Hệ thống các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thường gặp và các bước giải

Kết luận Như vậy, từ chỗ họ sinh còn lúng túng trong kiến thức và phương pháp giải thậm chí tỏ thái độ không yêu thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống kiến thức nêu trên học sinh đã [r]

HỆ THỐNG CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CƠ BẢN THƯỜNG GẶP VÀ CÁC BƯỚC GIẢI A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Sau trực tiếp giảng dạy Toán lớp với chương trình sách giáo khoa năm, qua quá trình giảng dạy và kết các bài kiểm tra chương IV Đại số tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng không đủ kiến thức để giải thành thạo các phương trình chứa đấ giá trị tuyệt đối Khi học sinh không nắm vững kiến thức trị tuyệt đối các phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thì việc không biết giải mắc sai lầm là điều khó tránh khỏi Mà kiến thức trị tuyệt đối và các bài tập liên quan quan trọng chương trình, đặc biệt là chương trình toán lớp và toán cấp sau này Vì học sinh thường không nắm vững các bước giải phương trình chứa dấu gía trị tuyệt đối? Bài toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bài toán khó vì nó chứa đựng nhiều kiến thức tính chất thứ tự và các phép toán cộng, nhân, kiến thức trị tuyệt đối, kiến thức giải phương trình, giải bất phương trình Khi gặp dạng toán nào có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thường ngại khó vì ít lưu tâm phải tiếp thu kiến thức Vậy làm nào để học sinh dễ nắm các kiến thức, nắm vững các phương pháp, các bước giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong năm qua, từ thực tế giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp và các tài liệu tôi rút hệ thống các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp và các bước giải dạng sau đây Với hệ thống kiến thức này học sinh dễ tiếp thu và giải thành thạo các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chương trình toán Lop8.net -1- II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh lớp Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 8A, 8BTrường THCS KPă Klơng năm học 2009-2010 III Tài liệu tham khảo -Sách giáo khoa Toán -Sách bài tập Toán - Tập -Sách giáo viên Toán -Thiết kế bài soạn Toán -Để học tốt Toán (Nhà xuất DG) -Để học tốt Toán (Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội) -Tài liệu bồi dưỡng Toán -Chuyên đề nâng cao Toán B.NỘI DUNG Các dạng và phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp  a nÕu a  Với số a ta có: a    a nÕu a <0 Xuất phát từ kiến thức trên người ta phát triển thành yêu cầu giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh quan tâm tới dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm: Dạng 1: Phương trình: f(x)  k , với k là số không âm Dạng 2: Phương trình: f(x)  g(x) Dạng 3: Phương trình: f(x)  g(x) Để học sinh tiếp cận và nắm vững các phương pháp giả ta cần hướng dẫn học sinh theo thứ tự cụ thể sau: Lop8.net -2- Bài toán 1: Giải phương trình: f(x)  k , với k là số không âm Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện để f (x) xác định (nếu cần) f(x)  k Bước 2: Khi đó f(x)  k    nghiệm x f(x)   k  Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa kết luận nghiệm cho phương trình Ví dụ1: Giải các phương trình sau: a, 2x   b, x 1 -2=0 x  2x    2x  x  a, ta có 2x        2x   1  2x  x  Vậy phương trình có hai nghiệm x = và x = b, Điều kiện xác định phương trình là x  x 1 x   x 2 x   2x  x  1 x 1 2    x  1 x x   2x 3x  1  x   2   x Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = Bài toán 2: Giải phương trình: f(x)  g(x) Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện để f (x) và g (x) xác định (nếu cần) f(x)  g(x) Bước 2: Khi đó f(x)  g(x)    nghiệm x f(x)  g(x) VíBước dụ 2:3:Giải các trình Kiểm traphương điều kiện, từsau: đó đưa kết luận nghiệm cho phương trình x2  x  b,  x 0 x 1 a, 2x   x  c, Giải: a, Biến đổi tương đương phương trình: 2x   x  2x  x  3  x  6 2x   x      2x    x  2x  x     x  Lop8.net -3- Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 và x = b, Điều kiện xác định phương trình là x  Biến đổi tương đương phương trình: x2  x  x2  x   x 0 x x 1 x 1  x2  x   x 1  x x  x   x(x  1) 2x      x 1 2x   v« nghiÖm x  x    x(x  1) x  x     x   x Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x  3m = x  , với m là tham số Giải: Biến đổi tương đương phương trình: 2x  3m  x  2x  x  3m   x  3m  2x  3m  x      2x  3m  x  2x  x  3m  3x  3m  x  3m    x  m  Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3m + và x = m - Bài toán 3: Giải phương trình: f(x)  g(x) Phương pháp giải: Ta có thể lựa chọn hia cách giải sau: Cách 1: (Phá dấu giá trị tuyệt đối) Thực các bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f (x) và g (x) xác định (nếu cần) Bước 2: Xét hai trường hợp: -Trường hợp 1: Nếu f (x)  (1) Phương trình có dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1) -Trường hợp 2: Nếu f (x) < (2) Phương trình có dạng: -f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2) Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa kết luận nghiệm cho phương trình Lop8.net -4- Cách 2: Thực các bước: Bước 1: Đặt điều kiện để f (x) và g (x) xác định (nếu cần) và g (x)  f(x)  g(x) Bước 2: Khi đó: f(x)  g(x)    Nghiệm x f(x)   g(x)  Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa kết luận nghiệm cho phương tr ×nh Ví dụ 4: Giải phương trình: x   3x  Cách 1: Xét hai trường hợp: -Trường hợp 1: Nếu x +   x  -4 (1) Phương trình có dạng: x + + 3x =  4x =  x = thoả mãn điều kiện (1) -Trường hợp 2: Nếu x + <  x < - (2) Phương trình có dạng: -x - + 3x =  2x =  x = không thoả mãn điều kiện (2) Vậy phương trình có nghiệm x = Cách 2: Viết lại phương trình dạng x   3x  Với điều kiện - 3x +   - 3x  -  x  Khi đó phương trình biến đổi:  x  x   3x    x   3x    x   3x  x  kh«ng tho ¶ m·n *   Vậy phương trình có nghiệm x = Lưu ý1: Qua ví dụ trên các em học sinh thấy hai cách giải có độ phức tạp Vậy trường hợp nào cách hiệu cách và ngược lại? Lop8.net -5- Khi vế phải là biểu thức không là đa thức có bâc ta nên sử dụng cách vì sử dụng cách thì việc tìm x thoả mãn điều kiện g (x) không âm phức tạp Khi biểu thức trị tuyệt đối dạng phức tạp thì không nên sử dung cách vì gặp khó khăn việc giải bất phương trình f (x)  và f (x) < Tuy nhiên học sinh có thể khắc phục cách không di giải điều kiện mà thực các bước biến đổi phươnmg trình sau đó thử lại điều kiện mà không đối chiếu Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a, x   x  x b, x  2x   2x Giải: a, Xét hai trường hợp -Trường hợp 1: Nếu x +   x  -1 (1) Khi đó phương trình có dạng: x + = x2 + x  x2 =  x =  (thoả mãn đk 1) -Trường hợp 2: Nếu x + <  x < -1 (2) Khi đó phương trình có dạng: - x - = x2 + x  x2 + 2x + =  (x+1)2 =  x = -1 (không thoả mãn đk 2k) Vậy phương trình cób hai nghiệm x =  b, Viết lại phương trình dạng: x  2x  2x  với điều kiện 2x -   2x   x  Ta có: (*) x  2x  2x  x  4x   x  2x  2x     x  2x   2x   x  x  (x  2)2    x  2 x  2 kh«ng tho ¶ m·n *  Vậy phương trình có nghiệm x = Lop8.net -6- Lưu ý 2: - Đối với số dạng phương trình đặc biệt khác ta có cách giải khác phù hợp chẳng hạn phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng thức Côsi Ví dụ 6: Giải phương trình x   x  2x  Viết lại phương trình dạng (x  2x  1)  x     (x  1)2  x    (1) Đặt x  = t ( t  0) Khi đó từ (1) ta có phương trình t2 - 2t - =  t2 + t - 3t - =  t(t + 1) - 3(t + 1) =  (t + 1)(t - 3) =  t = - (loại) và t = (t/m) x   x  Với t = ta x  =    x   3 x  2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2 và x = Ví dụ 7: Giải phương trình x 1  2 x 1 (1) Điều kiện xác định phương trình là x  -1 Ta có thể lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Đặt t = Khi đó (1)   x 1 điều kiện t >  t   t  2t    t  t x 1 x   x  1 x 1     x   3 x  4  Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 và x = Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: VT = x 1 x 1 =2   x 1 x 1 Lop8.net -7- Ta thấy dấu xảy (Tức là x 1   2) x 1 x 1 x   x     (x  1)2    x 1 x   3 x  4 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 và x = Đối với phương trình có giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối Mỗi trị tuyệt đối có giá trị x làm mốc để xác định biểu thức trị tuyệt đối âm hay không âm NHững giá trị x này chia trục số thành các khoảng có số khoảng lớn số các trị tuyệt đối là Khi đó ta xét giá trị x khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và giải phương trình tìm Ví dụ 8: Giải phương trình x  + x  = Ta thấy x -   x  x -  x  Khi đó để thực việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trường hợp +Trường hợp 1: Nếu x < Khi đó phương trình có dạng: - x + - x + =  -2x = -  x = (không t /m đk) +Trường hợp 2: Nếu  x < Khi đó ta có phương trình: x - - x + =  0x = luôn đúng =>  x < là nghiệm +Trường hợp 3: Nếu x  Khi đó phương trình có dạng: x - + x - =  2x =  x = (t/m đk) Vậy nghiệm phương trình là  x  C kết đạt được: Lop8.net -8- Sau các buổi tổ chức học phụ khoá và tự chọn HS lớp và truyền thụ cho học sinh hệ thống các dạng và phương pháp giải nêu trên tôi nhận thấy đa số học sinh nắm vững dược kiến thức và giải thành thạo dạng toán giải phương trình chứa đấu giá trị tuyệt đối Với hệ thống kiến thức, các dạng toán và phương pháp giải xây dựng đơn giản và đễ nhớ nên học sinh nắm nhanh vì đã hình thành cho học sinh niềm thích thú gặp các dạng toán này Đương nhiên hệ thống kiến thức trên dừng lại đối tượng học sinh có học lực trung bình và khá, còn học sinh giỏi chúng ta cần xây dựng sâu và bổ sung các dạng toán phong phú D Kết luận Như vậy, từ chỗ họ sinh còn lúng túng kiến thức và phương pháp giải chí tỏ thái độ không yêu thích, qua thực tế giảng dạy với hệ thống kiến thức nêu trên học sinh đã giải thành thạo các dạng toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối mức Khi nắm vững kiến thức và phương pháp giải học sinh có hứng thú góp phần khơi dậy niềm say mê học tập từ đó nâng cao chất lượng đại trà dạy học môn Toán Với hệ thống kiến thức xây dựng và truyền thụ trên học sinh chủ động để tiếp thu kiến chương trình các lớp trên Có thể nói, trên đây là số điều mà thân tôi đã rút qua dạy học Tuy nhiên điều đó qua tìm tòi từ các tài liệu, sách báo và học hỏi từ đồng nghiệp nên còn có hạn chế định Rất mong nhận các ý kiến đóng góp, bảo hội đồng khoa học các cấp và các bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Chư Sê, ngày 12 tháng 12 năm 2009 Người làm đề tài Đậu Thị Bình MỤC LỤC Lop8.net -9- A MỞ ĐẦU Trang I Lý chọn đề tài - Trang II Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Trang B.NỘI DUNG Trang Các dạng và phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp - Trang C kết đạt Trang D Kết luận - Trang Lop8.net - 10 -