Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C, biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị C đến tiếp tuyến là lớn nhất.. Mặt phẳng P chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỔ TOÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 MÔN TOÁN – KHỐI A (Thời gian làm bài: 180 phút) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x x+2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn Câu II (2,0 điểm) pö p ö 4cos 2 x æ æ Giải phương trình: tan ç x - ÷ tan ç x + ÷ = è 4ø è 4ø tan xcotx y ì ï x2 + y - + x = ï Giải hệ phương trình: í ï x + y + x = 22 ïî y Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ò ln x x +1 dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa AB và qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD M, N Tính thể tích hình chóp S.ABMN theo a Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn : < a £ 1, < b £ 1, < c £ Chứng minh rằng: ö 1 æ ç1 + ÷(a + b + c) ³ + + + a b c è abc ø PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A ( -3; ) , trực tâm H ( 2;1) , trọng tâm G æç ; ö÷ Xác định toạ độ các đỉnh B và C è3 3ø Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) và mặt cầu (S) có phương trình (a ) : x - y + z - = và ( S ) : x + y + z - x + y - z - = Lop12.net (2) Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) và mặt phẳng (a ) Viết phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (a ) Câu VII.a (1,0 điểm) Đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, nam, đó có danh thủ nam là Vũ Mạnh Cường và danh thủ nữ là Ngô Thu Thủy Người ta cần lập đội tuyển bóng bàn quốc gia từ đội dự tuyển nói trên Đội tuyển quốc gia bao gồm nữ và nam Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển quốc gia cho đội tuyển có mặt hai danh thủ trên Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + = và trung điểm cạnh AC là M(1; 1) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A ( 3; -1; -2 ) , B (1;5;1) , C ( 2;3;3) , đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ (CD < AB) Tìm toạ độ điểm D Câu VII.b (1,0 điểm) ìï23 x +1 + y - = 3.2 y +3 x Giải hệ phương trình: í ïî x + + xy = x + Hết Lop12.net (3) TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỔ TOÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 MÔN TOÁN – KHỐI A (Thời gian làm bài: 180 phút) ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM Câu I Đáp án Điểm 2,00 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1,00 điểm) 2x y= x+2 Tập xác định TXĐ: D = R \ {2} Sự biến thiên y ' = 0,25 > "x Î D ( x + 2) Hàm số đồng biến trên ( -¥; -2 ) và ( -2; +¥ ) Bảng biến thiên x y’ y –¥ –2 +¥ + 0,25 + +¥ 2 –¥ Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = 2; tiệm cận ngang y = Đồ thị nhận giao điểm I ( -2; ) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng 0,25 Đồ thị: y 0,25 –2 O x Viết phương trình tiếp tuyến (1,00 điểm) Lop12.net (4) Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M có hoành độ a ¹ -2 thuộc đồ thị (C) có phương trình: y= ( a + 2) x - a) + ( 2a Û x - ( a + ) y + 2a = ( d ) a+2 0,25 Tâm đối xứng I ( -2; ) Ta có d (I,d ) = a+2 16 + ( a + ) £ a+2 2.4 ( a + ) = a+2 a+2 =2 0,25 éa = d ( I , d ) lớn ( a + ) = Û ê ë a = -4 0,50 Từ đó suy có hai tiếp tuyến y = x và y = x + II 2,00 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) ì æ pö pö æ ïcos ç x - ÷ ¹ 0; cos ç x + ÷ ¹ 4ø 4ø (*) è è Điều kiện í ïsin x ¹ 0; t anxcotx ¹ î 0,25 Để ý pö pö pö æ æ æp ö æ tan ç x - ÷ tan ç x + ÷ = - tan ç - x ÷ tan ç x + ÷ = 4ø 4ø 4ø è è è4 ø è pö pö æ æ - cot ç x + ÷ tan ç x + ÷ = -1 4ø 4ø è è 4cos 2 x = Û c otxtanx=4cos 2 x Khi đó PT (1) trở thành: t anxcotx - tan x Û =4 Û = Û tan x =0 ( ) t anx 1+tan 2 x tan x + tan 2 x Û tan x = Û x = p + mp Û x = kiện (*) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Giải hệ phương trình (1,00 điểm) Điều kiện: x ¹ 0, y ¹ 0, x + y - ¹ x Đặt u = x + y - 1; v = y p +k p 0,5 ( k Î Z ) : Không thoả điều 0,25 0,25 Lop12.net (5) ì3 ì3 ï + =1 ï + = 1(1) HPT trở thành: í u v Û íu v ïîu + + 4v = 22 ïu = 21 - 4v ( ) î Thay (2) vào (1) ta được: év = 3 2 + = Û 2v - 13v + 21 = Û ê êv = 21 - 4v v ë Nếu v = thì u = 9, ta có HPT: ìx2 + y2 -1 = ì x + y = 10 ì y = ±1 ï Û Ûí íx í î x = ±3 îx = 3y ïy =3 î Nếu v = thì u = 7, ta có HPT: 0,25 0,25 0,25 ì ìx2 + y2 -1 = ì x + y = ï y = ±4 53 ï ï ï Ûí Ûí íx 7 ïy = ïx = y ï x = ±14 î î ïî 53 So sánh điều kiện ta nghiệm HPT III Tính tích phân 1,00 dx ì ìu = ln x ï ïdu = x dx Þ í Đặt í dv = ï ïv = x + x +1 î î ( Þ I = x + 1ln x ) 8 - 2ò Với J = ò 0,25 x +1 dx = 6ln - 4ln - J x x +1 dx x 0,25 0,25 3 t t2 1 ö æ đặt t = x +1 Þ J = ò 2tdt = 2ò dt = ò ç + ÷ dt t -1 t -1 t -1 t +1ø 2 2è æ t -1 ö = ç 2t + ln = + ln3 - ln2 t +1 ÷ø è Từ đó I = 20ln2 - 6ln3 - IV Tính thể tích hình chóp S.ABMN 0,25 1,00 Lop12.net (6) S N K G A D M I 600 O J 0,25 C B Kẻ SO vuông góc với (ABCD) thì O là giao điểm AC và BD Gọi I, J là trung điểm AB và CD; G là trọng tâm D SAC ¶ = 600 Góc mặt bên (SCD) và đáy (ABCD) là SJI Vì D SIJ cạnh a nên G là trọng tâm D SIJ IG cắt SJ K là trung điểm SJ; M, N là trung điểm SC, SD 0,25 IK = 3a 3a ; SABMN = ( AB + MN)IK = 2 SK ^ ( ABMN ); SK = V a 3a Þ V = S ABMN SK = (đvtt) 16 Chứng minh bất đẳng thức 0,25 0,25 1,00 Vì < a £ 1, < b £ nên ( a - 1)( b - 1) ³ Þ ab - a - b + ³ Þ ³ a + b - ab Þ 1 ³ + - (1) ab a b 1 1 1 ³ + - 1( ) , ³ + - 1( 3) bc b c ca c a Cộng các BĐT (1), (2), (3) vế theo vế : 1 æ 1 1ö + + ³ ç + + ÷ - ( 4) ab bc ca èa b cø Sử dụng BĐT (4) và BĐT Cauchy ta có : ö 1 æ æ 1 1ö + + ³ a + b + c + 2ç + + ÷ - ç1 + ÷(a + b + c) = a + b + c + ab bc ca è abc ø èa b cø Chứng minh tương tự : 0,25 0,25 0,25 Lop12.net (7) ³2 1 1ö 1 + + ÷ + + + -3 èa b cø a b c ( a + b + c ) æç æ1 1ö Cũng theo BĐT Cauchy ta : ( a + b + c ) ç + + ÷ ³ èa b cø ö 1 1 1 æ Do đó ç + ÷ ( a + b + c ) ³ + + + - = + + + (đpcm) a b c a b c è abc ø Đẳng thức xảy và a = b = c = VI.a 0,25 2,00 Tìm tọa độ điểm B và điểm C (1,00 điểm) uuur uur æ7 1ö Gọi I là trung điểm BC Ta có AG = AI Þ I ç ; ÷ è2 2ø Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có PT : x – y – = 0,50 æ7 1ö Vì I ç ; ÷ là trung điểm BC è 2ø Giả sử B ( xB ; y B ) Þ C ( - xB ;1 - y B ) và xB - y B - = H là trực tâm tam giác ABC nên CH ^ AB uuur uuur CH = ( -5 + xB ; yB ) , AB = ( xB + 3; y B - ) 0,25 uuur uuur ìï xB - y B = ìx =1 ìx = CH AB = Û í Ûí B Úí B îï( xB - )( xB + 3) + ( yB - ) = î yB = -2 î yB = 0,25 Vậy B (1; -2 ) , C ( 6;3) B ( 6;3 ) , C (1; -2 ) Viết phương trình mặt cầu đối xứng(1,00 điểm) 2 ( S ) : ( x - 1) + ( y + ) + ( z - ) = 25 , tâm I (1; -2; ) Khoảng cách từ I đến (a ) d ( I , (a ) ) = < R Vậy (a ) và mặt cầu (S) cắt Gọi J là điểm đối xứng I qua (a ) ì x = + 2t ï PT đường thẳng IJ : í y = -2 - t ï z = + 2t î và R = 0,25 0,25 Toạ độ giao điểm H IJ và (a ) thoả ì x = + 2t ìt = -1 ï y = -2 - t ï x = -1 ï ï Ûí Þ H ( -1; -1; ) í ï z = + 2t ï y = -1 ïî2 x - y + z - = ïî z = Vì H là trung điểm IJ nên J ( -3; 0;0 ) 0,25 Lop12.net (8) Mặt cầu (S’) có tâm J bán kính R’ = R = nên có PT: ( S ') : ( x + 3) + y + z = 25 Số cách chọn đội tuyển bóng bàn quốc gia VII.a 0,25 1,00 Đội tuyển có Vũ Mạnh Cường, không có Ngô Thu Thuỷ Số cách chọn nam còn lại là C6 0,25 Số cách chọn nữ không có Ngô Thu Thuỷ là C9 3 Suy số cách chọn trường hợp này là C6 C9 = 1680 (cách) 0,25 Đội tuyển có Ngô Thu Thuỷ, không có Vũ Mạnh Cường Số cách chọn nam không có Vũ Mạnh Cường là C6 Số cách chọn nữ còn lại là C9 0,25 Suy số cách chọn trường hợp này là C C = 540 (cách) Vậy số cách chọn đội tuyển bóng bàn Quốc gia là 1680 + 540 = 2220 (cách) ĐS: 2220 (cách) VI.b 0,25 2,00 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C (1,00 điểm) Ta có AC vuông góc với BH và qua M(1; 1) nên có PT: y = x Toạ độ đỉnh A là nghiệm hệ : ì x=ï ìx - y - = ï æ 2ö Ûí Þ Aç - ; - ÷ í è 3ø îy = x ïy = - ïî æ8 8ö Vì M là trung điểm AC nên C ç ; ÷ è3 3ø Vì BC qua C và song song với d nên PT (BC) : y = 0,50 x +2 ìx + y + = ì x = -4 ï BH Ç BC = B : í Ûí Þ B ( -4;1) x îy =1 ïî y = + 2 Tìm tọa độ đỉnh D (1,00 điểm) Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = Gọi D là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = Điểm D cần tìm là giao điểm D và (S) uuur Đường thẳng D có vectơ phương AB = ( -2; 6;3) nên có phương trình: 0,25 0,25 0,25 0,25 Lop12.net (9) ì x = - 2t ï í y = + 6t ï z = + 3t î 2 Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x - 3) + ( y + 1) + ( z + ) = Toạ độ điểm D thoả HPT: ì x = - 2t ï y = + 6t ét = -1 ï Þ 49t + 82t + 33 = Û ê í z = + 3t êt = - 33 ï 49 ë ï( x - 3) + ( y + 1) + ( z + )2 = î 0,25 Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 33 æ 164 51 48 ö Với t = - Þ D ç ; - ; ÷ (nhận) 49 49 49 ø è 49 VII.b 0,25 Giải hệ phương trình ìï23 x +1 + y -2 = 3.2 y +3 x (1) í ïî x + + xy = x + ( ) ìï x ³ -1 ì x+1 ³ ì x ³ -1 PT ( ) Û í Ûí Ûí ïî x ( x + y - 1) = î x = Ú y = - 3x î3 x + + xy = x + Với x = thay vào (1) : 8 + y - = 3.2 y Û + y = 12.2 y Û y = Û y = log 11 11 ì x ³ -1 Với í thay y = – 3x vào (1) ta : 23 x +1 + 2-3 x -1 = 3.2 ( ) î y = - 3x Đặt t = 23 x +1 , vì x ³ -1 nên t ³ ét = - 2 PT (3) : t + = Û t - 6t + = Û ê t êët = + 2 ( ( y = - x = - log + 2 0,25 0,25 0,25 0,25 ta chọn t = + 2 = + 2 Û x = élog + 2 - 1ù û 3ë Đối chiếu điều kiện t ³ Khi đó 23 x +1 1,00 ) ) ì ìx = x = élog + 2 - 1ù ï ï û 3ë Vậy HPT đã cho có nghiệm í và í y = log ïî ï y = - log + 2 11 î ( ( ) ) Lop12.net (10) 10 Lop12.net (11)