ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN – SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2,0 điểm): Với mỗi tham số gọi (C m ) là đồ thị của hàm số: (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số (1) khi 2) Chứng minh rằng: khi m thay đổi, đường thẳng (∆ m ): luôn cắt (C m ) tại một điểm A có hoành độ không đổi. Tìm m để (∆ m ) còn cắt (C m ) tại hai điểm nữa khác A, mà các tiếp tuyến của (C m ) tại hai điểm đó song song với nhau. Câu II (2,0 điểm): 1) Giải phương trình lượng giác: 2) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: Câu III (1,0 điểm): Tìm nguyên hàm của hàm số . Câu IV (1,0 điểm): Cho khối lăng trụ Một mặt phẳng (α) di động nhưng luôn đi qua điểm song song với đường thẳng và chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Hãy xác định vị trí của (α) để hai phần đó có thể tích bằng nhau. Câu V (1,0 điểm): Tìm hằng số C lớn nhất để với mọi cặp số thực dương x và y. Câu VI (2,0 điểm): 1) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (E) là một elip di động nhưng luôn nhận hai tiêu điểm của hypebol (H): làm các tiêu điểm và luôn có điểm chung với đường thẳng (∆): Tìm giá trị bé nhất của độ dài trục lớn của elip (E). 2) Tìm số hạng chứa trong khai triển thành đa thức của . Câu VII (1,0 điểm): Cho ba số dương x, y, z thay ,∈ Rm 3 2 2 (3 1) 2 ( 1) .= − − + − +y x m x m m x m 1.m = 2 y mx m= − (cot3 cot )cot4 (cot3 cot )cot 2 .+ = −x x x x x x ( ) 2 2 2 2 1 0 2 1 0. + − − = − + + − − + = x y mx x y x y m x y ( ) coslnf x x= . ' ' '.ABC A B C',C ' 'A B x y e Cxy + ≥ 2 2 1 5 4 x y − = 6 0.x y− + = 7 x ( ) 10 2 3 1+ + +x x x 3x y z+ + = 4 4 4 8 .= + +P x y z đổi và thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ---Hết--- Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 12 Dưới đây là sơ lược biểu điểm của đề thi Học sinh giỏi lớp12. Các Giám khảo thảo luận thống nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày. Tổ chấm có thể phân chia nhỏ thang điểm đến 0,25 điểm cho từng ý của đề thi. Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câu không được thay đổi. Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để việc chấm phúc khảo sau này được thống nhất và chính xác. Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác nhưng phải nằm trong chương trình được học thì bài làm đúng đến ý nào giám khảo cho điểm ý đó. Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo tại Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT. Câu -Ý NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu I Với mỗi tham số gọi (C m ) là đồ thị của hàm số: (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số (1) khi 2) Chứng minh rằng: khi m thay đổi, đường thẳng (∆ m ): luôn cắt (C m ) tại một điểm A có hoành độ không đổi. Tìm m để (∆ m ) còn cắt (C m ) tại hai điểm nữa, khác A, mà các tiếp tuyến của (C m ) tại hai điểm đó song song với nhau. 2,0 đ I.1 (1,00đ) Khi ta có hàm số với tập xác định: và đạo hàm: 0,25 Hàm số f tăng trên các khoảng giảm trên f đạt cực đại tại f đạt cực tiểu tại 0,25 BBT: 0,25 (C 1 ) cắt Oy tại nên (C 1 ) cắt Ox tại và Đồ thị: 0,25 I.2 (1,00đ) Phương trình hoành độ giao điểm của (∆ m ) và (C m ) được viết thành: ⇒ giao điểm của (∆ m ) và (C m ) gồm và trong số đó, A là điểm duy nhất có hoành độ không đổi (khi m thay đổi). 0,25 Đặt Các tiếp tuyến của (C m ) tại B và C lần lượt là các đường thẳng: 0,25 ,m∈ R 3 2 2 (3 1) 2 ( 1) .= − − + − +y x m x m m x m 1.m = 2 y mx m= − 1,m = 3 2 ( ) 2 1y f x x x= = − + D = ¡ 2 '( ) 3 4 ( ).f x x x x= − ∀ ∈ ¡ '( ) 0 0 4 3.f x x x= ⇔ = ∨ = ( ;0), (4 3; ); −∞ +∞ (0;4 3); 0, (0) 1; x f= = 4 3, (4 3) 5 27. x f= = − 3 3 2 1 lim ( ) lim 1 ; x x f x x x x →±∞ →±∞ = − + = ±∞ ÷ (0) 1f = ⇒ (0;1). 2 1 5 ( ) 0 ( 1)( 1) 0 1 2 f x x x x x x ± = ⇔ − − − = ⇔ = ∨ = (1;0) 1 5 ;0 . 2 ± ÷ ÷ 2 2 ( 1)( 3 2 ) 0 ( 1)( )( 2 ) 0.x x mx m x x m x m+ − + = ⇔ + − − = 2 ( 1; ),A m m− − − ( ;0)B m 2 (2 ; );C m m 3 2 2 ( ) (3 1) 2 ( 1) . m f x x m x m m x m= − − + − + ( ) : '( ) '( ) , ) : '( ) '( ) . B m B B m B B C m C C m C C y f x x y f x x y f x x y f x x∆ = + − ∆ = + − ( Ta cần tìm m để B và C cùng khác A và tức là: 0,50 Câu II 1) Giải phương trình lượng giác: (1) 2) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : 2,0 đ II.1 (1,0đ) Điều kiện xác định của (1): với mọi k nguyên. (*) Với đk (*), ta có: 0,25 0,25 với n nguyên. 0,25 So sánh đk (*), ta chỉ lấy với m nguyên (học sinh chỉ cần minh họa trên đường tròn lượng giác). 0,25 II.2 (1,0đ) Hệ ⇔ ⇔ ⇔ 0,25 (1) là pt của đường tròn (C 1 ) có tâm I và bán kính R = (2), (3) lần lượt là pt các đường thẳng (∆ 2 ), (∆ 3 ) Nên hệ đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đường thẳng (∆ 2 ), (∆ 3 ) cắt đường tròn (C 1 ) tại 4 giao điểm đôi một phân biệt 0,25 (∆ 3 ) cắt (C 1 ) ⇔ (∆ 2 ) cắt (1) ⇔ ⇔ m ≠ 2 0,25 4 giao điểm phân biệt ⇔ giao điểm của (∆ 2 ) và (∆ 3 ) không thuộc (C 1 ) ⇔∉(C 1 ) ⇔ KL: và 0,25 Câu III Tìm nguyên hàm của hàm số . 1,0 đ (1,0đ) Đặt và chọn . Ta có: (với 0,25 Đặt và chọn . Do đó: . 0,25 Suy ra: 0,25 Kết luận: 0,25 / / ; B C ∆ ∆ 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3. '( ) '( ) 2 2 '( ) '( ) 4 3 B A C A m B m C B m B B C m C C m x x m x x m f x f x m m m y f x x y f x x m m m ≠ − ≠ ≠ − ≠ ⇔ ⇔ = − = − = + − ≠ − ≠ − − (cot3 cot )cot 4 (cot3 cot )cot 2 .+ = −x x x x x x ( ) 2 2 2 2 1 0 2 1 0. x y mx x y x y m x y + − − = − + + − − + = 3 ,4 π≠π≠ kxkx cos3 sin cos sin 3 cos4 cos3 sin cos sin 3 cos 2 (1) sin 3 sin sin 4 sin 3 sin sin 2 + − ⇔ × = × x x x x x x x x x x x x x x x x cos4 cos 2 sin(3 ) sin(3 ) cos4 cos 2 sin 4 sin 2 ⇔ + × = − − × ⇔ = − x x x x x x x x x x 0cos3cos202cos4cos =⇔=+⇔ xxxx 6)12( π+=⇔ nx 6)16( π±= mx 2 2 2 2 1 0 ( ) ( ) ( 2 ) 0 + − − = − − − + + − = x y mx x m y m x y m 2 2 1 0 ( 1)( 2 ) 0 + − − = − + + − = x y mx x y x y m 2 2 2 2 1 0 (1) 1 0 (1) (I) (II) 1 0 (2) 2 0 (3) + − − = + − − = ∨ − + = + − = x y mx x y mx x y x y m ;0 2 m ÷ 2 4 2 m + 2 2 4 2 2 2 m m m − + < 8 8 7 7 m⇔ − < < 2 1 4 2 2 2 m m + + < 2 4 4 0m m⇔ − + > 2 1 2 1 ; 2 2 m m M − + ÷ 1 1; 2 m m≠ − ≠ 8 8 7 7 m− < < 1 1; 2 m m≠ − ≠ ( ) coslnf x x= sin ln cosln d d x u x u x x = ⇒ = − d d ,v x= v x= ( ) cosln d cosln sin ln dF x x x x x x x= = + ∫ ∫ 0)x > cosln sin ln d d x u x u x x = ⇒ = d d ,v x= v x= ( ) sin ln d sin ln cosln d sin lnx x x x x x x x F x= − = − ∫ ∫ ( ) 2 cosln sin lnF x x x x x C= + + ( ) ( ) cosln sin ln 2 x F x x x C= + + Câu IV Cho khối lăng trụ Một mặt phẳng (α) di động nhưng luôn đi qua điểm song song với đường thẳng và chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Hãy xác định vị trí của (α) để hai phần đó có thể tích bằng nhau. 1,0 đ (1,0đ) Gọi V là thể tích của khối lăng trụ Theo giả thiết, mặt phẳng chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Gọi là thể tích của phần chứa đỉnh C, là thể tích của phần còn lại. Ta cần xác định vị trí của để (1) 0,25 Nếu cắt cặp cạnh AC, BC thì nên (1) không thỏa. Vậy, phải cắt cặp cạnh 0,25 Gọi M và N tương ứng là giao điểm giữa với các cạnh và Cũng theo giả thiết, Đặt ta có: 0,25 Suy ra: Kết luận: 0,25 Câu V Tìm hằng số C lớn nhất để với mọi cặp số thực dương x và y. 1,0 đ (1,0đ) Trên khoảng hàm số có đạo hàm 0,25 ⇔ ⇔ vậy, 0,25 Suy ra: 0,25 Hằng số C lớn nhất để với mọi khi và chỉ khi C lớn nhất để với mọi Vậy 0,25 Câu VI 1) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E) là một elip di động nhưng luôn nhận hai tiêu điểm của hypebol (H): làm các tiêu điểm và luôn có điểm chung với đường thẳng (∆): Tìm giá trị bé nhất của độ dài trục lớn của elip (E). 2) Tìm số hạng chứa trong khai triển . 2,0 đ Các tiêu điểm của (E) gồm: và Gọi a là nửa độ dài trục lớn của (E), điều kiên ⇒ phương trình của (E) là: 0,25 Tọa độ giao điểm giữa (E) và (∆) là nghiệm của hệ: 0,25 . ' ' '.ABC A B C ',C' 'A B M N B' A' B C A C' . ' ' '.ABC A B C ( )α 1 V 2 1 V V V= − ( )α 1 2 2 1 1 1 . 2 2 V V V V V V = ⇔ = ⇔ = ( )α '. 1 1 1 3 2 C ABC V V V V ≤ = < ( )α ',AA '.BB ( )α 'AA '.BB / / ' '.MN A B ' ' (0;1), ' ' MA NB x AA BB = = ∈ ' ' 2 2 '. ' ' ' ' 2 2 2 . 3 3 3 MNB A C ABB A ABB A S V V x V V S = × = × = × (1) 3 4.x⇔ = x y e Cxy + ≥ (0; ),+∞ ( ) e x f x x= 2 '( ) ( 1)= − x f x x xe '( ) 0f x < 0 1,x< < '( ) 0f x > 1;x > 0 min ( ) (1) 0 > = = > x f x f e 2 0 0 0 0 min min ( ) ( ) + > > > > = = x y x x y y e f x f y xy [ ] e x y Cxy + ≥e 0, 0 x y> > 2 0 0 min ( ) ( ) > > = = x y C f x f y[ ] e 0, 0 x y> > ( ) ( )f x f y C≥ 2 2 1 5 4 x y − = 6 0.x y− + = ( ) 10 2 3 1+ + +x x x 7 x 1 ( 3;0)F − 2 (3;0).F 3a > 2 2 2 2 1 9 x y a a + = − (E) có điểm chung với (∆) ⇔ (1) có nghiệm ⇔ ∆’ ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ 0,25 Giá trị bé nhất của độ dài trục lớn của (E) là 0,25 VI.2 (1,0đ) Ta có: . 0,25 và . 0,25 Với l và k là các số tự nhiên, thì: hoặc hoặc hoặc 0,25 Kết luận: Số hạng chứa là 0,25 Câu VII Cho ba số dương x, y, z thay đổi và thỏa điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1,0 đ (1,0đ) Ta có: và ⇒ . ⇒ 0,25 Do đó: Xét với ⇒ ⇒ 0,25 Lập BBT. nhỏ nhất khi ⇒ Mặt khác khi thì 0,25 Kết luận: GTNN của P là 0,25 ---Hết--- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 6) (2 9) 12 (45 ) 0 (1) 1 9 6. 6 x x a x a x a a a a y x y x + − + + − = + = ⇔ − = + = + 2 2 2 2 2 (6 ) (2 9) (45 ) 0a a a a− − − ≥ 2 45 2 3 10 2a a≥ ⇔ ≥ min 2 3 10a = 2 4 2 2 2 2 (2 63 405) ( 9)(2 45) 0a a a a a a− + = − − ≥ ( ) ( ) ( ) 10 10 10 2 3 2 1 1 1x x x x x+ + + = + + ( ) 10 10 10 0 1 k k k x C x = + = ∑ ( ) 10 10 2 2 10 0 1 l l l x C x = + = ∑ 1 2 7 3 k l k l = + = ⇔ = 3 2 k l = = 5 1 k l = = 7 0 k l = = 7 x 1 3 3 2 5 1 7 7 10 10 10 10 10 10 10 ( )C C C C C C C x+ + + 3+ + =x y z 4 4 4 8 .= + +P x y z 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )x y xy x y x y+ ≥ ⇒ + ≥ + 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2( ) ( )x y x y x y x y+ ≥ ⇒ + ≥ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 (3 ) 2 4 8z x y x y x y x y − = + ≤ + = + ≤ + ( ) 4 4 4 3 8 z x y − + ≥ ( ) 4 4 3 64 8 z z P − + ≥ × ( ) 4 4 ( ) 3 64f z z z= − + (0;3)∈z 3 '( ) 0 4 3 0 (0;3) 5 = ⇔ − + = ⇔ = ∈f z z z z ( ) 3 3 2 2 2 ' 4 64 4(3 ) 4(4 3 )[4 4 (3 ) (3 ) ]f z z z z z z z z z= × − − = − + + − + − ( ) f z 3 5 z = 4 3 3 0 3 ( ) ( ) 3 2 648 min 8 8 5 125 z f z f z P < < ≥ ≥ = = 648 125 P = 648 125 6 3 ; 5 5 x y z= = = . 1)( )( 2 ) 0.x x mx m x x m x m+ − + = ⇔ + − − = 2 ( 1; ),A m m− − − ( ;0)B m 2 (2 ; );C m m 3 2 2 ( ) (3 1) 2 ( 1) . m f x x m x m m x m= − − + − + ( ). '( ) 2 2 '( ) '( ) 4 3 B A C A m B m C B m B B C m C C m x x m x x m f x f x m m m y f x x y f x x m m m ≠ − ≠ ≠ − ≠ ⇔ ⇔ = − =