Chuyên đề về Điện phân

Viết phương trình mặt phẳng Q song song với P và khoảng cách từ tâm mặt cầu S ñến mặt phẳng Q bằng 3... Theo chương trình Nâng cao.[r]

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐƯỜNG AN ĐÊ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2010- 2011 MÔN: TOÁN – KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7, ñiểm) Câu I (2,0 ñiểm) Cho hàm số y = x + 2m x + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) m = Chứng minh ñường thẳng y = x + luôn cắt ñồ thị hàm số (1) hai ñiểm phân biệt với giá trị m Câu II (2,0 ñiểm) sin3 x sin x + cos3 x cos3 x 1 Giải phương trình: =−  π  π tan  x −  tan  x +  6 3    x3 + y = y + 16 x Giải hệ phương trình:  2 1 + y = 5(1 + x ) Câu III (1,0 ñiểm) Tính tích phân: I = ∫ (1 + x +1 + 2x ) dx Câu IV (1,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông ñỉnh A, AB = a Gọi I trung ñiểm

 cân

 BC, hình chiếu vuông góc H S lên mặt ñáy (ABC) thỏa mãn IA = −2 IH , góc SC và mặt ñáy ( ABC ) 600 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung ñiểm K SB tới ( SAH ) Câu V (1,0 ñiểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thay ñổi và thỏa mãn: x + y + z2 ≤ xyz Tìm giá trị lớn x y z + + x + yz y + zx z + xy II PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh ñược làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 ñiểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3; 0), ñường cao từ ñỉnh B có phương trình: x + y + = , trung tuyến từ ñỉnh C có phương trình: x − y − = Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biểu thức: P = ( ) ( P ) : x + y − 2z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q ) song song với ( P ) và khoảng cách từ tâm mặt cầu ( S ) ñến mặt phẳng (Q ) Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz, cho mặt cầu S : x + y + z2 − x − y + z − 16 = và mặt phẳng Câu VII.a (1,0 ñiểm) Tìm số phức z thỏa mãn: z2 + z = B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b(2,0 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ 0xy, cho ñiểm A(2; 1) Lấy ñiểm B nằm trên trục hoành có hoành ñộ không âm cho tam giác ABC vuông A Tìm toạ ñộ B, C ñể tam giác ABC có diện tích lớn Trong không gian với hệ trục toạ ñộ Oxyz cho ñiểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B và vuông góc với (Q) Câu VII.b(1,0 ñiểm): Tìm m ñể hàm số: y = mx − có hai ñiểm cực trị A, B và ñoạn AB ngắn x - Hết -Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh Lop12.net SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT ĐƯỜNG AN Câu I ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2010- 2011 MÔN: TOÁN – KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề Đáp án Điểm (1, ñiểm) Khảo sát… Với m=1, hàm số trở thành: y = x + x + * Tập xác ñịnh: R * Sự biến thiên + y ' = x3 + x = x( x + 1) ⇒ y ' = ⇔ x = Ta có: y ' > ⇔ x > 0; y ' < ⇔ x < Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) và ñồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ; ñạt cực tiểu x=0; y(0)=1 + Giới hạn: lim y = lim y = +∞ x →−∞ 0, 25 0, 25 x →+∞ Bảng biến thiên: x −∞ y' y +∞ +∞ 0 - 0, 25 + +∞ * Đồ thị: Hàm số ñã cho là hàm số chẵn nên ñồ thị nhận trục tung làm trục ñối xứng 0,25 -1 2 (1, ñiểm) Chứng minh ñường thẳng … Số giao ñiểm hai ñồ thị tương ứng với số nghiệm phương trình: x + 2m x + = x + ⇔ x( x + 2m x − 1) = (*) 0,25 x = Phương trình (*) có nghiệm ⇔   x + 2m x − = 0(**) x=0 Ta ñi chứng minh phương trình: x + 2m x − = (**) có ñúng nghiệm khác với giá trị m 0,25 * Nếu m=0 thì pt(**) trở thành: x3 − = ⇔ x = ⇒ pt(*) có ñúng nghiệm • Nếu m ≠ , Xét hàm số f ( x) = x3 + 2m x − trên R • Ta có: f '( x) = x + 2m > 0, ∀x ∈ R ⇒ f(x) luôn ñồng biến trên R ⇒ f ( x) = có 0,25 Lop12.net II nhiều nghiệm Ta có: f(0) = -1; f(1) =2m2 >0 ⇒ f (0) f (1) < ⇒ pt f ( x) = có nhiều nghiệm thuộc (0; 1) Vậy pt (**) có ñúng nghiệm khác ⇒ (ñpcm) Giải phương trình… ĐK: x ≠ π +k π     π π π  π Ta có: tan  x −  tan  x +  = tan  x −  cot  − x  = −1 6 3 6    6  Phương trình tương ñương ñương với: sin3 x sin x + cos3 x cos3 x = − cos2 x cos2 x − cos4 x + cos2 x cos2 x + cos4 x ⇔ + = 2 2 ⇔ ( cos2 x + cos2 x.cos4 x ) = 1 ⇔ cos3 x = ⇔ cos2 x =  π  x = + kπ (loại) π , k ∈ ℤ Vaäy x = − + kπ , k ∈ ℤ ⇔  x = − π + kπ   x3 + y = y + 16 x 2.(1, ñiểm) Giải hệ phương trình:  2 1 + y = 5(1 + x )  x( x − 16) = y ( y − 4)  x( x − 16) = x y (1) HPT ⇔  ⇔  2 (2)  y − = x  y − = x x = Pt (1) ⇔   x − 16 = xy (3) +) x = thay vào (2) ta ñược y = ±2 III x − 16 +) x ≠ , pt (3) ⇔ y = thay vào (2) ta ñược: 124 x + 132 x − 256 = ⇔ x = 5x • Nếu x = thì y = -3 • Nếu x =-1 thì y = Vậy HPT có các nghiệm: (x; y) =( 0; 2); (0; -2); (1; -3); (-1; 3) Tính tích phân Đặt t = + + x ⇒ dt = Đổi cận: x t Ta có: dx + 2x ⇒ dx = (t − 1)dt vaø x = t − 2t 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0,5 0,25 0.25 4 0.5 Lop12.net ( ) 4 t − 2t + ( t − 1) t − 3t + 4t −  I= ∫ dt dt = = t − 3+ − ∫ ∫ 2 22 22 2 t t t t  t2 2 =  − 3t + ln t +  2 t2   dt  Tính thể tích và khoảng cách



 Ta cĩ: IA = −2 IH ⇒ H thuộc tia đối tia IA và IA = 2IH 0.25 = ln − IV BC = AB = 2a; AI = a; IH = AH = AI + IH = 3a S IA a = 2 K B A I H C Ta có: HC = AC + AH − AC AH cos 450 ⇒ HC = ( )  = 600 Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SC; ( ABC ) = SCH SH = HC tan 600 = V a 0.25 a 15 a3 15 VS ABC = S ABC SH = (dvtt) BI ⊥ AH   ⇒ BI ⊥ ( SAH ) BI ⊥ SH  d (K ;(SAH )) SK 1 a Ta coù: = = ⇒ d ( K ;(SAH )) = d ( B;(SAH )) = BI = d (B;(SAH )) SB 2 2 Tính giá trị lớn P Vì x,y,z > Áp dụng BĐT Côsi ta có: x y z 1 2   P≤ + + =  + + zx xy  x yz y zx z xy  yz  1 1 1   yz + zx + xy   x + y + z2  ≤  + + + + + =   ≤  4 y z z x x y 2 xyz xyz  2   xyz  ≤  =  xyz  Dấu xảy ⇔ x = y = z = Vaäy MaxP = VI.a 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 Viết phương trình ñường tròn… Kí hiệu : d1 : x + y + = 0; d2 : x − y − =



 d1 coù vectô phaùp tuyeán n1 = (1;1) vaø d coù vectô phaùp tuyeán n2 = (1; −1) + Phương trình AC : x − y − = 0.25 A M d2 x − y − = ⇒ C ( −1; −4 ) + Tọa ñộ C :  2 x − y − = C d1 B Lop12.net  x + yB  Gọi B( xB ; yB ) ⇒ M  B ;  (M trung ñieåm AB) 2    x B + yB + =  B ⊂ d1 , M ⊂ d ⇒  ⇒ B(−1; 0) yB −2 =  xB + −  Gọi phương trình ñường tròn qua A, B, C có dạng : x + y + 2ax + 2by + c = Thay tọa ñộ A, B, C vào phương trình và giải hệ ta có phương trình ñường tròn cần lập : x2 + y2 − 2x + 4y − = Viết phương trình mặt cầu… ( S ) : x + y + z − x − 4y + 2z = ( S ) coù taâm I ( 2;2; −1) Vì ( Q ) / / ( P ) neân ( Q ) coù daïng: x + y − z + D = 0, ñieàu kieän D ≠ 1( *) ( ) d I ,( P ) = ⇔ VII a 2.2 + 1.2 − 2(−1) + D 22 + 12 + (−2)2 0.25 0.5 0.25 0.25 =3  D = (L) ⇔ D+8 = ⇔   D = −17 Vaäy phöông trình cuûa (Q): 2x + y − z − 17 = Gọi z = a + bi a, b ∈ ℝ 0.25 0.25 0.25 z2 + z = ⇔ ( a + bi ) + ( a − bi ) = ⇔ a + 2abi − b + 2a − 2bi = 0.25 ⇔ a − b + 2a + 2(ab − b)i = 2  a2 − b2 + 2a = ⇔ ⇔ (a = 1; b = ± 3),(a = 0; b = 0), ( a = −2; b = ) 2(ab − b) = VI.b Vậy có số phức thỏa mãn: z = 0, z = −2, z = ± 3i (1 ñiểm): Tìm toạ ñộ B, C ñể tam giác ABC có diện tích lớn Gọi A(2; 1); B(b; 0); C(0; c); b, c > Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông A





 nên AB AC = ⇔ c = −2b + ≥ ↔ O ≤ b ≤ 1 S ∆ABC = AB AC = (b − 2) + 22 + (c − 1) = (b − 2) + = b − 4b + 2 Do ≤ b ≤ → Smax b =0 Suy B(0; 0); C(0; 5) 2.(1 ñiểm) Lập phương trình mặt phẳng…









 Ta có AB = (1;1;1), nQ = (1; 2;3),  AB; nQ  = (1; −2;1)




 




 Vì  AB; nQ  ≠ nên mặt phẳng (P) nhận  AB; nQ  làm véc tơ pháp tuyến Vậy (P) có phương trình x - 2y + z - = VII.b (1 ñiểm): Tìm m ñể hàm số: y = mx − có hai ñiểm cực trị A, B và ñoạn AB ngắn x Lop12.net 0.25 0.25 0,25 0,5 0,25 Ta có: y ' = mx + x2 0,25 Hàm số có hai cực trị ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ m < 0(*) Khi m<0 ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị là:     A − ; −m  , B  ; −2 − m  ⇒ AB = + 16 ( − m ) ( −m ) −m    −m  AB ≥ 0,25 0,25 16 ( −m ) = 16 ( không ñổi) ( −m )  m=−  AB = ⇔ = 16(−m) ⇔  −m m =  0,25 Kết hợp với ñiểu kiện (*) ta ñược m = − KL: Lop12.net