1: Đẳng thức với biến Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điều kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng t[r]
(1)Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ Lượng giác Quế võ, tháng năm 2009 Lop12.net (2) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số Biến đổi lượng giác là nội dung và quan trọng quá trình học tập lượng giác Thành thạo các phép biến đổi lượng giác là hành trang tốt tạo cho các bạn tự tin và linh hoạt học tập các phần khác chương trình lượng giác, các bạn thấy tinh thần và phương pháp lượng giác vận dụng nào các bài toán thì các bạn thấy toàn nét đặc trưng và vẻ đẹp lượng giác Để giúp các bạn có tài liệu tương đối đầy đủ để học lượng giác,chúng tôi đã tập hợp các tài liệu để biên soạn chuyên đề này.Chúng tôi đã tham khảo và biên tập hệ thống các bài tập khá đa dạng và phong phú.Các bài tập biên soạn theo hướng Một số bài tập chúng tôi cung cấp luôn lời giải Tất nhiên các lời giải đưa không phải là cách giải và hay Đối với các bài này thì các bạn cần suy nghĩ theo các hướng mở sau: Giải thích các phép biến đổi và lập luận lời giải Tìm lời giải khác có thể Lí giải xem lại giải Tìm cách vận dụng bài toán Nêu các bài tập tương tự Một số bài tập chúng tôi không cung cấp lời giải.Những bài tập này thuộc dạng bản, dễ tương tự, đề nghị các bạn suy nghĩ và tự giải Chú ý: Đối với các bài toán có phần hướng dẫn kèm,các hướng dẫn đó có tính chất giúp các bạn phát vấn đề không phải là cách trình bày Lop12.net (3) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số A TÓM TẮTGIÁO KHOA I Đơn vị đo góc và cung: Độ: Goùc 10 goùc beït 180 Radian: (rad) 180 o x O y 1800 rad Bảng đổi độ sang rad và ngược lại số góc (cung ) thông dụng: Độ Radian 00 300 450 600 900 1200 2 1350 1500 3 5 II Góc lượng giác & cung lượng giác: Định nghĩa: y B (Ox, Oy ) k 2 (k Z) 2 O (tia gốc) t M t x (điểm ngọn) O 3600 y (tia ngọn) 1800 x A (điểm gốc) AB k 2 Đường tròn lượng giác: Số đo số cung lượng giác đặc biệt: A B C D A, C B, D y 2k B 2k 2k - 2k C k D k Lop12.net x A O (4) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số y t u B III Định nghĩa hàm số lượng giác: u' Đường tròn lượng giác: A: điểm gốc x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) y'Oy : trục sin ( trục tung ) t'At : trục tang u'Bu : trục cotang x' 1 C R 1 O A 1 D y' x t' Định nghĩa các hàm số lượng giác: a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= Gọi P, Q là hình chiếu vuông góc M trên x'Ox và y'Oy T, U là giao điểm tia OM với t'At và u'Bu Ta định nghĩa: y t t Trục sin Trục cotang u' U B M Q t O Trục cosin T x' u P x sin OQ A tg 1 b Các tính chất : Với ta có : sin hay sin cos hay cos xaùc ñònh tg cotg xaùc ñònh 1 k k c Tính tuần hoàn sin( k ) sin cos( k ) tg( k ) cot g( k ) cos tg cot g (k Z ) Lop12.net AT cot g BU Trục tang t' y' cos OP (5) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số IV Giá trị các hàm số lượng giác các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' B 2/3 u /4 /2 5/6 /6 1/2 - /2 - /2 -1/2 /2 -/6 -1 y' Hslg sin cos tg cotg kxđ t' 900 1200 600 2 2 2 1 3 2 3 kxđ -1 -/3 -/2 300 450 - /3 -/4 - /2 x O - /2 3 3 A (Ñieåm goác) /2 -1/2 Góc /3 1/2 -1 00 /3 /2 3/4 x' /3 /2 Lop12.net 3 - 1350 1500 3 5 2 0 3 -1 0 kxđ kxđ 2 -1 -1 1800 3600 (6) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số V Hàm số lượng giác các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : Cung đối : vaø - Cung bù vaø : Cung phụ : vaø Cung kém : vaø (tổng 0) ( tổng ) (Vd: ( tổng (Vd: ) (Vd: (Vd: Cung kém : vaø (Vd: Cung đối nhau: cos( ) sin( ) tg( ) cot g( ) Đối cos Bù sin Cung phụ : cos( ) sin sin( ) cos tg( ) cotg & & ,…) & 2 ,…) & 7 ,…) cos( ) cos sin( ) tg( ) cot g( ) sin tg cot g Cung kém Hơn kém Phụ chéo sin cos cos trừ sin cos( ) sin( ) Cung kém : Lop12.net sin cos tg( ) cotg cot g( ) tg cot g( ) tg ,…) 5 ,…) & 6 Cung bù : cos sin tg cot g (7) Các bài toán biến đổi lượng giác cos( ) sin( ) tg( ) cos sin tg cot g( ) cot g Trường THPT Quế Võ số Hơn kém tang , cotang VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: cos2 1 cotg2 = sin tg cotg = 1 tg2 = cos sin sin tg = cos cos cotg = sin Công thức cộng : cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin( ) sin cos sin( ) sin cos tg+tg tg(+ ) = tg.tg tg tg tg( ) = tg.tg sin sin sin cos sin cos Công thức nhân đôi: cos 2 cos2 sin cos2 2sin cos4 sin sin 2 2sin cos 2tg tg2 tg2 Công thức nhân ba: Lop12.net cos cos 3 cos (8) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số cos 3 cos3 3cos sin 3 3sin 4sin sin Công thức hạ bậc: cos cos 2 cos 2 ; sin ; 2 6.Công thức tính sin ,cos ,tg theo t tg sin 2t 1 t2 2t ; cos ; tg 2 1 t 1 t 1 t2 Công thức biến đổi tích thành tổng : cos cos cos( sin sin cos( sin cos sin( ) cos( ) cos( ) ) sin( ) Công thức biến đổi tổng thành tích : coscos cos .cos 2 cos cos 2sin sin 2 sin sin 2sin cos 2 sin sin cos sin 2 sin( ) tgtg coscos sin( ) tgtg coscos Các công thức thường dùng khác: Lop12.net ) sin sin 3 tg 2 cos 2 cos 2 (9) Các bài toán biến đổi lượng giác cos sin cos( cos sin cos( Trường THPT Quế Võ số ) sin( ) sin( cos 4 cos 4 cos sin cos sin ) ) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Phần Đẳng thức lượng giác không điều kiện 1: Đẳng thức với biến Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc điều kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường vận dụng các công thức lượng giác, các đẳng thức lượng giác bản.Tuy nhiên số luợng các công thức lượng giác khá nhiều nên các bạn có thể gặp khó khăn việc lựa chọn công thức nào cho hợp lí.Vì yêu cầu đặc biệt quan là thực các phép biến đổi là các bạn cần phảp có định hướng rõ ràng để tránh việc lúng túng lựa chon công thức Các bài toán chứng minh đẳng thức Khi gặp các bài toán dạng này chúng ta có thuận lợi là kết đã có đề bài.Từ đó dẫn đến các hướng để giải quyết: Hướng 1: Biến đổi vế trái cho vế phải.Thông thường ta dựa vào chính vế phải,từ trái ta tìm cách phân tích,tách.ghép,biến đổi làm xuất các biểu thức vế phải Bài 1: sin x sin y xy Chứng minh cotg( ) cos x cos y Hướng dẫn: xy cos xy Bởi vì cotg Nên ta biến đổi vế trái cho tử thức và mẫu thức xuất sin x y xy xy cos ,sin Khi đó ta có: Lop12.net (10) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số xy xy sin sin x sin y 2 cotg x y cos x cos y 2sin x y sin x y 2 Hướng 2:Biến đổi vế phải cho vế trái.Ta xuất phát từ VP tìm cách làm xuất các biểu thức vế trái.Các bạn có thể lấy ví dụ để thực theo hướng này theo dõi ví dụ sau: Bài 2: cos x sin x cos2x Chứng minh rằng: cos x sin x sin 2x Hướng dẫn: 2cos cos2x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2 sin 2x cos x sin x 2sinxcosx cos x sin x cos x sin x 2 Nhận xét: Cũng có thể nhân tử và mẫu VT với cos x sin x để làm theo hướng thứ nhất.Nhưng thông thường thì việc tách dễ việc thêm vào Hướng thứ 3: biến đổi vế trái và vế phải cùng biểu thức trung gian Bài 3: Chứng minh rằng: n tg cos tg n cos n (n Z ) cotg cos n n cotg cos n n tg cos tg cos n Ta có tg cotg cos cos tg tg n cos n tg n cos n n tg cotg n cos n cos n tg n Từ (1) và (2) ta điều phải chứng minh Bài 4: chứng minh: sin x cos x sin x cos x Hướng dẫn: Ta có sin a cos a 2sin acos a 2sin acos a 4 2 sin a cos a (sin a cos a )3 3sin acos a (sin a cos a ) 3sin acos a sin x cos x 2sin acos a Do đó sin x cos x 3sin acos a 10 Lop12.net (1) (2) (11) Các bài toán biến đổi lượng giác Bài 5: Chứng minh rằng: 4tan Ta có: (*) cot tan 2tan 2tan 16 tan 4tan 32 cot 32 Trường THPT Quế Võ số (*) 32 32 16 2 cosa sin a cos a-sin a 2cos2a Mà cota-tana= 2cot2a sina cosa sinacosa sin2a Do đó: cot tan 2tan 4tan 32 16 32 (*) 2cot 2tan 4tan 16 16 4cot 8cot 4tan 8 8 (hiển nhiên đúng) Bài 6: Chứng minh: 2 2 a/cos x+cos x cos x 1 1 b/ cotx - cot16x sin2x sin4x sin8x sin16x 2 2 cos x+cos x cos x 1 4 (1 cos2x) 1 cos 2x+ 2 1 4 cos2x + cos 2x+ 2 1 4 cos2x + 2cos2xcos 2 1 -1 cos2x + 2cos2x 2 a/ Ta có: b/ Ta có: cota - cotb = 4 - 2x 1 cos 4 - 2x cos cosa cosb sin bcosa-sinacosb sin(b a ) sina sinb sin asinb sin asinb 11 Lop12.net (12) Các bài toán biến đổi lượng giác sin(2 x x) (1) sinxsin2x sin x sin(4 x x) cot x cot x (2) sin x sin x sin x sin(8 x x) cot x cot x (3) sin x sin8 x sin8 x sin(16 x x) cot x cot16 x (4) sin16 x sin8 x sin16 x Lấy (1) + (20 + (3) + (4) ta được: 1 1 cotx - cot16x = sin2x sin x sin8 x sin16 x Trường THPT Quế Võ số Do đó: cot x cot x Bài 7: Chứng minh: a/ Ta có: b/ Ta có: c/ Ta có: a / sin x cos x (3 cos4x) b / sin x cos x= (5 3cos4x) c / sin x cos8 x (35 28cos4x+cos8x) 64 4 sin x + cos x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2xcos2x sin 2 x (1 cos4x) cos4x 4 6 sin x + cos x = (sin2x + cos2x)(sin4x – sin2xcos2x + cos4x) (sin x cos x) sin 2 x 3 cos4x 1 cos4x (do kết câu a) 4 cos4x+ 8 8 sin x cos x (sin x cos x) 2sin xcos x 12 Lop12.net (13) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 (3 cos4x) sin x 16 16 1 1 (9 6cos4x+cos x) (1 cos4x) 16 2 1 cos4x + (1 cos8x) (1 2cos4x+cos x) 16 32 32 1 cos4x + cos8x+ cos4x (1+cos8x) 16 32 16 64 35 cos4x+ cos8x 64 16 64 Bài 8: Chứng minh: sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos32x Cách 1: sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = (3sinx 4sin )sin x (4cos3 x 3cosx)cos3 x 3sin x 4sin x 4cos x 3cos x 3(sin x cos x) 4(sin x cos x) 3(sin x cos x)(sin x cos x) 4(sin x cos x)(sin x sin xcos x cos x) Cách 3cos2x + 4cos2x(1-sin xcos x) =-3cos2x + 4cos2x(1 sin 2 x) cos2x(-3 + - sin 2x) =cos2x(1 - sin 2x) = cos3 x Cách 2: sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = 3sinx - sin3x 3cosx + cos3x sin x cos3x 4 (sin x sinx+cos3xcosx) (cos3 x sin 3 x) 4 cos(3x - x)+ cos6x 4 = (3cos2x + cos3.2x) cos3 x 13 Lop12.net (14) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 2 cos a (1 cos a ) cos b sin c (1 ) cot b cot c cot a Bài 9: Chứng minh 2 2sin a sin a sin b sin c HD Ta có cos 2b sin c cot b 2 cot b cot c cot b.cot c 2 * sin b.sin c sin c sin b 2 cot b(1 cot c) (1 cot b) cot b.cot c 1 (1) * cos a (1 cos a ) cos a (1 cos a ) (1 ) (1 ) 2sin a sin a 2sin a cos a cos a cos a cos a cos a (1 ) cot a (2) 2sin a cos a 2sin a cos a Lấy (1) + (2) ta điều phải chứng minh Các bạn làm thêm số bài sau: Bài 10 Chứng minh rằng: a.sinxsin x sin x sin 3x 3 3 b.cosxcos x cos x cos3x 3 3 c tg tg( ).tg( ) tg3 3 Bài 11 Chứng minh các đẳng thức sau: 3 cot g cot g 2 8cos2 cos a cot g 2 tg a tg 2a b tga.tg3a tg 2a.tg 2a Bài 12 Chứng minh với x ta có: 63 15 d sin10 x cos10 x cos4x cos8x 128 32 128 15 e cos6 x sin x cos2x cos6x 16 16 f cos8x sin8 x cos2x cos6x 8 14 Lop12.net (15) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số Các bài toán rút gọn biểu thức Việc rút gọn biểu thức lượng giác khó bài toán chứng minh vì không biết trước kết quá trình biến đổi.Thường thì kết phải dạng đơn giản chấp nhận.Với loại toán này ta bắt buộc phải biến đổi từ biểu thức đề bài,nhưng nên để ý chút dạng biểu thức để việc định hướng trở nên đơn giản hơn.Chẳng hạn,dạng phân thức thì tìm cách làm xuất nhân tử chung tử và mẫu để giản ước,dạng thức thì tìm cách đưa dạng bình phương biểu thức cos x (1 cos x) 1 s inx sin x Tính giá trị A cos x , x 2 Bài 1: Rút gọn biểu thức A= HD cos x sin x cos x cos x ( ) s inx sin x cos x 2(1 cos x) s inx sin x 2(1 cos x) 2sin x 3 sin x sin x s inx 3 Với cos x , x có sin x cos x s inx (do sinx > 0) 4 2 2 4 Do đó A s inx 3 A 2 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: sin2a + sin5a -sin3a A= 1+ cosa - 2sin 2a Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: a A sin3xsin x cos3x cos3 x cos x (1 cos x)2 b B 1 sin x sin x c C sin3xcos3x cos3xsin x d D cos3x.cos3x sin3xsin x e E cos(x ) sin x(1 cotgx) cos2 x(1 tgx) 4sin(4x ) f F 3 cotg (2x ) tg (2x ) 2 15 Lop12.net (x k ) (16) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến: Dạng bài tập này không biết trước kết cuối cùng ta hoàn toàn có thể kiểm tra kết đó nào thông qua suy luận đơn giản là:Vì biểu thức không phụ thuộc vào biến nên với giá trị biến biểu thức không thay đổi,do đó ta cần thay giá trị bất kì biến kiểm tra kết biểu thức: Bài 1: Chứng minh các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x: 2 2 a A cos2 ( x) cos2 ( x) cos2 ( x) cos2 ( x) 2sin x 3 3 2 2 b B cos2 x cos2 ( x) cos2 ( x) 3 2 2 c C sin x sin ( x) sin ( x) 3 Hướng dẫn: 2 2 a/ A cos2 ( x) cos2 ( x) cos2 ( x) cos2 ( x) 2sin x 3 3 2 2 4 4 2A=1+cos x 1+cos x 1+cos x 1+cos x 1-cos2x 2 2 4 4 2A=2+ cos x +cos x cos x +cos x +2cos2x 4 4 2A=2+2cos2xcos 2cos2xcos 2cos2x 3 A=1-cos2x-cos2x+2cos2x A=1 Nhận xét: Có thể kiểm tra kết quả,bằng cách thay giá trị bất kì x vào biểu thức ban đầu Với x A = cos cos cos 2 2 cos 1 3 Việc sử dụng công thức hạ bậc để có thể thực các phép biến đổi dễ dàng Nguyên tắc chung để chứng minh tổng không phụ thuộc vào biến là ta biến đổi cùng hàm số lượng giác(để các giá trị đó giản ước hết).Trong phép biến đổi trên ta đã tìm cách ghép các biểu thức sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích đưa tất các hàm số lượng giác hàm số cos2x.Các bạn có thể tách ghép theo cách khác,miễn là đưa tất cùng hàm số lượng giác là 16 Lop12.net (17) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: a) A 2cos x sin x sin xcos x 3sin x b) B c otx t anx c otx HD a) Ta có: A 2cos x sin x sin xcos x 3sin x 2cos x (1 cos x) (1 cos x)cos x 3(1 cos x) 2cos x (1 2cos x cos x) cos x cos x 3cos x 2 b) Với điều kiện sin x.cos x 0, tan x Ta có: c otx t anx c otx 1 1 2 tanx t anx t anx t anx cotx t anx (1 t anx) t anx 1 t anx t anx-1 B Bài 3: Chứng minh các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x: a A cos2 (x a) cos2 x 2cosa cos xcos(a x) b B cos2 (x a) sin (x b) 2cos(x a)sin(x b)sin(a b) Bài 4: Chứng minh giá trị các biểu thức sau là số: x 3x cotg cotg 2 a A x 3x cos2 cos x(1 cotg ) 2 4 b B sin x(1 sin x) cos x(1 cos2 x) 5sin xcos2 x c C sin8 x cos8x 6sin xcos4 x 2sin xcos2 x d D 3(sin8 x cos8x) 4(sin x cos6 x) 6sin x 17 Lop12.net (18) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số Tìm điều kiện tham số để biểu thức không phụ thuộc vào biến Biến đổi f(x, m) dạng f(x, m) A(m).B(x) + C(m) và lập luận A(m)=0 Bài Tìm m cho: f(x) = sin x + cos6 x + m(sin x + cos x) + (m +1)sin 2x không phụ thuộc vào x Hướng dẫn: Sử dụng kết câu a và b bài 1.5 ta có: f(x) = 1- sin 2x + m 1- sin 2x + (m +1)sin 2x m 3 f(x) = m +1- sin 2x + m +1 4 m 1 f (x) sin 2x (m 1) 4 m 1 f(x) không phụ thuộc vào x và m = 2 4 Các bài tập còn lại làm tương tự Bài Tìm m cho các biểu thức sau không phụ thuộc vào x a f (x) cos x cos(x 2m) cos(x 4m) cos(x 6m) x b f (x) m(2m sin x 1) 4(m 1)sinx.sin 2(m 1)cos x 2sin x Bài Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x a f (x) m(sin x cos8 x) (2m 1)(cos x sin x) cos2x b f (x) cos2x m sin x 3cos x c f (x) sin x sin(x m) sin(x 2m) sin(x 3m) sin(x 4m) Bài Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x a f (x) m(sin x cos8 x) 4(2sin x cos6 x) n sin x b f (x) m(sin x cos6 x) n(sin x cos x) sin 2x Dạng kết đề bài: Phần này khá đơn giản,đề nghị các bạn tự giải Bài Biến đổi biểu thức sau thành tích a A sin a sin b sin(a b) d D cos x cos y sin(x y) b B sin(a b) sin(b c) sin(c a) e E sin x sin 2x sin 3x c C sinx cos x f F cos x cos 2x cos 3x Bài Chứng minh A 2(1 sinx)(1 cos x) là bình phưong hoàn toàn (Chứng minh A có dạng (a sin x bcos x c) ) 18 Lop12.net (19) Các bài toán biến đổi lượng giác Trường THPT Quế Võ số 2 Đẳng thức với số cụ thể Tính giá trị biểu thức Trong phần trước chúng ta xét biểu thức chứa biến và các dạng bài tập nó.Phần này tiếp tục tìm hiểu các biểu thức các số cụ thể,sẽ có nhiều khó khăn A.Tính trực tiếp giá trị biểu thức nhờ vận dụng các công thức biến đổi phù hợp Trong phần này các bạn cần biến đổi, ghép cặp hợp lí nhằm tạo các tính chất đặc biệt Để làm điều đó các bạn phải vào các góc đề bài và xét mối quan hệ các góc Bài Tính tổng đơn giản nhờ ghép cặp triệt tiêu 2 3 4 cos cos a A cos cos 5 5 Hướng dẫn: Nhận thấy các góc 2 3 4 , , , 4 2 3 ,các cặp , , , có tổng Nên ta biến 5 đổi A sau: 4 2 3 A cos cos cos cos 5 5 3 2cos cos 2cos cos 10 10 Bài 2: Chứng minh A sin 16 sin 3 5 7 sin sin 16 16 16 Hướng dẫn: Ta có 7 cos 16 16 5 3 sin cos 16 16 sin Mặt khác sin cos 4 sin 2 Do đó 19 Lop12.net (20) Các bài toán biến đổi lượng giác 7 3 5 A sin sin sin sin 16 16 16 16 3 3 (sin cos ) (sin cos ) 16 16 16 16 3 (1 sin ) (1 sin ) 8 3 (sin sin ) 8 3 (sin cos ) (do sin cos ) 8 8 2 2 Trường THPT Quế Võ số B.Tính tổng, tích các biểu thức có quy luật cách nhân thêm lượng phù hợp Thông thường đó là tổng tích hàm số lượng giác các góc mà góc liên 3 5 2 tiếp cách khoảng không đổi(chẳng hạn , , cách )hoặc tỉ lệ với 7 7 theo tỉ số định.Biểu thức cần nhân thêm đây thường là tạo các số hạng giống nhau,nhưng trái dấu để giản ước hết Bài 1: Chứng minh 16sin100.sin 300.sin 500.sin 700 Hướng dẫn: Ta có Acos100 A (16sin100.cos100 ) sin 300.sin 500.sin 700 0 cos10 cos10 1 (8sin 200 )( ).cos400 cos200 cos10 1 (4sin 200.cos200 )cos400 (2sin 400 )cos400 0 cos10 cos10 cos10 sin 800 1 cos10 cos100 20 Lop12.net (21)