Phương trình 2 z 7 i z 16 11i 0 có hai nghiệm z 2 3i,z 5 2i nên hệ đã cho có c{c nghiệm x;y 2; 3 hoặc x;y 5;2 . Chú ý: Muốn giải được c{c hệ phương trình bằng phương ph{p sử dụng số phức, cần nhớ một công thức cơ bản của số phức, đăc biệt l| với mỗi số phức z x iy thì ta có 22 xy l| bình phương mođun
Chun đề: Số phức CHỦ ĐỀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC Bài tốn Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình f(x; y) g(x; y) (1) Xét hệ phương trình: h(x; y) k(x; y) (2) Lấy (2) nh}n i sau cộng (trừ) (1) vế theo vế ta : f(x; y) h(x; y).i g(x; y) k(x; y).i (*) Đặt z x yi , biểu diễn (*) thơng qua c{c đại lương z,z,|z|, I Các ví dụ điển hình thường gặp 2x 6xy Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 6x y 2y Giải Lấy phương trình thứ cộng với phương trình thứ hai nh}n i ta 1 3 2x3 6xy2 i 6x2 y 2y 3i x yi i 2 1 i z x yi l| bậc ba số phức 2 Ta có: 1 1 5 i cos i sin i có ba bậc ba l| 2 2 3 7 7 13 13 z0 cos i sin , z1 cos i sin , z0 cos i sin 9 9 9 Vậy với z z0 ,z z1 ,z z2 ta nghiệm phương trình l|: x cos 9, y sin 7 x cos , y sin 13 x cos 13 y sin 2 x 3xy 3x 3y 3x Ví dụ Giải hệ phương trình sau: y 3x y 6xy 3y Giải x 3y x Hệ cho tương đương với x 1 y y Lấy phương trình thứ cộng với phương trình thứ nh}n i ta đươc x 1 3y2 x 1 i 3 x 1 y y3 i x iy i z x iy l| bậc i Ta có: i cos i sin nên i có ba bậc ba l| 4 3 3 17 17 z0 cos i sin , z1 cos i sin ,z cos i sin 4 4 4 Vậy với z z0 ,z z1 ,z z2 ta nghiệm phương trình l|: Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Số phức 3 17 x 1 cos x 1 cos x 1 cos 12 , , 12 y sin y sin 3 y sin 17 12 12 3x y (1) x x y2 Ví dụ Giải hệ phương trình: y x 3y (2) x2 y2 Giải Cách Lấy (2) nh}n i sau cộng với (1) ta x yi 3x y x 3y i x yi x yi x yi i 3(*) x2 y x2 y (*) z Đặt z x yi; x,y Lúc đó: x2 y i z z i z i |z|2 z i z x x yi i y x x yi i y 1 Vậy, nghiệm hệ phương trình l|: x,y 2;1 , x,y 1; 1 Cách Ta thấy x 0,y khơng l| nghiệm hệ phương trình 3x xy 3x x x y2 Nh}n (1) với x , nh}n (2) với y ta xy 3y y 0 2 x y trừ vế theo vế ta x2 y2 3x (*) 3xy y xy 3y x2 y2 Nh}n (1) với y , nh}n (2) với x ta x 3xy xy 0 x2 y2 cộng vế theo vế ta 2xy 3y (*) x2 y 3x Ta hệ 2xy 3y Đáp số: x,y 2;1 , x,y 1; 1 2 x 3xy x x 2xy y Ví dụ Giải hệ phương trình: 2 y 3x y y y 2xy x Giải Lấy (2) nh}n i sau cộng với (1) ta Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 (1) (2) Page Chun đề: Số phức x 3xy x y 3x y y i x 2xy y y 2xy x i x3 3x(yi)2 3x (yi) (yi) x yi i x 2xyi y 2xy x 2i y 2i x yi x yi i x yi x yi i (*) 2 Đặt z x yi; x,y Lúc phương trình (*) trở th|nh z z i z z i z 1 z 1 z i z 1 z i x x 1 x y y y Vậy, nghiệm hệ phương trình l| x; y 1;0 ; x; y 1;0 ; x; y 1;1 12 x 1 2 3x y Ví dụ Giải hệ phương trình với nghiệm với x,y : y 12 3x y Giải x Điều kiện: y Đặt u 3x ,v y u,v y 3x 12 u 2 u vi u v2 Hệ cho có dạng: Đặt z u iv Ta có z u v2 v 12 u2 v2 Từ hệ cho ta có 12 12 u1 iv 2 6 2 u v u v2 u iv 12 u iv 12 6i z 6i 2 z u v z 2 3iz 12 ,(*) Giải phương trình (*), ta có ' 3i z 3 i suy c{c nghiệm: i,z i Vì u,v nên ta có: u 3,v , suy nghiệm hệ l|: x; y 3;12 x x y x z Ví dụ Giải hệ phương trình tập số phức: y y x y z z z x z y (Đề thi học sinh giỏi Romania năm 2002) Giải Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Số phức x x y x z 3, 1 Xét hệ phương trình y y x y z 3, z z x z y 3, Rõ r|ng x,y,z v| x,y,z đơi kh{c Từ (1) v| (2) ta có x x y x z y y x y z x x z y y z Hay x2 y2 xz yz x y xz yz Tương tự hệ cho trở th|nh y z yx zx 2 z x zy xy (4) Cộng vế với vế ta x2 y2 z2 xy yz zx Kết hợp với (4) ta có: x2 yz,y2 zx,z2 xy Suy x2 y2 z2 xyz Đặt a xyz từ x2 y2 z2 xyz a v| x,y,z đơi kh{c nên x a ,y a ,z 2 a với 3 1,1 2 M| x x y x z nên a 1 2 Ta có 1 2 2 3 nên a=1 Vậy c{c số phức x, y,z cần tìm l| c{c ho{n vị (1, , 2 ) II Bài tập rèn luyện x3 3xy 1 Bài tập Giải hệ phương trình với nghiệm l| số thực: y 3x y Hướng dẫn giải Đ}y l| hệ đẳng cấp bậc ba nhiên, giải phương ph{p thơng thường ta đến giải phương trình bậc ba: 3t 3t 3t Phương trình n|y khơng có nghiệm đặc biệt! Xét số phức z x iy Vì z3 x3 3xy2 i 3x2 y y3 ,nên từ hệ cho ta có 2 2 z3 1 3i cos i sin , tương tự c{ch l|m chương 1, ta tìm gi{ trị z l|: 3 14 14 2 2 8 8 cos i sin , cos i sin , cos i sin 9 9 9 Từ suy hệ cho có nghiệm l|: 2 8 14 x cos x cos x cos ; ; 14 y cos y sin y sin Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Số phức x4 6x y y Bài tập Giải hệ phương trình tập số thực: 3 x y y x Hướng dẫn giải Xét số phức z x iy Vì z4 6x2 y2 y4 4i x3 y y x , nên từ hệ cho suy ra: (*) z4 i cos i sin 6 C{c số phức thỏa mãn (*): 13 13 cos i sin , cos i sin 24 24 24 24 25 25 37 37 cos i sin i sin , cos 24 24 24 24 Vậy c{c nghiệm cần tìm hệ l|: 13 25 37 x cos x cos x cos x cos 24 ; 24 ; 24 ; 24 13 25 37 y sin y sin y sin y sin 24 24 24 24 16x 11y 7 x x y2 Bài tập Giải hệ phương trình với nghiệm với x,y R : y 11x 16y 1 x2 y2 Lời giải x yi Điều kiện x2 y2 Đặt z x iy Ta có: z x y2 Vì hai số phức v| phần thực v| phần ảo nhau, nên hệ cho tương đương với: 16x 11y 11x 16y x i y 7i x y2 x y x iy x iy x iy 16 11i 7i 2 x y x2 y2 16 11i z i z i z 16 11i z Phương trình z2 i z 16 11i có hai nghiệm z 3i,z 2i nên hệ cho có c{c nghiệm x; y 2; 3 x; y 5; Chú ý: Muốn giải c{c hệ phương trình phương ph{p sử dụng số phức, cần nhớ cơng thức số phức, đăc biệt l| với số phức z x iy ta có x2 y l| bình phương mođun v| x iy z z zz x y Bài tập Giải hệ phương trình với nghiệm với x,y Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 10x 3 5x y : y 1 5x y Page Chun đề: Số phức Hướng dẫn giải Từ hệ suy x 0, y B|i hệ n|y khơng có d|ng giống ví dụ trên, nhiên với mục đích chuyển mẫu số dạng nình phương mođun số phức, cần đặt u 5x ,v y với u,v 3 u 2 u v Hệ cho có dạng: v 1 2 u v u iv Đặt z u iv Ta có: z u2 v2 Hệ cho tương đương với: 3 u1 iv i 2 2 u v u v u iv u iv u v 2 i z 3 2i z 2z 2i z 0,(*) Giải phương trình (*), ta có ' 34 12 2i 6i suy c{c nghiệm l| z 2i,z 2i 2 2i u ,v x , y 2 10 Vậy nghiệm cần tìm l| x; y ;1 10 Vì u,v nên z x4 y 4x3 3xy 2x 4y Bài tập Giải hệ phương trình: 2 3 2x y 3x y 2xy 3y 2x 2y 4y Hướng dẫn giải Hệ phương trình cho tương đương với x2 y x2 y 3x x2 y x 2y 2xy x2 y 3y x2 y x2 y2 2x y Nhận thấy x y l| nghiệm hệ phương trình x 2y 0 x y 3x 2 x y Nếu x2 y2 hệ cho viết th|nh 2xy 3y 2x y x2 y2 Suy ra: x 2y 2x y x2 y 3x 2 i 2xy 3y 0 x y2 x2 y2 x iy y ix x yi x yi 4i x2 y x2 y Đặt z x yi x iy x y 2 y ix i , ta có phương trình 2 z x y z Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Số phức 4i 4i z 3z 4iz 4i z z z z 1 z 2z 4i z i z 1 i x Với z ta nghiệm hệ l| y x Với z i ta nghiệm hệ l| y 1 x 1 Với z 1 i ta nghiệm hệ l| y 3x 2 xy Bài tập Giải hệ phương trình: 7y xy z 3z (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1996) Hướng dẫn giải Từ hệ suy x 0,y Đặt u x ,v y , u,v u 2 u v Hệ chho có dạng: v 2 u v Đặt z u iv u iv Ta có: z u v2 Hệ cho tương đương với: u iv u iv iz u v z2 i z 0,(*) 2 i z 2 i 2i nên c{c nghiệm: Giải (*): Vì 21 2 1 2 2 z i 2i i 21 21 2 1 2 2 z i 2i i 21 21 Ta có nghiệm u,v v| nghiệm hệ l|: 2 2 2 2 x x & y & y 21 21 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Số phức Bài tốn 2: Ứng dụng số phức vào chứng minh cơng thức, đẳng thức lượng giác Phương pháp Cho dạng lượng gi{c số phức z r cos i sin ; z1 r1 cos1 isin 1 ; z r2 cos2 isin 2 Ta có c{c cơng thức sau: z1 z2 r1r2 cos(1 2 ) icos(1 2 ) ; z1 r1 cos(1 2 ) icos(1 2 ) z2 r2 Cơng thức Moa-vrơ : zn r n cos(n) isin(n) a a Lúc z1 z b1 b2 Nếu z1 a1 b1i; z2 a b2i; với a1 , a , b1 , b2 I Các ví dụ điển hình thường găp Ví dụ Chứng minh rằng: sin 3 3sin 4sin3 ; cos3 3cos 4cos3 Giải Đặt z cos isin Ta có: z cos i sin cos 3 3cos .i.sin 3cos i sin i sin cos3 3i sin sin 3cos cos i.sin 4cos3 3cos i 3sin sin Mặt kh{c: z3 cos3 isin 3 Từ (1) v| (2) ta được: (1) (2) sin 3 3sin 4sin3 ; cos3 3cos 4cos3 Nhận xét: Ta có b|i to{n tổng qu{t sau: Biểu diễn cosnx; sinnx theo c{c lũy thừa cosx; sinx vơi n l| số ngun dương Áp dụng cơng thức Moivre ta có cos x i sin x cos nx i sin nx n Mặt kh{c, theo cơng thức khai triển nhị thức Newton: cos x i sin x n C0n cosn x iC1n cos n 1 xsin x i 2C2n cos n 2 xsin x i C3n cosn 3 xsin x i n 1Cnn 1 cos xsin n 1 x i n Cnn sin n x Từ suy ra: cos nx C0n cosn x C2n cosn 2 xsin x C4n cosn 4 xsin x M sin nx C1n cosn 1 xsin x C3n cosn 3 xsin x N Trong đó: 1 m sin 2m x, n 2m M , m m 2m 2m 1 C2m 1 cos xsin x, n 2m 1 1 m 1 C2m 1 cos xsin 2m 1 x, n 2m , m 2m N m 2m 1 x, n 2m 1 1 sin Cụ thể: Với n ta có: cos 4x C04 cos4 x C24 cos2 xsin x C44 sin x 8cos x 8cos x sin 4x C14 cos3 xsin x C34 cos xsin x 4cos xsin x 4cos xsin x Ví dụ Chứng minh rằng: 3 5 a) cos cos cos ; 7 b) sin 3 5 sin sin cot 7 14 Giải Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Số phức Xét z cos i sin Ta có 7 3 5 3 5 z z3 z5 cos cos cos i sin sin sin 7 7 7 Mặt kh{c: z z3 z5 cos z7 z z 1 1 z z 1 i sin 7 cos sin Từ (1) v| (2) suy ra: 1 z cos i sin 7 1 i cot 2 14 3 3 5 5 cos cos sin cos cot v| sin sin 7 7 7 14 Ví dụ Cho sina sin b Tính sin a b ,cosa cos b 2 Giải Đặt z1 cosa isina,z2 cos b isin b Khi đó: z1 z2 i cos i sin 2 6 z1 z2 i cos i sin 2 6 2 M| z1 z1 z1 1,z2 z2 z2 nên z1 z2 1 z1 z2 , z1 z2 z1z2 suy ra: cos i sin cos i sin 6 6 z1z cos i sin 3 z1 z2 cos i sin cos i sin 6 6 6 z1 z2 Ta lại có z1 z2 cos a b isin a b nên sin(a+b) sin Ví dụ Tính tổng với n v| a 2k k : Chú ý: Ta có kết cos a b cos A cos x cos x a cos x 2a cos x na B sin x sin x a sin x 2a sin x na Giải Đặt z cosx isinx,w cosa isina Theo cơng thức nh}n v| cộng thức Moivre ta có: Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chun đề: Số phức zw k cos x i sin x cosa i sin a k zw k cos x i sin x cos ka i sin ka cos x ka i sin x ka Xét A iB cos x i sin x cos x a i sin x a cos x 2a i sin x 2a cos x na i sin x na z zw zw2 zw n z Vậy A iB z wn 1 1 w (Vì a 2k nên w ) cos n 1 a i sin n 1 a w n 1 cos x i sin x 1 w cosa i sina cos x i sin x sin n 1 n 1 n 1 a sin a i cos a 2 a a a sin sin i cos 2 2 n1 a n 1 n a a sin a i cos a sin i cos cos x i sin x a 2 2 sin n1 sin a na na cos i sin cos x i sin x a 2 sin n1 sin a na na cos x i sin x a sin Xét phần thực v| phần ảo hai vế ta được: n1 n1 sin a sin a na na 2 A cos x; B sin x a a sin sin 2 Nhận xét: Từ hai loại cơng thức trên, xét c{c trường hợp riêng: a) Nếu x suy ra: n1 sin a na cosa cos 2a cos na cos a sin n1 sin a na sin sina sin 2a sin 3a sin na a sin b) Nếu x 2a ta có: sin n 1 a cosa cos 3a cos 5a cos 2n 1 a 2sina sin n 1 a sina sin 3a sin 5a sin 2n 1 a sina sin Ví dụ Chứng minh c{c cơng thức: Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 10 Chun đề: Số phức 1 ; a) sin180 b) cos 360 1 Giải Ta có: cos 540 sin 360 cos 3.180 sin 2.180 cos3 180 3cos180 sin180 cos180 sin 180 sin 180 Do sin180 l| nghiệm dương phương trình 4x2 2x 1 1 suy cos 360 2sin 180 4 1 Nhận xét: Áp dụng cơng thức sin180 ta tính biểu thức 1 sin 20 sin180 sin 220 sin 380 sin 420 sin 580 sin 620 sin78 sin 820 1024 Để l|m b|i to{n n|y trước hết ta chứng minh cơng thức sau: sina sin 600 a sin 600 a sin 3a Thật vậy: Vậy sin180 sin a sin 600 a sin 600 a sin a sin 600 cosa sin a cos 60 sin 60 cosa sin a cos 60 1 sin a cosa sin a cosa sin a 2 3 1 sin a cos a sin a sin a sin a sin a sin 3a 4 4 Sử dụng cơng thức sina sin 600 a sin 600 a sin 3a Ta có: sin 20 sin180 sin 220 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 sin 820 sin 20 sin 580 sin 620 sin180 sin 42 sin 78 sin 22 sin 38 sin 820 1 1 sin 60 sin 540 sin 660 sin180 64 256 Ví dụ Giải phương trình: cos x cos 2x cos 3x Giải Đặt z cosx isin x cos x z2 z4 z6 ,cos 2x ,cos 3x 2z 2z2 2z3 Phương trình cho trở th|nh z z z6 1 2z 2z2 2z3 z6 z5 z4 z3 z2 z (*) Vì z 1 khơng l| nghiệm nên với z 1 ta có: (*) z 1 z6 z5 z4 z3 z2 z z7 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 11 Chun đề: Số phức 2k 2k Hay z7 1 cos isin nên z cos i sin với k 0;6 Vì z 1 nên khơng nhận gi{ trị k=3 3 5 9 x m2,x m2,x m2,x m2 , 7 7 Vậy nghiệm phương trình cho l| 11 13 x m2,x m2,m Z 7 Vậy nghiệm cần tìm hệ cho x; y 2;1 x; y 1; 1 Ví dụ Chứng minh sin sin2 10 10 Lời giải Đặt z cos zz i sin z ,sin Khi đó: 10 10 z 10 2i zz zz 2 sin sin z z i z z 1 (1) 10 10 2i 2i 8 5 5 Mặt kh{c z5 cos i sin i z4 iz3 z2 iz (do z ), 10 10 z4 iz;iz3 z nên suuy z2 z2 i z z 0,(2) Từ (1) v| (2) ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực thỏa mãn c{c điều kiện cosa cos b cosc sina sin b sin c m cos a b c sin a b c Chứng minh cos a b cos b c cos c a m (Đề nghị IMO năm 1989) Giải Đặt x cosa isina,y cos b isin b,z cosc isinc Ta có x y z cosa cos b cosc i sina sin b sinc m.cos a b c i.m.sin a b c mxyz Do x y z mxyz nên 1 m xy yz zx Vì x y z nên x1 x,y1 y,z1 z Vậy 1 m x.y y.z z.x m cos a b cos b c cos c a xy yz zx i sin a b sin b c sin(c a) m Từ ta có cos a b cos b c cos c a m II Bài tập rèn luyện Bài tập Chứng minh rằng: 2 3 a) cos cos cos ; 7 b)sin 2 3 3 sin sin cot 7 14 Hướng dẫn giải Xét z cos i sin , ta có z7 cos isin 1 , nên z l| nghiệm kh{c -1 phương trình z7 7 z Ta có: z7 z 1 z6 z5 z4 z3 z2 z z z2 z3 z Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 12 Chun đề: Số phức +) z3 cos 3 3 3 3 3 i sin 2sin sin i sin 7 14 14 14 3 3 1 3 sin i cos i cot 3 14 14 2 14 1 z 2sin 14 2 3 2 3 +) z z2 z3 cos cos cos i sin sin sin 7 7 7 nên Do xét phần thực đẳng thức z z2 z3 ta suy được: z3 2 2 3 3 3 cos cos sin cos cot ; sin sin 7 7 7 14 Bài tập Hãy biểu diễn tan 5x qua tan x Hướng dẫn giải Ta có: cos 5x i sin 5x cos x i sin x Sử dụng khai triển nhị thức Niu-ton cho vế phải v| t{ch phần thực v| phần ảo ta có cos 5x cos5 x 10cos3 xsin x 5cos xsin x sin 5x 5cos4 xsin x 10cos2 xsin x sin x Từ suy ra: tan 5x 5tan x 10 tan x tan x 10 tan x 5tan x Bài tập Cho a,b,c l| c{c số thực thỏa mãn sina sinb sinc v| cosa cosb cosc Chứng minh rằng: sin2a sin2b sin2c v| cos2a cos2b cos2c Giải Đặt z1 cosa isina; z2 cos b isin b; z3 cosc isinc , ta có: z1 z2 z3 0, z1 z2 z3 nên zk k 1; 2; zk Vì thế: z12 z22 z32 z1 z2 z3 z1z2 z2 z3 z3 z1 1 2z1z z z1 z z = 02 2z1z2 z3 z1 z2 z3 2z1z2 z3 z1 z2 z3 Nên cos2a cos2b cos2c i sin2a sin2b sin2c Từ ta suy phải chứng minh Bài tập Giải phương trình cos x cos 3x cos 5x cos7x cos9x Lời giải Ta có cosx 1 khơng l| nghiệm phương trình Đặt z cosx isin x với x 0; 2 Ta có z 1,z1 cos x i sin x, 2cos x z z1 , 2cos nx z n z n Vậy phương trình cho trở th|nh: Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 13 Chun đề: Số phức 1 1 z3 z5 z7 z9 1 z z z z z9 z z z18 z9 z 20 z11 z9 z z11 z9 z11 1,z9 Nếu z9 z9 cos0 isin0 nên z cos k2 k2 i sin ,k 0; 9 k2 Vì x 0; 2 v| z 1 nên x ,k 1; Do nghiệm phương trình cho l| x k2 2m k 1; ,m Z Nếu z11 1 z11 cos isin nên: k2 k2 z cos i sin ,k 0;10 11 11 k2 Vì x 0; 2 v| z 1 nên x ,k 0; 11 k2 Suy nghiệm cần tìm l| x 2m k 0;9 ,m Z 11 k2 Vậy c{c nghiệm phương trình l|: x 2m k 1; ,m Z v| k2 x 2m k 0;9 ,m Z 11 Bài tập Cho a,b,c l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện cosa cos b cosc sina sin b sinc Chứng minh rằng: a) cos3a cos3b cos3c 3cos a b c ; sin3a sin3b sin3c 3sin a b c b) cos5a cos5b cos5c sin5a sin5b sin5c Giải Đặt x cosa isina,y cos b isin b,z cosc isinc Suy x y z cosa cos b cosc i sina sin b sinc a) Ta có: x3 y3 z3 3xyz x y z x2 y2 z2 xy yz zx nên lượng gi{c: cosa i sina cos b i sin b cosc i sinc cosa i sina cos b i sin b cosc i sin c cos 3a cos 3b cos 3c i sin 3a sin 3b sin 3c cos a b c i sin(a b c) Từ ta được: cos 3a cos 3b cos 3c 3cos a b c v| sin 3a sin 3b sin 3c 3sin a b c 3 b) Với x y z x5 y5 z5 5xyz x2 y2 z2 Mặt kh{c, từ x y z suy x1 x,y1 y,z1 z Vì thế: x2 y z2 x y z xy yz zx x y z 2xyz x y z x y z 2xyz x y z 2 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 14 Chun đề: Số phức Do x5 y5 z5 cosa i sina cos b i sin b cosc i sin c 5 cos 5a cos 5b cos 5c i sin 5a sin 5b sin 5c Vậy nên cos5a cos5b cos5c sin5a sin5b sin5c 1 1 Bài tập Chứng minh rằng: cos60 sin 240 sin 480 sin120 Giải Xét số phức z cos60 isin60 , có z15 cos900 isin900 i z2 z4 z8 z16 0 ,sin120 ,sin 24 ,sin 48 2z 2iz2 2iz4 2iz8 Đẳng thức cần chứng minh trở th|nh Ta có cos60 2z z2 2iz2 z4 2iz4 z8 2iz8 z16 0 Rút gọn v| ý z ta có z16 iz z14 Hay: z15 z iz15 iz iz i iz Vậy đẳng thức chứng minh (đúng) Bài tập Giả sử v| l| nghiệm phương trình x2 2x v| cot y Chứng minh y y n n sin n sin n Giải Ta có x 2x x i Khơng tính tổng qu{t, lấy i, i Theo giả thiết cot y y cot n n n cos Lúc : y cot i i cos n i sin n sin n sin Tương tự : n i y cot i cos cos n i sin n sin n sin n n 2i sin n Mặt kh{c : 2i Do y y sin n n n y y n Từ ta có : n sin n sin n Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 15 Chun đề: Số phức Bài tốn 3: Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức Cho số phức z a bi;a,b Lúc mơđun số phức z a b2 Cho c{c số phức z1 ; z2 ; z3 Ta có c{c bất đẳng thức thường dùng sau : z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z3 z1 z2 z3 I Các ví dụ điển hình thường gặp Ví dụ Chứng minh với a,b,c ta ln có : a2 b2 c2 2ac a2 b2 c2 2ac a b2 Giải a c Bất đẳng thức tương đương với b2 a c b2 a b2 Xét z1 a c bi; z2 a c bi a c Ta có z1 b2 ; z a c b2 Mặt kh{c : z1 z2 2a 2bi z1 z2 a b2 a b2 Áp dụng : z1 z2 z1 z2 ta a2 b2 c2 2ac a2 b2 c2 2ac a b2 Ví dụ Chứng minh với , ta có : cos4 cos4 sin2 sin2 Giải Xét z1 cos cos .i; z2 sin ; z3 sin .i Ta có : 2 z1 cos4 cos4 ; z2 sin2 ; z3 sin2 ; z1 z2 z3 cos2 cos2.i sin sin .i i z1 z2 z3 Áp dụng : z1 z2 z3 z1 z2 z3 ta cos4 cos4 sin2 sin2 Ví dụ Cho a,b,c thỏa mãn ab bc ac abc Chứng minh rằng: b2 2a c 2b2 a 2c * ab cb ac Giải 2 2 2 2 bđt * a b b2 c c a Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 16 Chun đề: Số phức Xét z1 2 i; z i; z1 i a b b c c a 2 2 2 2 Ta có: z1 ; z2 ; z3 2 b a a b c c 1 1 1 1 Mặt khác: z1 z z i a b c a b c 1 1 z1 z z a b c 2 1 Do đó: z1 z2 z a b c Áp dụng : z1 z2 z3 z1 z2 z3 ta Theo giả thiết: ab bc ac abc b2 2a c 2b2 a 2c ab cb ac Ví dụ Cho a, b, c, d l| bốn số thực thỏa mãn điều kiện : a2 b2 a b ; c2 d2 36 12 c d Chứng minh : a c b d 2 1 Giải Từ giả thiết ta có : a 1 b 1 1; c 1 d 1 36 Xét z1 a 1 b i; z2 c d i; z3 5i Ta có : z1 z2 z3 c a d b i 2 2 Vì z1 z2 z3 z1 z2 z3 nên 1 c a d b 2 a c b d 2 1 II Bài tập áp dụng Bài tập Chứng minh với x , ta ln có : x2 2x x2 2x Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với x 1 22 1 x 22 Xét số phức : z1 x 2i; z2 x 2i Lúc : z1 z2 4i Vì z1 z2 z1 z2 x 1 22 1 x Bài tập Chứng minh với x,y,z 22 22 42 ĐPCM ta ln có x2 xy y2 x2 xz z2 y2 yz z2 Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 17 Chun đề: Số phức 2 2 y y z z 2 x x y yz z 2 2 Xét z1 x y y z z 3 i; z2 x i z1 z2 y z y zi 2 2 2 2 y y z z z1 z z1 z x x 2 1 y z y z y yz z 2 Vì Bài tập Chứng minh với x , ta ln có : 2 16 32 2 x 2 x x x 4x 10 x x 2 2 5 2 5 Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với 32 64 16 x x x 8x 20 x x 4 4 5 5 2 2 4 8 16 x2 x 22 x x 5 5 x2 4 4 Xét z1 x 2i; z x 2i; z x z1 z2 4i; z3 z 4i 16 8i; z x i 5 Ta ln có : z1 z z z z1 z z z x2 4 x 2 2 2 4 8 16 x x 5 5 2 12 16 ĐPCM Bài tập Chứng minh với x,y,z ta ln có x2 xy y2 y2 yz z2 x2 xz z2 x y z Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với 2 2 y y z z x x x y z x y z Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 18 Chun đề: Số phức Xét z1 x y y z z x x i; z2 y i; z3 z i 2 2 2 Ta có : 3 x y z x y zi 2 Vì z1 z2 z3 z1 z2 z3 nên z1 z2 z3 2 2 y y z z x x x y z 2 x y z x y z x y z 4 Bài tốn Ứng dụng giải tốn khai triển hay tính tổng nhị thức Niutơn Phương pháp Ta nhắc lại cơng thức khai triển nhị thức Niutơn a b n Ckn a n k bk Cona n C1na n 1b C1na n 2 b2 Cnn 1abn 1 Cnn bn n k 0 Ta lưu ý : m * i4m 1; i 4m1 i; i 4m2 1; i 4m3 i I Các ví dụ điển hình thường gặp Ví dụ Tính tổng a) S1 Cn2 Cn4 C6n b)S2 C1n C3n C5n C7n Giải Ta có: 1 i n C1n i Cn2 i C nn i n C2n C4n C6n i C1n C 3n C 5n C7n (1) n n i n sin (2) 4 n Từ (1) (2) suy ra: S1 n cos ; 1 i n n cos S n sin n 4 98 50 C100 C100 C100 C100 C100 Ví dụ Chứng minh C100 100 2 Lời giải 1 i 100 2 100 C100 C1100 i C100 i C100 100 i 99 C100 C100 C100 C100 100 C100 C100 C100 C100 i 1 i 2i i 100 2i 50 2 50 50 Vậy: C100 C100 C100 C100 100 2 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 19 Chun đề: Số phức Ví dụ Tính c{c tổng sau 14 A C15 3C15 5C15 7C15 13C12 15 15C15 ; 15 B 2C115 4C15 6C15 8C15 14C13 15 16C15 Giải Xét khai triển 1 x C150 C115x C152 x2 C153 x3 C1215x12 C1315x13 C1415x14 C1515x15 15 2 3 13 13 14 14 15 15 16 x 1 x C15 x C15 x C15 x C15 x C12 15 x C15 x C15 x C15 x Lấy đạo h|m hai vế 15 1 x 15 15x 1 x 14 2 3 12 12 13 13 C15 2C15 x 3C15 x 4C15 x 13C15 x 14C15 x 14 15 15 15C14 15 x 16C15 x Thay x i ta 1 i 15i 1 i 15 14 2 3 12 13 13 C15 2C15 i 3C15 i 4C15 i 13C12 15 i 14C15i 14 15 15 15C14 15 i 16C15 i 14 C15 3C15 5C15 7C15 13C12 15 15C15 2C 15 15 4C15 6C15 8C15 14C13 15 16C15 i Mặt kh{c: 1 i 15 15i i 14 15 215 cos i sin 4 14 15i 214 cos i sin 4 2 215 i 15i.27 i 27 27 i 15.27 16.27 27 i 211 27 i Vậy 14 11 A C15 3C15 5C15 7C15 13C12 15 15C15 15 B 2C115 4C15 6C15 8C15 14C13 15 16C15 2 II Bài tập rèn lun Bài tập Chứng minh rằng: cos n4 n sin n S1 C0n Cn2 Cn4 C6n C8n S C1n Cn3 Cn5 C7n C9n n Giải Xét khai triển nhị thức Newton: 1 i n C0n iC1n i 2C2n i 3C3n i 4C4n i n 1Cnn1 i nCnn 1,(k 4m) i,(k 4m 1) Vì i k 1,(k 4m 2) i,(k 4m 3) 1 i n m nên ta có: C0n Cn2 Cn4 i C1n Cn3 Cn5 (1) Mặt kh{c, theo cơng thức Moivre thì: 1 i n n n cos i sin 4 2 n n n i sin cos (2) 4 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 20 Chun đề: Số phức Từ (1) v| (2) ta có điều phải chứng minh 1 Bài tập Tính tổng S C12n C2n C2n C72n Hướng dẫn giải 2k 1 Chú ý C2n C2k nên: 2k 2n 2n 1 1 S C12n C2n C2n C72n 1 1 C2n 1 C2n 1 C62n 1 C82n 1 2n 2n 2n 2n 1 C2 C2n 1 C2n 1 C2n 1 2n 2n 1 Vì 1 i 2n 1 v| 1 i 2 C02n1 C2n 1 C2n 1 2n 1 2n 1 cos 1 2n 2 2n 1 C2n 1 C2n 1 2n 2n i sin nên: 4 C02n 1 C2n 1 C2n 1 C2n 1 Vậy ta có S i C 2n 1 2 cos 2n 1 cos 2n 2n Bài tập Tính tổng n A C0n cosa C1n cos 2a Cn2 cos 3a Cnn 1 cos na Cnn cos(n 1)a B C0n sina C1n sin 2a Cn2 sin 3a Cnn 1 sin na Cnn sin(n 1)a Giải Đặt z cosa isina z cos na isin na Do ta có: n A iB C0n cosa i sina C1n cos 2a i sin 2a Cn2 cos 3a i sin 3a Cnn 1 cos na i sin na Cnn cos(n 1)a i sin(n 1)a z C0n C1n z C2n z Cn3 z Cnn z n z 1 z n a a a Vì z cosa i sina 2cos cos i sin nên: 2 2 a a a A iB cosa i sin a cos cos i sin 2 2 a na na n cos n cosa i sin a cos i sin 2 n a n2 n2 n cos n cos a i sin a 2 2 a n2 a n2 a, B 2n cosn sin a Vậy A 2n cosn cos 2 2 Nhận xét: Cho n l| gi{ trị cụ thể, suy nhiều biểu thức lượng gi{c đẹp a 7a cosa 5cos 2a 10cos 3a 10cos 4a 5cos 5a cos6a cos cos 2 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 21 Chun đề: Số phức Bài tốn Ứng dụng giải tốn đa thức phép chia đa thức Phương pháp I Các ví dụ điển hình thường gặp Ví dụ Chứng minh đa thức x 1 4n x 1 4n 2 chia hết cho đa thức x2 với số tự nhiên n Giải Trong c{c b|i to{n phép chia đa thức, muốn chứng minh f x chia hết cho g x , ta chứng minh nghiệm đa thức g x l| nghiệm đa thức f x C{ch l|m n|y gặp phải khó khăn nế g x khơng có nghiệm thực, nhiên số phức gi{p ta giải vấn đề n|y Vì x2 x i x i nên x2 có nghiệm l| i Đặt f x x 1 4n x 1 4n i 1 f i f i 1 f i f i 1 4n 4n 4n Ta có: (2i)2n1 2i ( i 1)4n2 2i 2n 1 2n 1 2i 0 2n 1 0 Vậy i l| nghiệm f x , f x chia hết cho x2 Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n lớn v| số thực thỏa mãn sin , đa thức xn sin xsin n sin n 1 chia hết cho đa thức x2 2xcos Giải Xét phương trình x 2xcos 0, cos i sin2 nên có nghiệm x1 cos isin ,x2 cos isin l| hai số phức liên hợp ' Đặt P x x2 sin xsin n sin n 1 ta có: P x1 cos n i sin n sin cos i sin sin n sin n 1 cos n sin cos sin n sin n 1 Suy P x1 hay P x2 Vậy P x chia hết x2 2xcos Ví dụ Tìm số ngun dương n cho đa thức x2n xn chia hết cho đa thức x2 x Lời giải 1 3i 1 3i ,x2 2 2n n Đặt f x x x Vì x1 ,x2 l| hai số phức liên hợp, nên cần tìm n cho f x1 (khi C{c nghiệm cuả đa thức x2 x l|: x1 f x2 khơng) Ta có: x1 1 3i 2 2 nên cos i sin 3 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 22 Chun đề: Số phức 2n n 2 2 2 2 f x1 cos i sin cos i sin 3 3 4n 2n 4n 2n f x1 cos cos i sin sin 3 3 2n 2n 4n 2n 1 cos cos cos cos f x1 sin 4n sin 2n sin 2n cos 2n 3 2n cos n 3k 1, k Vậy đa thức x2n xn chia hết cho đa thức x2 x v| n l| số ngun dương khơng chia hết cho Ví dụ Tìm số ngun dương n cho đa thức x 1 xn chia hết cho đa thức x2 x n Lời giải C{c nghiệm đa thức x2 x l|: x1 Đặt f x x 1 xn 1 3i 3i ,x2 2 n 3i 1 3i 2 2 đo cos i sin x1 cos i sin 3 3 2n 2n n n f x1 cos i sin cos i sin 3 3 n n 2n n 1 cos cos cos cos 3 f x1 sin 2n sin n sin n cos n 3 n cos n 6k Vậy gi{ trị cần tìm n l| số ngun dương chia cho dư chia dư Ví dụ Ph}n tích c{c đa thức sau th|nh nh}n tử với hệ số ngun: Vì x1 b) x 1 x2 x a) x4 ; a) Ta có x4 x4 2i x2 2i x 2i 2 Giải 2 x2 1 i x2 1 i x i x i x i x i M|: x i x i x 1 x i x i x 1 i x2 2x i x2 2x Nên x4 x2 2x x2 2x b) Ta có: (x 1)4 x2 x x 1 i x2 x Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 23 Chun đề: Số phức x 1 i x x 1 i x2 x 2 x1 Bằng c{ch giải c{c phương trình bậc hai , ta ph}n tích th|nh tích: x 1 x 1 ix x 1 1 i x i x i i x2 x 1 i x i x i Mặt kh{c: x i x i x 1 x Vậy x 1 x2 x i x2 2x 1 i x i 1 i x i 2x2 2x 2 2x 2x2 2x II Bài tập áp dụng Bài tập Có tồn hay khơng số ngun dương n cho đa thức x 1 2n x 1 2n 2x2n chia hết cho đa thưc x4 Hướng dẫn giải C{c nghiệm đa thức x l|: 1, i Đặt f x x 1 f i i 1 2n 2n x 1 i 1 2n 2n 2x2n , ta có f 1 f 1 , 2i 2n 2i 2i 1 n n n Nếu n 2m, m f i 22m1 1 m Nếu n 2m 1, m f i m Vậy khơng tồn số ngun dương n để đa thức x 1 2n x 1 2n 2x2n chia hết chho đa thức x4 Bài tập Ph}n tích c{c đa thức sau th|nh nh}n tử với hệ số ngun: a) x2 x 3 ; b) 3x2 5x 5x Hướng dẫn giải a) Ta có: x 1 2 x x2 2 i x x2 ix 3i x2 3x 3i Vì x2 ix 3i x i x 2i x2 ix 3i x i x 2i x i x i x 1 i2 x2 2x 2 x 2i x 2i x 1 4i2 x2 2x Vậy x2 x x2 2x x2 2x b) 3x2 5x 5x 3x2 5x 2 i 5x 3x2 1 i x 3i 3x2 1 i x 3i Ta có: Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 24 Chun đề: Số phức 3x2 1 i x 3i x i 3x 2i 3x2 1 i x 3i x i 3x 2i x i x i x i2 x2 4x 3x 2i 3x 2i 3x 1 4i2 9x2 6x Vì 3x2 5x 5x x2 4x 9x2 6x Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 25 [...]... 1Cnn1 i nCnn 1,(k 4m) i,(k 4m 1) Vì i k 1,(k 4m 2) i,(k 4m 3) 1 i n m nên ta có: C0n Cn2 Cn4 i C1n Cn3 Cn5 (1 ) Mặt kh{c, theo cơng thức Moivre thì: 1 i n 2 n n cos i sin 4 4 2 n n n i sin cos (2 ) 4 4 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 20 Chun đề: Số phức Từ (1 ) v| (2 ) ta có điều... 10 10 z 10 2i 3 2 zz zz 3 2 1 2 sin sin 2 z z i z z 1 (1 ) 8 10 10 2i 2i 8 5 5 Mặt kh{c z5 cos i sin i z4 iz3 z2 iz 1 0 (do z 1 ), 10 10 3 nhưng z4 iz;iz3 z nên suuy ra z2 z2 i z z 1 0 ,(2 ) Từ (1 ) v| (2 ) ta có điều phải chứng minh Ví dụ 8 Cho a,b,c l| c{c số thực thỏa mãn c{c điều kiện cosa cos b... 1 Cn2 Cn4 C6n b)S2 C1n C3n C5n C7n Giải Ta có: 1 i n 1 C1n i Cn2 i 2 C nn i n 1 C2n C4n C6n i C1n C 3n C 5n C7n (1 ) n n i 2 n sin (2 ) 4 4 n Từ (1 ) và (2 ) suy ra: S1 2 n cos ; 4 1 i n 2 n cos S 2 2 n sin n 4 0 2 4 6 98 50 C100 C100 C100 C100 C100 Ví dụ 2 Chứng minh rằng C100 100 2 Lời giải 1 i 100... C1n cos 2a Cn2 cos 3a Cnn 1 cos na Cnn cos(n 1)a B C0n sina C1n sin 2a Cn2 sin 3a Cnn 1 sin na Cnn sin(n 1)a Giải Đặt z cosa isina thì z cos na isin na Do đó ta có: n A iB C0n cosa i sina C1n cos 2a i sin 2a Cn2 cos 3a i sin 3a Cnn 1 cos na i sin na Cnn cos(n 1)a i sin(n 1)a z C0n C1n z C2n z 2 Cn3 z 3... cos x z2 1 z4 1 z6 1 ,cos 2x ,cos 3x 2z 2z2 2z3 Phương trình đã cho trở th|nh z 2 1 z 4 1 z6 1 1 2z 2 2z2 2z3 z6 z5 z4 z3 z2 z 1 0 (* ) Vì z 1 khơng l| nghiệm nên với z 1 ta có: (* ) z 1 z6 z5 z4 z3 z2 z 1 0 z7 1 0 Trần Đình Cư Gv THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 11 Chun đề: Số phức 2k 2k Hay z7 1 ... z 1 iz15 iz 0 iz 1 i 2 iz 0 Vậy đẳng thức được chứng minh ( úng) Bài tập 7 Giả sử v| l| nghiệm của phương trình x2 2x 2 0 v| cot y 1 Chứng minh y y n n sin n sin n Giải Ta có x 2x 2 0 x 1 i Khơng mất tính tổng qu{t, lấy 1 i, 1 i Theo giả thi t 2 cot y 1 y cot 1 n n n cos 1 Lúc đó : y ... z 3 a b c Áp dụng : z1 z2 z3 z1 z2 z3 ta được Theo giả thi t: ab bc ac abc b2 2a 2 c 2 2b2 a 2 2c 2 3 ab cb ac Ví dụ 4 Cho a, b, c, d l| bốn số thực thỏa mãn điều kiện : a2 b2 1 2 a b ; c2 d2 36 12 c d Chứng minh rằng : a c b d 2 2 6 2 1 Giải Từ giả thi t ta có : a 1 b 1 1; c 1 d 1 36 Xét z1 ... x i x i 0 nên x2 1 có nghiệm l| i Đặt f x x 1 4n 2 x 1 4n 2 i 1 f i f i 1 f i f i 1 4n 2 4n 2 4n 2 Ta có: (2 i)2n1 2i ( i 1)4n2 2i 2n 1 2n 1 2i 0 2n 1 0 Vậy i cũng l| nghiệm của f x , do đó f x chia hết cho x2 1 Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 v| số thực... dụ 8 Cho a,b,c l| c{c số thực thỏa mãn c{c điều kiện cosa cos b cosc sina sin b sin c m cos a b c sin a b c Chứng minh rằng cos a b cos b c cos c a m ( ề nghị IMO năm 1989) Giải Đặt x cosa isina,y cos b isin b,z cosc isinc Ta có x y z cosa cos b cosc i sina sin b sinc m.cos a b c i.m.sin a b c mxyz... 1 m xy yz zx Vì x y z 1 nên x1 x,y1 y,z1 z Vậy 1 1 1 m x.y y.z z.x m cos a b cos b c cos c a xy yz zx i sin a b sin b c sin(c a) m Từ đó ta có cos a b cos b c cos c a m II Bài tập rèn luyện Bài tập 1 Chứng minh rằng: 2 3 1 a) cos cos cos ; 7 7 7 2 b)sin 2 3 1 3 sin sin cot