Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm số đến hai tiệm cận bằng một hằng số:.. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ 1.[r]
(1)Khaûo saùt haøm soá CHÖÔNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ I TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ Ñinh nghóa: Hàm số f đồng biến trên K (x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) < f(x2) Haøm soá f nghòch bieán treân K (x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) > f(x2) Ñieàu kieän caàn: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x) 0, x I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I a) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I b) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I c) Nếu f(x) = 0, x I thì f không đổi trên I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực các bước sau: – Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá – Tính y Tìm các điểm mà đó y = y không tồn (gọi là các điểm tới haïn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch bieán cuûa haøm soá Baøi Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: x2 x 4 a) y x x b) y d) y x x x e) y (4 x )( x 1)2 f) y x x x i) y g) y x 2x2 h) y x x k) y 2x 1 x5 l) y n) y x x 26 x2 o) y x x 1 2 x Trang Lop12.net c) y x x x x 2 10 10 m) y 1 x p) y 1 x x 15 x 3x (2) Khaûo saùt haøm soá Baøi Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: a) y 6 x x x d) y 2x 1 x b) y e) y x2 c) y x2 x x 2 k) y sin x x2 x f) y x 2 x x 3x h) y x x g) y x x x2 x i) y x x l) y sin x x x 2 VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên khoảng xác định) Cho haøm soá y f ( x , m) , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh D Hàm số f đồng biến trên D y 0, x D Haøm soá f nghòch bieán treân D y 0, x D Từ đó suy điều kiện m Chuù yù: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Neáu y ' ax bx c thì: a b c y ' 0, x R a a b c y ' 0, x R a 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) ax bx c : Nếu < thì g(x) luôn cùng dấu với a Nếu = thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = b ) 2a Nếu > thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a 4) So sánh các nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) ax bx c với số 0: x1 x2 P S x1 x2 P S x1 x2 P 5) Để hàm số y ax bx cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d thì ta thực các bước sau: Tính y Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: a (1) Trang Lop12.net (3) Khaûo saùt haøm soá Biến đổi x1 x2 d thành ( x1 x2 )2 x1 x2 d (2) Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Bài Chứng minh các hàm số sau luôn đồng biến trên khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y x x 13 x2 2x d) y x 1 b) y x3 3x x e) y x sin(3 x 1) c) y 2x 1 x2 x 2mx f) y xm Bài Chứng minh các hàm số sau luôn nghịch biến trên khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y 5 x cot( x 1) b) y cos x x c) y sin x cos x 2 x Bài Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc khoảng xaùc ñònh) cuûa noù: a) y x 3mx (m 2) x m b) y d) y mx xm e) y x mx 2x c) y xm xm x 2mx xm f) y x 2mx 3m x 2m Bài Tìm m để hàm số: a) y x x mx m nghịch biến trên khoảng có độ dài b) y x mx 2mx 3m nghịch biến trên khoảng có độ dài 3 c) y x (m 1) x (m 3) x đồng biến trên khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: a) y x3 (m 1) x (m 1) x đồng biến trên khoảng (1; +) b) y x 3(2m 1) x (12m 5) x đồng biến trên khoảng (2; +) c) y mx (m 2) đồng biến trên khoảng (1; +) xm d) y xm đồng biến khoảng (–1; +) xm x 2mx 3m e) y đồng biến trên khoảng (1; +) x 2m f) y 2 x x m nghịch biến trên khoảng ; 2x Trang Lop12.net (4) Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực các bước sau: Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc <, , ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định đề bài định Xét dấu f (x) Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến để kết luận Chuù yù: 1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h (x) … nào xét dấu thì thôi 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức dạng: f(a) < f(b) Xét tính đơn điệu hàm số f(x) khoảng (a; b) Bài Chứng minh các bất đẳng thức sau: x3 sin x x , với x a) x c) x tan x , với x b) sin x tan x x , với x 3 d) sin x tan x x , với x Bài Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tan a a , với a b tan b b b) a sin a b sin b, với a b c) a tan a b tan b, với a b Bài Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) sin x 2x , với x b) x c) x sin x cos x 1, với x x3 x3 x5 sin x x , với x 6 120 Bài Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) e x x , với x c) ln(1 x ) ln x b) ln(1 x ) x , với x , với x 1 x d) x ln x x x Bài Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tan 550 1,4 b) sin 200 20 HD: a) tan 550 tan(450 100 ) Xeùt haøm soá f ( x ) c) log2 log3 1 x 1 x b) Xeùt haøm soá f ( x ) x x 1 1 f(x) đồng biến khoảng ; và ,sin 200 , ; 2 20 2 c) Xét hàm số f ( x ) log x ( x 1) với x > Trang Lop12.net (5) Khaûo saùt haøm soá VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực các bước sau: Chọn nghiệm x0 phương trình Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến Khi đó (C1) và (C2) giao điểm có hoành độ x0 Đó chính là nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số là hàm y = C thì kết luận trên đúng Baøi Giaûi caùc phöông trình sau: a) x x 5 b) x x x c) x x x x 16 14 d) x 15 x x Baøi Giaûi caùc phöông trình sau: a) x 1 x x b) ln( x 4) x c) 3x x 5x d) x 3x 5x 38 Baøi Giaûi caùc baát phöông trình sau: a) x x x 13 x b) x x x x x 35 Baøi Giaûi caùc heä phöông trình sau: 2 x y y y a) 2 y z3 z2 z 2 z x x x x y3 y y b) y z3 z2 z z x3 x x y x 12 x c) z3 y 12 y x z2 12 z tan x tan y y x 5 d) 2 x 3y x, y 2 sin x sin y x 3y e) x y x , y sin x y sin y x f) 2 x 3y 0 x, y cot x cot y x y g) 5 x y 2 0 x , y h) HD: a, b) Xeùt haøm soá f (t ) t t t c) Xeùt haøm soá f (t ) 6t 12t d) Xeùt haøm soá f(t) = tant + t Trang Lop12.net (6) Khaûo saùt haøm soá II CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D R) và x0 D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) D và x0 (a; b) cho f(x) < f(x0), với x (a; b) \ {x0} Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) D và x0 (a; b) cho f(x) > f(x0), với x (a; b) \ {x0} Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 là điểm cực trị f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 và đạt cực trị điểm đó thì f (x0) = Chú ý: Hàm số f có thể đạt cực trị điểm mà đó đạo hàm không có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm treân (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 thì f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 thì f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = và có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < thì f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > thì f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui taéc 1: Duøng ñònh lí Tìm f (x) Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà đó đạo hàm không có đạo hàm Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi thì hàm số đạt cực trị xi Qui taéc 2: Duøng ñònh lí Tính f (x) Giaûi phöông trình f (x) = tìm caùc nghieäm xi (i = 1, 2, …) Trang Lop12.net (7) Khaûo saùt haøm soá Tính f (x) vaø f (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f (xi) < thì hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > thì hàm số đạt cực tiểu xi Bài Tìm cực trị các hàm số sau: a) y x x b) y x x x c) f) y y x x 15 x d) y x4 x2 e) y x x g) y x 3x x2 h) y 3x x x 1 i) y x4 x2 2 x x 15 x 3 Bài Tìm cực trị các hàm số sau: 4x2 2x a) y ( x 2)3 ( x 1)4 b) y d) y x x e) y x x 2x2 x c) y 3x x x2 x f) y x x x Bài Tìm cực trị các hàm số sau: 3 x2 2x a) y x b) y d) y x x ln x e) y x 4sin2 x c) y e x 4e x f) y x ln(1 x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 thì f (x0) = x0 không có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 thì f (x) đổi dấu x qua x0 Chuù yù: Hàm số bậc ba y ax bx cx d có cực trị Phương trình y = có hai nghieäm phaân bieät Khi đó x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 ) ax03 bx02 cx0 d + y( x0 ) Ax0 B , đó Ax + B là phần dư phép chia y cho y Haøm soá y ax bx c P( x ) = (aa 0) có cực trị Phương trình y = có hai a' x b' Q( x ) b' a' Khi đó x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P ( x0 ) P '( x0 ) y( x0 ) y( x0 ) Q( x ) Q '( x0 ) nghieäm phaân bieät khaùc Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ Trang Lop12.net (8) Khaûo saùt haøm soá nghiệm ngoại lai Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, là ñònh lí Vi–et Bài Chứng minh các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu: a) y x 3mx 3(m 1) x m3 b) y x 3(2m 1) x 6m(m 1) x x m(m 1) x m c) y xm x mx m d) y x m 1 Bài Tìm m để hàm số: a) y (m 2) x x mx có cực đại, cực tiểu b) y x 3(m 1) x (2m 3m 2) x m(m 1) có cực đại, cực tiểu c) y x 3mx (m 1) x đạt cực đại x = d) y mx 2(m 2) x m có cực đại x e) y x 2mx đạt cực tiểu x = xm x (m 1) x m 4m f) y có cực đại, cực tiểu x 1 g) y x2 x m có giá trị cực đại x 1 Bài Tìm m để các hàm số sau không có cực trị: a) y x x 3mx 3m b) y mx 3mx (m 1) x x mx c) y x 3 x (m 1) x m 4m d) y x 1 Bài Tìm a, b, c, d để hàm số: a) y ax bx cx d đạt cực tiểu x = và đạt cực đại taïi x = 27 b) y ax bx c có đồ thị qua gốc toạ độ O và đạt cực trị –9 x = c) y x bx c đạt cực trị –6 x = –1 x 1 d) y ax bx ab đạt cực trị x = và x = bx a e) y ax x b x2 đạt cực đại x = Bài Tìm m để hàm số : a) y x 2(m 1) x (m 4m 1) x 2(m 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 Trang Lop12.net (9) Khaûo saùt haøm soá cho: 1 (x x ) x1 x2 2 x mx mx đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 x2 1 c) y mx (m 1) x 3(m 2) x đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 3 x1 x2 b) y Bài Tìm m để hàm số : x mx m a) y có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu x m 1 x (m 1) x m 4m có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, x 1 cực tiểu đạt giá trị nhỏ b) y c) y x 3x m có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả M m x4 d) y x 3x m coù yCÑ yCT 12 x2 Bài Tìm m để đồ thị hàm số : a) y x mx có hai điểm cực trị là A, B và AB 900m 729 b) y x mx x m có điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm x mx m có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng xm minh hai điểm cực trị luôn luôn nằm cùng phía trục hoành c) y x mx d) y có khoảng cách hai điểm cực trị 10 1 x x 2mx có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đường x 1 thaúng y = 2x e) y f) y x2 2x m có hai điểm cực trị và khoảng cách chúng nhỏ xm Bài Tìm m để đồ thị hàm số : a) y x mx 12 x 13 có hai điểm cực trị cách trục tung b) y x 3mx 4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y x 3mx 4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu phía đường thaúng (d): x y x (2m 1) x m có hai điểm cực trị nằm hai phía đường x 1 thaúng (d): x 3y d) y Trang Lop12.net (10) Khaûo saùt haøm soá Bài Tìm m để đồ thị hàm số : x (m 1) x 2m có hai điểm cực trị góc phần tư thứ xm mặt phẳng toạ độ a) y 2mx (4m 1) x 32m 2m có điểm cực trị nằm góc phần tư x 2m thứ hai và điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ b) y mx (m 1) x 4m m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ xm và điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ c) y d) y (tung) x (2m 1) x m có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành x 1 VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Haøm soá baäc ba y f ( x ) ax bx cx d Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì: y1 f ( x1 ) Ax1 B y2 f ( x2 ) Ax2 B Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B P( x ) ax bx c Q( x ) dx e P '( x0 ) Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì y0 Q '( x0 ) 2) Hàm số phân thức y f ( x ) Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y P '( x ) 2ax b Q '( x ) d Bài Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : a) y x x x d) y 2x2 x x 3 b) y x x e y c) y x x x x2 x x 2 Bài Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số: a) y x 3mx 3(m 1) x m3 b) y x mx xm c) y x 3(m 1) x (2m 3m 2) x m(m 1) d) y x mx m x m 1 Bài Tìm m để hàm số: a) y x 3(m 1) x 6(m 2) x có đường thẳng qua hai điểm cực trị song Trang 10 Lop12.net (11) Khaûo saùt haøm soá song với đường thẳng y = –4x + b) y x 3(m 1) x 6m(1 2m) x có các điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x c) y x mx x có đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – d) y x x m x m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thaúng (): y x 2 III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ Ñònh nghóa: Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D R) f ( x ) M , x D a) M max f ( x ) D x0 D : f ( x0 ) M f ( x ) m, x D b) m f ( x ) D x0 D : f ( x0 ) m Tính chaát: a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x ) f (b), f ( x ) f (a) [a;b ] [a;b ] b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì max f ( x ) f (a), f ( x ) f (b) [a;b ] [a;b ] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số trên khoảng Tính f (x) Xeùt daáu f (x) vaø laäp baûng bieán thieân Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Tính f (x) Giải phương trình f (x) = tìm các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có) Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) So sánh các giá trị vừa tính và kết luận M max f ( x ) max f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [a;b ] m f ( x ) f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [a;b ] Baøi Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: a) y x x b) y x x Trang 11 Lop12.net c) y x x (12) Khaûo saùt haøm soá d) y x x g) y x e) y ( x 0) x h) y x4 x2 x 1 f) y x2 2x x2 x 2x2 4x x2 i) x2 x ( x 0) x3 x Baøi Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: y a) y x x 12 x treân [–1; 5] b) y x x treân [–2; 3] c) y x x treân [–3; 2] d) y x x treân [–2; 2] e) y 3x treân [0; 2] x 3 f) y g) y 4x2 7x treân [0; 2] x2 h) y x 1 treân [0; 4] x 1 x x2 x x2 treân [0; 1] i) y 100 x treân [–6; 8] k) y x x Baøi Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: 2sin x a) y b) y c) sin x cos2 x cos x y 2sin2 x cos x d) y cos x 2sin x 3 e) y sin x cos x g) y x x x x f) y x2 x4 x2 h) y x x x x VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN hàm số Chứng minh bất đẳng thức Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức Bài Giả sử D ( x; y; z) / x 0, y 0, z 0, x y z 1 Tìm giá trị lớn biểu x y z x 1 y 1 z 1 1 HD: P x 1 y 1 z 1 thức: P 1 Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: ( x 1) ( y 1) ( z 1) 9 x 1 y 1 z 1 3 P Daáu “=” xaûy x = y = z = Vaäy P D 4 5 Bài Cho D = ( x; y ) / x 0, y 0, x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4 Trang 12 Lop12.net (13) Khaûo saùt haøm soá S x 4y 1 1 1 4 HD: x x x x y 25 4( x y ) 25 x x x x 4y x 4y S Daáu “=” xaûy x = 1, y = Vaäy minS = Bài Cho D = ( x; y ) / x 0, y 0, x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y2 xy 1 x 1 y xy 1 x2 y2 2 HD: P (1 x ) (1 y ) 2 = 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y 1 Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: (1 x ) (1 y ) ( x y ) 9 1 x 1 y x y 1 1 x 1 y x y 5 Daáu “=” xaûy x = y = Vaäy minP = Bài Cho D = ( x; y ) / x 0, y 0, x y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P P HD: P 3x y2 4x y2 y y xy x 2 x 8 y Theo bất đẳng thức Cô–si: y P x x 1 x x y y y y 33 8 y2 8 (1) (2) (3) 9 Daáu “=” xaûy x = y = Vaäy minP = 2 VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trị Xét bài toán tìm GTLN, GTNN hàm số f(x) trên miền D cho trước Goïi y0 laø moät giaù trò tuyø yù cuûa f(x) treân D, thì heä phöông trình (aån x) sau coù nghieäm: f ( x ) y0 (1) (2) x D Tuỳ theo dạng hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m y0 M (3) Vì y0 là giá trị bất kì f(x) nên từ (3) ta suy được: f ( x ) m; max f ( x ) M D D Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: Trang 13 Lop12.net (14) Khaûo saùt haøm soá a) y x2 x x x 1 2sin x cos x d) y cos x sin x b) y x x 23 c) y x x 10 2sin x cos x sin x cos x VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và có f ( x ) m; max f ( x ) M Khi D D đó: f (x) 1) Heä phöông trình coù nghieäm m M x D f (x) 2) Heä baát phöông trình coù nghieäm M x D f (x) 3) Heä baát phöông trình coù nghieäm m x D 4) Bất phương trình f(x) đúng với x m 5) Bất phương trình f(x) đúng với x M Baøi Giaûi caùc phöông trình sau: a) x 2 4 x b) 3x 5x x c) x (1 x )5 Bài Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x x m 16 b) x x (2 x )(2 x ) m x x (3 x )(6 x ) m c) d) x x (7 x )(2 x ) m Bài Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với x R: a) x x m b) m x x m c) mx x m Baøi Cho baát phöông trình: x x x m a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả x thuộc [0; 2] Bài Tìm m để các bất phương trình sau: a) mx x m coù nghieäm b) (m 2) x m x coù nghieäm x [0; 2] c) m( x x 1) x x nghiệm đúng với x [0; 1] Trang 14 Lop12.net (15) Khaûo saùt haøm soá IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ Ñònh nghóa: Điểm U x0 ; f ( x0 ) đgl điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho trên hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Tính chaát: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng chứa điểm x0, f(x0) = và f(x) đổi dấu x qua x0 thì U x0 ; f ( x0 ) là điểm uốn đồ thị hàm số Đồ thị hàm số bậc ba y ax bx cx d (a 0) luôn có điểm uốn và đó là tâm đối xứng đồ thị Bài Tìm điểm uốn đồ thị các hàm số sau: a) y x x x d) y x4 2x2 b) y x x x c) y x x e) y x 12 x 48 x 10 f) y 3x 5x 3x Bài Tìm m, n để đồ thị hàm số sau có điểm uốn ra: a) y x x 3mx 3m ; I(1; 2) b) y Trang 15 Lop12.net x3 (m 1) x (m 3) x ; I(1; 3) 3 (16) Khaûo saùt haøm soá 2 d) y x mx nx ; I ; 3 3 c) y mx nx ; I(1; 4) x3 3mx ; I(1; 0) f) y mx 3mx ; I(–1; 2) m Bài Tìm m để đồ thị các hàm số sau có điểm uốn: e) y x5 4 x mx x (4m 3) x x b) y a) y x2 Bài Chứng minh đồ thị các hàm số sau có điểm uốn thẳng hàng: a) y d) y g) y y 2x b) y x2 x 2x e) y x2 x 3x h) y x 3x x3 x 1 c) y x2 x f) y x2 x 3x x 3x x2 x2 2x x2 x i) x2 x2 4x Bài Tìm m, n để đồ thị các hàm số: a) y x x x mx 2m có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2) x3 x mx có điểm uốn trên đường thẳng y x 3 c) y x mx n có điểm uốn trên Ox b) y V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Ñònh nghóa: Đường thẳng x x0 đgl đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f ( x ) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; x x0 x x0 x x0 lim f ( x ) x x0 Đường thẳng y y0 đgl đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f ( x ) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) y0 ; lim f ( x ) y0 x x Đường thẳng y ax b, a đgl đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f ( x ) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim x f ( x ) (ax b) ; lim x f ( x ) (ax b) Chuù yù: Trang 16 Lop12.net (17) Khaûo saùt haøm soá a) Neáu y f ( x ) P( x ) là hàm số phân thức hữu tỷ Q( x ) Nếu Q(x) = có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x0 Nếu bậc(P(x)) bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + thì đồ thị có tiệm cận xiên b) Để xác định các hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau: a lim f (x) ; x b lim f ( x ) ax a lim f (x) ; x b lim f ( x ) ax x x x x Bài Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: a) y 2x x 1 b) y 10 x 1 2x x2 4x ( x 2)2 d) y e) y x 1 1 x Bài Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: a) y d) y x x2 4x x 3x b) y 2 x x2 x3 x e) y x2 x x2 Bài Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: 4x a) y x x b) y x2 x 1 e) y x x x 1 Bài Tìm các tiệm cận đồ thị các hàm số sau: d) y x c) y 2x 2 x 7x2 4x f) y 3x c) y f) y c) y f) y x2 4x x2 x4 x x3 1 x2 4x x 3x x 2 e x e x c) y ln( x x 6) x 2 1 Bài Tìm m để đồ thị các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng: a) y a) y d) y y 2x b) y ln x 2(2m 3) x m x 3 x 2(m 2) x m b) y e) y x2 x 2(m 1) x x 1 x 2(m 1) x m c) y x 3 x2 x m f) x 2mx m Bài Tìm m để đồ thị các hàm số sau có tiệm cận xiên: x (3m 2) x 2m mx (2m 1) x m b) y x5 x2 Bài Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên đồ thị các hàm số sau chắn a) y Trang 17 Lop12.net (18) Khaûo saùt haøm soá trên hai trục toạ độ: 3x x 3 x x x2 x b) y c) y x 1 x2 x 3 Bài Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ tam giác có diện tích S đã ra: a) y a) y x mx ;S=8 x 1 b) y x (2m 1) x 2m ;S=8 x 1 x 2(2m 1) x 4m x mx c) y ; S = 16 d) y ;S=4 x 1 x 1 Bài Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm bất kì trên đồ thị các hàm số đến hai tiệm cận số: a) y x2 x x 1 b) y x 5x x 3 c) y x2 x x 3 VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ Các bước khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá Xét biến thiên hàm số: + Tính y + Tìm các điểm đó đạo hàm y không xác định + Tìm các giới hạn vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm soá Vẽ đồ thị hàm số: + Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương) – Tính y – Tìm các điểm đó y = và xét dấu y + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) đồ thị + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để có theå veõ chính xaùc hôn + Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị Haøm soá baäc ba y ax bx cx d (a 0) : Taäp xaùc ñònh D = R Đồ thị luôn có điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Các dạng đồ thị: Trang 18 Lop12.net (19) Khaûo saùt haøm soá a>0 y’ = coù nghieäm phaân bieät ’ = b2 – 3ac > a<0 y y I 0 x I x y’ = coù nghieäm keùp ’ = b2 – 3ac = y’ = voâ nghieäm ’ = b2 – 3ac < y y I I x x Haøm soá truøng phöông y ax bx c (a 0) : Taäp xaùc ñònh D = R Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng Các dạng đồ thị: a>0 a<0 y y y’ = coù nghieäm phaân bieät ab < 0 x x x y y’ = chæ coù nghieäm ab > 0 y x ax b (c 0, ad bc 0) : cx d d Taäp xaùc ñònh D = R \ c Haøm soá nhaát bieán y d a vaø moät tieäm caän ngang laø y Giao c c điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng đồ thị hàm số Đồ thị có tiệm cận đứng là x Trang 19 Lop12.net (20) Khaûo saùt haøm soá Các dạng đồ thị: y y 0 x x ad – bc > ad – bc < ax bx c (a.a ' 0, tử không chia hết cho mẫu) : a' x b' b' Taäp xaùc ñònh D = R \ a' Hàm số hữu tỷ y b' vaø moät tieäm caän xieân Giao ñieåm cuûa hai a' tiệm cận là tâm đối xứng đồ thị hàm số Các dạng đồ thị: Đồ thị có tiệm cận đứng là x a.a > a.a < y = coù nghieäm phaân bieät y y = voâ nghieäm y 0 x x Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y x x x b) y x x x d) y ( x 1)2 (4 x ) e) y x3 x2 3 y x3 3x x Bài Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: Trang 20 Lop12.net c) y x x f) (21)