Đề khảo sát trước kì thi đại học năm 2010 môn: Toán

Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy thứ tự tại P, Q sao cho diện tích tam giác OPQ nhỏ nhất.. Bài 51 điểm: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz [r]

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT TRỰC NINH B ĐỀ KHẢO SÁT TRƯỚC KÌ THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Bài 1(2 điểm): 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y  (| x | 1) (| x | 1) 2) Tìm trên trục hoành điểm mà từ điểm đó kẻ ba tiếp tuyến phân biệt đến (C) Bài 2(3 điểm):  x2  y  2  x  y   1) Giải hệ phương trình: ( x, y  R ) ( xy  x  y  1)( x  y  2)   2 2) Giải phương trình: sin x.tan x  cos x  cos x.(2  tan x) , ( với x  R ) 5  3) Tìm m thực để phương trình sau có nghiệm thực đoạn  ;4  : 2  (m  1).log1/2 ( x  2)  4(m  5) log1/  4m   x2 Bài 3(1 điểm): Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a; các cạnh SA  SB  SC  3a , (a > 0) Trên cạnh SA, SB lấy điểm M, N cho SM = BN = a Tính thể tích khối chóp C.ABNM theo a Bài 4(2 điểm): 1) Tính tích phân:  x ln(1  x 2 )dx 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3; 1) Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy thứ tự P, Q cho diện tích tam giác OPQ nhỏ Bài 5(1 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1:  x  1 t   y   2t ; (t  R ) ,đường thẳng d2 là  z   2t  giao tuyến hai mặt phẳng (P): 2x – y – = và (Q): 2x + y + 2z – = Gọi I là giao điểm d1 và d2 Viết phương trình đường thẳng d3 qua A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d1và d2 B và C cho tam giác BIC cân đỉnh I Bài 6(1 điểm): x3 y3 z3 Cho x, y, z  và x  y  z  Chứng minh:     y2  z2  x2 Hết Lop12.net SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT TRỰC NINH B KHẢO SÁT TRƯỚC KÌ THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Đáp Án vắn tắt: Bài 1: 1) Nội dung 2 *Có hàm số : y  (| x | 1) (| x | 1)  y = x4 - 2x2 + ( C) điểm *TXĐ: R; lim y  ; lim y   ; y '  x3  x; y '   x  0; x  1 x  Điểm x  *BBT: *Đọc đúng khoảng đb, nb; cực trị *Vẽ đúng đ thị 2) *Gọi A(a:0)  Ox mà từ A kẻ đến ( C) ba tiếp tuyến phân biệt *Đường thẳng d qua A với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-a) điểm  x  x   k ( x  a) *d là tt ( C) và hệ pt sau có nghiệm: ( I )  x3  x  k  0.25 k  4 x( x  1)  k ( B) ( A )  2 x   x  ax   0(1)    *Có ( I )   *Từ hệ (A), cho ta tiếp tuyến là d1: y = Vậy để từ A kẻ tiếp tuyến pb tới (C) cần và đủ là hệ (B) phải có nghiệm pb (x;k) với x khác 1 , tức là phương trình (1) phải có nghiếm pb x khác 1 KQ: 1  a   0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 3 hoÆc  a  2 Bài 2: 1) điểm Nội dung  ( x  1)  ( y  1)  u  x   *Hệ  Đặt  , thu hệ ( x  1)( y  1)[( x  1)  ( y  1)]  v  y  * Giải được: u  v  ;  u.v  * Giải được: u  x    v  y    u v 5  uv(u  v)  u  x    v  y   x   y   x   y  2) * ĐK: cos x  PT  sin x  cos3 x  cos x.(2 cos x  sin x)  (sin x  cos x).cos x.(2sin x  cos x)  điểm  sin x  cos x  0; 2sin x  cos x    x    k ; x  arctan  l ;(k , l  Z ) 3) *PT  (m  1).log ( x  2)  (m  5) log ( x  2)  m   1/ 1/ 5  điểm *Đặt t  log1/ ( x  2), x   ;   t   1;1 Thu pt: 2  4t  t  5t  ; f '(t )   t  1 m  f (t )  ; f '(t )  (t  t  1) t  t 1 Lop12.net 2 Điểm 0.25 0.50 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 * Lập BBT f(t) trên đoạn  1;1 , thấy f(t) liên tục và NB trên đoạn  1;1 , nên  7 m   3;  thỏa mãn đề bài  3 Bài 3: * Chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh S là trung điểm H cạnh AC điểm a 34 * Tính VS ABC  12 * CM VS MNC  VS ABC 7 a 34  VC.ABNM  VS ABC  108 Bài 4: 1) * Tính điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 I   x ln(1  x )dx 0.50 2x  du  dx 1  x4 u  ln(1  x )   x2  I  x ln(1  x )   dx  * Đặt  2 3  x dv  x dx 0 v  x  1 x4  * Tính J   dx  [ x   ] dx     2   x  x 0  * Vậy I  ln   1) x y * Từ gt ta có P(a;0); Q(0; b), a  0, b  * d có pt:   a b điểm 3 d qua A(3; 1) nên      ab  Dấu xảy và a b ab a     a b b  2 * Có SOPQ  a.b  Nên SOPQ nhỏ (  ) và x y * Vậy d có pt:   Lop12.net a   b  0.50 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 5: 1)  x  t1  điểm * d2 có pt:  y  1  2t1 ; (t1  R ) 0.25  z   2t  * Tìm I(1;1;1) Ta có B(1 + t;1 +2 t;1 + 2t), C(t1;-1 +2 t1;3 -2 t1) , ( đk: B khác I, C khác I  t  0, t1  )  IB  IC (1) *Tam giác BIC cân đỉnh I     [ AB , AC ]  (2) t     t  1 0.25 0.25 0.25  x2  y  ; (t  R ) * Từ đó có pt d3 :   z   2t  Bài 6: 1) x3 y3 z3 Ta có: VT + = (  y2 )  (  z2 )  (  x2 ) 2 1 y 1 z 1 x điểm  y2 y3 y3  z2  VT  (   ) (   ) 2 2 4 2 1 y 1 y 1 z 1 z x3 x3 0.25 0.25  x2 (   )  x2  x2 z3 z3 6 x y z VT   33  33  33 16 16 16  VT   ( x2  y  z )  26 23 2 9 3  VT       VP (đpcm) 2 2 2 2 2 ( Dấu xảy và x = y = z = 1) Lop12.net 0.25 0.25