Ngoài cách giải trên hs có thể lựa chọn phương pháp cấp số cộng thuộc chương trình giải tích lớp 11 Chú ý : Do chương trình mới giảm tải bài điểm uốn của chương trình ban cơ bản , sự giả[r]
(1)Bộ Giáo Dục và Đào tạo ĐỀ THAM KHẢO Email: phukhanh@moet.edu.vn ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN - khối A Ngày thi : 07.03.2010 (Chủ Nhật ) ĐỀ 02 I PHẦN BẮT BUỘC ( 7,0 điểm ) Câu I : ( điểm ) Cho hàm số : y = x − 3x − 9x + m , m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Câu II: ( điểm ) 1 Giải phương trình log x + + log4 x − = log 4x x x Giải phương trình: + cos2 = sin2 2 ( ) ( ) ( ) ∫ π cos x ta n x π Câu III: ( điểm ) Tính tích phân: I = + cos2 x dx 2 Câu IV: ( điểm ) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x , < x < và AC = BC = BD = DA = Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích này lớn và tính giá trị lớn đó Câu V: ( điểm ) Tìm các giá trị tham số thực m để phương trình − x − x + 2x + = m có nghiệm thuộc đoạn − ;1 II PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( phần ) Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( điểm ) ( ) ( ) Tìm tham số thực m cho đường thẳng d : x = y − = z + cắt mặt cầu (S ) : x + y + z + 4x − 6y + m = điểm phân biệt M , N cho độ dài dây cung MN = ( ) ( ) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng (d ) có phương trình: 2x − y − = và hai điểm A 1;2 , B 4;1 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d ) và qua hai điểm A, B Câu VII.a ( điểm ) Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: ( ) ( ) C n0 + 2.C n1 + 3.C n2 + 4.C n3 + + n.C nn −1 + n + C nn = n + 2n −1 Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( điểm ) ( ) ( ) Tìm tham số thực m cho đường thẳng d : x = y − = z + tiếp xúc mặt cầu (S ) : x + y + z + 4x − 6y + m = Tìm trên đường thẳng (d ) : 2x − y − = điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2x + y + = Câu VII.b ( điểm ) Với n là số tự nhiên, giải phương trình: ( ) ( ) C n0 + 2.C n1 + 3.C n2 + 4.C n3 + + n.C nn −1 + n + C nn = 128 n + Cán Bộ coi thi không giải thích gì thêm Lop12.net (2) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( điểm ) Cho hàm số : y = x − 3x − 9x + m , m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Học sinh tự làm Tìm tất các giá trị tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình x − 3x − 9x + m = có nghiệm phân biệt x 1, x , x lập thành cấp số cộng () () ⇔ Phương trình x − 3x − 9x + m = * có nghiệm phân biệt x 1, x , x thỏa mãn : x + x = 2x mà () ()() x + x + x = Từ , suy x = () • x = là nghiệm phương trình * nên ta có : 13 − 3.12 − 9.1 + m = ⇔ m = 11 () • m = 11 phương trình * ⇔ x − 3x − 9x + 11 = có nghiệm x 1, x , x luôn thỏa điều kiện x + x = 2x Vậy m = 11 là tham số thực cần tìm Ngoài cách giải trên hs có thể lựa chọn phương pháp cấp số cộng thuộc chương trình giải tích lớp 11 Chú ý : Do chương trình giảm tải bài điểm uốn chương trình ban , giảm tải này đã dẫn đến các bài toán cấp số cộng , cấp số nhân khá hạn chế đề thi Nếu xuất bài toán cấp số thì việc lựa chọn phương pháp giải liên quan điểm uốn không chấp nhận Do đó học sinh cần lưu ý điều này Câu II: ( điểm ) 1 Giải phương trình log (x + 3) + log (x − 1)8 = log (4x ) x > −3 Điều kiện : x ≠ ⇔ < x ≠ x > 1 Phương trình : log (x + 3) + log (x − 1)8 = log (4x ) ⇔ log2 (x + 3) + log2 x − = log2 (4x ) * TH1: < x < Phương trình : * ⇔ ⇔ log2 x + −x + = log2 4x Hs tự giải TH2: x > Phương trình : * ⇔ ⇔ log2 x + x − = log2 4x x = −1 l ⇔ x − 2x − = ⇔ ⇔ x = x = x x Giải phương trình: + cos2 = sin2 2 2x + cos 1 2x x = − cos x ⇔ + + cos 2x = − cos x + cos = sin ⇔ + 2 4 x x x x x ⇔ + cos = − cos ⇔ + cos2 − = − cos3 − cos 3 3 3 3 x x x x x x x ⇔ + cos2 − + cos3 − cos = ⇔ cos cos2 + cos − = 3 3 3 3 3 () () ( )( () ( () )( ) ) ( ) ( ) Lop12.net (3) x cos = 3 x ⇔ cos = 3 x cos = − 3 x x π 3π cos = = + kπ x = + k 3π ⇔ ⇔ 3 ⇔ x π x = ± π + k 2π x = ±π + k 6π cos = cos 3 3 l () 2 Câu IV: ( điểm ) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x , < x < và AC = BC = BD = DA = Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích này lớn và tính giá trị lớn đó Đây là dạng toán sách bài tập hình học 12 Học sinh tự vẽ hình Gọi I , J là trung điểm các cạnh AB,CD 1 AI dtICD , VBICD = BI dtICD 3 1 Hay : VABCD = dtICD AI + BI , dtICD = IJ CD Dễ dàng chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung AB,CD Dễ thấy VABCD = VAICD + VBICD , VAICD = ( ) Ta có : IJ = CI − CJ = − 2x 2, AI = BI = x 1 IJ CD = − 2x 2x = x − 2x (đvdt) 2 1 2x = dtICD AI + BI = x − 2x x + x = − 2x (đvtt) 3 ⇒ dtICD = VABCD ( ) ( ( 2x − 2x = x x − 2x 3 ) ) ( 2 2 x + x + − 2x ≤ Đẳng thức xảy : x = x = − 2x ⇔ x = Vậy maxVABCD = (đvdt) x = 3 π Câu III: ( điểm ) Tính tích phân: I = ∫ π cos x ta n x + cos2 x dx π I = ∫ π cos x π ta n x + cos2 x dx = π ∫ π ta n x dx = cos x +1 cos2 x ∫ π cos ta n x x t a n2 x + dx cos2 x π x = ⇒ u = Đổi cận : π x = ⇒ u = Đặt u = t a n x ⇒ du = Lop12.net dx 3 ) = (4) Do đó I = ∫ 1 u u +2 du = ∫d ( ) u2 + = u2 + 1 3− = 3 Học sinh yếu có thể đặt t = u + ⇒ dt = u u +2 du Câu V: ( điểm ) Tìm các giá trị tham số thực m để phương trình − x − x + 2x + = m có nghiệm thuộc đoạn − ;1 − x − x + 2x + = m, m ∈ R Xét hàm số : f x = − x − x + 2x + xác định và liên tục trên đoạn − ;1 3x 3x + 4x 3x + Ta có : f ' x = − − = −x + − x2 x + 2x + x + 2x + 1−x 3x + + > ∀x ∈ − ;1 ta có x > − ⇒ 3x + > ⇒ − x2 x + 2x + ( ) ( ) ( ) Vậy: f ' x = ⇔ x = Bảng biến thiên: − x ( ) f' x ( ) f x | + 3 − 22 1 − || −4 3 − 22 Phương trình đã cho có nghiệm thuộc − ;1 ⇔ −4 ≤ m < m = II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Ban và nâng cao có cùng đáp án Câu VI.a ( điểm ) ( ) ( ) Tìm tham số thực m cho đường thẳng d : x = y − = z + cắt mặt cầu (S ) : x + y + z + 4x − 6y + m = điểm phân biệt M , N cho độ dài dây cung MN = (S ) : x + y + z + 4x − 6y + m = ⇔ (S ) :(x − 2)2 + (y − 3)2 + z = 13 − m có tâm I ( 2; 3; ) , bán kính R = IN = 13 − m , m < 13 Dựng IH ⊥ MN ⇒ MH = HN = ⇒ IH = IN − HN = 13 − m − 16 = −m − 3, m < −3 và IH = d I ; d ( ( )) (d ) luôn qua A ( 0;1; −1) và có vectơ phương u = 1; 21 ; = 21 (2; 1; 2) Lop12.net (5) AI = (−2; 2; 1); [AI ; u ] = (3; 6; − 6) [AI ; u ] 32 + 62 + 62 ⇒ d I; d = = = ( ( )) u 22 + 12 + 22 81 = IH = d I ; d ⇔ −m − = ⇔ − m − = ⇔ m = −12 ( ( )) Vậy m = −12 thỏa mãn yêu cầu bài toán Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng (d ) có phương trình: 2x − y − = và hai điểm A(1;2) , B(4;1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d ) và qua hai điểm A, B Phương trình đường trung trực AB là 3x − y − = 2x − y = x = Tọa độ tâm I đường tròn là nghiệm hệ: ⇔ ⇒ I 1; −3 ⇒ R = IA = 3x − y = y = −3 ( ( ) ( Phương trình đường tròn là x − + y + ) ) = 25 Câu VII.a ( điểm ) Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: C n + 2.C n + 3.C n + 4.C n3 + + n.C nn −1 + (n + 1).C nn = (n + 2).2n −1 ( Ta có : + x ) n = C n0 + C n1x + C n2x + C n3x + + C nn −1x n −1 + C nn x n ( Nhân vào hai vế với x ∈ ℝ , ta có: + x Lấy đạo hàm hai vế ta được: ) n x = C n0x + C n1x + C n2x + C n3x + + C nn −1x n + C nn x n +1 ( ) C n0 + 2C n1x + 3C n2x + 4C n3x + + nC nn −1x n −1 + n + C nn x n ( = n 1+x ) n −1 ( x + 1+x ) = (1 + x ) (nx + x + 1) n n −1 Thay x = , ta kết : C n0 + 2.C n1 + 3.C n2 + 4.C n3 + + n.C nn −1 + (n + 1).C nn = (n + 2).2n −1 Một bài toán giải này đúng chưa ? 95 y2 Cho nhị thức x 3y + , có bao nhiêu số hạng dãy mà số mũ x chia hết số mũ y x 95 y2 Cho nhị thức x 3y + , có bao nhiêu số hạng dãy mà số mũ x chia hết số mũ y x 95 i 95 95 95 −i y y2 i i 3.95 − 4.i 95 +i y , ≤ i ≤ 95 x y + x = ∑C 95 ( x y ) x = ∑C 95x i =0 i =0 Số mũ của x chia hết số mũ y , đó tồn số nguyên t cho (t + ) i = 95 ( − t ) • t = −4 thì ( * ) vô nghiệm 95 ( − t ) , ≤ i ≤ 95 ⇒ t = 0,1, 2, • t ≠ −4 thì ( * ) ⇒ i = t+4 95.3 loại + t =0⇒i = 95.2 + t =1⇒i = = 38 nhận , số hạng cần tìm là C 9538x 133 y 133 95 loại + t =2⇒i = Lop12.net ( *) (6) + t = ⇒ i = nhận , số hạng cần tìm là C 950 x 258 y 95 Vậy có hai số hạng thỏa mãn bài toán : C 950 x 258 y 95 và C 9538x 133 y 133 Lop12.net (7)