Phương trình – bất phương trình cơ bản

Đặt ẩn phụ để trở thành phương trình có 2 ẩn * Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vÉn cßn chøa x * PP này thường được SD đối với[r]

1 phương trình –bất phương trình a Phương trình bản:  g ( x)  Dạng phương trình: (nÕu g(x) cã TX§ lµ R) f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) b.Bất phương trình bản: D¹ng 1: D¹ng 2:  g x    f ( x)  g ( x)   f x    f x   g x     f ( x)    g ( x)  f ( x)  g ( x)     g ( x)   f ( x)  g ( x)  Chú ý: Khi hệ chứa từ hai biểu thức bậc hai trở lên , để có thể đưa dạng , ta làm sau: + Đặt hệ điều kiện cho tất các có nghĩa + Chuyển vế đặt điều kiện để hai vế không âm + Bình phương hai vế + Tiếp tục hết bµi tËp ¸p dông Bài 1.1: Giải các phương trình sau: x   x  2 x    x (1) (2)  x  Giải 1: Phương trình đã cho tương đương với:  4 x  15 x  14  x6  x  14 x  33   Giải 2: Phương trình đã cho tương đương với:  Bài 1.2 Giải phương trình sau x  x   x   Giải: Phương trình đã cho tương đương với:  x 1   x6   x3   x   x  11 (1) (§H X©y Dùng -2001)  x  x   (2 x  1) Bài 1.3 Giải phương trình:  x  x    x  x   x   x 1 x2 3 Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ: x 1  1 x     (_ x  1)( x  2)  (4  x)  ( x  1)( x  2)   x x2 Bài 1.4: Giải phương trình x   x   x  Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ: x3 x   3 x     2  x 1  x   x    x  x  5x  3x  x   3  x  62   x 62 62 3 x x  3  Bài 1.5: Giải phương trình  x  x2  x  1 x Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ: Lop12.net (§HQG Hµ Néi 2000)   x 1   x 1   1  x  x  x  x   x  x   x  x  x  x  3  3 3   x 1   x 1    2  x  x ( x  x  1)  x   x   x  x 1   Bài 1.6: Giải phương trình   16  x  x  Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ:   x   x    x      16  x  x    x 2 2 x  13  3x   x  27 Bài 1.7: Giải bất phương trình: 27 §iÒu kiÖn: x  (ĐH DL Phương Đông -2001)  Bất phương trình đã cho tương đương với:  x  27  x  13  x  27  3x   27 27   x  x  5   7 x  13  x  36  3 x  5 x  27  2 3 x  5 x  27   23  x    27 229  6576   x  23 5   x  23 59 59 x  458 x  443   Bµi tËp lµm thªm: 15 x   x   x   x   x  18  x  x  x  16 x  x  16  x  x  x  x  17 19 x  x  11  x  x  11  3 x 1    3x x x2 20 x    x  x  phương pháp Đặt ẩn phụ Dạng 1: Giải phương trình: Af  x   B f  x   C  Phương pháp giải : Đặt f x   t t  0  f x   t ;  Phương trình đã cho trở thành : At  Bt  C  t  0 Làm tương tự với bất phương trình dạng: Af  x   B f  x   C   Dạng 2: Giải phương trình: A    f  x   g  x   B f  x g ( x)  D  C  (Víi f  x   g ( x)  D ) Phương pháp giải : Đặt f  x   g ( x)  t t  0  t  D  t  0 f  x   g  x    2 f  x g  x  Phương trình đã cho trở thành : Bt  At  C   Làm tương tự với bất phương trình dạng: A  f  x g ( x)  D  C  bµi tËp ¸p dông: Bài 2.1: Giải các phương trình x  5x   x  5x  2.x  x  12  30 Lop12.net (1) (2) (§H DL Hång l¹c-2001) Gi¶i 1: 1, x  5x   x  5x  Phương trình đã cho trở thành: t  t  3t     t  2 §Æt (1)  x  x     x  x   x2  5x   t (t  0)  x    x    x   21  (t  0) Gi¶i 2: 2, §Æt t  x  12 x  x  12  30 (2) Phương trình đã cho trở thành: (tm) t  t  t  42    VËy x  12   x  2 ( L) t  7 x2  7x  Bài 2.2: Giải các phương trình 4 x (1) (ĐH Đông đô-2000) x2 x   x   3x  x Gi¶i 2: §Æt y   x (2) (§H Má -2001) ( y  0) x  y  ( x  y )  xy   Phương trình đã cho trở thành:   x  y   xy  x  y  xy   x   x  0 y   Giải hệ đối xứng này ta nghiệm:   x  x   y    x    14  Gi¶i 1: §iÒu kiÖn: x  §Æt x t (t  0) Phương trình đã cho trở thành: t  4t  7t  8t   Giải phương trình bậc : Xét t = không là nghiệm Xét t  ,chia hai vế cho t2 và đặt u  t  t (u  2 ) u  1( L) t  x  Ta phương trình u  4u       u  t  x  Bài 2.3: Giải các bất phương trình sau 2x2  4x  3  2x  x2  x( x  4)  x  x  ( x  2)  2 Gi¶i 1: §iÒu kiÖn:   x  (ĐHDL Phương Đông -2000) (§H QG HCM -1999) §Æt: t   x  x (t  0)   1  t  Bất phương trình đã cho trở thành:  2t  3t     0t 0  t  0  t   x   3  x  13  x  x   Thay vào cách đặt:  x( x  4)  x  x  ( x  2)  Gi¶i 2: Thay vµo BPT §· cho vµ gi¶i ta ®­îc t  §Æt: t   x  x  Thay vào cách đặt ta được:   x   Bài 2.4: Giải các bất phương trình sau (§H Th¸i Nguyªn -2000) x  2x  7 x §iÒu kiÖn:  x  2x Lop12.net 2  x   x  (2  x)(7  x)  3( x  Giải 1: Biến đổi bất phương trình đã cho trở thành:  )  2 x    x x   9          2 x    3 x  9  x x    t  t 3   2t  3t   Đặt: t  x   t  BPT đã cho trở thành:  x 0  x    x 3  x x    Gi¶i 2: §iÒu kiÖn:   x  VËy (2  x)(7  x)  §Æt t   x   x (t  0) t2 9 t  2t  15    t  Bất phương trình đã cho trở thành:   x   x  2   9  (2  x)(7  x)  x  Bµi tËp Gi¶i c¸c PT sau: Bµi 1: 11 2( x  x)  x  x   9; x  x   x  x  7; 12 ( x  3)  x  22  x  x  7; 2 x  x 212  30; 15 x  x  x  x  13  7; 2  x  1  x    x  x ; ( x  5)(2  x)  x  x ; 16  x  x   x  x    0; ( x  4)( x  1)  x  x   6; 17 x  15 x  x  x   2; Bµi 2: x  x   x  x   3; 20 x  17  x  x 17  x  9; x  x   x  x   1; 21  x    x  ( x  1)(4  x)  5; 22 10 x   x   x  x ; 2 x  x2  x   x ; x4  x4  x  x  16  6; 13 x  x   x  x   1; 23 x   x   x   x  x  2; 14 x  x   x  x    2; 27 18 x  x   x  x   x  x  9; x2  x   x; 2x  29 x  14 x   x  x  20  x  1; x  x   x  x   x  x  12; 30 10 x3    x  x   ; 19 x  x   x  x   2; 31 x3   x  x  1; Lop12.net 32 x  x   ( x  1) x  x  x  0; Đặt ẩn phụ để trở thành phương trình có ẩn * Là việc sử dụng ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành PT với ẩn phụ các hệ số vÉn cßn chøa x * PP này thường SD PT lựa chọn ẩn phụ cho1 BT thì các BT còn lại không BD triệt để qua ẩn phụ đó BD thì công thức BD quá phức tap * Khi đó thường ta PT bậc theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x) có biệt số ∆ là số chính phương Bµi tËp Gi¶i c¸c PT sau: x   x x  x ; 2(1  x) x  x   x  x  1; x   x x  2;  x  x  x   x  1; (4 x  1) x   x  x  1; 10 x  x  12  x  36; 4  x  x  (2  x) x  x  4; 11 x  x 1 1    x   0; x x x Phương pháp Đặt hai ẩn phụ   Dạng 1: Giải phương trình: A n f  x   n g  x   B n f  x g ( x)  C  (Với f x   g ( x)  D ) n f  x   u Phương pháp giải : Đặt:   g  x   v n  un   D  Au  v   Buv  C  Phương trình đã cho trở thành:  n n u  v  D   Dạng 2: Giải phương trình: A n f  x   n g  x   B n f  x g ( x)  C  (Với f x   g x   D ) n f  x   u  un   D Phương pháp giải : Đặt:  n  g  x   v  Au  v   Buv  C  Phương trình đã cho trở thành:  n n u  v  D bµi tËp ¸p dông: Bài 3.1: Giải phương trình:  x   u Gi¶i : §Æt    x  v x    x  ( x  2)(6  x ) (§H Ngo¹i Ng÷-2001) (u, v  0) u2  v  uv  u  v  uv2 Phương trình đã cho trở thành:  uv  u  v (uv)  2uv   x2  6x 2 x2 3 Bài 3.2: Giải phương trình: x  22  x   (An Ninh-01) VËy: 3 x  22  u Gi¶i : §Æt:  3 x   v Phương trình đã cho trở thành: u  v  v  2; u  x     uv  v  3; u  2  x  30 4 Bài 3.3: Giải phương trình 56  x  x  41  Lop12.net 4 56  x  u §Æt: 4  x  41  v (uv  0) u  v  u  2; v   Phương trình đã cho trở thành:  u  3; v   u  v  97    x  25  x  40  Bµi tËp lµm thªm: Gi¶i c¸c pt: 20  x 20  x   6; x x 24 1  cos x   cos x  2; 2 24  x  12  x  6;  x  x   2(1  (6  x)( x  2); x   x  1;  x   x  1; 10  x  x   2;  x   x  1; 11 x  x   x  x   3;  x    x   4; 12 x    x  ( x  1)(8  x)  3; x   10  x  5; 17 x  x(1  x)2  (1  x)3   x  x3  x (1  x); x   ( x  3)3  6; 30 x    x  2; 7 x  x5   x; 7 x  x5 18 31 97  x  x  15  4; Phương pháp Nhân liên hợp Dạng : Giải phương trình: A f  x   B g  x   C.h x  Víi A f x   B g x   D.hx  Phương pháp giải : Nhân hai vế với biểu thức: A f  x   B g  x  Ta phương trình  D.h x   C.h x  A f  x   B g  x   h x   Nhóm nhân tử chung và giải hai phương trình:     C A f  x   B g  x   D bµi tËp ¸p dông: Bài 4.1: Giải các phương trình sau: x   3x   x3 (1) 3(2  x  )  x  x  (2) (§H Qu©n Sù - 2001) Gi¶i 1: §iÒu kiÖn: x  Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp: x3 x3  x   3x   x   3x   Gi¶i 2:  x x Phương trình đã cho trở thành:  x  x   26  x 26 2  x  3   x  344 x  684   3(2  x  )  x  x  (2) x   3x  2 3 x x   x  342( L)  x   Điều kiện: x  ; Phương trình đã cho tương đương với: x   x   x  Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp x2  x6 Lop12.net   Làm tương tự phần 1) ta tập nghiệm: T  3; 11     Bài 4.2: Giải các bất phương trình sau  x   x  x (ĐH Ngoại thương HCM-2001) Gi¶i: §iÒu kiÖn: 1  x  Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp tương đương với: 1 x    x    x     2x   x(2   x   x )   1 x  1 x  x  1 x thì bất phương trình đã cho    x     x    x   2   x   x    x 1   0  x  0  x    2   x   x x  Bµi lµm thªm: (Nh©n liªn hîp) x  x   x   x   0; x3 ; 3(2  x  2)  x  x  6; x   x   x  x   x   x  x   x  x  4; 21  x  21  x  21; 21  x  21  x  x; 2 x 2 x   2;  2 x  2 x x   x   x  Phương pháp Phân chia miền xác định Dạng : Giải phương trình: A f  x g  x   B f  x h x   f  x  Phương pháp giải : Xét ba trường hợp : tm  Trường hợp 1: f  x   Trường hợp 2: f  x   Khi đó phải có  g x   h  x   Phương trình đã cho trở thành A g  x   B h x   Trường hợp 3: f  x   f  x  (Phương trình bản)  g x   h  x   Khi đó phải có  Phương trình đã cho trở thành A  g  x   B  h x    f  x  (Phương trình bản) bµi tËp ¸p dông: Bài 5.1: Giải phương trình sau (1) (§H B¸ch khoa Hµ Néi -2001) x  8x   x   x  Gi¶i: 2 x  x    x  §iÒu kiÖn :  x     x  1 2 x    Nhận thấy x = -1 là nghiệm phương trình đã cho Với x  : Phương trình tương đương với:  x    2( x  1)( x  3)  ( x  1)( x  1)  2( x  1)  x    x 1 2 x  x   x   x    2( x  3)  x   x  Lop12.net Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = và x = -1 Bài 5.2: Giải các bất phương trình sau x  x   x  3x   x  x  x   x  x   x  x  (§H Y HCM -2001) (§H KÕ to¸n Hµ Néi -2001)  x  Gi¶i 1: §iÒu kiÖn: ( x  1)( x  3)    x    ( x  1)(2 x  1)   x   Nhận thấy x = là nghiệm bất phương trình x  Với x  Ta tách bất phương trình đã cho và   x   2x   x  HÖ nµy v« nghiÖm v× x   x  1 Víi x  Ta tách bất phương trình đã cho và 1   x  x  2  x    x   2x    x 2 (3  x)(1  x)  3   KÕt luËn: TËp nghiÖm Gi¶i2: 1    ;  2  x  §iÒu kiÖn:  x  Nhận thấy x = là nghiệm bất phương trình Với x  Ta tách bất phương trình đã cho và bpt BPT tho¶ m·n víi x  v×: x2  x3  x4 x2  x3  x4 Với x  Ta tách bất phương trình đã cho và bpt  x  3 x  4 x 2 x  3 x  4 x BPT v« nghiÖm v× KÕt luËn: TËp nghiÖm 1  4;  Bµi tËp lµm thªm: Bµi 3: (PP ph©n chia MX§) x   x   x  1; x   x  1; x  x( x  3)  x(2 x  1); x  x   x   x  2; ( x  1)(2 x  7)  3( x  1)( x  6)  ( x  1)(7 x  1); x   x   x( x  1)  x( x  2)  x 9.( x  3) 10  x  x  x  12 x  x   x  x  2)  x  6; 2 Dạng : Giải phương trình: Phương pháp giải :  Phương pháp Khai  f x   A    f  x   A  B.g  x  Khai và lấy đấu giá trị tuyệt đối ta phương trình f x   A  g  x   A  B.g  x  Phá dấu giá trị tuyệt đối cách phân chia miền xác định ta tuyển hai hệ Lop12.net  f  x   A  2 f  x   B.g  x    f  x   A  2 A  B.g  x  Giải hai hệ này ta tìm nghiệm phương trình đã cho bµi tËp ¸p dông: Bài 6.1: Giải phương trình sau x  x   x  x   x  x  x5 x  x 1   x  x 1   Gi¶i 1: (1)  x4 2  x    x  x  24 x   x  x  24  x   x  x  20  NÕu x  pt trë thµnh:  x    x   x  5  1 x   x  5  2 x4 x   x  5   phương trình này vô nghiệm 2 x4 V× x  Nªn NÕu  x  pt trë thµnh:  x  x  24 Vậy pt đã cho có nghiệm là x = và x = x5 Gi¶i 2:  x    x    Giải tương tự ta nghiệm là x = -1 và x =  x  4 x  Bài 6.2: Giải phương trình sau x  x   x  x   Gi¶i: Phương trình đã cho tương đương với:  x    x     x    x    x     x2  x    2  x   x      TËp nghiÖm: 2;  Phương pháp Đạo hàm Dạng : Bài toán tìm m để phương trình f(x)=m có nghiệm, Bài toán chứng minh phương trình f(x)=A có nghiệm nhất, Bài toán biện luận số nghiệm phương trình f(x)=m theo tham số m Phương pháp giải : * Tìm tập xác định D hàm số y=f(x) * Tính đạo hàm f’(x) ,lập bảng biến thiên * Dựa vào bảng biến thiên để biện luận số nghiệm phương trình bµi tËp ¸p dông: Bài 7.1:Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x  x  12  m(  x   x ) Gi¶i: Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp:  x   x ta ®­îc: ( x x  x  12 )(  x   x )  m XÐt VT  f (x) TX§ D  0;4 g ( x)  x x  x  12 ; g ( x)  x  0 2 x  12  g (x) đồng biến và luôn dương trên D Lop12.net h( x)   x   x ; h ( x)  5 x  4 x 5 x 4 x 0  h x  đồng biến và luôn dương trên D Suy hàm số f ( x)  g ( x) h( x) là hàm số đồng biến trên D Từ đó f (0)  VT  f (4)  12     VT  Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì: 12   m    Phương pháp đánh giá hai vế Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh VT  VP  VT  VP và tìm điều kiện để dấu xảy bµi tËp ¸p dông: Bài 8.1: Giải các phương trình sau: x  x   2 x   x   Gi¶i 1: x 1  (§HQG Hµ Néi-2001) §iÒu kiÖn: x  2x    x 1  x    x  VT  x  x   Ta cã: x  x    x  1   Dấu xảy x = Vậy pt đã cho có nghiệm x = 2 Gi¶i 2: VËy VT  §iÒu kiÖn: x    VP  x    x  x    x   x    VP 4 x   1 x DÊu b»ng x¶y  2 4 x   Vậy pt đã cho có nghiệm: x  Bài 8.2: Giải các phương trình sau: Gi¶i: §iÒu kiÖn: x Víi x > x x  x2 x  x x  x3 x  Nhận thấy x = là nghiệm phương trình x x x2 x     x3 x  x  x2 x  x x  x3 x DÊu b»ng kh«ng x¶y nªn pt v« nghiÖm víi x>0 KÕt luËn: nghiÖm x = Bài 8.3: Giải các phương trình sau: x   x   x   3 x   1  Gi¶i: NhËn thÊy x = -2 lµ mét nghiÖm Víi x > -2 th× x + > -1  3 x    VT  3  x   DÊu b»ng kh«ng x¶y nªn pt v« nghiÖm víi x > -2 3 x   1  Tương tự với x < -2  3 x    VT  3  x   DÊu b»ng kh«ng x¶y nªn pt v« nghiÖm víi x < -2 KÕt luËn : nghiÖm x = Bµi tËp lµm thªm : C¨n bËc ba Lop12.net x   x   x  3; x   x   x  11; x   x   x  1; 3 x  x   x  x   2; x   x   x   x   1;  x  x     x  x   x  x   x  3; x3  x  x   x  x  1; x  x   x  x   2; x   x  x   x   8; 11 Bµi tËp Gi¶i c¸c PT sau: 12  x  10 x  24  x  x  x  4; x   19  x  10 x    x   x3   x3   x   x  6; 14 x  x   x   x  4; x  x   x   2; 15 x   x   x   x   13 x  x  x  x3  1; 2 x3  11x  25 x  12  x  x  1; x5 ; 16 x   x   x  15  x   6; 1   x      x  ; x x  17 x  x   x  x   6; 18 x   x   x   x   1; x  x   x   x   1; 19 x  2 x   2 x   x   x   x   4; Phương pháp Tam thức bậc hai Dạng : Bài toán biện luận số nghiệm phương trình f(x) = m theo tham số m Trong đó ta đặt được: u  x   t t  0 ; Bài toán đó trở thành: Biện luận theo m số nghiệm phương trình bậc hai at  bt  c  B¶y bµi to¸n so s¸nh nghiÖm cña tam thøc bËc hai víi mét sè, hai sè: 1, x1    x2 2, x1  x2   3,   x1  x2 4, x1      x2 5,   x1    x2   x1    x2 6,   x1    x2   7,   x1  x2   Ba bµi to¸n c¬ b¶n cña tam thøc bËc hai: 1, Tìm điều kiện để f(x) > với x thuộc R 2, Tìm điều kiện để f(x )> với x thuộc khoảng (;+); 3, Tìm điều kiện để f(x) > với x thuộc khoảng (;); bµi tËp ¸p dông: Bài 9.1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x  x  m   x  51  x   (C§ SP HCM-2001) Gi¶i: §iÒu kiÖn:  x  §Æt x  51  x   t  t   x  32    t  Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để phương trình t2- t + - m = có nghiệm t  0;2   t1   t nghÜa lµ t1   t   0  t1  t  5  m 7  m    f 0  f 2     m  19     Hệ điều kiện trên tương đương với:  f 0   19   m   m7      f     m   s   0   0   2   Bài 9.2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x   x   x2  9x  m Lop12.net (C§ Y HCM-1997) x9  x   t Gi¶i: §iÒu kiÖn:  x  §Æt : t  0  t    x    Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để phương trình t2-2t+m-9=0 2  cã nghiÖm 81   t   9 t  0;   2  0  t1   t  nghÜa lµ t1   t    0  t1  t   Hệ điều kiện trên tương đương với:  9  f 0  f       '    f 0        f        s 0   2      m  10  9  m   m          m9  m  10     9  m  10  m     m    10 Hệ phương trình Hệ đối xứng loại 1: Là hệ phương trình mà thay đổi vai trò x và y thì phương trình hệ không thay đổi C¸ch gi¶i: x y  S + §Æt   xy  P S  4P  + Thö ®k vµ lÊy x,y lµ hai nghiÖm pt X2 – SX + P=0 + Gi¶i hÖ víi hai Èn S,P bµi tËp ¸p dông:  x y   1  x xy Bµi 10.1: Gi¶i hÖ:  y   x xy  y xy  78 (§H Hµng H¶i 1999)  x, y   Giải: Hệ đã cho tương đương với:  x  y  xy    x  y  xy  78 u  x  y §Æt  v  xy u  ; v  u  v  u  13  uv  78 v  Hệ đã cho trở thành  Gi¶i ta ®­îc nghiÖm 4;9 ; 9;4  Hệ đối xứng loại 2: - Là hệ phương trình mà thay đổi vai trò x và y thì hai phương trình hệ đổi chỗ cho Cách giải: -Trừ vế với vế hai phương trình để phương trình có dạng tích - Hệ đã cho tương đương với tuyển hai hệ phương trình - Giải hai hệ này để tìm nghiệm x và y bµi tËp ¸p dông:  x 1  y   m Bµi 10.2: Cho hÖ:   y   x   m 1, Gi¶i hÖ m=9; 2, Tìm m để hệ có nghiệm (§H SP HCM 2001) Lop12.net Gi¶i: §iÒu kiÖn: x  1; y  2; m   x  y    x  1 y    m Bình phương hai vế ta hệ:   x  y    y  1 x    m Trừ vế với vế hai phương trình trên ta hệ:     x  1 y     y  1 x   x  y     2  x  1 x    m   x  x  y    y  1 x    m x   x  y   x  y  x y 3 1, Víi m=9 ta cã hÖ:    x  1 x  2   x   x  1 x  2  5  x   m   x y  m 1   2,Tìm m để hệ có nghiệm : Hệ   2  x  y    2  x  1 x    m   x  m  2m  x  4m  m 1  8m  m  2m   2m  2m 2 m  6m   m  32    m3 KÕt luËn: m  m   m   11 Phương pháp đặc biệt 1.Phương trình chứa bậc hai và luỹ thừa bậc hai Bµi to¸n tæng qu¸t: Giải phương trình: ax  b  r ux  v 2  dx  e I  Với a  0, u  , r  ; Phương pháp giải: Điều kiện dể phương trình có nghĩa: ax  b  §iÒu kiÖn  x  ax  b  (uy  v)  ax  b1 Víi ®iÒu kiÖn uy  v  §Æt Èn phô : uy  v  Lúc đó (I) trở thành : r (uy  v)  uy  dx  v  e Gi¶ sö c¸c ®iÒu kiÖn sau ®­îc tho¶ m·n: u = ar +d vµ v = br + e r uy  v 2  arx  br Lúc đó phương trình đã cho trở thành hệ  r ux  v 2  uy  ar  u x  br Giải hệ trên cách trừ vế với vế hai phương trình , tuyển hai hệ phương trình đó có nghiệm x = y bµi tËp ¸p dông: Bµi 11.1: Giải phương trình: x  15  32 x  32 x  20 1 Lêi gi¶i: §iÒu kiÖn x  15  Biến đổi phương trình (1) thành: x  15  24 x  22  28 §Æt Èn phô : y   x  15  (4 y  2)  x  15 4 y   0 Phương trình (1) trở thành : (4 x  2)  y  15 Vậy ta có hệ: (4 x  2)  y  15 Hệ này là hệ đối xứng loại hai  (4 y  2)  x  15 Giải hệ trên cách trừ vế với vế hai phương trình , Ta ®­îc nghiÖm lµ x1    221  x2  16Lop12.net 2.Phương trình chứa bậc ba và luỹ thừa bậc ba Bµi to¸n tæng qu¸t: II  Víi a  0, u  , r  ; Giải phương trình: ax  b  r ux  v   dx  e Phương pháp giải: §Æt Èn phô : uy  v  ax  b  (uy  v )  ax  b1 Lúc đó (II) trở thành : r (ux  v )  uy  dx  v  e Gi¶ sö c¸c ®iÒu kiÖn sau ®­îc tho¶ m·n: u=ar +d vµ v=br+e r uy  v 3  arx  br Lúc đó phương trình đã cho trở thành hệ  r ux  v 3  uy  ar  u x  br Giải hệ trên cách trừ vế với vế hai phương trình , tuyển hai hệ phương trình đó có nghiệm x=y bµi tËp ¸p dông: Bài 11.2: Giải phương trình: 3x   x  36 x  53x  25 Lêi gi¶i: PT 2   x   2 x  3  x  2 3 2 §Æt Èn phô : y   3 x   2 y  3  x  Lúc đó (2) trở thành 2 x  3  y  x   2 x  33  y  x  Lúc đó phương trình đã cho trở thành hệ  2 y  33  x  Giải hệ trên cách trừ vế với vế hai phương trình , 5 5 Ta ®­îc nghiÖm: x1  2; x2  ; x3  4 Bµi tËp Gi¶i c¸c PT sau: x3   x  1; x3  3 x   2;   x   x  1; x 35  x3 x  35  x3  30; x   x  5; x  a  b(a  bx ) ; 2 x   (5  x ) ;   x  x;  a  a Sö dông tÝnh chÊt vÐc t¬:     a b  a  b   DÊu b»ng x¶y hai vÐc t¬ a vµ b  cùng hướng , tương đương với: a  kb  b   a b k  0 Dạng : Giải phương trình f  x   A  g  x   B  h  x    A  B 2  a   f  x ; A    f  x   g  x   h x  Víi  §Æt :    a  b   f  x   g  x ; A  B   h x ; A  B  ; A  B  C b   g  x ; B      Phương trình đã cho trở thành a  b  a  b Dấu đẳng thức xảy và hai véc tơ vµ  b   cùng hướng , tương đương với: a  kb k  0 ; bµi tËp ¸p dông: Bài 11.3: Giải phương trình: x  x  816  x  10 x  267  2003 Lop12.net  a     a   x;20    a  b  9;31 Gi¶i: §Æt   b   x;11   a  x  x  816 ; b  x  10 x  267 VËy ta cã:   a  b  2003     Phương trình đã cho trở thành a  b  a  b   Dấu đẳng thức xảy và hai véc tơ   a  kb k  0 ; Gi¶i ®­îc x   56 31  a vµ  b ; cùng hướng , tương đương với: Sử dụng phép đặt lượng giác: D¹ng 1: Bµi to¸n cã chøa  x Phương pháp giải : Điều kiện x  Dựa vào điều kiện này ta đặt x = sint, với t    ;   ;  2  x = cost với t  0;   ; và giải phương trình lượng giác D¹ng 2: Bµi to¸n cã chøa x2 1    Phương pháp giải : Điều kiện x  Dựa vào điều kiện này ta đặt  sin t , với t   ;  ; x  2  cos t , với t  0;   ; và giải phương trình lượng giác x bµi tËp ¸p dông: Bài 11.4: Giải phương trình: :  x  x  3x Giải: Điều kiện x  Dựa vào điều kiện này ta đặt x=cost với t  0;   ; và giải phương trình cos t  cos t  sin t  cos 3t  sin t lượng giác: sin t  0    t  k      cos 3t  cos  t     2  t    k   Do t  0;   nªn ta chän: 3  t   t     t     Bài 11.5: Giải phương trình: : x    x    2 x    x       x  x2  35 12 Giải : Điều kiện x  Vì vế trái luôn dương nên yêu cầu x > , đó x>1 Dựa vào điều kiện này ta đặt :  cos t với t   0;   ; và giải bất phương trình lượng giác x  2 Lop12.net 1 35    12sin t  cos t   35 sin t cos t cos t sin t 12  1441  sin t cos t   1225 sin t cos t  1225 y  2.144 y  144   y  sin t cos t    12 12 144   sin t cos t    cos t  cos t  25 25 625    0  cos t  25 0  cos t  x      16  cos t    cos t  1  x   25   hệ phương trình (TT) Các dạng bài tập và phương pháp giải chung Phương pháp chung để giải hệ phương trình là người làm Toán cố gắng đưa hệ phương trình dạng chuẩn để giải chúng A Phương pháp biến đổi đồng 0 y  xy    y Loại 1: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình   2   xy   x Lêi gi¶i   xy    y (1) NÕu xy  ta cã hÖ  2   xy   x (2)  x  2 Thay vào phương trình (1)  + x2  x2 Tõ (2)  x # vµ y  x   x2  -4=8-    x  Hay x4 - 3x2 + =  (x2 - 2)(x2 - 1) = Mµ x   x  HÖ cã nghiÖm: (x,y) lµ NÕu xy < ta suy x2 < Vµ ta cã:    xy   y     xy   x 2   x2   42 x  8   2(2  x )   x  (lo¹i)  x  Vậy hệ phương trình có nghiệm trên 2   x ( y  1)( x  y  1)  x  x  1(1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình    xy  x   x (2) Lêi gi¶i Ta thấy x = không thoả mãn phương trình (2) x2 1 Víi x # tõ (2)  y + = thay vào (1) ta có phương trình: x Lop12.net  2; ;  2;   x2 x2 1  x2 1  x     3x  x  x  x    x  1   x  1 3x  1   x  1  x  x  x  1   x  1 x  1  x2 1 x    x  1 x  x      x    x  2 5  Hệ phương trình có nghiệm (x;y) là (1;-1);  2;   2  Loại 2: Một phương trình hệ có thể đưa dạng tích các phương trình bậc hai ẩn  xy  x  y  x  y (1) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  x y  y x   x  y (2)  Lêi gi¶i §iÒu kiÖn: x  1; y  Phương trình (1)  x  xy  y  ( x  y )       x  xy  xy  y   x  y     x  y  x  y  1   x  y 1   x  y 1 Thay vào phương trình (2) ta được: ( Do cã ®k cã x + y > 0)  y  1 y  y y  2(2 y  1)  y  y  y  1   y  1   y  1 Víi y = ta cã x = 2y + =   2y    y  ( Do y  0) HÖ cã nghiÖm (x,y) = (5,2) Loại 3: Một phương trình hệ là phương trình bậc theo ẩn (chẳng hạn ẩn y) Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn y theo x cách giải phương trình bậc ẩn y  (1)  y   x    x  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  2   y  x  xy  16 x  y  16  (2) Lêi gi¶i: y   x   y  x  16 x  16  Biến đổi phương trình (2) dạng:  y  5x  '  x2   y  4 x Với y = 5x + thay vào phương trình (1)  (5x + 4)2 = (5x+ 4)(4-x)     x  x, y     ;      5  x   x, y    0,   Víi y = - x thay vµo (1) ta ®­îc:   x 2   x    x    x   y  x   y  HÖ cã nghiÖm (x,y) lµ: (0;4); (4;0); (- ; 0) ii phương pháp đặt ẩn phụ Lop12.net §iÓm quan träng nhÊt viÖc gi¶i hÖ lµ ph¸t hiÖn Èn phô u = f(x,y) v = g(x,y) có phương trình xuất sau số phép biến đổi đẳng thức phép chia cho biểu thức khác để đưa hệ dạng đơn giản Ví dụ 5: Giải hệ phương trình { 2 𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 18𝑥𝑦 4 2 2 𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 = 208𝑥 𝑦 Lêi gi¶i: DÔ thÊy x = th× y = Hệ phương trình có nghiệm: (x = 0; y = 0) Khi x   y  Chia hai vế phương trình (1) cho xy và chia hai vế phương trình (2) cho x2y2 ta hệ:  1  1  x     y    18 x  y    x     y    208     x2   y2    X x §Æt: y Y y x Ta có hệ phương trình:  X  Y  18  X  Y  18  X  14; Y  (1)    2  XY  56  X  4; Y  14 (2)  X  Y  212 Trường hợp thứ hệ có nghiệm (x,y) là: 7     3;  ;  3;  ;  3;  ; (7  3;  3) Trường hợp thứ (2) hệ có thêm nghiệm (x,y) là:  ;7  ;  ;7  ;  ;7  ;  ;7       Kết luận hệ phương trình có nghiệm  x2   y  y  x   y Ví dụ : Giải hệ phương trình     x   y  x    y (1) (2) Lêigi¶i Ta thấy y = không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình tương đương với  x2   yx4   y   x   y  x  2   y u  v  v  y  x  ta cã hÖ    u  1; v  1 uv   x  1; y    x2   y Ta cã hÖ  Hệ phương trình đã cho có nghiệm  x  y  x   2; y       2 7 4 xy  x  y  x  y   Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  2 x    x  y    x y 3u  v  13 u   ; v = x -y ta có hệ phương trình  §Æt u  x  y   x y u  v  x2  , §Æt u  y    2 x  y  x y Giải hệ (với lưu ý u  ta có u = ; v = Ta có Hệ phương trình   (x = ; x  y   y = 0) Hệ phương trình có nghiệm: (x,y) là (1;0) Lop12.net phương pháp hàm số Loại 1: Một phương trình hệ có dạng f(x) = f(y) phương trình còn lại giúp ta giới hạn x.y để trên hàm f đơn điệu Từ đó suy x = y  x3  x  y  y (1) Ví dụ 8: Giải hệ phương trình  (2)  x  y  Lêi gi¶i Từ phương trình (2)  x  1; y   x  ; y  xÐt hµm f(t) = t3 - 5t t  [-1 ; 1] Ta có f’(t) = 3t2 - <  t  [-1 ; 1]  hàm f(t)  x = y thay vào phương trình (2)  x8 + x4 -1 =0 1  1   y  x  2 Loại 2: Hệ đối xứng loại mà giải thường dẫn đến phương trình hệ có dạng f(x) = f(x) = f(y) Trong đó f là hàm đơn điệu  x  x  x   y 1  Ví dụ 9: Giải hệ phương trình   y  y  x   y  Lêi gi¶i a  a   3b §Æt a = x – 1, b = y – Ta ®­îc hÖ  Trừ theo vế phương trình trên ta a b  b    §Æt a = x4  ta cã a = a  a   3a  b  b   3b xÐt hµm f(x) = t  t   t (3) cã f’(x) = t2 1  t t 1  3t ln vµ t  > t   t  f(x) >0 t  f(t) đồng biến trên R Từ phương trình (3)  a = b thay vào phương trình (1) ta có  XÐt hµm g(a) = g ( a )  ln a  ' Cã: g ( a )  a2   a a   3a   ln a   (4) a   aln  a   aln  ln   ln  0a  R Nên hàm g(a) nghịch biến và phương trình (4) có nghiệm a = nên ta có nghiệm ban đầu cña hÖ lµ (x = 1; y= 1) v phương pháp đánh giá Với phương pháp này cần phát các biểu thức không âm hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức  x  y  (1)   Ví dụ 10 Giải hệ phương trình  y  z  (2)  z  x  (3)   Lêi gi¶i: DÔ thÊy x > 0, y > 0, z > Kh«ng gi¶m tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö : x  y  y   z  y  z Ta l¹i cã z  x   Do x dương  x   y 1  x  x  y  z  x  x  y  z  x  x 1   1 :4 Lop12.net  Vậy hệ phương trình có nghiệm: x = y = z=  1  2x2  y  x    y2 Ví dụ 11 Giải hệ phương trình   z y    2z2  x   z 1 Lêi gi¶i: NÕu x =  y =  z =  hÖ cã nghiÖm (x; y; z) = (0; 0; 0) NÕu x   y >  z >  x>0 2x2 2x2  x x2  2x 2z2 2z2 x  z yxz y z 1 2z y2 y2 z   y  x  y  z 1 y 1 y y Vậy hệ phương trình có nghiệm: (0; 0; 0) và (1; 1; 1) xy   x2  y x  x  2x   Ví dụ 12: Giải hệ phương trình  xy y   y2  x  y  2y  Lêi gi¶i: Cộng theo vế phương trình hệ ta có: Ta cã: x  x   ( x  1)   y  x   ( y  1)   DÊu “ = “ x  y  x  y   xy x2  2x    VT  xy y2  y   x2  y 2 xy xy   xy  xy  x  y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm trên  y   x3  3x  Ví dụ 13 Giải hệ phương trình   x  2 y  y  Lêi gi¶i:  y     x  12  x   (1) Hệ đã cho tương đương với:   x    y  1  y   (2) Nếu x > thì từ (1)  y = < 0; Điều này mâu thuẫn với phương trình (2) có x - và y - cùng dÊu Tương tự với x  ta còng suy ®iÒu m©u thuÉn Vậy nghiệm hệ phương trình là x = y = Lop12.net