Đề số 01 Thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 2010 môn toán

Chọn ngẫu nhiên 4 tấm bìa và ghép lại được một số có bốn chữ số.. Tìm xác suất để số được chọn nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 2.[r]

ĐỀ THAM KHẢO SỐ 01 THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010 Môn TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I ( 2.0 điểm ) 2x 1 x 1 Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm tọa độ điểm A thuộc (C) cho IA vuông góc với tiếp tuyến (C) A + A  x0 ; y0   (C )  y0   x0     + Từ câu 1) ta có: I 1;   IA   x0  1; y0     x0  1;  x0     hệ số góc đường thẳng IA là k1   x0  1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y  + hệ số góc tiếp tuyến A: k2  y  x0   1  x0  1  x0  + IA vuông góc với tiếp tuyến (C) A  k1.k2  1    x0  Câu II ( 2.0 điểm ) Giải phương trình sin2x  cos x   sin x  cos x   + Dùng cách biến đổi a sin x  b cos x  A sin  x    , ta có:   1 3       sin x  cos x   3.2  sin x  cos x    sin  x    3sin  x   (2) 2 2  6 3     + Đặt u  x   , ta được: sin u   sin u  2sin u  3     sin u   u  k  x    k  k    sin u     Cách + Dùng cách biến đổi a sin x  b cos x  A cos  x    , ta có:   1 3       sin x  cos x   3.2  sin x  cos x    cos  x    3cos  x   2 2  3 6        cos  x       2       cos  x    3cos  x       cos  x     x   k  k      6 6 6     cos  x     6   Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page Lop12.net Giải bất phương trình   log3 x  log9 x   (1)  log3 x  log3 x + Biến đổi (1) thành   (2)  log3 x  log3 x + Điều kiện: x  0; x  3; x  + Đặt t  log3 x  t  0; t  2  , ta được:  x   t  0; t  2 t  2   (2)    t  1 t     1  t     x     t  1  t   t     x  81   Câu III ( 1.0 điểm ) Tính tích phân I   1  cos x  sin x dx  cos x + Đặt t  cos x t   cos x + KQ I  2ln 1 Câu IV ( 1.0 điểm ) Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’ bán kính R, chiều cao OO’ = R Trên đường tròn (O) lấy điểm A, trên đường tròn (O’) lấy điểm B cho OA vuông góc với O’B Chứng minh tứ diện OABO’ có các mặt là tam giác vuông Tính thể tích khối tứ diện OABO’ theo R  AOO '  OO 'B   AOB   AO ' B  900 + chứng minh  R + Tính VAOO ' B  SOO ' B OA  Câu V ( 1.0 điểm ) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện ab  a  b  Chứng minh 3a 3b ab    a  b2  b 1 a 1 a  b + Ta có:  a  b  ab  a  b    a  b  (BĐT CoSi) a  b  (1)   a  b   a, b    a  b  6 ab   (2) + ab  a  b   ab a b + ab  a  b    a 1 b 1  (3) Kết hợp (1), (2) và (3), ta được: 3 3 3a 3b ab  a 1   b 1  1 a  b2      3a     a  b2    a  b     3b   4 ab b 1 a 1 a  b     ab 12  a  b2   a  b    10 ab + Lưu ý rằng: a  b 2  a  b  2 Ta chứng minh: + Đặt x  a  b  Ta cần chứng minh: x  x  Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010  a  b  2  3 a  b  12  10 (4) ab 24  20  , với x  (5) x Page Lop12.net + Biến đổi (5) thành f  x   x3  x  20 x  24  , với x  + Ta có: f   x   3x  12 x  20  , với x  Từ đó suy f  x   f    + Đẳng thức xảy  x   a  b  II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a ( 2.0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2  y  x  y   Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O và cắt (C) hai phân biệt A, B cho AB  + (C) có tâm I 1;  và bán kính R  + phương trình đường thẳng d qua O  0;0  có dạng: Ax  By   A2  B   + Ta có AB  và d  I , (d )   A  2B A2  B  Suy B  A A 1 + Chọn   d : x  2y  B  2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;0  , B  5; 1; 2  và mặt phẳng (P) có phương trình x  y  z   Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA2  MB2 nhỏ + Gọi I là trung điểm AB, ta có: I  3; 2; 1   + Biến đổi MA2  MB2  MA  MB  2MI  IA2  IB2 + MA2  MB2 nhỏ  MI nhỏ  M là hình chiếu vuông góc I trên (P) + Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) + M là giao điểm d và (P) Từ đó suy M  4; 1;0  Câu VII.a ( 1.0 điểm ) Một hộp đựng bìa đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên bìa và ghép lại số có ba chữ số Tìm xác suất để số chọn lớn 300 +  : không gian mẫu    A53  60 + x  abc  300  a 3; 4;5 Có cách chọn a và A42 cách chọn b, c Khi đó: số các số lớn 300 là A42  36 + Xác suất để số chọn lớn 300 là p  36  60 Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b ( 2.0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2  y  x  y   Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm A 1;5 đến (C) + (C) có tâm I  3;  , bán kính R  Gọi d là tiếp tuyến kẻ từ điểm A 1;5 đến (C) + TH1 d: x  là tiếp tuyến kẻ từ A (C), vì d  I ,(d )    R + TH2 d: y  k  x  1  , với k là hệ số góc d d tiếp xúc với (C)  d  I , (d )   R  k  Khi đó d: x  24 y  127  7 24 Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page Lop12.net Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  0;0; 3 , B  2;0; 1 và mặt phẳng (P) có phương trình 3x  y  z   Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC là tam giác + C  x0 ; y0 ; z0   ( P)  3x0  y0  z0   (1)   x0  z0   + ABC  AB  BC  AC   (2)   x0  y0   z0  3   2 1 + Giải hệ (1) và (2), ta C1  2; 2; 3 và C2   ;  ;    3 3 Câu VII.b ( 1.0 điểm ) Một hộp đựng bìa đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên bìa và ghép lại số có bốn chữ số Tìm xác suất để số chọn thiết phải có hai chữ số và +  : không gian mẫu    A54  120 + B: biến cố chọn số thỏa mãn đề bài và số cần tìm có dạng x  abcd + Có A42 cách chọn vị trí 1, và có A32 cách chọn hai vị trí còn lại Ta có B  A42 A32  72 + Xác suất cần tìm p( B)  B 72    120 Hướng dẫn Câu I ( 2.0 điểm ) + A  x0 ; y0   (C )  y0   x0  Câu II ( 2.0 điểm ) Câu III ( 1.0 điểm ) Câu IV ( 1.0 điểm ) Câu V ( 1.0 điểm ) Câu VI.a ( 2.0 điểm ) Câu VII.a ( 1.0 điểm ) Câu VI.b ( 2.0 điểm ) Câu VII.b ( 1.0 điểm ) Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page Lop12.net