c/ vẽ đồ thị hàm số đã cho 22 Tìm Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số a/ f ( x) = sin11 x + cos11 x ; b/ f ( x) = sin x + cos x ; c/ f ( x) = sin x + cos x ; d/ f ( x) = sin n x + cos n x , với n ∈ ℕ * § PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A LÝ THUYẾT Phương trình sinx = m Xét phương trình sin x = m * Với m ∉ [−1;1] , phương trình sin x = m vô nghiệm * Với m ∈ [−1;1] , tồn số α cho sin α = b x = α + k 2π sin x = m ⇔ sin x = sin α ⇔ x = π − α + k 2π (k ∈ℤ) −π π Chú ý Với m cho trước mà m ≤ , phương trình sinx = m có đúng nghiệm đoạn ; 2 Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arcsin m Khi đó x = arcsin m + k 2π sin x = m ⇔ x = π − arcsin m + k 2π Phương trình cosx = m * Với m ∉ [−1;1] , phương trình cos x = m vô nghiệm * Với m ∈ [−1;1] , tồn số α cho cos α = m www.mathvn.com Lop12.net www.mathvn.com (9) www.MATHVN.com x = α + k 2π cos x = m ⇔ cos x = cos α ⇔ x = −α + k 2π (k ∈ℤ) Chú ý Với m cho trước mà m ≤ , phương trình cosx = m có đúng nghiệm đoạn [ 0; π ] Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccos m Khi đó x = arccos m + k 2π cos x = m ⇔ x = − arccos m + k 2π Phương trình tanx = m, cotx = m Các phương trình trên luôn có nghiệm Với số thực α , ta có tan x = tan α ⇔ x = α + k π (k ∈ℤ) cot x = cot α ⇔ x = α + k π (k ∈ℤ) Chú ý π π i) Với số m cho trước, phương trình tan x = m có nghiệm khoảng − ; 2 Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arctan m Khi đó tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ ii) Với số m cho trước, phương trình cot x = m có nghiệm khoảng ( 0; π ) Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arc cot m Khi đó cot x = m ⇔ x = arc cot m + kπ Công thức ngiệm phương trình lượng giác u = v + k 2π sin u = sin v ⇔ u = π − v + k 2π u = v + k 2π cos u = cos v ⇔ u = −v + k 2π tan u = tan v ⇔ u = v + kπ cot u = cot v ⇔ u = v + kπ với k ∈ ℤ (trong điều kiện biểu thức có nghĩa) Một số trường hợp đặc biệt sin u = ⇔ u = π cos u = ⇔ u = k 2π + k 2π sin u = −1 ⇔ u = − π cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π + k 2π cos u = ⇔ u = sin u = ⇔ u = kπ www.mathvn.com π + kπ tan u = ⇔ u = kπ Lop12.net www.mathvn.com (10) www.MATHVN.com cot u = ⇔ u = π + kπ B BÀI TẬP 23 Giải phương trình : a/ sin x = sin π b/ 2sin x + = ; ; d/ sin ( x + 20o ) = sin 60o ; e/ cos x = cos g/ cos ( x + 15o ) = − h/ t an3 x = − ; j/ tan ( x + 10o ) = tan 60o ; 24 i/ tan ( x + ) = ; l/ cot ( x + ) = Giải các phương trình sau : ; b/ cos 2 x − = ; d/ cos x + sin 2 x = Tìm các nghiệm phương trình sau khoảng đã cho : b/ cot ( x − ) = với −π < x < π a/ 2sin x + = với < x < π ; 29 ; d/ sin x = cos x π c/ cos x − = sin x ; 4 28 f/ cos x + = ; ; b/ cos ( x + 1) = cos ( x − 1) ; 2x +1 + tan = ; a/ cos 2 x = 27 ; Giải phương trình : c/ tan 26 k/ cot x = ; π π a/ sin x − = sin + x ; 5 5 25 π c/ sin ( x − ) = Giải các phương trình sau : a/ sin x + cos x = ; b/ sin x − cos x = ; c/ sin x + cos x = ; d/ sin x cos x − cos3 x sin x = / Giải các phương trình sau : a/ cos x − sin x cos x = ; b/ cos x + sin x = ; π c/ 8sin x.cos x.cos x = cos8 − x ; 16 π d/ sin x + − sin x = sin x 2 Giải phương trình : a/ cos x.cos x = cos x.cos x ; www.mathvn.com b/ cos x + sin 3x.cos x = sin x.cos x ; Lop12.net www.mathvn.com (11) www.MATHVN.com c/ + cos x + cos x + cos 3x = ; 30 d/ sin x + sin 2 x + sin x + sin x = Giải các phương trình sau : a/ sin x sin x = sin x sin x ; b/ sin x + sin x + sin x + sin x = ; c/ sin x + sin 3x = 2sin 2 x ; 31 Tìm tập xác định hàm số sau : a/ y = tan x ; d/ y = 32 d/ sin x + sin x + sin x = cos x + cos 3x + cos x b/ y = cot x ; sin ( − x ) ; cos x − cos x e/ y = c/ y = tan x ; + tan x f/ y = cos x + ; cos x − 1 cot x + Giải phương trình : a/ cos x =0 ; − sin x b/ tan x − =0 ; cos x + c/ sin x cot x = ; d/ tan x = tan x 33 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; π ) phương trình cos x cos x + cos x + = §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A DẠNG at + bt + c = ( a ≠ ), với t là hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx, α sin x + β cos x , sin (α x + β ) , B BÀI TẬP 34 Giải phương trình : 35 36 37 , …) sin x a/ cos x − 3cos x + = ; b/ cos x + sin x + = ; c/ 2sin x + 5sin x − = ; d/ cot 3x − cot x − = ; Giải phương trình : a/ cos x + cos x − = ; b/ cos x + cos x + = ; c/ cos x − 5sin x − = ; d/ tan x − cot x − = Giải các phương trình lượng giác sau : x x a/ sin − cos + = ; 2 x b/ cos x + 5sin − = ; c/ cos x − sin x −1 = ; d/ cos x − 3cos x − = Giải các phương trình : a/ tan x + ( ) − tan x − = ; b/ 10 Lop12.net ( ) tan x − − tan x − = ; (12) www.MATHVN.com c/ cos x − 38 ( ) + cos x + + = ; d/ Giải các phương trình sau : a/ cos x cos x = cos x.cos x + 3cos x + ; 4sin 2 x + 6sin x − − 3cos x =0 ; cos x c/ 39 b/ cos x + sin x + cos x = ; d/ cos x + cos x 5π − 10 cos − x + = cos x 2 Giải các phương trình : a/ tan x − +1 = ; cos x 1 ; = cos x + cos x cos x b/ cos x + d/ tan x + cot x + ( tan x + cot x ) = c/ 5sin x + sin x + cos x + = ; 40 − ( + ) tan x − + = cos x Giải phương trình ( tan x − sin x ) + ( cot x − cos x ) + = §5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x A LÝ THUYẾT Dạng a sin x + b cos x = c ( a + b ≠ ) Cách giải - Chia hai vế phương trình cho a a +b sin x + b a +b cos x = - a + b , phương trình trở thành c a + b2 ; a b + = nên có góc α cho Vì a + b a + b a a2 + b2 ta có phương trình tương đương : sin x cos α + cos x sin α = - Áp dụng công thức cộng, ta phương trình sin ( x + α ) = = cos α và c a + b2 c a + b2 b a2 + b2 ; Dể dàng giải phương trình này Nhận xét - Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm và a + b ≥ c - Các phương trình a sin x − b cos x = c , a cos x ± b sin x = c giải tương tự B BÀI TẬP 41 Giải phương trình : 11 Lop12.net = sin α , (13) www.MATHVN.com a/ 42 43 sin x − cos x = ; b/ c/ 3cos x + 4sin x = −5 ; d/ sin x − cos x = ; e/ 2sin x − cos x = ; f/ sin x = − cos x Giải phương trình : a/ 2sin x + sin x = ; b/ cos x − sin x = ; c/ 2sin x cos x + cos x + = ; d/ 4sin x + 3 sin x − cos x = Giải các phương trình sau : π b/ cos x − sin x = cos − x ; 3 a/ sin x − cos 3x = cos x ; c/ 44 cos x − sin x = ; d/ sin x − cos x = ( sin x + cos8 x ) sin x + cos x = cos x − sin x ; Giải các phương trình sau : π π π a/ 3sin x − + 4sin x + + 5sin x + = ; 3 6 6 π π b/ 2sin x + + 4sin x − = 4 4 45 Giải các phương trình sau : a/ 3sin x − cos x = + 4sin x ; b/ cos x − 2sin 3x cos x − sin x = ; x x c/ sin + cos + cos x = ; 2 d/ 8cos x = 46 2π 6π Tìm x ∈ , thỏa phương trình cos x − sin x = −2 47 Cho phương trình 2sin x − sin x cos x − cos x = m + sin x cos x a/ Tìm m để phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình với m = −1 48 Cho phương trình sin x − 2m cos x = sin x − m Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc 3π đoạn 0; 49 Giải các phương trình a/ 8sin x = ; + cos x sin x b/ sin x = tan x − sin x − §6 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x 12 Lop12.net (14) www.MATHVN.com A LÝ THUYẾT Dạng a sin x + b sin x cos x + c cos x = ( a2 + b2 + c2 ≠ ) Cách giải - Xét xem x = - Với x ≠ π + k π có thỏa phương trình không ; π + k π ( cos x ≠ ), chia hai vế phương trình cho cos x để đưa phương trình theo tan x Chú ý - Đồi với các phương trình a sin x + b sin x cos x = , b sin x cos x + c cos x = ta có thể giải cách đưa phương trình tích - Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi, phương trình bậc hai chuyển thành phương trình bậc theo sin 2x và cos 2x - Với đẳng thức d = d sin x + d cos x , phương trình a sin x + b sin x cos x + c cos x = d xem là phương trình B BÀI TẬP 50 Giải phương trình : 51 b/ sin x + sin x − cos x = c/ 2sin x + 3 sin x cos x − cos x = ; d/ cos 2 x + sin x − 3sin 2 x = Giải pương trình : a/ 2sin x + sin x cos x − cos x = ; c/ 52 b/ sin x + sin x − sin x cos x = ; ( ) − sin x cos x − cos x = ; d/ cos x = 3sin x + Giải pương trình : a/ sin x + sin x cos x + cos x = c/ 4sin 53 ; a/ 3sin x − sin x cos x − cos x = ; 3+ ; b/ ( x x + 3 sin x − cos = ; 2 ) + sin x − sin x + ( ) − cos x = ; d/ 3cos x + 5sin x = − sin x Giải các phương trình sau : a/ 4sin x + cos x = π b/ sin x sin x + − cos x = ; 4 ; cos x c/ sin x + cos3 x = sin x − cos x ; d/ sin x sin x + sin x = cos x 13 Lop12.net (15) www.MATHVN.com BAI TẬP LÀM THÊM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 54 Giải các phương trình lượng giác sau đây : ; b/ cos x + = ; c/ tan x = ; d/ cos x + = a/ sin x = 55 Giải phương trình a/ sin x + cos x = ; b/ sin x − cos x = ; 2π =0 ; x d/ cot + 20o = 4 c/ tan x + cot 56 Giải phương trình ( ) a/ cos x + 600 = ( ; Giải phương trình π π a/ 2sin x + + cos x − = ; 4 4 58 ; d/ sin ( x + 240 ) + cos ( x + 1440 ) = cos 200 c/ cos(2 x + 45o ) + cos x = ; 57 ) b/ cot x + 400 = π b/ 8cos3 x + = cos 3x 3 a/ Chứng minh 4sin x cos x + cos3 x sin 3x = 3sin 4x b/ Giải phương trình sin x cos x + cos3 x sin x = sin 4x 59 60 Tìm các nghiệm phương trình sau khoảng đã cho : π 2π π a/ sin x − = với − <x< ; 12 b/ cos ( x + 1) = π π c/ tan ( 3x + ) = với x ∈ − ; ; 2 d/ tan x = với x ∈ ( −π ; π ) Giải phương trình b/ sin x − 2sin x ( cos x + cos x ) = ; a/ 2sin x cos x cos x = sin x ; c/ sin x − sin x − sin x = ; 61 với x ∈ ( −π ; π ) ; d/ 3sin x + cos x + 3sin x + 16 cos x + = Giải phương trình : a/ tan 3x tan x + = ; b/ sin x cot x = ; 14 Lop12.net (16) www.MATHVN.com c/ tan x = tan x ; 62 d/ cos x + = tan x − Giải phương trình : a/ 2sin x cos x − + cos x − sin x = ; b/ sin x + cos3 x = cos x ; c/ (1 − tan x )(1 + sin x ) = + tan x ; d/ tan x + cot x = ; e/ sin x + cos x = cos x ; − sin x g/ cos x − cos x + cos x = ; f/ + cos x sin x ; = cos x − cos x ( ) h/ tan x sin x + sin x − tan x − 3 = 63 Tìm x ∈ [0;14] nghiệm đúng phương trình cos x − cos x + 3cos x − = 64 a/ Hãy biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sin x = m , x ∈ [0;3π ] b/ Hãy xác định tất các giá trị tham số m để phương trình 2m cos x − sin x = có đúng nghiệm đoạn [0;3π] PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 65 Giải phương trình : b/ sin x − cos c/ + sin x sin x = ; d/ 2sin x − cos x − 4sin x + = ; e/ ( sin x + cos x ) = 4sin x cos x + ; f/ sin x + cos x + π π g/ cos x + + cos − x = ; 3 6 66 x + =0 ; a/ sin x + 3sin x + 2sin x = ; h/ cos x − sin = sin x ; x π − 10 cos − x − = cos x 2 2 Giải phương trình sau : a/ sin x − cos x = 5sin x + cos x − ; c/ b/ sin x − cos x = ; + tan x − = ; cos x d/ sin x + tan x = 67 cos 3x + sin x Tìm nghiệm x ∈ [ 0; 2π ] phương trình sin x + = cos x + + 2sin x 68 Giải các phương trình sau: a/ cot x − tan x + 4sin x = c/ π b/ tan x − = tan x − ; 4 ; sin x cos x + 3cot x + sin x =2 ; cot x − cos x d/ cos x + 3cos x = 2(1 + cos x) 15 Lop12.net (17) www.MATHVN.com PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sinx VÀ cosx 69 70 71 Giải các phương trình sau : a/ sin x + cos x = ; b/ 2sin17 x + cos x + sin x = ; π π c/ cos x − + sin x − = ; 6 6 d/ π π cos x + − sin x + = 4 4 Giải các phương trình sau : a/ − cos x = sin x ; π b/ cos x − sin x = cos − x ; 3 c/ sin x − cos x = ( sin x + cos x ) ; d/ ( sin x − cos x ) + sin x = Giải các phương trình sau : π a/ cos x + sin x + = ; 4 c/ b/ sin x + cos3 x = sin x − cos x ; π cos x + sin x + 2sin x − = 2 ; 6 e/ 3cos x − 4sin x + d/ tan x − 3cot x = 4(sin x + cos x) ; =3 ; 3cos x − 4sin x − π π f/ 8sin x sin x + 6sin x + cos − x = + cos x 4 4 72 Với giá trị nào tham số m thì phương trình sau có nghiệm : π b/ m sin x − + sin x = − cos x 4 a/ m sin x − ( m + 1) cos x = ; sin x + nhận giá trị nguyên cos x + 73 Tìm x cho biểu thức y = 74 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức : a/ a sin x + b cos x (a, b là các số và a + b ≠ ) ; b/ sin x + sin x cos x + 3cos x 75 76 Giải các phương trình sau : a/ 3sin x + 8sin x cos x + cos x = ; b/ 4sin x + 3 sin x − cos x = ; c/ sin x + 2sin x.cos x + 3cos3 x = ; d/ 6sin x − cos3 x = 5sin x cos x Giải các phương trình sau : b/ (1 + cos x ) + cos x − sin = ; a/ + tan x = 2sin x ; 16 Lop12.net (18) www.MATHVN.com c/ sin x cos x − sin 2 x + 2sin x + e/ π d/ + sin x sin x − cos x sin x = cos − x ; 4 =0 ; sin x cos x − =0 ; sin x cos x g/ sin x + cos8 x = f/ tan x + cot x = 17 cos 2 x ; 16 h/ cos 2 ; sin x x x π = tan x.sin − ; 2 4 i/ (1 + sin x + cos x ) cos x − sin x = ; j/ cos x + cos 3x − sin 2 x = trên [ 0;π ] ; k/ cos x cos x − cos x = ; l/ sin x = 5sin x ; m/ (1 + sin x ) cos x + (1 + cos x ) sin x = + sin x 77 Tìm các nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) phương trình sin x + cos x + sin x = cos x + + 2sin x GIỚI THIỆU MỘT SỐ PTLG TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Giải các phương trình lượng giác sau đây : 1) cos x + 12sin x − = ; (CĐ – 2011) 2) sin x + cos x − sin x − =0 ; tan x + (Khối D – 2011) 3) sin x cos x + sin x cos x = cos x + sin x + cos x ; (Khối B – 2011) 4) + sin x + cos x = sin x sin x ; + cot x (Khối A – 2011) 5) sin x − cos x + 3sin x − cos x − = ; (Khối D - 2010) 6) ( sin x + cos x ) cos x + cos x − sin x = (1 + sin x + cos x ) sin x + 7) (Khối B - 2010) ; π 4 + tan x = cos x ; (Khối A - 2010) 8) (1 − 2sin x ) cos x = (1 + 2sin x )(1 − sin x ) 9) sin x + cos x.sin x + cos x = ( cos x + sin x ) ; 10) 11) (Khối A – 2009) ; cos x − 2sin x.cos x − sin x = ; + sin x (Khối B – 2009) (Khối D – 2009) 7π = 4sin − x ; 3π sin x − (Khối A – 2008) 17 Lop12.net (19) www.MATHVN.com 12) 2sin x (1 + cos x ) + sin2x = + cos x ; (Khối B – 2008) 13) sin x − cos3 x = sin x cos x − sin x cos x ; (Khối D – 2008) 14) 2sin 2 x + sin x − = sin x ; (Khối B – 2007) 15) x x sin + cos + cos x = ; 2 (Khối D – 2007) 16) cos x + cos x − cos x − = ; (Khối D – 2006) 17) x cot x + sin x + tan x tan = ; 2 (Khối B – 2006) 18) ( cos x + sin x ) − sin x cos x − 2sin x =0 ; (Khối A – 2006) 19) π π cos x + sin x + cos x − sin x − − = ; 4 4 (Khối D – 2005) 20) + sin x + cos x + sin x + cos x = ; (Khối B – 2005) 21) cos x cos x − cos x = ; (Khối A – 2005) 22) ( cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin x − sin x 23) 5sin x − = (1 − sin x ) tan x ; (Khối B – 2004) 24) x x π sin − tan x − cos = ; 2 4 (Khối D – 2003) 25) cot x − = 26) cos 3x − cos x = sin x − cos x ; (Khối D – 2004) ; cos x + sin x − sin x ; + tan x (Khối A – 2003) (Khối B – 2002) Trường THPT NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN TOÁN LỚP 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ( thời gian làm bài : 60 phút) Bài ( điểm ) Giải các phương trình sau đây : a/ sin x + = 2sin x ; b/ + sin x.sin x = ; cos x = sin x − ; d/ + tan x.tan x = c/ 18 Lop12.net (20) www.MATHVN.com Bài (2 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( d ): x − y + = a/ Tìm phương trình ảnh (d) phép đối xứng tâm I (3; -2) b/ Hãy xác định vec tơ v có giá song song với Ox, biết phép tịnh tiến theo v , đường thẳng (d) có ảnh là đường thẳng qua gốc O Bài (2 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1 ; 4) và đường thẳng ∆ : x − 3y + = Tìm tọa độ ảnh M phép đối xứng qua đường thẳng ∆ Suy phương trình ảnh đường tròn (C ) : x + y − x − y + = phép đối xứng qua ∆ 19 Lop12.net (21)