Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Trường THPT Sơn Tây ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 LẦN I Mơn: Tốn (thời gian làm 180 phút)
Câu 1(2 điểm) Cho hàm số y = x
4 −3x
2 +5
2
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thi (C) hàm số
Cho điểm M thuộc (C) có hồnh độ xM = a Viết phương trình tiếp tuyến (C) M, với giá trị a tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M
Câu 2(1 điểm) Giải phương trình: 3sinx + cosx = -2cos3x
Câu 3(1 điểm) Giải phương trình x x x
8
4
2
1log ( 3) 1log ( 1) 3log (4 )
2 4
Câu 4(1 điểm) Tính tích phân
(1 cos )
I x xdx
p =ị +
Câu 5(1 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: 2 x 2x (2 x)(2x)m
Câu 6(1 điểm) Cho hình chóp lục giác S.ABCDEF với SA = a, AB = b Tính thể tích hình chóp khoảng cách đường thẳng SA, BE
Câu 7(1 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x y- +2z- 0= điểm A(1;3; 2)
-a) Tìm tọa độ hình chiếu A mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt cầu tâm A qua gốc tọa độ O
Câu 8(1 điểm)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Biết M(1; -1) trung điểm
của BC G(
2 ;0
3 ) trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C.
Câu 9(1 điểm)Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =
1 1
( ) ( ) ( )
2 yz zx xy
x y z
x y z
(2)-Hết -Đáp án
Câu Nội dung Điểm
1.1
Ta có hàm số y = x −3x
2 +5
2 Tập xác định D = R
Sự biến thiên. + Chiều biến thiên.
y’ = 2x3 - 6x , y’ = x = v x = 3.
y’< , x ( -∞; - 3) (0 3) Hàm số nghịch biến khoảng ( -∞; - 3) (0 3)
y’ > x (- 3; 0) ( 3; +∞).Hàm số đồng biến khoảng (- 3; 0) ( 3; +∞)
0,25
Cực trị. Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) =
5
2 Hàm số đạt cực tiểu x = 3, y
CT = y(
3
) = 2.
Giới hạn.
4
2 5
( ) , ( )
2 2
x x
x x
Lim x Lim x
Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận.
0,25
Tính lồi, lõm điểm uốn.
y’’ = 6x2 - , y’’ = x = 1 Đồ thị nhận điểm I(1; 0) điểm uốn
Bảng biến thiên. x
-∞ - -1 0 1 +∞ y’ - + - 0
+
y
+∞
5
2
+∞
-2 -2
0,25
Đồ thị.
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tai điểm (1; 0) , ( 5; 0) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm (0 ;
5
2) Đồ thị hàm số có trục đối xứng Oy.
0,25
I(0) I(0)
y
(3)1 Cho điểm M thuộc (C) có hồnh độ xM = a Viết phương trình tiếp tuyến (C) M, với giá trị a tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M
1,0
Vì M∈(C)⇒M(a ;a −3a
2 +5
2) Ta có: y’ = 2x3 – 6x ⇒y '
(a)=2a3−6a
0,25
Vậy tiếp tuyến (C) M có phương trình :
4
3
(2 )( )
2
a
y a a x a a
0,25
Xét pt :
4
2 5 2
3 (2 )( ) ( ) ( 6)
2 2
x a
x a a x a a x a x ax a
0,25
⇔
x=a
¿
g(x)=x2+2 ax+3a2−6=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
YCBT pt g(x) = có nghiệm phân biệt khác a
2
' | |
( ) 1
a a
g a a a
0,25
Câu
2 PT 3sinx + cosx = -2cos3x 3sinx + cosx = 2cos( - 3x)
3
2 sinx +
1
2cosx = cos( - 3x) sinx.sin3
+ cos
.cosx = cos( - 3x)
cos(
- x) = cos( - 3x) ( - 3x) = (3 x) k2
, k Z
+) - 3x = 3 x k2
x = 3 k
+) - 3x = x k22
x = 3 k
Vậy nghiệm phương trình: x = 3 k
, k Z
0,25 0,25
0,25
0,25 Câu
3 x x 8 x
1log ( 3) 1log ( 1) 3log (4 )
2 4 , ĐK x > 0, x 1
log (2 x3) log | x 1| log (4 ) x
(x3)x1 4 x
-) x > ta có: x = thỏa mãn -) x < ta có x = 3 3 thỏa mãn
Vậy x = 3; x = 3
0,25 0,25 0,25 0,25 Câu
4
0 0
(1 cos ) cos
I x xdx xdx x xdx
p p p
=ò + =ò +ò
(4) Với
2 2
1
0
0
2 2
x I xdx p p p p =ò = = - =
Với
0 cos
I x xdx
p =ò
Đặt cos sin
u x du dx
dv xdx v x
ì ì ï = ï = ï Þ ï í í ï = ï = ï ï
ỵ ỵ Thay vào cơng thức tích phân phần ta
được:
0
2 sin 0 sin ( cos )0 cos cos cos0
I =x xp- òp xdx= - - x p = xp = p- =
- Vậy,
2
1 2
I =I +I = p
-0,25
0,25
0,25
Câu
5 Đặt t 2 x 2x
1
'
2 2
t
x x Hàm số t t x( ) liên tục [-2; 2], t’(x) < 0,
x(-2; 2) t t x( ) nghịch biến [ 2; 2] t [ 2; 2]
Khi đó: PT => 2m t22t 4 (*)
Xét hàm f t( )t22t4 với t [ 2;2] Có f’(t) = 2t + 2, f’(t) = => t = -1
Bảng biến thiên: t -2 -1
f’(t) - +
f(t) -4
-5
Từ BBT Phương trình (*) có nghiệm phân biệt t [-2; 2] P.trình ban đầu có hai nghiệm thực
phân biệt
5
5
2
m m
0,25 0,25 0,25 0,25 Câu
Nhận xét: Tâm O lục giác ABCDEF trung điểm đường chéo AD, BE, CF SO
(ABCDEF) Các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE,OEF, OFA tam giac
cạnh b
Diện tích đáy: Sđáy = 6SOAB =
2 3
6
4 b b
(đvdt) Chiều cao h = SO = SA2 OA2 a2 b2
Thể tích V =
2 3( 2)
1
3
dáy
b a b
S h
* Xác định d(SA, BE) = d(O, (SAF)) = OJ Chứng minh OJ (SAF)
Trong SOJ vng O ta có OJ =
2
2
2
3( )
4
OI SO a b
b a b OI SO 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu
7 ( ) : 2P x y- +2z- 0= có vtpt n=(2; 1;2) -r
Gọi H(x0; y0; z0) hình chiếu vng góc điểm A(1;3; 2)- lên mp( )P
AH t n
(x0 - 1; y0 - 3; z0 + 2) = t(2; 1;2)- , t R
Do đó,
0 0 2 x t y t z t ìï = + ïï ï = -íï ï = - + ïïỵ (*)
Thay (*) vào PTTQ
2
( ) : 2(1 ) (3P + t - - t) 2( 2 ) 0+ - + t - = Û t =
(5) Thay
t=
vào (*) ta được: ; ;
7
3 3
x = y = z =
- Vậy, toạ độ hình chiếu vng góc A lên mp( )P
7 7; ; 3
Hổỗỗỗố - ửứữữữ
Gọi ( )S mặt cầu tâm A và qua O Tâm mặt cầu: A(1;3; 2) - Bán kính mặt cầu:
2 2
1 ( 2) 14
R =OA= + + - =
Vậy, phương trình mặt cầu cần tìm là:
2 2
(x- 1) +(y- 3) +(z+2) =14
0,25
0,25 0,25 Câu
8 Ta có: AM =3GM
uuuur uuur
=> A(0; 2) Đường thẳng AM có phương trình
0
1
x y
3x + y – = 0
Đường thẳng BC qua M vng góc với AM nên có phương trình –x + 3y + = (i) Vì MB = MC = MA = 10 nên tọa độ (x ; y) B, C thỏa mãn (x–1)2 + (y + 1)2 = 10 (ii) Từ (i), (ii) => B(4; 0), C(-2; -2) C(4; 0), B(-2; -2)
0,25
0,25 0,25 0,25 Câu
8
Ta có P =
2 2 2
2 2
x y z x y z
xyz
+ +
+ + +
Do
2 2 2 2 2
2 2
x y y z z x
x y z xy yz zx
Nên P
2 2
1 1
( ) ( ) ( )
2 2
x y z
x y z
Xét hàm số f(t) = 1
2
t t
liên tục với t > ta có: f’(t) = t - 2
1 t
t t
Ta có bảng biến thiên:
t + f’(t) - +
f(t) + +
3
Suy ra, f(t)
3
,
2 t
Do đó, P
3
2
Dấu xảy x = y = z = Vậy minP =
9
0,25
0,25
0,25