Các em thực hiện việc chuyển kẹo cho nhau như sau: Với số kẹo mỗi em có lúc đầu, nếu có ít nhất một em có nhiều kẹo hơn bạn ngồi ngay bên phải mình thì một em tùy ý trong số những em như[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ NĂM 2011 Ngày thi thứ nhất: 09/04/2011 Thời gian làm bài: 240 phút www.MATHVN.com Bài (5,0 điểm) Tại điểm (1; 1) mặt phẳng tọa độ Oxy có cào cào Từ điểm đó, cào cào nhảy đến các điểm nguyên dương khác theo quy tắc: từ điểm nguyên dương A, cào cào nhảy đến điểm nguyên dương B tam giác OAB có diện tích Tìm tất các điểm nguyên dương (m; n) mà cào cào có thể nhảy đến sau số hữu hạn bước nhảy, xuất phát từ điểm (1; 1) Giả sử (m; n) là điểm nguyên dương có tính chất đã nêu câu Chứng minh tồn cách nhảy cào cào từ điểm (1; 1) đến điểm (m; n) mà số bước nhảy không vượt quá |m − n| (Điểm (x; y) gọi là điểm nguyên dương x và y là các số nguyên dương) Bài (7,0 điểm) Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó Qua A, kẻ các tiếp tuyến tới (O); gọi B và C là các tiếp điểm Xét điểm P di động trên tia đối tia BA và điểm Q di động trên tia đối tia CA cho đường thẳng P Q tiếp xúc với (O) Đường thẳng BC cắt đường thẳng qua P , song song với AC E và cắt đường thẳng qua Q, song song với AB F Chứng minh Đường thẳng EQ luôn qua điểm cố định, gọi là M ; đường thẳng F P luôn qua điểm cố định, gọi là N Tích P M · QN không đổi Bài (8,0 điểm) Cho số nguyên n ≥ Xét n số thực x1 , x2 , , xn thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: • x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn ; • n X xi = 0; n X x2i = n(n − 1) i=1 • i=1 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ tổng S = x1 + x2 www.MATHVN.com Lop12.net (2) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ NĂM 2011 Ngày thi thứ hai: 10/04/2011 Thời gian làm bài: 240 phút www.MATHVN.com Bài (6,0 điểm) Cho dãy số nguyên dương (an ) xác định a0 = 1, a1 = và an+2 a2n+1 =1+ với n ≥ an Chứng minh an+2 an − a2n+1 = 2n ([x] kí hiệu phần nguyên số thực x) Bài (7,0 điểm) Tìm tất các số nguyên dương n cho 2n+2 (2n − 1) − · 3n + là số chính phương Bài (7,0 điểm) Cho n là số nguyên lớn Có n học sinh ngồi quanh bàn tròn, em có số kẹo (có thể có em không có kẹo nào) và tổng số kẹo tất các em là bội n Các em thực việc chuyển kẹo cho sau: Với số kẹo em có lúc đầu, có ít em có nhiều kẹo bạn ngồi bên phải mình thì em (tùy ý) số em chuyển kẹo mình cho bạn ngồi bên phải Với số kẹo em có sau lần chuyển thứ nhất, có ít em có nhiều kẹo bạn ngồi bên phải mình thì em (tùy ý) số em lại chuyển kẹo mình cho bạn ngồi bên phải Quá trình chuyển kẹo tiếp tục Chứng minh sau số hữu hạn lần chuyển kẹo vậy, tất các em có số kẹo www.MATHVN.com Lop12.net (3)