Đề thi chọn hoc sinh giỏi tỉnh - Toán 12

h phải thỏa mãn điều kiện gì để C , thuộc cạnh SC khi đó tính diện tích thiÕt diÖn.... Vai trß nh­ nhau..[r]

ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIỎI TỈNH - TOÁN 12 (Thêi gian lµm bµi 180 phót) Bài 1: Cho hệ phương trình:  x  y  xy  a  2  x y  xy  3a  Với điều kiện nào a thì hệ có nghiệm Bài 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn Chứng minh: sin A  sin B  sin C   tan A  tanB  tanC 3 Bài 3: Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm: cos x  1  cos x   m Bài 4: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, đường cao h (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với SC, (P) cắt SB,SC,SD B, ,C , , D, h phải thỏa mãn điều kiện gì để C , thuộc cạnh SC đó tính diện tích thiÕt diÖn TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SAB , C , D , Bµi 5: a, b, c lµ ba sè thùc  chøng minh r»ng : a2 b2 c2 a b c      b2 c2 a2 b c a đáp án đề thi chọn học sinh giỏi 12 -§¸p ¸n Bµi (4 ®iÓm)  x  y  xy  a  2  x y  xy  3a   x  y  xy  a   xy  x  y   3a  x  y  s  xy  p §Æt  ®iÒu kiÖn S  P * Lop12.net p  s  a   ps  3a  đưa phương trình t  at  3a   điều kiện để phương trình có nghiệm 0  a  43a  8   a  12a  32   a   a  (1) a  a  ; s2  2 1/ a   s,p  a  a   4; p   tháa m·n S= 2 a  a  2/a<  sp  đó S=  0; p   tháa m·n 2 a  a  ;p 3/  a   s; p  đó S= thÕ vµo 2 a    4 a     4  a 2 a    a  2 a  8  4a  13a   ) *s  4p  (     S1=  13  33 a VËy víi nh÷ng gi¸ trÞ: 13  33 a hoÆc a  8 Bµi2 (4 ®iÓm) : sin A  sin B  sin C   tan A  tanB  tanC  sin A  tan A  A + 3 3 2 SinB  tan B  B  sin C  tan C  C  3 Vai trß nh­  §¨t f(x) = sin x  tan x  x x   0,   2 1  f ,  x   cos x   =  cos x   1 3 cos x  cos x áp dụng bất đẳng thức côsi cosx+cosx+   f ' x    f(x) hàm đồng cos x  biÕn x   0,   f(x)  f(0) =o Thay x=A,x=B, x=C  2 A.B,C nhọn đó f(A)>0;f(B)>0,f(C)>0 bất đẳng thứ chứng minh Bµi (4 ®iÓm ) cos x  1  cos x   m §Æt t = cosx ®iÒu kiÖn t  XÐt hµm sè f(x)= t4 +(1-t)4 T×m gi¸ trÞ lín vµ nhá nhÊt trªn t  f’(x)=4t3 - 4(1-t)3 f’(x)=0 t= 2 f(1) =1; f(-1) = 17 ; f( ) = 1 phương trình có nghiệm  m  17 8 Lop12.net Bµi (5 ®iÓm) MÆt ph¼ng ®i qua A vu«ng gãc víi SCsÏ c¾t (SAC) theo ®­êng cao AC’ cña tam gi¸c SAC muèn cho ®iÓm C’ n¨m trªn SC thi gãc SAC nhän suy S C ’ ’ K B C H D A  HSC <450 VËy ta cã SH>HC  h a 2 gäi k lµ giao ®iÓm cña ®­êng cao SH cña h×nh chãp víi AC’ta cã: P   SC  P  //BDVËy (P) c¾t (SBD) theo B’D’ ®i qua K vµ //BD Nªn (P) c¸t   BD  SC h×nh chãp SABCD theo thiÕt diÖn lµ tø gi¸c AB’C’D’ cã ®­êng chÐo vu«ng gãc lµ AC’ vµ B’D’ (Do B’D’ vu«ng gãc (SAC v× BD//B’D’) VËy diÖn tÝch thiÕt diÖn AB’C’D’ lµ S= AC’ B’D’ mµ AC’.SC = SH.AC = dt (tg SAC) suy 2ah AC’ = = a2 h2  a  2h Tõ tÝnh chÊt trùc t©m tam gi¸c SAC cã : HK.HS = HA.HC HK = a2 2h  a  SK  2h 2h theo tính chất tam giác đồng dạng SB’D’ và SBD  B' D' SK 2h  a a 2h  a    B' D'  BD SB 2h 2h a 2h  a VËy S = h  22h   a  2/ H×nh chãp SAB’ C’D’ cã chiÒu cao lµ SC’ víi SC’.SC = SH.SK( v× tø gi¸c HCC’K néi tiÕp ®­îc) nªn: SC’ = 2h  a 2(2h  a ) VÇy thÓ tÝch h×nh chãp SAB’C’D’ 2V =   1 SC’.dt(AB”C’D’) = 3   a 2h  a 6h 2h  a 2 (§VTT) Lop12.net 2h  a  22h = a  a 2h  a 2(2h  a ) h 2 Bµi 5( §iÓm) a2 b2 c2 a b c      b2 c2 a2 b c a  a2 b   b2 c2   c2 a2  a2 b2 c2  a b c                      (1) b  c c  a a  b c a b c a b  a2 b  a b a      b a b b  b  b2 c2  b c b      c c c c  c  c2 a2  c a c      b a a a  a  a2 b   b b MÆt kh¸c   b2 c2     c  c   c2 a2     a  a  a b c a b c   2(   )  2    (*) b c a b c a  a2 b2 c2 a2 b2 c2     (**) b2 c2 a2 b2 c2 a2 Céng vÕ cho vÕ ta ®­îc (1) ®iÒu ph¶i chøng minh Lop12.net