Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn C B, C là hai tiếp điểm sao cho tam giác ABC vuông.. Có bao nhiêu số tự nhiên có [r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ SỐ I.Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y 2x có đồ thị là (C) x2 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Câu II (2 điểm) 1.Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = log 22 x log x (log x 3) dx Câu III (1 điểm) Tìm nguyên hàm I sin x cos x 2.Giải bất phương trình Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất các cạnh a, góc tạo cạnh bên và mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a Câu V (1 điểm) Cho a, b, c và a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P b2 c2 a2 II.Phần riêng (3 điểm) 1.Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y+2)2 = và đường thẳng d: x + y + m = Tìm m để trên đường thẳng d có điểm A mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x 2t y t Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn z 3t Câu VIIa (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và khác mà số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ 2.Theo chương trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = và đường thẳng d có phương trình x + y + m = Tìm m để trên đường thẳng d có điểm A mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x 1 y z 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn Câu VIIb (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác mà số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ -Hết1 Lop12.net (2) ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN KHỐI A – MÔN TOÁN I.Phần dành cho tất các thí sính Câu Đáp án (1,25 điểm) I a.TXĐ: D = R\{-2} (2 b.Chiều biến thiên điểm) +Giới hạn: lim y lim y 2; lim y ; lim y x x x 2 Điểm 0,5 x 2 Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2 và tiệm cận ngang là y = x D ( x 2) Suy hàm số đồng biến trên khoảng (;2) và (2;) +Bảng biến thiên + y' x y’ -2 + 0,25 + 0,25 y c.Đồ thị: 1 ) và cắt trục Ox điểm( ;0) 2 Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng y Đồ thị cắt các trục Oy điểm (0; 0,25 -2 O (0,75 điểm) Hoành độ giao điểm đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm phương trình x 2 2x x m x2 x (4 m) x 2m (1) II Do (1) có m va (2) (4 m).(2) 2m 3 m nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy AB ngắn AB2 nhỏ m = Khi đó AB 24 (1 điểm) x 0,25 0,5 Lop12.net (3) (2 điểm) Phương trình đã cho tương đương với 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + – 2sin2x = 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 1 sin x 6 cos x sin x (VN ) x 2 (1 điểm) x ĐK: 2 log x log x Bất phương trình đã cho tương đương với log x log x (log x 3) đặt 0,25 0,25 k 2 2 0,5 0,5 (1) t = log2x, BPT (1) t 2t (t 3) (t 3)(t 1) (t 3) t 1 log x 1 t 1 t 3 t 3 log x (t 1)(t 3) 5(t 3) x Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là: (0; ] (8;16) 8 x 16 III điểm dx dx 8 3 sin x cos x cos x sin x cos x đặt tanx = t dx 2t dt ; sin x cos x 1 t2 dt (t 1) I 8 dt 2t t3 ( ) 1 t2 t 3t 3t dt t3 3 (t 3t t 3 )dt tan x tan x ln tan x C t 2 tan x I 0,25 0,5 0,5 Lop12.net (4) Câu IV điểm Do AH ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H là góc AA1 và (A1B1C1), theo giả thiết thì góc AA1 H 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300 a Do tam giác A1B1C1 là tam giác cạnh a, H thuộc B1C1 và a A1 H nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác AH B1C1 nên B1C1 ( AA1 H ) A B A1 H C K A1 C H B1 Kẻ đường cao HK tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách AA1 và B1C1 a3 Ta có: P + = P 1 b a b3 b2 1 b2 1 c a 2 1 b2 c3 c2 1 a 1 b 2 0,25 0,25 A1 H AH a AA1 Ta có AA1.HK = A1H.AH HK Câu V điểm 0,5 a2 b3 c2 b2 c2 c2 0,5 1 a2 a6 b6 c6 3 3 3 3 16 16 16 2 1 a2 1 a2 3 P (a b c ) 2 23 2 c3 P c2 2 2 2 Để PMin a = b = c = 2 PhÇn riªng 1.Ban c¬ b¶n C©u 1.( ®iÓm) VIa Từ phương trình chính tắc đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ tiếp tuyÕn AB, AC tíi ®êng trßn vµ AB AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng ®iÓm IA 0,5 0,5 Lop12.net (5) m 1 m 5 m 1 m 0,5 (1 điểm) Gọi H là hình chiếu A trên d, mặt phẳng (P) qua A và (P)//d, đó khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I là hình chiếu H lên (P), ta có AH HI => HI lớn A I Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H d H (1 2t ; t ;1 3t ) vì H là hình chiếu A trên d nên AH d AH u (u (2;1;3) là véc tơ phương d) Câu VIIa điểm H (3;1;4) AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = Từ giả thiết bài toán ta thấy có C 42 cách chọn chữ số chẵn (vì không có số 0)và C 52 10 cách chọn chữ số lẽ => có C 52 C 52 = 60 số thỏa mãn bài toán Mỗi số có 4! số thành lập Vậy có tất C 42 C 52 4! = 1440 số 2.Ban n©ng cao C©u 1.( ®iÓm) VIa Từ phương trình chính tắc đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ tiếp tuyÕn AB, AC tíi ®êng trßn vµ AB AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng ®iÓm IA m 1 m 5 m 1 m 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (1 điểm) Gọi H là hình chiếu A trên d, mặt phẳng (P) qua A và (P)//d, đó khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I là hình chiếu H lên (P), ta có AH HI => HI lớn A I Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H d H (1 2t ; t ;1 3t ) vì H là hình chiếu A trên d nên AH d AH u (u (2;1;3) là véc tơ phương d) Câu VIIa điểm H (3;1;4) AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = Từ giả thiết bài toán ta thấy có C 52 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số 0,5 0,5 0,5 đứng đầu) và C 53 =10 cách chọn chữ số lẽ => có C 52 C 53 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành lập => có tất C 52 C 53 5! = 12000 số 0,5 Mặt khác số các số lập trên mà có chữ số đứng đầu là C 41 C 53 4! 960 Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán Lop12.net (6)