Khảo sát và vẽ đồ thị với m=- 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x=2.. Khảo sát và vẽ đồ thị C.[r]
(1)Giaûi tích 12- ban cô baûn Naêm hoïc 2009-2010 Ôn tập: Phöông trình tieáp tuyeán dạng 1: Tieáp tuyeán taïi M(x0; f(x0)) coù phöông trình laø : Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tieáp tuyeán taïi M laø: y = f/(x0)(x x0) + f(x0) dạng 2: Tiếp tuyến qua(kẻ từ) điểm A(x1; y1) đồ thị h/s y =f(x) + Gọi k là hệ số góc đường thẳng (d) qua A Pt đường thẳng (d) là : y = k(x x1) + y1 + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là f(x) heä phöông trình : / f k(x x1 ) y1 (x) k (1) (2) coù nghieäm Thay (2) vaøo (1) giaûi tìm x => k = ? Keát luaän dạng 3: Tieáp tuyeán coù heä soá goùc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a tiếp tuyến đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a + giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc tiếp tuyến f/(x0) + Giaûi phöông trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ? + Phöông trình tieáp tuyeán y = k (x x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc : k1.k2 = 1 + Hai đường thẳng song song : k1 = k2 f (x) g(x) Lưu ý: Điều kiện tiếp xúc: Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt coù nghieäm f (x) g(x) bài tập: Cho hàm số y x x , khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C): a b c Tại điểm có hoành độ x Tại điểm có tung độ y = Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 y 24 x 2008 d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d y Cho hàm số y x 2008 24 a b c d e x2 x có đồ thị là (C) x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung Viết phương trình tt (C) giao điểm (C) với trụng hoành Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(1,-1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -13 Cho hàm số y a x2 x 1 có thi là C x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net -1- (2) Giaûi tích 12- ban cô baûn Naêm hoïc 2009-2010 b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x = c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = d Tìm tất các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Cho hàm số y x 3mx x 3m C m Định m để C m tiếp xúc với trục hoành Cho hàm số y x x m 1x x m C m Định m để C m tiếp xúc với trục hoành Cho hàm số C : y x2 Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành cho từ đó kẻ tiếp tuyến x 1 đến (C) Cho đồ thị hàm số C : y x 3x Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành cho từ đó có thể kẻ tt với (C) Cho đt hàm số C : y x x Tìm các điểm M nằm trên Oy cho từ M kẻ tt đến (C) đồ thị hàm số C : y x x Tìm các điểm trên đt y = cho từ đó có thể kẻ tt với (C) BT10(§HNNHN 1998 ) 1) 2) 3) x mx (2m 1) x m Khảo sát và vẽ đồ thị m= 4 4 Từ A ; kể tiếp tuyến đến (C2) 9 3 Tìm m để hàm số nghịch biến trên (-2;0) BT11(§HSP2 HN 1999 ) 1) 2) Cho (Cm ) y Cho (C ) y x x Khảo sát và vẽ đồ thị (C) T×m trªn Ox nh÷ng ®iÓm kÓ ®îc tiÕp tuyÕn tíi (C) BT12(B¸o ChÝ 2001) Cho (Cm ) y (m 2) x x mx 1) 2) 3) Khảo sát và vẽ đồ thị m=0 Tìm m để hàm số có CĐ,CT CMR Từ A(1;-4) kể tiếp tuyến đến C0 BT13(§H KiÕn tróc HN 1999) 1) 2) 3) Cho (C m ) y f ( x) mx (m 1) x (1 2m) Tìm m để hàm số có điểm cực trị Khảo sát và vẽ đồ thị m Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị câu (2) biết tiếp tuyến qua O(0;0) BT14(§HkiÕn Tróc TPHCM 1991) Cho (C m ) y f ( x) x mx (2m 1) x mx 1) Khảo sát và vẽ đồ thị m = 2) Tìm A thuộc Oy kẻ tiếp tuyến đến đồ thị câu (1) 3) Tìm m để phương trình f(x)=0 có nghiệm khác và lớn BT15(HV QHQT 1997) Cho (C m ) y f ( x) x 2mx 2m m Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net -2- (3) Giaûi tích 12- ban cô baûn 1) Khảo sát và vẽ đồ thị m = 2) Tìm m để hàm số có các CĐ,CT lập thành tam giác BT16(§H §µ N½ng 1997) Naêm hoïc 2009-2010 Cho (C m ) y f ( x) x mx m 1) Tìm các điểm cố định họ đường cong (C m ) với m 2) 3) Khảo sát và vẽ đồ thị với m=- Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị điểm có hoành độ x=2 BT17(§HQG HN 1995) Cho (C) y ( x 1) ( x 1) 4) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 5) Biện luận số nghiệm phương trình x x 2b 6) Tìm a để (P) : y ax tiếp xúc với (C) Viết phương trình tiếp tuyến chung tiếp điểm x 2x 4 b, Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị giao điểm nó với Ox BT19 (§H Th¸i Nguyªn (D)1997) 3x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) y x 1 2) Tìm trên (C) các điểm có toạ độ nguyên 3) CMR: Không tồn điểm nào thuộc (C) để tiếp tuyến đó qua giao điểm đường tiệm cận 3x BT20 (ĐH cảnh Sát 1997)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) y x2 1) Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc Tìm toạ độ tiếp điểm x 1 BT21 (ĐHQGHN 1998)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) y x 1 1) Tìm trên Oy các điểm kẻ đúng tiếp tuyến đến (C) BT18(ĐHNN 1999) a,Khảo sát và vẽ đồ thị y f ( x) BT22(§H NT HN 2000 ) Cho (C) y x x x Khảo sát và vẽ đồ thị (C) Từ M thuộc đường thẳng x=2 kẻ bao nhiêu tiếp tuyến đến (C) BT23(§HKTHN 1998 ) Cho (C) y x x x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2) CMR sè c¸c tiÕp tuyÕn cña (C) th× tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt BT24 Cho (C) : y = f(x) = x4 x2 a) Tìm f’(x) Giaûi baát phöông trình f’(x) > b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) : Tại điểm có hoành độ Tại điểm có tung độ 3 Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007 Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = x 10 24 BT25 Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x2 2x qua M1(5;3) BT26 Viết phương trình tiếp tuyến (C):y=f(x)=x3 –3x+1 kẻ từ M(3; 1) Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net -3- (4) Giaûi tích 12- ban cô baûn Naêm hoïc 2009-2010 BT27 Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) : y = f(x) = x 2+ ñi qua A(0;3) x 1 x 1 BT28 Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C): y = f(x)= ñi qua H(1;1) x 1 BT29 Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= x+3 và tiếp xúc với đồ thị (C) haøm soá y= x3+3x24x+2 BT30 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ O Ôn tập: pt bậc 2, bậc 3- tam thức bậc I) Phöông trình ax2+bx+c = (1) : 1) Công thức nghiệm: Tính = b2 4ac - < 0: Phöông trình voâ nghieäm b 2a - = 0: Phöông trình coù nghieäm keùp x1 = x2 = - > 0: Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x1,2= * Chuù yù : -Neáu b chaün thì ñaët b’= b 2a b vaø tính ’ = b’2 ac -’ < 0: Phöông trình voâ nghieäm -’= 0: Phöông trình coù nghieäm keùp x1 = x2 = b' a -’ > 0: Phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x1,2= b' ' a - Neáu a, c traùi daáu thì phöông trình coù nghieäm phaân bieät Neáu phöông trình ax2+bx+c = (a0) ax + bx + c = a(xx1)(xx2) c - Neáu a+b+c = thì phöông trình coù nghieäm x=1 V x= a - Neáu ab+c = thì phöông trình coù nghieäm x = 1, x = 2) Ñònh lyù Viet : coù nghieäm c a x1, x2 thì: Neáu phöông trình ax2+bx+c= (1) (a 0) coù nghieäm x1, x2 (ñieàu kieän b c ) thì toång vaø tích caùc nghieäm laø: S= x1+ x2 = vaø P = x1 x2 = a a 3) Định lý đảo Viet: Nếu hai số x và y nghiệm đúng hệ thống x+y=S và xy=P (S24P0) thì x, y laø nghieäm cuûa phöông trình baäc hai daïng:X2 – SX + P = (phöông trình toång tích) 4) Xeùt daáu caùc nghieäm x1 ,x2 cuûa phöông trình (1): @ x1.x2 < P < @ < x1 x2 vaø S > vaø P > @ x1 x2 < 0 vaø S < vaø P > @ x1 x2 > và P > Với = b24ac ; S = Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net c b vaø P = a a -4- (5) Giaûi tích 12- ban cô baûn Các biểu thức đối xứng thường gặp: x 13 x 32 S3 3PS ; x 12 x 22 S 2P ; Naêm hoïc 2009-2010 1 S x1 x P 5) Dấu tam thức bậc 2: a) Dấu tam thức bậc : f(x) = ax2+bx+c (a0):Tính = b24ac Ta có: < : f(x) voâ nghieäm af(x) > , x|R b b af(x) > 0, x|R\ 2a 2a = : f(x) coù nghieäm keùp x1 = x2 = > : f(x) coù nghieäm phaân bieät : x1,2 = b 2a b) Ñieàu kieän cho f(x) = ax2+bx+c ( a ): a f(x) > x R (giaû thieát x1 < x2 ) a f(x) x R a a f(x) < x R f(x) x R c) Định lý đảo dấu tam thức bậc 2: f(x) = ax2+bx+c (a0): Neáu coù soá laøm cho af() < thì phöông trình f(x) = coù nghieäm phaân bieät x1 vaø x2 (x1< x2) vaø x1< < x2 d) So sánh số với các nghiệm f(x)= ax2+bx+c = (a0) : Tính af(); = b24ac vaø x1 < < x2 S b 2a af() < 0 < x1 < x2 af () Với S b 2a S x x af () s b 2a b f() = x1 = V x2 = a 5.Từ trường hợp này ta có thể so sánh các số và với các nghiệm phương trình f(x) = ax2+bx+c = Löu yù : Neáu coù af() < thì khoâng caàn ñieàu kieän > Trường hợp Ñieàu kieän < x1 < < x2 af() > vaø af() < x1 < < < x2 af() < vaø af() < x1 < < x2 < af() < vaø af() > Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net -5- (6) Giaûi tích 12- ban cô baûn ( ; ) có chứa nghieäm vaø nghieäm ngoài đoạn [ ; ] Naêm hoïc 2009-2010 a f ().f () > vaø af() > vaø af() > vaø < x1 < x2 < < S < II Phöông trình baäc 3: ax3+bx2+cx+d=0 (a0) (2): Giaûi vaø bieän luaän: Phöông trình (2)(x)(ax2+b1x+c1)=0x= V ax2+b1x+c1=0 (2’) Bieän luaän: @ Phöông trình (2’) nghieäm @ Phöông trình (2’) coù nghieäm keùp @ Phöông trình (2’) coù nghieäm x= @ Phöông trình (2’) coù nghieäm nghieäm phaân bieät khaùc x= b a Hệ thức Viet: Giả sử phương trình (1) có ba nghiệm x1; x2 và x3 thì: x1+ x2+ x3 = ; x1.x2.x3= c d ; x1x2+ x2 x3+ x3x1 = a a vấn đề 1: Khảo sát hàm số I Đồng biến, nghịch biến PP tìm khoảng đồng biến ngịch biến: -Tìm TXÑ:( Neáu coù maãu soá khaùc 0, caên baäc chaún phaæ o) -Tính y, ,cho y/ = ( neáu coù ) -Lập bảng xét dấu tam thức(xét dấu y/ ) -Keát luaän: Nếu f,(x) > hàm số f(x) đồng biến Neáu f,(x) < haøm soá f(x) ngòch bieán VD: Xác định khoảng đơn điệu hàm số sau:y = x3 – 3x2 + HD: y = x3 – 3x2 + + TXĐ: R + y’ = 3x2- 6x = 3x(x – 2), y’ = + Bảng biến thiên: x 0 x2 + KL: Hs đồng biến trên các khoảng ( ;0) và (2; ) Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net -6- (7) Giaûi tích 12- ban cô baûn Naêm hoïc 2009-2010 Hs nghịch biến trên khoảng (0; 2) VD: y = - x3 + x2 – 5x + Hs nghịch biến trên R vì y’ = - x3 + 2x – < 0, x R BAØI TAÄP: Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá a) y = f(x) = x3 3x2+1 b) y = f(x) = 2x2 x4 c) y = f(x) = x3 x2 d) y = f(x) = x 4x 1 x e) y = f(x) = x+2sinx treân ( ; ) f) y = f(x) = xlnx g) y = f(x) = x (x 5) h) y= f(x) = x33x2 i) y f(x) x 3x x 1 j) y= f(x) = x42x2 k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2] Chứng minh : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên khoảng xác định) nó : a) y = x33x2+3x+2 b) y x2 x x 1 Xác định khoảng đơn điệu hàm số sau: a) y = x3 – 3x2 + b) y = - x3 + x2 – 5x + x2 x 1 d) y = - x4 - 2x2 + e) y = x 1 c) y x 1 2x c) y = x4 – 8x2 + x2 x f) y = x 1 II CỰC ĐẠI VAØ CỰC TIỂU Daáu hieäu I : + MXĐ D=? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( neáu coù ) xeùt daáu y/ + BBT : (sắp các nghiệm PT y/ = và giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCÑ ; yCT ; kết luận cực trị ? Chú ý: -Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b) - Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ = / - x0 là cực trị hàm số y / ( x ) y (x) đổi dấu qua x0 Daáu hieäu II: + Tìm TXĐ + Đạo hàm : y/ = ? y// = ? cho y/ = ( neáu coù ) => x1 , x2 … + Tính y//(x1); y//(x2)…… Nếu y//(x0) > thì hàm số đạt CT x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < thì hàm số đạt CĐ x0 , yCĐ= ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu * Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng qua các điểm cực trị là: y = phần dư phép chia f(x) cho f/(x) Dạng 2: Cực trị hàm hữu tỉ : Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net -7- (8) Giaûi tích 12- ban cô baûn -Cho h/s y = u Naêm hoïc 2009-2010 u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D v Vaø y/ = uv vu v = g(x) v daáu cuûa y/ laø daáu cuûa g(x) -Nếu h/s đạt cực trị x0 thì y/(x0)= => g(x0) = <=> u/vv/u = => y(x0) = u v u v Do đó giá trị cực trị u(x ) v(x ) VD 1: Tìm các điểm cực trị các hàm số sau:.y = x3 - 3x2 – 9x + HD: y = x3 - 3x2 – 9x + - TXĐ: R x 1 - y’ = 3x2 – 6x2 – 9; y’ = x - BXD Vậy x = -1 là điểm cựu đại hàm số x = là điểm cựu tiểu hàm số BÀI TẬP: Tìm các điểm cực trị hàm số đạo hàm cấp 1: a) y = x3 b) y = 3x + + x C y = x3 - 3x2 + 3x + D, y = x4 – 2x2 – Tìm các điểm cực trị các hàm số sau: x 2x x2 y y x 1 2x 3) Tìm các điểm cực trị hàm số đạo hàm cấp 2: y = sin2x với x[0; ] Tìm cực trị các hàm số : a) y x x b) y x4 2x z y = ¼ x4 + 3x2 – y x 4x 1 x c) y = x \ III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Phöông phaùp tìm GTLN vaø GTNN cuûa h/s treân [a;b]: + Mieàn ñang xeùt [a;b] + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( neáu coù ) x1 , x2 … chọn các nghiệm thuộc [a;b] + Tính y(x1) ; y(x2) ……… So saùnh KL y(a) ; y(b) Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net -8- (9) Giaûi tích 12- ban cô baûn + max y ? Naêm hoïc 2009-2010 y ? [a;b] [a;b] Vd: Tìm GTLN GTNN h/s y = 2x3 – 3x2 – 12x + trên [-2;5/2] HD: y = 2x3 – 3x2 – 12x + - TXĐ: R x 1 - y’ = 6x2 – 6x – 12; y’ = x Thấy x = -1; x = thuộc [-2; 5/2] Ta có: f(-2) = -3; f(-1) = 8; f(2) = -13; f(5/2) = -2 Vậy: Max f(x) = f(-1) = Min f(x) = f(2) = -13 P/pháp tìm GTLN GTNN h/s trên (a;b) MXĐ : + Miền xét (a;b) TXĐ + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( neáu coù ) xeùt daáu y/ + BBT: * Nếu trên toàn miền xét h/s có CT thì GTNN giá trị CT * Nếu trên toàn miền xét h/s có CĐ thì GTLN giá trị CĐ y [a;b] max y [a;b] yCT yCÑ * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên khoảng (a;b) Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền xét thì ta tìm TXĐ h/s đó : + TXĐ là đoạn [a;b]hoặc khoảng thì ta dùng cách + TXĐ là khoảng thì dùng cách BAØI TAÄP: BÀI 1: Tìm giá trị nhỏ và lớn hàm số y = sinx – cosx Tìm GTLN: y=x2+2x+3 Keát quaû: Max y=f(1)= R với x > x 4.Tìm GTLN, GTNN y = x – + x2 Keát quaû: Max y f (2) 7 y f ( ) 2 ; Min [ 2 ; ] [ 2 ; ] Tìm GTNN y = x – + Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá Keát quaû: Min y=f(1)= 3 ( ; ) y=2x3+3x21 treân đoạn ;1 Kết quả: Max y f (1) ; 1 Min y f (0) 1 1 [ ;1] Tìm GTLN, GTNN cuûa: a) y = x4-2x2+3 Keát quaû: Min y=f(1)=2; Khoâng coù Max y R R b) y = x4+4x2+5 2 sin x cos x x 3x d) y x x 1 c) y Lê Văn Thức Keát quaû: Min y=f(0)=5; Khoâng coù Max y R R Keát quaû: Min y= ; Max y=1 R R Keát quaû: Min y= ; Max y=3 R R 0905.645.053 Lop12.net -9- [ ;1] (10) Giaûi tích 12- ban cô baûn 7.Tìm GTLN vaø GTNN (neáu coù) cuûa caùc haøm soá sau: b.y = 2x3 – 3x2 – 12x + treân [-2;5/2] a) y = 4x3 – 3x4 2 x trên đoạn [ - 3; -2] d y = 1 x BÀI 8: Tìm giá trị nhỏ và lớn hàm so c.y = Naêm hoïc 2009-2010 x trên đoạn [ -1; 1] 3x T×m Min ,Max / [0;2] x3 3x 10 x 20 SP HCM 2000A: T×m Max,Min hs y x2 2x x 1 §H 03D: T×m Min ,Max / [-1;2], y x2 QG 97D: y ; ] 4 CSND 01A: T×m Max, F(x)=5cosx-cos5x /[- GT 97A: T×m Min ,Max : y=sinx-cos2x+1/2 sin x GT 97A(§Ò 2): T×m Min ,Max , y cos x KT 97: T×m Max : F(x)= x 3x 72 x 90 / [-5;5] KT 98A: T×m Min ,Max y cos x cos x cos x HVNH98A: T×m Min ,Max a y sin 3x sin x 1 /(0; / 2) b T×m Min y sin x cos x 11 20 x 10 x HVNH HCM 98A: T×m Min ,Max y 3x x NN99: T×m Min ,Max , Y=x+cos x / [0; / ] 12 TCKT 2000: T×m Min ,Max, Y=2.sin8x+cos4 2x 13 14 §H 03: T×m Min ,Max y x x2 C§SP 02: T×m Max Y=(1-sinx)4+sin4x 10 15.T×m Max,Min cña y sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x A,T×m Max,Min cña y sin x(1 cos x) BT16 (§HSP1 2001) T×m Max,Min cña y BT17 B,T×m Max,Min cña y sin x sin x BT18: T×m Max,Min cña y BT19 Lê Văn Thức 1 sin x cos x 0905.645.053 Lop12.net - 10 - (11) Giaûi tích 12- ban cô baûn a)T×m Max,Min cña y sin x cos x Naêm hoïc 2009-2010 1 y cos x cos x cos x 1 c)T×m Max,Min cña y cos x cos x cos x cos x b)T×m Max,Min cña d)T×m Max,Min cña y sin x cos x sin x BT 20 (HVQY 2000); T×m Max,Min cña y sin x cos x sin x cos x ; BT21 (§H C¶nh S¸t 2000):T×m Max,Min cña y cos x cos x Víi x 4 Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net - 11 - (12) Giaûi tích 12- ban cô baûn Naêm hoïc 2009-2010 IV Tiệm cận - Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x) ít các đk sau thỏa mãn lim f(x) = + , lim f(x) = - xx0 xx0 lim f(x) = - , lim f(x) = + xx0 xx0 - Tieäm caän ngang: Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x) lim f(x) = y0 x lim f(x) = y0 lim f(x) = y0 x x Löu yù: Haøm y = ngang laø y = a/c Toùm laïi: *Tiệm cận đứng : ax b có đường là tiệm cận đứng là x = -d/c và là tiệm cận cx d lim f (x) x x0 => x = x0 là tiệm cận đứng Chú ý : tìm x0 là điểm hàm số không xác định *Tieäm caän ngang : lim f (x) y => y = y0 laø tieäm caän ngang x Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( có thể đưa dạng phân thức ) và bậc tử bậc mẫu thì có tiệm cận ngang Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đồ thị các hàm số sau: x2 x 1 2x 1 y= y = x3 5x x 2x x3 - TXĐ: R\{3} HD:a y = 2x 2x lim = 2; =2 x x x x Vậy y = là đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số - Ta có: lim x3 lim 2x = ; x3 lim x3 2x = x3 Vậy x = là đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x2 x 1 b.y = 5x x - TXĐ: R\{-1;3/5} x2 x 1 1 - Ta có: lim = ; x x x x2 x 1 1 lim = x x x Vậy y = 1 là đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net - 12 - (13) Giaûi tích 12- ban cô baûn Naêm hoïc 2009-2010 x x 1 = ; 5x x lim x 2 x = x1 x x lim x x = ; 3 x x x lim x1 5 lim 3 x 5 Vậy x = -1 và x = x2 x 1 = ; 5x x 1 là đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Baøi taäp: 1Tìm các đường tiệm cận đồ thị các hàm số : 2x x 3x x2 x b) y = x2 a) y = Keát quaû: x = 1; x = vaø y = Keát quaû: x = 2 vaø y = x Tìm các đường tiệm cận ngang đồ thị các hàm số : 4x A, y b, y x x 2x 2x 4x D, y e, y 5x x 1 3x x3 3x z, y 2x c, y Tìm các đường tiệm cận ngang đồ thị các hàm số : 6x x2 A, y b, y 3x x2 x 3( x 1) c, y D, y x 1 x2 V Khảo sát hàm số 1.Haøm soá baäc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a0) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2 3ac / / y/ cùng dấu với hệ số a y/ = coù hai nghieäm x1; x2 KL: haøm soá taêng treân? KL: haøm soá taêng? Giaûm? (giaûm treân?) Hàm số không có cực trị Cực tri ̣ cực đại? Cực tieåu? (a 0) lim (ax3 bx cx d ) = (a 0) (a 0) lim (ax bx cx d ) = x ( a 0) + Giới hạn: x Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net - 13 - (14) Giaûi tích 12- ban cô baûn + Baûng bieán thieân: x Naêm hoïc 2009-2010 + y/ x + y / + y + + + x1 + x2 0 CÑ CT x x1 + / y y / y + y CT / Chú ý : dù y = có nghiệm kép việc xét dấu đúng + Vẽ đồ thị : xác đinh Cựcbtrị ? b Ñieåm uoán I( 3a ;f( 3a )) ; ñieåm ñaëc bieät x2 x + + CÑ a>0 ; coù CT a<0; coù CT a>0,khoâng CT 2.Hàm phân thức : y = ax b ( c 0; ad bc ) a<0,khoâng CT cx d + TXÑ : D = R\ d + Đạo hàm : c y/ = ad bc2 (cx d ) adbc < y/ < x D Hàm số không có cực trị Haøm soá nghòch bieán treân D + Tiệm cận: x = d là tiệm cận đứng vì c y= a c laø tieäm caän ngang vì adbc > y/ > x D Hàm số đồng biến trên D ax b = lim x d / c cx d lim ax b x cx d = a c 0905.645.053 y= a/c Lop12.net x= d/ c Lê Văn Thức x= d/ c +Baûng bieán thieân : x d/c x d/c + + / y y + + / y a/c + a/c + a/c y a/c + Vẽ đồ thị : Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt Cho điểm phía tiệm cận đứng vẽ nhánh , lấy đối xứng nhánh đó qua giao ñieåm hai tieäm caän y= a/c - 14 - (15) Giaûi tích 12- ban cô baûn Naêm hoïc 2009-2010 Haøm truøng phöông y = ax4 + bx2 + c (a0) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b) a,b cuøng daáu a, b traùi daáu / y =0 x=0 y/ = 2x (2ax2 + b) = x= 0; x1,2= 2ba KL: tăng? Giảm KL: tăng? Giảm? Giá trị cực trị : Giá trị cực trị: y(0)= c ; y( 2ba ) y(0) = c = 4a có cực trị Có cực trị + Giới hạn : (a 0) lim (ax bx c) = (a 0) x + Baûng bieán thieân : x y/ y x + 0 x x2 y / + y + CT + + + CT x1 + + 0 CT CÑ + x x1 x2 + / y y + + / y CÑ y + CÑ CT CÑ + + Vẽ đồ thị : cực đại , cực tiểu ; y = > x= ? giải pt trùng phương + + a> b>0 a< b>0 a< b <0 BAØI TAÄP: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x3-3x+1 b) y = 3x2-x3 c) y = x3+3x4 e) y = i) y = x x2 2 x 1 x 1 f) y = x4+x2-2 j) y = g) y=2x2x4-1 a> b <0 d) y = (1-x)3 h) y=x4-1 2x x2 BT2:Khảo sát và vẽ các đồ thị hàm số sau A, y x x Lê Văn Thức b, y x x x 0905.645.053 Lop12.net c, y x x x - 15 - (16) Giaûi tích 12- ban cô baûn D, y x x 3 Naêm hoïc 2009-2010 1 x x 3x g, y e, y x x x M, y ( x 1) ( x 2) x m, Cho (C ) y x x k, Cho (C ) y x x x4 3x z, y f ( x) x x 2 BT3:Khảo sát và vẽ các đồ thị hàm số sau A, y f ( x) x x b, y f ( x) x x L, y c,Cho (C) y x 6x 9x D, Cho (C) y x 12 x 12 N, Cho (C ) y e,Cho (C) y x x x 1 x x 3 m, Cho (C ) y x x k, Cho (C ) y x x z,Cho (C) y x3 4x Khảo sát và vẽ đồ thị (C) Bµi 4: a, y = 2x3 – 3x2 x 1 x 1 2 x Bµi 5: a y = (C) x 1 D, y f ( x) x x 3 D, y = f(x) = b, y = x – 2x2 c,y = x (3 –x)2 e, y = x4 – 4x2 + z, y = x3 – 3x b,đến y x x c, y x x z, y f ( x) e, y x x b, y Bµi 6: a, y f ( x) x x x x 3 x x 3x c, y f ( x) x 3x D, y x x e, y f ( x) x x x Bµi 7: A, y f ( x) x x z, y x 3x b, y x 3x c, y f ( x) x x 12 x D, y f ( x) x 3x 2 e, y f ( x) x x x b, y Bµi 8: A, y x x x 2x 4 1 D, y f ( x) x x 2 z, y x 2x x 2x x c, x 3x 2 z, y e, y f ( x) y f ( x) x x Bµi 9: A, y D, y 4x 2x 2x 5x Lê Văn Thức c, y b, y x x e, y 4x x 1 0905.645.053 Lop12.net z, y 3x x3 3x 2x - 16 - (17) Giaûi tích 12- ban cô baûn 6x Bµi 10: A, y 3x x c, y x 1 Naêm hoïc 2009-2010 x2 b, y x2 3( x 1) D, y x2 Vấn đề 2: Các câu hỏi phụ thường gặp: Daïng 1: Vẽ hàm chứa giá trị tuyệt đối Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net - 17 - (18) Giaûi tích 12- ban cô baûn Naêm hoïc 2009-2010 bài tập: Từ dồ thị (C ) suy đồ thị các hàm số : x 1 a) y x 1 2x x 1 2x c) y x 1 b) y 5)Tìm m để phương trình 2x m coù nghieäm phaân bieät x 1 2x = m coù nghieäm phaân bieät x 1 Daïng 2: Dựa vào đồ thị để biện luận theo số nghiệm pt Giả sử phải biện luận số nghiệm Pt : F(x; m) = Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) PP: + Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(m) Ñaët: M = g(m) + y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C) + Tuỳ theo M xét tương giao đồ thị (C) với đồ thị y = M 6) tìm m để phương trình Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net - 18 - (19) Giaûi tích 12- ban cô baûn Naêm hoïc 2009-2010 bài tập: BT1 Tìm m để phương trình sau 1) x 10 x x x m cã nghiÖm ph©n biÖt 2) x x 5m x x cã nghiÖm nhÊt 3) x ( x 2) m cã nghiÖm ph©n biÖt 4) x x mx BiÖn luËn theo m sè nghiÖm 5) x x m x cã nghiÖm ph©n biÖt 6) ( x 1) x m cã nghiÖm ph©n biÖt BT2(§HQG TPHCM 1998) Cho (C) y x x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) và từ đó suy đồ thị hàm số : y x x 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x x 2m m2 1 BT3 (§H HuÕ 1998) Cho (C) y x 3mx (m 1) x 1) Tìm m để hàm đạt CT x=2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đó k 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x x x 1 BT4Biện luận theo m số giao điểm đồ thị: (H): y x 1 và d: y= 2x+m Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành độ giao điểm x 1 BT5 A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x22 Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net - 19 - (20) Giaûi tích 12- ban cô baûn Naêm hoïc 2009-2010 B.Biện luận đồ thị (C) số nghiệm pt: x +3x (m2) = BT6 Dùng đồ thị (C): y = x33x2+1 biện luận theo m số nghiệm phương trình x33x2 9x+1m = BT7 Cho parabol (P): y=x22x+2 và đường thẳng d: y=2x+m a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) b) Bieän luaän theo m soá ñieåm chung cuûa d vaø (P) c) Khi d cắt (P) hai điểm phân biệt A và B Tìm tập hợp trung điểm M đoạn AB BT8 Cho haøm soá y x 1 , có đồ thi (H) x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) b) Cho đường thẳng d: y= 2x+m Giả sử d cắt (H) hai điểm M và N Tìm tập hợp trung ñieåm I cuûa MN BT9 Chứng minh đồ thị (C) hàm số y=f(x)=x33x2+1 nhận điểm uốn nó làm tâm đối xứng BT10 Cho haøm soá y = x44x32x2+12x1 a) Chứng minh đồ thị (C) hàm số có trục đối xứng b) Tìm các giao điểm (C) với trục Ox Dạng 3: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến PP: -Tìm TX Đ:( Neáu coù maãu soá khaùc 0, caên baäc chaún phaæ 0) -Tính y, - Sử dụng điều kiện đồng biến nghịch biến -Keát luaän: Vd 1: Với giá trị nào m thì hàm số sau luôn đồng biến: y = 2x3-3(m+2)x2 + 6(m+1)x -3m +5 Giải: + TXĐ: R + y’ = 6x2 – 6(m+2)x + 6(m+1) Để Hs luôn luôn đồng biến y’ 0, x R x2 – (m+2)x + (m+1) Lê Văn Thức 0905.645.053 Lop12.net - 20 - (21)