Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của d1, d2 của tam giác đã cho.. Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net..[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG Đây là bài toán hình học tọa độ phẳng chúng ta có thể gặp chưa gặp Chúng có thể chưa phải là cách giải hoàn hảo và nhất, chúng cho cái nhìn khái quát các dạng toán Mong đọc giả đọc và đóng góp ý kiến CÁC BÀI TẬP & HƯỚNG DẪN & KẾT QUẢ Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0) Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật đó Ta có: d ( I , AB) AD = AB = BD = 1 25 Suy ra:Phương trình đường tròn đường kính BD là: x y 2 x 25 ( x ) y y A(2;0), B(2; 2) Do đó: tọa độ A, B là nghiệm hệ: x 2 x y y Mà C, D là hai điểm đối xứng A và B qua điểm I nên C (3;0), D(1; 2) Bài 2: Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3x y Tìm tọa độ đỉnh C Ta cã: AB = S ABC = , trung ®iÓm M ( 5 ; ) và đường thẳng AB có phương trình: x y 2 3 d(C, AB).AB = d(C, AB)= 2 Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC Suy d(G, AB)= t (3t 8) = d(G, AB)= t = hoÆc t = Suy ra: G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2) 2 Mµ CM 3GM nên C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1) Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A 1;0 , B 2;4 ,C 1;4 , D 3;5 và đường thẳng d : 3x y Tìm điểm M trên d cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Giả sử M x; y d 3x y Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (2) AB 5,CD 17 AB 3;4 n AB 4;3 PT AB : 4x 3y CD 4;1 n CD 1; 4 PT CD : x 4y 17 SMAB SMCD AB.d M;AB CD.d M;CD 5 4x 3y x 4y 17 17 4x 3y x 4y 17 17 3x y 4x 3y x 4y 17 3x y 3x 7y 21 7 M1 ;2 , M 9; 32 3x y 3 5x y 13 Bài 4: Cho hình tam giác ABC có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I AC nằm trên đường thẳng y = x Tìm toạ độ đỉnh C Ta có: AB 1; AB Phương trình AB là: x y Do I d : y x I t ; t I là trung điểm AC: C (2t 1;2t ) Theo bài ra: S ABC t AB.d (C , AB) 6t t 3 Từ đó ta có điểm C(-1;0) C( ; ) thoả mãn Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B(2; 5) , đỉnh C nằm trên ®êng th¼ng x , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®êng th¼ng x y TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Vì G nằm trên đường thẳng x y nên G có tọa độ G (t ; t ) Khi đó AG (t 2;3 t ) , AB (1;1) Vậy 2t 1 AG AB AG AB (t 2) (3 t ) = 2 2t 4,5 , suy t hoÆc NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng 13,5 : 4,5 VËy t 3 VËy cã hai ®iÓm G : G1 (6;4) , G (3;1) V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn xC xG ( xa xB ) vµ diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ S yC yG ( ya yB ) Víi G1 (6;4) ta cã C1 (15;9) , víi G (3;1) ta cã C2 (12;18) Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (3) Bài 6: Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = Xác định tọa độ B và C Tính diện tích ABC Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y +1 = Xác định tọa độ B và C B M A C H +AC qua A và vuông góc với BH đó có VTPT là n (3;1) AC có phương trình 3x + y - = AC …… C(4;- 5) CM xB y B 1 ; M thuộc CM ta 2 + Tọa độ C là nghiệm hệ xB yB xM ; yM 2 xB y B 1 Giải hệ ta B(-2 ;-3) xB yB + Tính diện tích ABC + Tọa độ H là nghiệm hệ … Tính Diện tích S = 14 x x 3y 3x y y 10 ; AC = 10 1 10 AC.BH 10 16 ( đvdt) 2 BH = Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ là x + y – = và 2x – y + = Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Gäi C = (c; 2c+3) vµ I = (m; 6-m) lµ trung ®iÓm cña BC Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (4) 2m c 11 2m 2c ; Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c) V× C’ lµ trung ®iÓm cña AB nªn: C ' CC ' nªn 2 41 2m c 11 2m 2c 2( ) m I ( ; ) 6 2 Phương trình BC: 3x – 3y + 23=0 2 x y 14 37 Tọa độ C là nghiệm hệ: C ; 3 3 x y 23 19 Tọa độ B = ; 3 Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x y – x – y 0, (C ') : x y x – cùng qua M(1; 0) Viết phươngtrình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Gọi tâm và bán kính (C), (C’) là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R 1, R ' , đường thẳng (d) qua M có phương trình a( x 1) b( y 0) ax by a 0, (a b 0)(*) + Gọi H, H’ là trung điểm AM, BM 2 Khi đó ta có: MA 2MB IA2 IH I ' A2 I ' H '2 d ( I ;d ) 4[9 d ( I ';d ) ] , IA IH 9a b2 36a b 35 35 a 36b 2 2 2 a b a b a b a Dễ thấy b nên chọn b a6 Kiểm tra điều kiện IA IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn d ( I ';d ) d ( I ;d ) 35 2 Bài 9: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình C1 : x y y và C2 : x y x y 16 Lập phương trình tiếp tuyến chung C1 và C2 C1 : I1 0; , R1 3; C2 : I 3; 4 , R2 Gọi tiếp tuyến chung C1 , C2 là : Ax By C A2 B là tiếp tuyến chung C1 , C2 B C A2 B 1 d I1; R1 d I ; R2 A B C A2 B 3 A B Từ (1) và (2) suy A B C Trường hợp 1: A B Chọn B A C 2 : x y Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (5) 3 A B Thay vào (1) A B A2 B A 0; A B : y 0; : x y Trường hợp 2: C Bài 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật Do B là giao AB và BD nên toạ độ B là nghiệm hệ: 21 x x y 1 21 13 B ; 5 x y 14 y 13 Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc AC và AB góc AB và BD, kí hiệu nAB (1; 2); nBD (1; 7); nAC (a; b) (với a2+ b2 > 0) là VTPT các đường thẳng AB, BD, AC Khi đó ta có: cos nAB , nBD cos nAC , nAB a b 2 2 a 2b a b a 8ab b a b Với a = - b Chọn a = b = - Khi đó Phương trình AC: x – y – = 0, x y 1 x A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm hệ: A(3; 2) x y 1 y Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ độ I là nghiệm hệ: x x y 1 I7;5 2 2 x y 14 y 14 12 Do I là trung điểm AC và BD nên toạ độ C 4;3 ; D ; 5 - Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD) Bài 11: Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết nó qua điểm (3;1) Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = Đường thẳng AC qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = (a2 + b2 0) Góc AC tạo với BC góc AB tạo với BC nên : 2a 5b 2.12 5.1 2 2 2 5 a b 52 122 12 2a 5b 29 2a 5b 29 a b a b2 Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (6) a 12b + 100ab – = 0 a b Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( ; 1) không thuộc (AB) nên không phải là cạnh tam giác Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = và b = 9a2 96b2 Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y 2x 8y Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là :3x y c (c 0) (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0) Vì đường thẳng cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Suy ra: khoảng cách từ tâm I đến 52 32 c 10 (thỏa mãn c≠2) 4 32 c 4 10 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 3x y 10 3x y 10 d I, 3 c Bài 13: Viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phân giác qua đỉnh A, C là : (d1) : 3x – 4y + 27 = và (d2) : x + 2y – = PT c¹nh BC ®i qua B(2 ; -1) vµ nhËn VTCP u1 4;3 cña (d2) lµm VTPT (BC) : 4( x- 2) + 3( y +1) = hay 4x + 3y - =0 +) Tọa độ điểm C là nghiệm HPT : 4x 3y x 1 C 1;3 x 2y y +) §êng th¼ng ∆ ®i qua B vµ vu«ng gãc víi (d2) cã VTPT lµ u 2; 1 ∆ cã PT : 2( x - 2) - ( y + 1) = hay 2x - y - = +) Tọa độ giao điểm H ∆ và (d2) là nghiệm HPT : 2x y x H 3;1 x 2y y +) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (d2) thì B’ thuộc AC và H là trung điểm BB’ nên : x B' 2x H x B B' 4;3 y B' 2y H y B +) §êng th¼ng AC ®i qua C( -1 ; 3) vµ B’(4 ; 3) nªn cã PT : y - = +) Tọa độ điểm A là nghiệm HPT : y x 5 A (5;3) 3x 4y 27 y +) §êng th¼ng qua AB cã VTCP AB 7; 4 , nªn cã PT : x y 1 4x 7y 4 Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (7) Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x y x y và đường thẳng d : x y Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến hợp với góc 900 + (C) có tâm I(2 , 1) và bán kính R = + AMˆ B 900 ( A , B là các tiếp điểm ) suy : MI MA R 12 Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính R/ = 12 và M thuộc d nên M( x , y) có tọa độ thỏa hệ: x x x 2 y 12 12 x y y y Vậy có điểm thỏa yêu cầu bài toán có tọa độ nêu trên Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng : 2x + 3y + = Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng cho đường thẳng AB và hợp với góc 450 x 3t và có vtcp u (3; 2) có phương trình tham số y 2 2t *A thuộc A(1 3t ; 2 2t ) AB.u 1 *Ta có (AB; )=450 cos(AB; u ) 2 AB u 15 t 13 13 32 22 32 *Các điểm cần tìm là A1 ( ; ), A2 ( ; ) 13 13 13 13 169t 156t 45 t Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : x y d2: 3x +6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; -1) cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo tam giác cân có đỉnh là giao điểm hai đường thẳng d1, d2 Cách 1: d1 có vectơ phương a1 (2;1) ; d2 có vectơ phương a (3;6) Ta có: a1.a 2.3 1.6 nên d1 d và d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d là đường thẳng qua P( 2; -1) có phương trình: d : A(x 2) B(y 1) Ax By 2A B d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I và d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A B A2 B2 A 3B cos 450 3A 8AB 3B 2 (1)2 B 3A Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x y Nếu B = -3A ta có đường thẳng d : x 3y Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d : 3x y d : x 3y Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (8) Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, đó d song song với đường phân giác ngoài đỉnh là giao điểm d1, d2 tam giác đã cho Các đường phân giác góc tạo d1, d2 có phương trình 3x 9y 22 (1 ) 2x y 3x y 2 (1)2 32 9x 3y ( ) Nếu d // 1 thì d có phương trình 3x 9y c Do P d nên c c 15 d : x 3y 2x y 3x y Nếu d // 2 thì d có phương trình 9x 3y c Do P d nên 18 c c 15 d : 3x y Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d : 3x y d : x 3y Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x y x Tia Oy cắt (C) A Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = và tiếp xúc ngoài với (C) A Ta có: Giao điểm ( C ) và trục Oy là: A(0;2), I(-2 ;0), R= Gọi (C’) có tâm I’ x 3t Pt đường thẳng IA : , I ' IA => I’( 3t ; 2t ), y 2t AI I ' A t I '( 3;3) Từ giả thiết: Vậy đường tròn (C’): x y 3 Bài 18: Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – = và hai điểm A (-1;2); B (3;4) Tìm điểm M () cho 2MA + MB có giá trị nhỏ Ta có: M M (2t 2; t ), AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4) Suy ra: AM BM 15t 4t 43 Đặt f (t ) 15t 4t 43 f '(t ) 30t t 15 2 2 26 Min f(t) = f => M ; 15 15 15 Bài 19: (C) : I(1; 3), R= 2, A, B (C ) , M là trung điểm AB => IM AB Đường thẳng d cần tìm là đg thẳng AB d qua M có vectơ pháp tuyến là IM => d: x + y - =0 Đg thẳng tiếp tuyến có dạng : y = - x + m x + y – m =0 (d’) d’ tiếp xúc với (C) d ( I ; d ') R m 2 m 2 Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (9) x y (4 2) Pt tiếp tuyến : x y (4 2) Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I và đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = Gọi H là trung điểm dây cung AB Ta có IH là đường cao tam giác IAB IH = d ( I , ) | m 4m | m 16 | 5m | A m 16 I H B (5m ) 20 m 16 m 16 Diện tích tam giác IAB là SIAB 12 2S IAH 12 AH IA2 IH 25 m 3 d ( I , ) AH 12 25 | m | 3( m 16) 16 m Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - = Biết trọng tâm tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC x - y - A(3; 1) x y - Tọa độ điểm A là nghiệm HPT: Gọi B(b; b- 2) AB, C(5- 2c; c) AC 3 b 2c 1 b c Một vectơ phương cạnh BC là u BC ( 4; 1) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên b Hay B(5; 3), C(1; 2) c Phương trình cạnh BC là: x - 4y + = Bài 22: Viết phương trình đường tròn qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + = Gọi I a; b là tâm đường tròn ta có hệ a 2 b 2 a 2 1 b 2 (1) IA IB 3a b 2 IA d I ; a b 2 10 1 a 2b vào (2) ta có b 12b 20 b b 10 *) với b a 1; R 10 C : x 1 y 10 2 Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (10) *)với b 10 a 17; R 250 C : x 17 y 10 250 2 Bài 23: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) các điểm A, B cho AB Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) R Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB Ta có AH BH AB 2 Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I Gọi A'B' là vị trí thứ AB Gọi H' là trung điểm A'B' 3 Ta có: IH ' IH IA AH Ta có: MI 1 1 và MH MI HI ; 2 5 MH ' MI H ' I 13 2 49 52 13 4 169 172 R 22 MA'2 A' H'2 MH'2 43 4 R12 MA AH MH Ta có: Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y+2)2 = và đường thẳng d: x + y + m = Tìm m để trên đường thẳng d có điểm A mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) cho tam gi¸c ABC vu«ng Từ phương trình chính tắc đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới ®êng trßn vµ AB AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng IA m 1 m 5 m 1 m Bài 25: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = và (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0) Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (11) Gọi BI là đường phân giác góc B với I thuộc OA đó ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3 Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : x y Tìm trên hai điểm A và B đối xứng qua I(2;5/2) cho diện tích tam giác ABC bằng15 3a 16 3a ) B(4 a; ) Khi đó diện tích tam giác ABC là 4 S ABC AB.d (C ) AB 2 a 3a Theo giả thiết ta có AB (4 2a ) 25 a Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4) Gọi A(a; Bài 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0) Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật đó d ( I , AB) AD = AB = BD = +) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 +) Tọa độ A, B là nghiệm x 25 (x ) y y A(2;0), B(2; 2) hệ: x 2 x y y C (3;0), D(1; 2) Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x y , phân giác BN : x y Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC Do AB CH nên AB: x y 2 x y ta có (x; y)=(-4; 3) x y 1 Do đó: AB BN B(4;3) + Lấy A’ đối xứng A qua BN thì A ' BC Giải hệ: - Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x y Gọi I (d ) BN 2 x y Suy ra: I(-1; 3) A '(3; 4) x 2y 7 x y 25 + Phương trình BC: x y 25 Giải hệ: x y 1 13 Suy ra: C ( ; ) 4 Giải hệ: Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (12) 7.1 1(2) 25 450 , d ( A; BC ) 3 12 1 450 45 d ( A; BC ).BC 2 4 + BC (4 13 / 4) (3 / 4) Suy ra: S ABC Giáo viên: Phan Minh Dũng Lop12.net (13)