Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH SỐ 03 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7.0 điểm CÂU Câu I.. Chiều biến thiên..[r]
(1)Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 01 PHẦN I PHẦN CHUNG (Dành cho tất các thí sinh) Câu I Cho hàm số: y = x + ( m + 1) x + ( m + 4m + 3) x + Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = -3 Với giá trị nào m hàm số có cực đại, cực tiểu? Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số, hãy tìm giá trị lớn biểu thức x1 x - ( x1 + x ) Câu II Giải phương trình + cot 22x cot x + ( sin x + cos x ) = cos x Tìm các giá trị tham số m để bất phương trình x ( - x ) + m ( x - x + + ) ³ nghiệm đúng với giá trị x thuộc đoạn éë 2; + ùû Câu III Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = a , CD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 3a ( a > ) Gọi K là trung điểm cạnh CD Chứng minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích khối chóp SBCK theo a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và O1(0; 0; 4) Xác định tọa độ điểm M trên AB, điểm N trên OA1 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (a): x + y + z - = và độ dài MN = Câu IV 2 2 æ C0 ö æ C1 ö æ C2 ö æ Cn ö Tính tổng: S = ç n ÷ + ç n ÷ + ç n ÷ + + ç n ÷ , đó n là số nguyên dương và C nk là số tổ hợp è ø è ø è ø è n +1ø chập k n phần tử Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x + y + x - y + = và các điểm B(2; -3) và C(4; 1) Xác định tọa độ điểm A thuộc đường tròn (C) cho tam giác ABC cân điểm A và có diện tích nhỏ PHẦN II PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh làm hai phần) Câu Va ln Tính tích phân: I = MATHVN.COM ò -x - 1) ln (10e dx ex -1 www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net (2) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com ì 1- x ïï x + xy + = y ( 4) Giải hệ phương trình: í 2 ï 2 ïî( x y + x ) - x y - x + = ( ) Câu Vb p Tính tích phân: I = ò x sin3 x dx cos x Giải phương trình log 22 x + x log ( x + 3) = éê x + log ( x + 3) ùú log x ë2 û ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 02 PHẦN I PHẦN CHUNG (Dành cho tất các thí sinh) Câu I Cho hàm số y = x + 2mx + ( m - 1) x + (1) (m là tham số thực) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Cho điểm M(3; 1) và đường thẳng D: y = - x + Tìm các giá trị m để đường thẳng D cắt đồ thị hàm số (1) điểm A(0; 2); B, C cho tam giác MBC có diện tích Câu II ( Giải phương trình sin x sin x - cos x sin 2 x + = cos x - p ) Tìm các giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực ìï (1 + x ) (1 + y ) = x + y í ïî x + y = m Câu III Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (a > 0) Góc ABC 120o, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi C¢ là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (a) qua AC¢ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD B¢, D¢ Tính thể tích khối chóp S.AB¢C¢D¢ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 0; 2), mặt phẳng (P): x - y - z + = và y-2 z-6 đường thẳng (d): x - = = Viết phương trình đường thẳng (d¢) qua điểm A, cắt (d) B uuur uuur r và cắt (P) C cho AC + AB = Câu IV Cho số phức z = x + yi; x, y Î Z thỏa mãn z = 18 + 26i Tính T = ( z - ) MATHVN.COM 2009 www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net + (4 - z) 2009 (3) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn z + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 1 + + + ln (1 + x ) - y + ln (1 + y ) - z + ln (1 + z ) - x PHẦN II PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh làm hai phần) Câu Va Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường x + y = , x + y - = Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cố định A nằm trên đường thẳng (D): x - y + 14 = , cạnh BC song song với D, đường cao CH có phương trình: x - y - = Biết trung điểm cạnh AB là M(-3; 0) Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C Câu Vb Cho hình phẳng H giới hạn các đường y = x ; y = - x Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm I(-1; 3) Viết phương trình đường tròn có tâm I và cắt đường thẳng x - y + 10 = hai điểm A, B cho AIB 120o ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 03 PHẦN I PHẦN CHUNG (Dành cho tất các thí sinh) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = x (C) x-1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn Câu II (2.0 điểm) Tìm nghiệm phương trình 2cos4x - ( - 2)cos2x = sin2x + biết xÎ [ ; p ] ìï33 x - y - 5.6 x + 4.23 x - y = Giải hệ phương trình í ïî x - y = y + ( y - x )( y + x ) Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân ò (x e + x3 x 1+ x )dx Câu IV (1.0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương lớn và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ³ 2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net (4) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com Câu V (1.0 điểm) Cho tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c Tính thể tích tứ diện ABCD PHẦN II PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh làm hai phần) A Theo chương trình nâng cao Câu VIa (2.0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = và (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M là trung điểm đoạn AD, N là tâm hình vuông CC’D’D Tính bán kính mặt cầu qua các điểm B, C’, M, N Câu VIIa (1.0 điểm) Giải bất phương trình log ( x + 1) - log ( x + 1)3 > x2 - 5x - B Theo chương trình chuẩn Câu VIb (2.0 điểm) Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64.Gọi F1, F2 là hai tiêu điểm M là điểm bất kì trên (E).Chứng tỏ tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 và tới đường thẳng x = có giá trị không đổi Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và vuông góc với (Q) Câu VIIb (1.0 điểm) Giải bất phương trình A2 x - Ax2 £ C x3 + 10 ( Cnk , Ank là tổ hợp, chỉnh hợp chập k n phần tử) x ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 04 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2x -1 (1) x +1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc - Câu II (2 điểm) MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net (5) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com 1) Giải phương trình sau: + x - x2 = sin x + c os x = c os 4 x 2) Giải phương trình lượng giác: p p tan( - x ) tan( + x ) 4 Câu III (1 điểm) Tính giới hạn sau: L = lim x® ln(2 e - e.c os2 x ) - + x x2 Câu IV (2 điểm) Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh là l, bán kính đường tròn đáy là r Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên hình nón, tiếp xúc với tất các đường sinh và đường tròn đáy nón gọi là mặt cầu nội tiếp hình nón) Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I; Giả sử độ dài đường sinh nón không đổi Với điều kiện nào bán kính đáy thì diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất? Câu V (1 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ; 0) Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật đó Câu VII (1 điểm) Giải hệ phương trình : ì 2 x + 2010 ï 2009 y - x = í y + 2010 ï î log ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) + MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net (6) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI www.mathvn.com MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net (7) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐH SỐ 01 PHẦN I Câu I Cho hàm số: y = x + ( m + 1) x + ( m + 4m + 3) x + Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = -3 Với giá trị nào m hàm số có cực đại, cực tiểu? Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm cực đại, cực tiểu hàm số, hãy tìm giá trị lớn biểu thức x1 x - ( x1 + x ) Đáp án: Ta có y ¢ = x + ( m + 1) x + m + 4m + Hàm số có cực đại, cực tiểu và y¢ = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hay D ¢ = ( m + 1) - ( m + 4m + 3) > Û m + 6m + < Û -5 < m < -1 Theo định lí Vi-ét, ta có x1 + x = - ( m + 1) , x1 x = ( m + 4m + 3) Suy ( m + 4m + 3) + ( m + 1) = m + 8m + 2 Ta nhận thấy, với m Î ( -5; - 1) thì -9 £ m + 8m + = ( m + ) - < Do đó A lớn m = -4 Câu II Giải phương trình + cot 22x cot x + ( sin x + cos x ) = cos x Đáp án: Điều kiện: sin2x ¹ Phương trình Û ( ) + - sin 2 x = Û sin x + sin 2 x - = sin x ésin 2 x = -2 Ûê Û sin 2 x = Û cos x = Û x = p + k p ( k Î ¢ ) 4 êësin x = Tìm các giá trị tham số m để bất phương trình x ( - x ) + m ( x - x + + ) £ nghiệm đúng với giá trị x thuộc đoạn éë 2; + ùû Đáp án: Đặt t = x - x + Từ x Î éë 2; + ùû Þ t Î [1; 2] Bất phương trình đã cho tương đương với: - t + m ( t + ) ³ Û m ³ t - = g ( t ) (do t + > ) t+2 Bất phương trình nghiệm đúng "x Î éë 2; + ùû Û m ³ max g ( t ) , t Î [1; 2] MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net (8) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com Xét hàm g(t) có g(t) đồng biến "t Î [1; 2] Þ m ³ max g ( t ) = m ( ) = -1 , t Î [1; 2] Câu III Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = a , CD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a ( a > ) Gọi K là trung điểm cạnh AC Chứng minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích khối chóp SBCK theo a Đáp án: Gọi H là giao AC và BK thì BH = BK = 2a và CH = ; CA = a 3 3 Þ BH + CH = 2a = BC Þ BK ^ AC Từ BK ^ AC và BK ^ SA Þ BK ^ (SAC) Þ (SBK) ^ (SAC) VSBCK = SA.SBCK = 3a × a = a (đvtt) 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) và O1(0; 0; 4) Xác định tọa độ điểm M trên AB, điểm N trên OA1 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (a): x + y + z - = và độ dài MN = Đáp án: ì x = 2n uuuur ï Có A1(2; 0; 4) Þ OA1 = ( 2; 0; ) Þ phương trình OA1: í y = Þ N ( 2n; 0; 4n ) ï z = 4n î ì x = - 2m uuur ï Có AB = ( -2; 4; ) Þ phương trình AB: í y = 4m Þ N ( - 2m; 4m; ) ïz = î uuuur Vậy MN = ( 2n + 2m - 2; - 4m; 4m ) uuuur uuuur Từ MN // ( a ) Û MN n ( a ) = Û ( 2n + 2m - ) - 4m + 4n = Û n = Þ N (1; 0; ) ( ) ém = éM ; ; 5 5Þê ê êm = ë êë M ( 2; 0; ) º A Khi đó: MN = ( 2m - 1) + 16m + = Û ê 2 2 æ C0 ö æ C1 ö æ C2 ö æ Cn ö Câu IV Tính tổng: S = ç n ÷ + ç n ÷ + ç n ÷ + + ç n ÷ , đó n là số nguyên dương và C nk là è ø è ø è ø è n +1ø số tổ hợp chập k n phần tử MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net (9) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com Đáp án: Ta có: Vậy: S = C nk C k +1 ( n + 1) ! n! = × = × = n +1 , "k = 0,1, , n k + k + k !( n - k ) ! ( n + 1) ( k + 1) !( n - k ) ! n + 1 é( C ) + ( C ) + ( C ) + + ( C n +1 ) ù n +1 n +1 n +1 n +1 û ë ( n + 1) n +1 n +1 2n+2 Từ (1 + x ) (1 + x ) = (1 + x ) , cân hệ số x n +1 hai vế ta có: ( C n0+1 ) + ( C n1+1 ) + ( C n2+1 ) + ( C n3+1 ) + + ( C nn++11 ) = C 2nn++1 Vậy: S = 2 2 C 2nn++12 - ( n + 1) 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x + y + x - y + = và các điểm B(2; -3) và C(4; 1) Xác định tọa độ điểm A thuộc đường tròn (C) cho tam giác ABC cân điểm A và có diện tích nhỏ Đáp án: Để ABC làm tam giác cân A thì A phải nằm trên đường trung trực (D) qua trung điểm BC là uuur M(3; 1) và nhận BC ( 2; ) làm véc tơ pháp tuyến nên (D) có phương trình: ( x - 3) + ( y + 1) = Û x + y - = ìï x + y + x - y + = ïî x + y - = Vì A Î (C) nên tọa độ A là nghiệm hệ: í Giải hệ tìm hai điểm A1(-1; 1) và A2( - 21 ; 13 ) 5 Do A1 M = 20 < 18 = A2 M nên S A1BC < S A2 BC Vậy điểm cần tìm là A(-1; 1) PHẦN II ln Câu Va Tính tích phân: I = ò -x - 1) ln (10e dx ex -1 Đáp án: Đặt t = e x - Þ t = e x - Þ 2tdt = e x dx Khi x = ln2 thì t = 1; x = ln5 thì t = ln Khi đó: I = ò x ln (10 - e ) dx 2 ( ) = ò 2tdt = 2ò dt = - ò - dt = - ln t - x t -3 t +3 t+3 e - 1 (9 - t ) t 9-t = ln ì 1- x ïï x + xy + = y ( 4) Giải hệ phương trình: í 2 ï 2 ïî( x y + x ) - x y - x + = ( ) Đáp án: Điều kiện: x ¹ MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net (10) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com ( ) Û éë x ( xy + ) ùû - éë x ( xy + )ùû + = Û x ( xy + ) = Û y = - 22 x x 1- x Thay vào (4) nhận được: 1- x Û2 x2 + - 2x = x 1- x x2 1- x -2 x2 x2 = x - - = - = - 22 x - - 2x x 2 x x x æ ö + - 22 x Û f æç - 22 x ö÷ = f ç - 2x ÷ x x x è ø è ø Ở đó f ( t ) = t + t là hàm đồng biến với t 2 Từ đó suy æç - 22 x ö÷ = çæ - 2x ÷ö Û x = Þ y = -3 è x ø è x ø Vậy nghiệm hệ phương trình là x = Þ y = -3 p Câu Vb Tính tích phân: I = ò x sin3 x dx cos x Đáp án: Đặt u = x và dv = sin3x dx Þ du = dx và v = cos x x Từ đó: I = cos x p p cos x p - ò dx2 = p - tan x = p - cos x 4 2 Giải phương trình log 22 x + x log ( x + 3) = éê x + log ( x + 3) ùú log x (6) ë2 û Đáp án: Điều kiện: x > ( ) ( ) Û log x - x éë( log x + log ( x + 3) ) ùû = Xét log x = x Û x = x Û ln x = ln (7) Đặt: f ( x ) = ln x Þ f ¢ ( x ) = - ln x ; f ¢ ( x ) = Û x = e x x x Vậy phương trình f(x) = có nhiều hai nghiệm Dễ thấy x = và x = là nghiệm (7) Xét log x = log ( x + 3) (8) Đặt: log x = t Û x = t ( ) + ( 72 ) + ( 17 ) = có nghiệm t = 2 ( ) Û t = ( t + 3) Û t t t Vậy phương trình có nghiệm x = và x = Hết MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 10 (11) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐH SỐ 02 PHẦN I Câu I Cho hàm số y = x + 2mx + ( m - 1) x + (1) (m là tham số thực) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Cho điểm M(3; 1) và đường thẳng D: y = - x + Tìm các giá trị m để đường thẳng D cắt đồ thị hàm số (1) điểm A(0; 2); B, C cho tam giác MBC có diện tích Đáp án: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng D là: ìï x = Þ y = x + 2mx + ( m - 1) x + = - x + Û í ïî g ( x ) = x + 2mx + 3m - = Đường thẳng D cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm A(0; 2), B, C Û Phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt x ¹ ìï m - 3m + > ïì m > ìD ¢ > Ûí Ûí Ûí î g ( x ) ¹ îï3m - ¹ ïî m < 1; m ¹ Chiều cao DMBC: h = d(M; (D)) = + - = Vậy BC = 2S MBC =4 h Vì xB, xC là hai nghiệm phương trình g(x) = và B, C Î D nên: BC = ( x B - x C ) + ( y B + y C ) = ( x B - x C ) = ( x B - x C ) - x B x C 2 2 = ( 4m - 12m + ) = ( m - 3m + ) = 48 Û m - 3m - = Û m = -1 (loại) m = (thỏa mãn) Câu II ( Giải phương trình sin x sin x - cos x sin 2 x + = cos x - p ) Đáp án: Phương trình đã cho tương đương với ( ) sin x sin x - cos x sin 2 x + = + cos x - p = + sin x Û sin x ( sin x - cos x sin x - 1) = MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 11 (12) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com * sin x = Û x = k p ( k Î ¢ ) * ( sin x - cos x sin x - 1) = Û ( sin x - 1) - cos x sin x = Û ( sin x - 1) (1 + sin x + sin x ) = Û (1 + sin x + sin x ) = (vô nghiệm) sinx = Û x = p + 2k p ( k Î ¢ ) 2 Tìm các giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực ìï (1 + x ) (1 + y ) = x + y í ïî x + y = m Đáp án: Do hệ đối xứng nên (x; y) là nghiệm hệ thì (y; x) là nghiệm hệ Do đó để hệ phương trình có nghiệm thì x = y Thay x = y = vào phương trình (2) Þ m = ìï (1 + x ) (1 + y ) = x + y Khi m = thì hệ trở thành í ïî x + y = ìx + y ³ ïï ìx + y = ìx + y = 2 Û í1 + ( x + y ) + xy = ( x + y ) Û í í î xy = î xy = ï x + y xy = ( ) ïî Dễ thấy hệ có ba nghiệm (1; -1); (-1; 1) và (1; 1) Vậy không tồn giá trị m thỏa mãn Câu III Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (a > 0) Góc ABC 120o, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi C¢ là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (a) qua AC¢ và song song với BD cắt các cạnh S SB, SD B¢, D¢ Tính thể tích khối 2a chóp S.AB¢C¢D¢ a Đáp án: Gọi O là giao điểm AC và BD; D¢ C¢ D I là giao điểm SO và AC¢ I Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng B¢ song song BD cắt SB, SD B¢ và D¢ A C O a Từ BD ^ (SAC) Þ B¢D¢ ^ (SAC) Þ B¢D¢ ^ AC¢ B Ta có: AC = a Þ SC = 2a Þ AC ¢ = SC = a MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 12 (13) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com Do I là trọng tâm DSAC Þ B ¢D ¢ = BD = 2a Vậy S AB¢C ¢D¢ = AC ¢.N ¢D ¢ = a 3 2 Từ B¢D¢ ^ (SAC) Þ (AB¢C¢D¢) ^ (SAC¢) Vậy đường cao h hình chóp S.AB¢C¢D¢ chính alf đường cao tam giác SAC¢ Þ h = a Vậy V S AB¢C ¢D¢ = h.S AB¢C ¢D¢ = a 3 18 (đvtt) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 0; 2), mặt phẳng (P): x - y - z + = và y-2 z-6 đường thẳng (d): x - = = Viết phương trình đường thẳng (d¢) qua điểm A, cắt (d) B uuur uuur r và cắt (P) C cho AC + AB = d d¢ B Đáp án: Gọi M là giao điểm (d) và (P) d1 ìx = + m ï Phương trình tham số (d) là: í y = + 4m ïz = + m î A C Thay vào (P) ta có: - 4m - - 4m - - m + = Û m = M N P Vậy M(5; 6; 7) Kẻ đường thẳng (d1) qua A và // (D) Gọi N là giao điểm (d1) và (P) ta có: ì x = -1 + 2t ï d : í y = 4t Thay vào (P) ta -2 + 4t - 4t - - t + = Û t = -1 ïz = + t î Vậy N(-3, -4, 1) uuur uuuur r Gọi C là điểm trên (P) cho NC + NM = Þ C ( -19; - 24; - 11) Đường CA cắt (d) B thỏa mãn yêu cầu Vậy (d¢) là đường thẳng qua A và C có phương trình: x +1 = y = z - 18 24 13 Câu IV Cho số phức z = x + yi; x, y Î ¢ thỏa mãn z = 18 + 26i Tính T = ( z - ) 2009 + (4 - z) 2009 ìï x - xy = 18 Đáp án: ta có z = ( x - 3xy ) + ( x y - y ) i = 18 + 26i Þ í îï3 x y - y = 26 Do x = y = không là nghiệm hệ, đặt y = tx MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 13 (14) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com ìï x (1 - 3t ) = 18 Þí Þ ( 3t - 1) ( 3t - 12t - 13) = 3( 3) ïî x 3t - t = 26 Khi t = thì x = và y = 1, thỏa mãn x, y Î Z Khi 3t - 12t - 13 = thì x, y Ï ¢ Vậy số phức cần tìm là: z = + i Vậy T = ( z - ) 2009 + (4 - z) 2009 = (1 + i ) 2009 + (1 - i ) 2009 = 21004 (1 + i ) + 21004 (1 - i ) = 21005 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn z + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 1 + + + ln (1 + x ) - y + ln (1 + y ) - z + ln (1 + z ) - x Đáp án: Từ giả thiết £ x, y, z £ suy + ln (1 + x ) - y > 0; + ln (1 + y ) - z > và + ln (1 + z ) - x > Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: P³ + ln (1 + x ) - y + + ln (1 + y ) - z - + ln (1 + z ) - x Xét hàm số f ( t ) = ln (1 + t ) - t , t Î [ 0; 3] , có f ¢ ( t ) = - t 1+ t Lập bảng biến thiên hàm f(t), với t Î [0; 3] suy £ f ( t ) £ ln - Do đó P ³ 12 + f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) Vậy P = ³ + ln , x = y = z = + ln PHẦN (thí sinh làm hai câu) Câu Va Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường x + y = , x + y - = Đáp án: Phương trình hoành độ giao điểm hai đường x = - y và x = - y là: - y = - y Û y - y - = Û y = -1 y = 2 Vậy S = ò ( - y ) -1 2 æ y3 y2 ö - (1 - y ) dy = ò ( - y + y + ) dy = ç + + y ÷ = (đvdt) è ø -1 -1 2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cố định A nằm trên đường thẳng (D): x - y + 14 = , cạnh BC song song với D, đường cao CH có phương trình: x - y - = Biết trung điểm cạnh AB là M(-3; 0) Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 14 (15) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com Đáp án: Vì AB ^ CH nên AB có phương trình: x + y + c = Do M(-3; 0) Î AB nên c = Vậy phương trình AB là: x + y + = ì x - y + 14 = Þ A ( -4; ) î2 x + y + = Do A Î D nên tọa độ A là nghiệm hệ: í Vì M(-3; 0) là trung điểm AB nên B(-2; -2) Cạnh BC // D và qua B nên BC có phương trình: ( x + ) - ( y + ) = Û x - y - = Vậy tọa độ ì2 x - y - = Þ C (1; ) îx - y - = C là nghiệm hệ í Câu Vb Cho hình phẳng H giới hạn các đường y = x ; y = - x Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox Đáp án: Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cong là: x = - x Û x + x - = Û x = -1 x = Khi x Î [ -1; 1] thì - x ³ x và đồ thị các hàm y = x và y = - x cùng nằm phía trên trục Ox Vậy V = p ò ( - x - x ) dx = p æç x - x - x ö÷ è -1 ø -1 = 44 p (đvtt) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm I(-1; 3) Viết phương trình đường tròn có tâm I và cắt đường thẳng x - y + 10 = hai điểm A, B cho AIB 120o Đáp án: Gọi H là hình chiếu I trên đường thẳng (d): x - y + 10 = , đó: IH = d ( I , ( d ) ) = -3 - 12 + 10 =1 Suy R = AI = IH = cos 60 o 2 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( x + 1) + ( y - 3) = Hết MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 15 (16) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH SỐ 03 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) CÂU Câu I (2.0đ) (1.0đ) NỘI DUNG Điểm TXĐ : D = R\{1} 0.25 Chiều biến thiên 0.25 lim f ( x) = lim f ( x) = nên y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số x ®+¥ x ®-¥ lim f ( x) = +¥, lim- = -¥ nên x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số x ®1+ x ®1 y’ = - <0 ( x - 1) Bảng biến thiên x 0.25 -¥ +¥ - y' - +¥ y -¥ Hàm số nghịc biến trên (-¥;1) và (1; +¥) Hàm số không có cực trị Đồ thị.(tự vẽ) 0.25 Giao điểm đồ thị với trục Ox là (0 ;0) Vẽ đồ thị Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng 2.(1.0đ) Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn Phương trình tiếp tuyến M có dạng : y = - MATHVN.COM x ( x - x0 ) + ( x0 - 1) x0 - www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 0.25 16 (17) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com x02 Ûx- y+ =0 ( x0 - 1) ( x0 - 1) 0.25 x0 - Ta có d(I ;tt) = 1+ Xét hàm số f(t) = ( x0 + 1) 2t 1+ t4 (t > 0) ta có f’(t) = (1 - t )(1 + t )(1 + t ) (1 + t ) + t f’(t) = t = Bảng biến thiên 0.25 x từ bảng biến thiên ta có f'(t) d(I ;tt) lớn và f(t) +¥ + - t = hay é x0 = x0 - = Û ê ë x0 = + Với x0 = ta có tiếp tuyến là y = -x 0.25 + Với x0 = ta có tiếp tuyến là y = -x+4 Câu II 0.25 (2.0đ) Phương trình đã cho tương đương với (1.0đ) 2(cos4x + cos2x) = (cos2x + 1) + sin2x MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 17 (18) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com écosx=0 Û 4cos3xcosx=2 3cos x + 2s inxcosx Û ê ë 2cos3x= 3cosx+sinx + cosx=0 Û x= p + kp 0.25 0.25 p é 3x=x- + k 2p ê p + 2cos3x= 3cosx+sinx Û cos3x=cos(x- ) Û ê ê3x = p - x + k 2p êë 2.(1.0đ) p é ê x = - 12 + kp p 11p p 13p Ûê vì x Î [ 0; p ] Þ x = , x = ,x = ,x = 12 24 24 ê x = p + kp êë 24 0.25 ì x, y ³ ĐK: í îx ³ y 0.25 Hệ phương trình x- y x -2 y - 5.6 x + 4.23 x - y = - 5.6 x + 4.23 x - y = ïì3 ïì3 Ûí Ûí ïî x - y - y = (2 y - x)( y + x ) ïî x - y = (2 y - x)( y + x )( x - y + y ) 3x-2 y - 5.6 x + 4.23 x - y = ì33 x - y - 5.6 x + 4.23 x - y = ïì3 Ûí Ûí ïî(2 y - x)[( y + x )( x - y + y ) + 1] = î2 y - x = (do 0.25 y + x )( x - y + y ) + ¹ ) ì33 x - y - 5.6 x + 4.23 x - y = ì32 x - 5.6 x + 4.22 x = (1) Ûí Ûí î2 y = x î2 y = x (2) é x éx = ê( ) = 3 Giải (1): 32 x - 5.6 x + 4.22 x = Û ( )2 x - 5.( ) x + = Û ê Û ê x = log 2 ê ê( ) x = ë êë MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 0.25 18 (19) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com Với x = thay vào (2) ta y = 0.25 Với x = log thay vao (2) ta y = log 2 Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình là x = log ,y = Câu III (1.0đ) Đặt I = ò ( x e + x3 x 1+ x 1 )dx Ta có I = ò x e dx + ò Ta tính I1 = ò x 2e x dx Đặt t = x3 ta có I1 = Ta tính I = ò x 1+ x x3 dx Đặt t = x 1+ x 0.25 dx 1 t e dt = et ò 30 1 = e3 0.25 0.25 x Þ x = t Þ dx = 4t dt t4 p Khi đó I = ò dx = 4ò (t - + )dt = 4(- + ) 2 1+ t 1+ t 0 1 log 2 0.25 Vậy I = I1+ I2 = e + p - 3 Ta có xy + yz + xz ³ xyz Û Câu IV (1.0đ) 0.25 1 + + ³ nên x y z 0.25 1 y -1 z -1 ( y - 1)( z - 1) ³ 1- +1- = + ³2 (1) x y z y z yz Tương tự ta có 1 x -1 z -1 ( x - 1)( z - 1) ³ 1- +1- = + ³2 (2) y x z x z xz 1 x -1 y -1 ( x - 1)( y - 1) ³ 1- +1- = + ³2 (3) y x y x y xy Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta ( x - 1)( y - 1)( z - 1) £ MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 0.25 19 (20) Bộ đề thi thử đại học môn Toán từ hocmai www.mathvn.com Amax = Câu V (1.0đ) 0.25 Ûx= y=z= Qua B, C, D dựng các đường thẳng 1.0 P Song song với CD, BD, BC cắt M, N, P Ta có MN = 2BD, MP = 2CD, NP = 2BC từ đó ta có các tam giác AMN, APM, ANP D B vuông A Đặt x = AM, y = AN, AP = z ta có A x = 2(a + c - b ), y = 2(b + c - a ) z = 2(a + b - c ) Vậy V = 12 N C M 2(a + c - b )(b + c - a )(a + b - c ) CâuVIa Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0) (2.0đ) Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4) 0.5 Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) 1.(1.0đ) Gọi BI là đường phân giác góc B với I thuộc OA đó ta có 0.5 I(4/3 ; 0), R = 4/3 2.(1.0đ) Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Y Ta có M(1 ;0 ;0), N(0 ;1 ;1) D' 1.0 A' B(2 ;0 ;2), C’(0 ;2 ;2) C' Gọi phương tình mặt cầu qua điểm M,N,B,C’ có dạng B' x2 + y2 + z2 +2Ax + 2By+2Cz +D = N Vì mặt cầu qua điểm nên ta có M D C A X B Z MATHVN.COM www.mathvn.com and book.mathvn.com Lop12.net 20 (21)