Đề luyện thi đại học môn Toán - Đề số 1

Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy ABC thỏa mãn: IA  2 IH , góc giữa SC và mặt đáy ABC bằng 60 0 .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ [r]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7 điểm) Câu I ( điểm) Cho hàm số y  x  (1  2m) x  (2  m) x  m  (1) m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x  y   góc  , biết cos   26 Câu II (2 điểm)  2x  log 21  4  4 x 2 Giải bất phương trình: sin x.2 cos x  1   cos x  cos x  cos x Giải phương trình: Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I   1  x 1  2x  dx Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB  a Gọi I là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA  2 IH , góc SC và mặt đáy (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Câu V(1 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x  y  z  xyz Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z   x  yz y  zx z  xy PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn làm hai phần ( phần A phần B ) A Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x  y   , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x-y-2=0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Câu VII.a (1 điểm)   Cho khai triển: 1  x  x  x   a  a1 x  a x   a14 x 14 Hãy tìm giá trị a B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích 5,5 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x  y   Tìm tọa độ đỉnh C 10 2.Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x  y  z   ,đường thẳng d: x  y 1 z 1   1 3 Gọi I là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng  nằm (P), vuông góc với d và cách I khoảng Câu VII.b (1 điểm)  zi Giải phương trình ( ẩn z) trên tập số phức:    i z Lop12.net ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN –THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 MÔN:TOÁN, Khối A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I(2đ) ý Nội dung 1(1đ) Khảo sát hàm số m = Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3  3x + a) TXĐ: R b) SBT •Giới hạn: lim y  ; lim y   x  Điểm 0,25 x  •Chiều biến thiên: Có y’ = 3x2  6x; y’=0  x =0, x =2 x  + y’ +  + + y  Hàm số ĐB trên các khoảng ( ; 0) và (2 ; +), nghịch biến trên (0 ; 2) •Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = 4; y Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = y(2) = c) Đồ thị: Qua (-1 ;0) Tâm đối xứng:I(1 ; 2) I 0,25 0,25 0,25 -1 x 2(1đ) Tìm m Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến  tiếp tuyến có véctơ pháp n1  (k ;1) d: có véctơ pháp n2  (1;1) Ta có cos   n1 n2 n1 n2  26  0,5  k1   k 1  12k  26k  12    k 1 k  2  Yêu cầu bài toán thỏa mãn  ít hai phương trình: y /  k1 (1) và y /  k (2) có nghiệm x  có nghiệm 3 x  2(1  2m) x   m  /    / có nghiệm   3 x  2(1  2m) x   m   0,25 Lop12.net 1  8m  2m   m   ; m  1    m   m  4m  m   m   ; m   II(2đ) 1(1đ) Giải bất phương trình  2x log  x    Bpt    x log 9  12  x 0,25 2x    log  x  2(1)   2x  3(2) 2  log  x  0,25  3x    x  2x 16 8   x Giải (1): (1)   4 x  x  16    x 17 x    x  2x 4    x Giải (2): (2)   4 x 17 9x     x  4   16  Vậy bất phương trình có tập nghiệm  ;    ;  17    2(1đ) Giải PT lượng giác Pt  sin x(2 cos x  1)  (cos x  cos x)  (cos x  1)  (2 cos x  1)  sin x(2 cos x  1)  4 sin x cos x  sin x  (2 cos x  1) 0,25 0,25 0,25 0,5  (2 cos x  1)( sin x  sin x  1)  • sin x  sin x    sin x  cos x  2  sin( x  x   )  1 0,25  k 2   x   k 2 (k  Z ) • cos x      x   2  k 2 0,25  2 2   k 2 ; x    k 2 và x    k (k Vậy phương trình có nghiệm: x  3  Z) III(1đ) 1(1đ) Tính tích phân x 1 I    2x   dx •Đặt t    x  dt  dx  2x  dx  (t  1)dt và x  t  2t 0,25 Lop12.net Đổi cận x t 4 •Ta có I = 4 (t  2t  2)(t  1) t  3t  4t   dt  dt    t    2   22 22 2 t t t t t2 2 =   3t  ln t   2 t = ln  (1đ)  dt  0,5 0,25 Tính thể tích và khoảng cách IV S •Ta có IA  2 IH  H thuộc tia đối tia IA và IA = 2IH BC = AB  2a ; AI= a ; IH= AH = AI + IH = 0,25 IA a = 2 3a K A B I H C •Ta có HC  AC  AH  AC AH cos 45  HC   a  Vì SH  ( ABC )  ( SC ; ( ABC ))  SCH  60 SH  HC tan 60  • VS ABC  • 0,25 a 15 1 a 15 a 15 S ABC SH  (a )  3 2 0,25 BI  AH    BI  (SAH ) BI  SH  0,25 V (1đ) d ( K ; ( SAH )) SK 1 a    d ( K ; ( SAH ))  d ( B; ( SAH )  BI  Ta có d ( B; ( SAH )) SB 2 2 Tim giá trị lớn P Lop12.net x y z   x  xy y  zx z  xy x y z Vì x; y; z  , Áp dụng BĐT Côsi ta có: P  =   2 x yz y zx z xy P 0,25  2     yz zx xy    1 1 1   yz  zx  xy   x  y  z             y z z x x y   xyz xyz  2  xyz      xyz   Dấu xảy  x  y  z  Vậy MaxP =    0,5 0,25 PHẦN TỰ CHỌN: Câu VIa(2đ) ý Nội dung 1(1đ) Viết phương trình đường tròn… KH: d1 : x  y   0; d : x  y   Điểm 0,25 d1 có véctơ pháp tuyến n1  (1;1) và d có véctơ pháp tuyến n2  (1;1) • AC qua điểm A( 3;0) và có véctơ phương n1  (1;1)  phương trình AC: x  y 3  x  y   C  AC  d  Tọa độ C là nghiệm hệ:   C (1;4) 2 x  y   x  yB • Gọi B( x B ; y B )  M ( B ; ) ( M là trung điểm AB) 2 xB  y B     B(1;0) Ta có B thuộc d1 và M thuộc d nên ta có:  yB  x B     • Gọi phương trình đường tròn qua A, B, C có dạng: x  y  2ax  2by  c  Thay tọa độ ba điểm A, B, C vào pt đường tròn ta có 6a  c  9 a  1    b   Pt đường tròn qua A, B, C là:  2a  c  1  2a  8b  c  17 c  3   2 x  y  x  y   Tâm I(1;-2) bán kính R = 2 2(1đ) Viết phương trình mặt phẳng (P) 0,25 0,5 Lop12.net •Gọi n  (a; b; c)  O là véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0)  pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 0,25 Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0  b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = 3 2a  c a  (a  2c)  c 2   2a  16ac  14c  0,5 a  c   a  7c •TH1: a  c ta chọn a  c   Pt (P): x-y+z+2=0 0,25 TH2: a  7c ta chọn a =7; c = Pt (P):7x+5y+z+2=0 VII.a (1 đ) Tìm hệ số khai triển (2 x  1)  nên 4 1  x 10 ( x  x  1)  (1  x)14  (1  x)12  (1  x)10 16 16 14 6 • Trong khai triển 1  x  hệ số x là: C14 • Ta có x  x   0,25 Trong khai triển 1  x  hệ số x là: C126 12 Trong khai triển 1  x  hệ số x là: C 10 6 10 6 6 C14  C12  C106  41748 16 16 1(1đ) Tìm tọa độ điểm C x y • Gọi tọa độ điểm C ( xC ; y C )  G (1  C ; C ) Vì G thuộc d 3 x  y   31  C   C    y C  3 xC   C ( xC ;3 xC  3)   • Vậy hệ số a  VI.b(2đ) 0,5 0,25 0,25 •Đường thẳng AB qua A và có véctơ phương AB  (1;2)  ptAB : x  y   xC  xC   11 11 11 AB.d (C ; AB)   d (C ; AB)    2 5  xC  1  xC   11    xC  17  • S ABC  0,5 Lop12.net • TH1: xC  1  C (1;6) 17 17 36  C ( ; ) TH2: xC  5 2(1đ) Viết phương trình đường thẳng 0,25 • (P) có véc tơ pháp tuyến n( P )  (1;1;1) và d có véc tơ phương .u  (1;1;3) I  d  ( P)  I (1;2;4) 0,25   • vì   ( P);   d   có véc tơ phương u   n( P ) ; u  (4;2;2)  2(2;1;1) • Gọi H là hình chiếu I trên   H  mp(Q) qua I và vuông góc  Phương trình (Q):  2( x  1)  ( y  2)  ( z  4)   2 x  y  z   Gọi d1  ( P)  (Q)  d1 có vécto phương n (P) ; n( Q )  x    (0;3;3)  3(0;1;1) và d1 qua I  ptd1 :  y   t z   t  Ta có H  d1  H (1;2  t ;4  t )  IH  (0; t ; t ) 0,5 t  • IH   2t    t  3 x 1 y  z    2 1 x 1 y 1 z 1   TH2: t  3  H (1;1;1)  pt : 2 1 Giải phương trình trên tập số phức • TH1: t   H (1;5;7)  pt : VII.b 1đ 0,25 ĐK: z  i zi ta có phương trình: w   ( w  1)( w  w  1)  iz  w   w  1 i   w   w  w    w    i  zi 1 z  • Với w   iz 1 i z  i 1 i    (1  i ) z    3i  z   • Với w  iz • Đặt w  0,5 Lop12.net 1 i z  i 1 i    (1  i ) z   3i  z  iz Vậy pt có ba nghiệm z  0; z  và z   • Với w  0,5 -Hết - Lop12.net