Các quy tắc tính đạo hàm

Kü n¨ng c¬ b¶n Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số.. Tính được đạo hàm hàm số hợp..[r]

Hoàng Trung Các quy tắc tính đạo hàm I KiÕn thøc c¬ b¶n Đạo hàm số hàm số thường gặp (Ký hiệu U=U(x)) (C lµ h»ng sè) C  =0 x  =1 x  =n.x n (kx)’=k (k lµ h»ng sè ) n-1 U  =n.U (n  N, n  2) n n-1 U    U 1 (x  0) 1     (U  0)    U U x x  U (x>0) (U  0) U  ( x ) = U x Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x))    U  V   U  V   U  U.V  U.V    V2 V  UV   UV  UV  1    V V (k.U)  k.U §¹o hµm cña mét sè hµm sè lượng giác (sinx)’=cosx (sinu)’=(cosu)u’ (cosx)’=-sinx u' t anx   t anu   cot x    cos x cos u sin x §¹o hµm cña hµm sè hîp: g(x) = f[U(x)] g ' x = f 'u U x Vi phân hàm số df(x) = f ’(x)dx hay dy = y ’ dx Đạo hàm cấp cao hàm số Đạo hàm cấp : f "(x) = f(x)'' (k lµ h»ng sè) (cosu)’=(-sinu)u’ u' cot u    sin u Đạo hàm cấp n : f n (x) =  f(x)n-1  ' II Kü n¨ng c¬ b¶n Vận dụng thành thạo các công thức, quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Tính đạo hàm hàm số hợp Bài toán :Viết PTTT với đồ thị ( C ) điểm M0(x0;y0) thuộc ( C ) @ PTTT coù daïng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0) @ Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0  y0  f’(x0) f’(x0)  x0  y0 @Theá vaøo tìm (d) Bài toán : Viết PTTT với đồ thị ( C ) qua điểm A(xA;yA) @ Pt dường thẳng (d) qua điểmA và có hệ số góc k là : (d) : y – yA = k (x – xA) @ (d) tiếp xúc với ( C ) f (x)  g(x) ( hàm đa thức )  f '( x )  g '( x )   phöông trình hoành độ điểm chung của( C) và (d) có nghiệm kép (đối với hàm phân thức)  @ Giaûi heä tìm k  x0  y0  (d) Bài toán 1: Tính đạo hàm công thức Tính đạo hàm các hàm số sau (hàm đa thức,phân thức,căn thức) Lop11.com Hoàng Trung Hoàng Trung x 3 y  ( x  5) y  x  y  x  x  y  x (3x  1) y  ( x  1)( x  2) ( x  3) 10 y  3x  x  2x  22) y  x x 2x  6x  2x y  11 2x  x2 1 14 y  x   x  13 y  x  x  17 y  x2 y  ( x  1)(5  3x ) y  10 x  18) y = 23) y  1/ y= x  x 3x - 2 x - x+ (x  2)2 (x  1)3 (x  3)4 2/ y= y  x ( x  1)(3x  2) 12 y  5x  x  x 1 19) y  a  x2 3/ y= b x3 x 4/ 1 x 21) y  (a  b ) 20) y  a  bx3 26) y   x 25) y  x  3x  1 x x  2x  2x  16 y  15 y  ( x  1) x  x  24) y  (x  x)2 x (x2- x +1) y  ( x  2)( x  1) 27) y  1 x y= (2x+3)10 x x 5/ y= (x2+3x-2)20 x2 6/y= (a lµ h»ng sè) x2  a2 Tính đạo hàm các hàm số sau (hàm lượng giác) 28) y  sin x sin 3x sin x  cos x sin x  cos x x 37) y -  cos 2 33) y  41) y = cos ( x3 ) 465) y  sin (cos3x) 29) y  (1  cot x ) 30) y  cos x sin x  sin x x 32) y  sin  sin x cos x 36) y    cot x 3sin3 x 31) y -  34) y  cot (2x  ) 35) y   tan x 38) y  39) y  sin(2 x  1) (1  sin 2 x ) 42) y= 5sinx-3cosx 47) y  x sin x  tan x Tính đạo hàm các hàm số y 44) y  cot  x 43) y = x.cotx 48) y  sin x  x x ax  b cx  d sin x y y áp dụng để tính nhanh đạo hàm các hàm số sau: 40) y = sin p - 3x 49) y  tan x 1 ax  bx  c dx  e 3x   2x  y ax  bx  c mx  nx  p  x2  x  2x  b) y  2x  x2 ; x4 50) y   tan x y 1)Tính đạo hàm câp n hàm số 1 a) y  b) y  c) y  d) y  sin x x(1  x) x  x  3x  2) CMR hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho a) y  x  ; 2y '2  (y  1)y" 45) y= sin(sinx) y x  3x  2x  x  e) y=sinax (a laø haèng soá) y3 y"  c) y  A sin(t  )  Bcos(t  ); y" 2 y  (ở đó A,B, ,  là số) 3)Cho (C) là đồ thị hàm số y  f ( x)  x  x  x  a Giải bất phương trình f '( x)  b Viết phương trình tiếp tuyến (C) M (1; 1) 4)Cho hàm số f x   x  x  a Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm hàm số trên x0  b Viết phương trình tiếp tuyến parabol f x   x  x  điểm có hoành độ 5)Gọi (C) là đồ thị hàm số: y  x2  Viết pttt (C) biết nó song song với đường thẳng 3x – y – = x Lop11.com Hoàng Trung Hoàng Trung 6) Cho hàm số y = f( x) = x4 – 2x2 + có đồ thị là đường cong (C) a/ Tính f ’(2) b/ Viết phương trình tiếp tuyến d đường cong (C) điểm M ( ; 2) c/ Tìm x cho f ’(x) < 24 7)Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = x3 - trên A b) y = trên ; 2   2;   x+ x2 c) y = f ( x) = x taûi x0 = d) y = f( x) = - 4x + taûi x0 = 8) Cho hàm số: y = f(x) = x -3x+5 có đồ thị (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị có hoành độ x=-2 b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-11).8) 9)Cho y  x  x Tìm phương trình tiêp tuyến đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng  : x+5y = 9) Cho hàm số y  f x   x  x  có đồ thị là (C) x 1 a) Giải bất phương trình y’ > b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 5x – y + 12 = 10) Cho hàm số f ( x)  x  x  (1) a) Tìm x cho f '( x)  b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hoành độ x= -1 11) Cho hàm hàm số y   x  x Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên điểm có hoành độ x0  12) Tìm vi phaân cuûa haøm soá sau: a) y  x a b b) y  (x  4x  1)(x  x ) 2 c) y  tan x d) y   cosx e) y  cos x2 1 x 13) Giaûi phöông trình f’(x) = bieát raèng : f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x 14) Cho y  x3  3x  Tìm x để: a) y’> b) y’< 15) Cho haøm soá f(x)   x Tính : f(3)  (x  3)f '(3) 16) Cho hàm số f(x) = 2x4 – 2x3 – (1) a Tìm x để f’(x) = b)Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hoành độ xo = 17)Tính f '(1) f ( x)  x  x  x  x2 1 g ( x )  và Biết hai hàm số này có đạo hàm trên A x2  x2  CMR với x  A , ta có f’(x)=g’(x) 19)Tìm đạo hàm các hàm số sau điểm x0 a) y   x  x , x0  b) y  x  x  1, x0  20)Viết phương trình tiếp tuyến (C ): y=x3-3x+7 a/T¹i ®iÓm A(1;5) b/ Song song víi ®­êng y=6x+1 21) Viết phương trình tiếp tuyến (c ) y=x -3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x 18)Cho hai hàm số f ( x)  22) Cho đường cong (c)): y= x  Tìm toạ độ giao điểm các tiếp tuyến (c) với trục ox Biết tiếp tuyến đó x3 song song víi ®­êng th¼ng y =-x+1 23) Cho hàm số: y= x  x  mx  Tìm m để b/ y' x  R d/ y' >0 x >0 a/ y' là bình phương nhị thức c/ y' <0 x  (0;1) 24) : Tính đạo hàm các hàm số sau Lop11.com Hoàng Trung Hoàng Trung a) y= x+1+ x2 c) y= tan(sinx) f) y= h) y= x 1  x 1 b) y= sin x  cos x g) y= cos3x cos2x x  2 d) y= cot x  i) y= sinx - cosx sinx + cosx 1 1 1    cos x 2 2 2 25) : Định a cho f(x) = cos2x - a sin2 x + 2cos2x không phụ thuộc x cos x 26) a) Giải phương trình y’=0 với y= sin x   sin x 5 cost - tsint Tính f’(  ) b) Cho f(t) = sint - tcost 27) a) Cho y = x cos2x Tính đạo hàm cấp hai cuả hàm số n! n b) Cho y= Chứng minh y  = 1 x 1- x n+1 e) y= sin 32x –cos2 3x k) y= n 2n c) Chứng minh : y  = -1 22n.y với y = sin2x d) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 28) Cho hàm số f(x)= x3 -2x2 + mx -3 Tìm m để : a) f’(x) bình phương nhị thức ; b) f '( x )  với x ; c) f’(x) <0 với x  (0; 2); d) f’(x) >0 với x > 29) Cho hàm số y= x3 -3x +1 a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm x=2; b) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 45x - y + 54=0 ; c) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= - x + d) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm M( ; 1 ) Lop11.com Hoàng Trung