Bài tập giải mẫu Khảo sát hàm số - Hàm đa thức

Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m.. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó khi m thay đổi.[r]

Hàm bậc ba: Bài 1: Cho hàm số y  x  (1  2m) x  (2  m) x  m  (C) Tìm m để hàm đồng biến trên  0;   Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn: a xCT  b Hoành độ các điểm cực trị lớn -1 c x1  x2  , với x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị d Có ít hoành độ cực trị thuộc khoảng (-2; 0) Giải: Hàm đồng biến trên  0;    y '  x  2(1  2m) x  (2  m)  với x   0;   x  2x   m với x   0;   4x 1  x  x  3 1  73 Ta có: f '  x     6x2  x    x  12  x  1  f  x  Lập bảng biến thiên hàm f(x) trên  0;   , từ đó ta đến kết luận:  1  73   73 f  m   m   12  Ta có: y '  x  2(1  2m) x  (2  m) Hàm số có CĐ, CT  y '  có nghiệm phân biệt  m 2    '  (1  2m)  3(2  m)  4m  m    (*)   m  1 Với điều kiện (*), gọi x1  x2 là nghiệm phân biệt y’ = Hàm số đạt cực trị các điểm x1 ; x2 m   4m  m  a Hàm số đạt cực tiểu điểm x  x2   xCT  x2 2m   m  m  Do đó: xCT   2  4m  m    2m 7  2m   2  m  4m  m     2m  5  Kết hợp với (*), kết luận các giá trị cần tìm m là: m   ; 1   ;  4  b Hoành độ các điểm cực trị lớn -1  y’ = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 lơn Lop12.net    '  4m  m     '  4m2  m      2(1  2m) -1   x1  x2  2    2 m  x 1 x 1        2(1  2m)  m  0  3 2(1  2m)   x1  x2   c Áp dụng định lí viet, ta có:  x x   m  1 2 Ta có: x1  x2    x1  x2    x1  x2   x1 x2  2  1  2m     m    16m  12m    29  29 m 8  29 Kết hợp (*), ta suy m   m  1 d Để hàm số có ít cực trị thuộc (-2; 0)  y '  f  x   có nghiệm phân biệt x1 ; x2 và có ít m  2  x1  x2  0;(1) nghiệm thuộc (-2; 0)   2  x1   x2 ;(2)  x1  2  x2  0;(3) Ta có: 4m  m     '  4m  m      2m    x  x  2   10  (1)       m  1 4(2m  1)  m  0  x   x    4  3    x1 x2  2  m    4m2  m     '  4m  m   m     f 0   m  (2)     2m    m2 x   x          x   x      m  2m  1    40  2 Lop12.net 4m  m     '  4m  m   3m    f   10  m      (3)     2m      m  1  x1  x2   x x  2  m  0     Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m    ; 1   2;     Bài 2: Cho hàm số y  x  3x  mx  Tìm m để hàm số có: Cực trị và các điểm cực trị cách đường thẳng y = x – Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị song song với y = - 4x + 3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng x + 4y – = góc 45  17  Các điểm cực trị đối xứng qua tâm I  ;   3  Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng  : y  x  2 Các điểm cực trị nằm phía đường thẳng y = 4x + Có cực trị và chứng minh khoảng cách điểm cực trị lớn Cực trị x1 ; x2 thỏa mãn: x1  3x2  Lời giải: Hàm số có CĐ, CT  y '  x  x  m  có nghiệm phân biệt   '   3m   m  3 (*) Với điều kiện (*), gọi x1  x2 là nghiệm phân biệt y’ = Hàm số đạt cực trị các điểm x1 ; x2 ; gọi hai điểm cực trị là A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  Thực phép chia y cho y’ ta được: m  2m   y1  y  x1       x1     3 1 m    1  2m   y   x   y '   2 x      3 3 m 3     2m   y2  y  x2       x2     3    m  2m    2 x      Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là d: y    3    Các điểm cực trị cách đường thẳng y = x –  xảy trường hợp: TH1: Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng  2m  y = x –       m   (thỏa mãn)   TH2: Trung điểm I AB nằm trên đường thẳng y = x – Lop12.net y1  y2 x1  x2  1 2 m  2m        x1  x2        x1  x2   3    2m  2m       m0   3  Vậy các giá trị cần tìm m là: m  0;   2  Đường thẳng qua các điểm cực trị song song với y = - 4x +   2m        4      m  (thỏa mãn) m    2 3    2m  Đặt k      là hệ số góc đường thẳng qua các điểm cực trị   Đường thẳng x + 4y – = có hệ số góc -1/4 1 39    k k   1 k m k    4 10  Ta có: tan 45    k    k   1  k m   1 k    4  Kết hợp đk (*), suy giá trị m cần tìm là: m    17  Các điểm cực trị đối xứng qua tâm M  ;   3  17 m  2m 5         m  (thỏa mãn)  M  d     3  3  Vậy m =  x1  x2   Theo định lí viet ta có:  m  x1 x2    yI  xI   Gọi I là trung điểm AB  I 1;  m  Các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng  : y  d   x   2 I     2m       1     m  2 (thỏa mãn (*)) m    2 Vậy không tồn giá trị m thỏa mãn bài toán Các điểm cực trị A, B nằm phía đường thẳng y = 4x + Lop12.net m       x1 x2   x1  x2   1  3  4m  m      3   0  3   m    15  m 5  m   Vậy m  15 là các giá trị cần tìm 2 Ta có: AB   x1  x2    y1  y2  2  2m        1  x1  x2      2m  2m        1         2m Với m thỏa mãn đk (*)     AB   AB  Vậy hàm số có cực trị thì khoảng cách cực trị luôn lớn Áp dụng định lí viet, kết hợp điều kiện ta có hệ:  x    x1  x2  2   m m 15   (thỏa mãn (*))   x2     m  x1 x2   3 4   m  x1  3x2    x1 x2    15 Vậy m  Bài 3: Cho hàm số y   x3  x  (C) Tìm điểm trên trục hoành từ đó kẻ tiếp tuyến đến (C); Tìm m để hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx; Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(-1; 3); Tìm điểm trên đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua đt 2x – y + = 0; Biện luận theo m số nghiệm phương trình sau: a  x  x  m   m 1 x 1 Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn Lời giải: Điểm M thuộc trục hoành Ox  M  a;  Nhận thấy đường thẳng x = a không là tiếp tuyến b x  x   (C), xét đường thẳng qua M có hệ số góc k có dạng: y  k  x  a  tiếp xúc với (C) Lop12.net  x3  x   k  x  a   có nghiệm 3x   k Suy ra:  x  3x    3x  3  x  a    x  1  x   3a   x  3a     x  1   f  x   x   3a   x  3a   Để từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C) thì f  x   phải có nghiệm phân biệt khác -  64 a      3a     3a    3a  12a   1     64 6   f  1  a     64   6 Vậy các điểm M thỏa mãn có tọa độ  a;  với a   ; ;            x  x   mx Hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  mx   có nghiệm 3x   m Suy ra:  x  3x    3x  3 x   x  1  x  x  1   x  1 Thay vào ta m = Vậy m = thì (C) tiếp xúc với đường thẳng y = Gọi A  x0 ; y0    C  , B   C  là điểm đối xứng với A qua điểm M  1;3  B  2  x0 ;  y0  Vì A, B   C   y0   x03  x0   6  y0    2  x0    2  x0      x03  x0    2  x0    2  x0    x02  12 x0    x0  1  y0  Vậy điểm cần tìm là:  1;0  và  1;6  Gọi M  x1 ; y1  ; N  x2 ; y2  thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d  x  x y  y2  I là trung điểm AB nên I  ;  , ta có I  d   3 y1  y2   x1  x1      x2  3x2   x x Có:   2  2 2    x1  x2   x1 x2  x1  x2    x1  x2    x1  x2   x1  x2   2  x1  x1 x2  x2  Lop12.net Lại có: MN  d   x2  x1    y2  y1     x2  x1    x2  x1   x12  x1 x2  x22   7 - Xét x1  x2   x1   ; x2   2  2  x12  x1 x2  x22  x  x     vô nghiệm - Xét  7  x1  x1 x2  x2  x x     7  7 Vậy điểm đối xứng đồ thị hàm số là:  ;2  ;   ;   2  2   Bạn đọc tự vẽ đồ thị hàm số  C  : y   x  3x   x12  x1 x2  x22  3 a Ta có:  x  x  m     x  x    m Vẽ đồ thị hàm số y   x  x  sau: - Giữ nguyên phần đồ thị  C p  hàm số (C) bên phải trục Oy - Lấy  C ' p  đối xứng phần đồ thị  C p  qua Oy   C1    C ' p    C p  từ đó dựa vào đồ thị hàm số biện luận b x  x   m 1 m 1    x  x  2 x    với x  1 x 1 Vẽ đồ thị hàm số  C2  y    x  x   x  sau: - Giữ nguyên phần đồ thị  C p   C  - ứng với x > -1 - Lấy  C 'p  đối xứng với phần đồ thị  C  - ứng với x < -1 qua trục hoành Ox   C    C p'    C p  (Các bạn tự vẽ hình) Từ đó dẫn tới kết luận Ta có: y '  3 x  ; y "  6 x   x   U  0;  là điểm uốn đồ thị hàm số Hệ số góc tiếp tuyến U là: k  y '    Với điểm M  x0 ; y0  bất kì thuộc đồ thị hàm số, thì hệ số góc M là: k1  y '  x0   3x02   Vậy tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn Bài 4: Cho hàm số (C): y  x  3mx  mx và đường thẳng d: y = x + Tìm m để hàm số (C) cắt đường thẳng d: Tại đúng điểm phân biệt Tại điểm phân biệt có hoành độ dương Tại điểm phân biệt A, B, C cho AB = BC Tại điểm phân biệt lập thành cấp số nhân Lời giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: Lop12.net x  3mx  mx  x   f  x   Ta có: f '  x   3x  x3  x  12 x  3x  x x3  x  m 3x  x   x  x  x  12 x    Lập bảng biến thiên hàm số f(x), từ đó dựa vào bảng biến thiên kết luận bài toán Tương tự câu a Xét phương trình hoành độ giao điểm: x  3mx  mx  x   g  x   x3  3mx   m  1 x   Hàm số (C) cắt đường thẳng d điểm phân biệt A, B, C cho AB = BC  g '  x   có nghiệm phân biệt và điểm uốn đồ thị hàm số y  g  x  nằm trên trục hoành Ox - Phương trình g '  x   3x  6mx   m  1  có  '  9m  3m   nên luôn có nghiệm phân biệt với m - Hàm y  g  x  có điểm uốn là U  m; 2m3  m  m    Ox và khi: 2m3  m2  m     m  1  2m  m     m  1 Vậy m  1 Đk cần: Giả sử (C) cắt d điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 lập thành cấp số nhân Khi đó ta có: g  x    x  x1  x  x2  x  x3   x1  x2  x3  3m  Suy ra:  x1 x2  x2 x3  x1 x3   m  x x x   Vì x1 x3  x22  x23   x2  nên ta có: m    2.3m  m   Đk đủ: Với m   Vậy m   33 1 , thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn 1 1 Bài 5: Cho hàm số y = x + mx  m a Khi nào đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt b Xác định m cho x   y  Giải: a Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt và hàm số có cực đại và cực tiểu và ycđ.yct < Thấy y’ = 3x + 2mx = x(3x + 2m) y’ =  x = và x =  2m/3 Hàm có cực đại và cực tiểu   2m/3   m  y c® y ct  y   y  2m /   m  4m2  27   m  4m3  27m 0 27 3 Lop12.net Vậy đồ thị cắt trục hoành ba điểm phân biệt và m  3 / b y  x   với x   y    m  Với m  , m  0, ta có 2m /  Vậy, với m  [1, 1]\ 0 để y  x   với x  điều kiện đủ là  y  2m /   4m3 m 27 (vì y (1) =  1, y(1) = 1, y (0) = m thuộc [1, 1])  4m3 4m2  Nhưng ,  m     m  m  m = thỏa mãn  27 27    Kết luận m  [1, 1] Bài 6: Cho hàm số y = (m  2)x  mx + (1) a Chứng minh m  (0, 2) hàm không có cực đại và cực tiểu b Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn qua ba điểm cố định Giải: a y’ = 3(m  2)x  m Khi m  (0, 2)  m / 3(m  2) < và phương trình y’ = vô nghiệm 3 b y = mx  2x  mx +  mx (x  1)  2(x  1)  y = Điểm cố định (xo, yo) phải thỏa mãn yo   x x2    x o  0,  o o    x o  1, yo  ,   y o  2 x3o  x  yo   o  Đồ thị luôn qua điểm cố định (0, 2), ( 1, 4), (1, 0) Bài 7: Cho hàm số y = f(x) = 2x  3(2m + 1)x + 6m (m + 1)x + (1) a Tìm quĩ tích điểm uốn b Tìm quĩ tích điểm cực đại c Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu đồ thị Giải a y’ = 6x  6(2m + 1) x + 6m(m + 1) 2m  y” = 12x  6(2m + 1), y” =  x   2m   2m    y” đổi dấu x biến thiên qua (2m + 1)/2 Vậy điểm uốn là U  ,f          2m  2x  suy m  , thay vào phương trình y = f(x) ta thu 2 y  2x3  x  Vậy quĩ tích đồ thị hàm y  2x3  x  x  m b y’ = 6[x  (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ =   x  m  Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng Từ x  Lop12.net y’(x) <  x  (m, m + 1) y’(x) >  x  (, m)  (m + 1, +) Vậy hàm luôn có cực đại và cực tiểu x = m và x = m + tương ứng Điểm cực đại là (m,f(m)) Khử m cách thay m = x, vào (1) ta y = 2x + 3x + Vậy đồ thị hàm y = 2x + 3x + là quĩ tích các điểm cực đại hàm số m thay đổi c Trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu là điểm uốn, mà quĩ tích đã biết câu a Bài 8: Cho hàm số: y  mx  3mx  (2m  1) x   m (Cm ) Tìm tất các giá trị m cho hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng minh đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu (Cm ) luôn qua điểm cố định Lời giải: y   3mx  6mx  2m  Hàm số có cực đại, cực tiểu  y  có nghiệm phân biệt Chia y cho y’, ta kết quả:  m  và   9m  3m(2m  1)   m  m  x 1 2m  10  m 2m  10  m y y  x  y x là phương trình đường thẳng qua các điểm 3 3 cực trị Đường thẳng này luôn qua điểm I ( ;3) cố định Bài 9: Cho hàm số y  x  3x  mx  m Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài Lời giải: f ( x)  x  3x  mx  m  f ( x)  3x  x  m f ( x ) có    3m Nếu    f ( x)  0x  hàm số luôn đồng biến Nếu    f ( x ) có nghiệm phân biệt là x1  x2 Ta có: f ( x)   x1  x  x2 Tức là hàm số nghịch biến khoảng ( x1 , x2 ) Yêu cầu bài toán:  x2  x1   3   3    1 m  3 Bài 10: Cho hàm số y   (m2  5m) x  6mx  x  Gọi (Cm ) là đồ thị nó Tìm tất các điểm cố định mặt phẳng tọa độ mà (Cm ) luôn qua với giá trị m Tiếp tuyến (Cm ) điểm đó có cố định hay không m thay đổi, sao? Lời giải: y  (m  5m) x3  6mx  x   x 3m  (5 x  x )m  y  x   Các điểm mà đồ thị luôn qua với m có tọa độ thỏa mãn phương trình trên có nghiệm với m, tức là các hệ số m Giải ta có nghiệm x  0; y  6 nên m , đồ thị luôn qua điểm cố định A(0; -6) Vì y (0)  m nên tiếp tuyến (Cm ) điểm cố định A (0; - 6) cố định m thay đổi Bài 11: Cho hàm số y   x3  x  Tìm trên trục hoành điểm mà từ đó kẻ tiếp tuyến đến đồ thị Hướng dẫn: Làm tương tự bài 13, gọi điểm cần tìm là A(a;0), dựa vào điều kiện tiếp tuyến, sau biến đổi 10 Lop12.net phương trình a, đó là phương trình bậc dễ dàng tìm nghiệm, ta tìm k phương trình này có nghiệm phân biệt Kết luận: các điểm cần tìm trên trục hoành là các điểm có hoành độ thỏa mãn : x  1; 1  x   x  Bài 12: Cho hàm số y  x3  mx  m  Viết phương trình tiếp tuyến các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với giá trị m Tìm quỹ tích giao điểm các tiếp tuyến đó m thay đổi Lời giải: Dễ thấy đồ thị qua điểm cố định là A1 (1; 0), A2 (1; 2) y   3x  2mx , đó tiếp tuyến A1 (1;0) có PT: y  (2m  3)( x  1) và tiếp tuyến A2 (1; 2) có PT: y  (2m  3)( x  1)  Giao điểm M tiếp tuyến có tọa độ thỏa mãn phương trình sau: y  (2m  3)( x  1) và y  (2m  3)( x  1)  Rút m từ PT thay vào PT còn lại ta có: 3x  x  , đó chính là quỹ tích cần tìm x Bài 13: Cho hàm số y  x3  (2  m) x  (1) , với m là tham số Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ Lời giải: Yêu cầu bài toán  x0  để y ( x0 )   y ( x0 ) y  x0  để x0  (2  m) x0   x0  (2  m) x0   x0  để (2  m) x02   m  2 Bài 14: Cho hàm số y  x  (3  m) x  mx  m  Với giá trị nào m để trên đồ thị có điểm đối xứng qua gốc O Lời giải: Đồ thị có điểm đối xứng qua gốc O tức là phải tồn x,y cho điểm (x;y) và (- x;- y) cùng thuộc đồ thị tương đương hệ gồm phương trình sau nghiệm khác (0;0): y  x  (3  m) x  mx  m  (1);  y   x3  (3  m) x  mx  m  (2) Lấy (1) cộng với (2) ta được: 2(m  3) x  2(m  5)  , phương trình này phải có nghiệm khác m5    m  5  m  3 m3 Bài 15: Cho hàm số y  x  3x  m (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 4 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho  AOB  1200 Giải:  x  2  y  m  Ta có: y’ = 3x2 + 6x =   x   y  m Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(2 ; m + 4)   Ta có: OA  (0; m), OB  ( 2; m  4) Để  AOB  1200 thì cos AOB   11 Lop12.net  m(m  4) m2   ( m  4)   4  m  12     12   m  m   Bài 16: Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A và B song song với và độ dài đoạn AB = Giải: Giả sử A(a; a3  3a  1), B(b; b3  3b  1) (a  b) Vì tiếp tuyến (C) A và B song song suy y (a)  y (b)  (a  b)(a  b  2)   a  b    b = – a  a  (vì a  b) AB  (b  a)2  (b3  3b2   a3  3a2  1)2 = 4(a  1)6  24(a  1)4  40(a  1)2 AB =  4(a  1)6  24(a  1)4  40(a  1)2 = 32   a   b  1  a  1  b   A(3; 1) và B(–1; –3) Bài 17: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị là (Cm); ( m là tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho các tiếp tuyến (Cm) D và E vuông góc với Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và đường thẳng y = là: x  x3 + 3x2 + mx + =  x(x2 + 3x + m) =   (2)  x  3x  m  - (Cm) cắt đường thẳng y = C(0;1), D, E phân biệt:  Phương trình (2) có nghiệm xD, xE  m     4m     (*) m  0    m   Lúc đó tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD = y’(xD) = 3x2D  6x D  m  (3x D  2m); kE = y’(xE) = 3x2E  6x E  m  (3xE  2m) - Các tiếp tuyến D, E vuông góc và khi: kDkE = –1  (3xD + 2m)(3xE + 2m) = -1  9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1  9m + 6m(–3) + 4m2 = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-ét)   65 m   4m2 – 9m + =     65 m   So sánh Đk (*) ta m =  65 Bài 18:   12 Lop12.net Cho hàm số : y  x  2mx2   m   x  , có đồ thị  Cm  Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị  C  hàm số m  Tìm tất các giá trị tham số m   để đường thẳng x  y   cắt đồ thị điểm A  0;2 , B,C cho tam giác MBC có diện tích , biết M  3;1  Giải:     Gọi điểm cần tìm là A, B có A  a;   ; B  b;   ; a, b  1 a 1   b 1    a b a 2 b2 Trung điểm I AB: I  ;    a 1 b 1  Pt đường thẳng MN: x + 2y +3=    AB.MN  a   A(0; 4) Có :  =>     I  MN b   B (2;0) Bài 19: Cho hàm số: y  x   m  1 x   m  4m  3 x  Với giá trị nào m hàm số có cực đại, cực tiểu? Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm cực đại, cực tiểu hàm số, hãy tìm giá trị lớn biểu thức x1 x   x1  x  Giải: Ta có y   x   m  1 x  m  4m  Hàm số có cực đại, cực tiểu và y = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hay     m  1   m  4m  3   m  6m    5  m  1 Theo định lí Vi-ét, ta có x1  x    m  1 , x1 x   m  4m  3 Suy  m  4m  3   m  1  m  8m  2 Ta nhận thấy, với m   5;  1 thì 9  m  8m    m     Do đó A lớn m = -4 Bài 20: Cho hàm số y  x  2mx  (m  3) x  có đồ thị là (Cm) Cho (d ) có phương trình y = x + và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị tham số m cho (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích Giải: x  x  2mx  (m  3) x   x  (1)  x ( x  mx  m  2)     g( x )  x  2mx  m   (2) (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C  phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác  /  m2  m   m  1  m    (a) m  2  g(0)  m   Mặt khác: d (K , d )  1   Do đó: SKBC   BC.d(K, d)   BC  16  BC2  256 13 Lop12.net  ( x B  xC )2  ( yB  yC )2  256 với xB , xC là hai nghiệm phương trình (2)  ( x B  xC )2  (( x B  4)  ( xC  4))2  256  2( x B  xC )2  256  ( x B  xC )2  x B xC  128  m  4( m  2)  128  m  m  34   m   137 (thỏa ĐK (a)) Vậy m   137 2 Bài 21: Cho hàm số f ( x )  x  mx  2, có đồ thị (Cm ) Tìm tập hợp các giá trị m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành và điểm Giải: Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình x  mx   0, (*) x  không thỏa mãn nên: (*)  m   Xét hàm số g ( x )   x3  x x3  2   x   g '( x )  2 x  x x x g '( x )   x  ta có bảng biến thiên: x  g '( x)  ll +   g ( x)  Số nghiệm (*) là số giao điểm đường thẳng y  m và đồ thị hàm số y  g ( x) nên để (*) có nghiệm thì m  3 Lưu ý: Có thể lập luận để đồ thị (Cm ) hàm số y  f ( x) không có cực trị có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị nằm cùng phía trục hoành Bài 22: Cho hàm số y  x  (1  2m) x  (2  m) x  m  (1) m là tham số Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x  y   góc  , biết cos  26 Giải: Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến  tiếp tuyến có véctơ pháp n1  (k ;1) d: có véctơ pháp n2  (1;1)  k   k 1 Ta có cos      12k  26k  12    26 k 1 k  n1 n2  Yêu cầu bài toán thỏa mãn  ít hai phương trình: y /  k1 (1) và y /  k (2) có n1 n2 14 Lop12.net nghiệm x  3 x  2(1  2m) x   m  có  /    /    3 x  2(1  2m) x   m  có  1  m   ; m   8m  2m    m   m    m   ; m   4m  m    Bài 23: Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m3  m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Giải: Ta có y ,  x  6mx  3(m  1) Để hàm số có cực trị thì PT y ,  có nghiệm phân biệt  x  2mx  m   có nhiệm phân biệt     0, m Cực đại đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu đồ thị hàm số là B(m +1;-2-2m)  m  3  2 Theo giả thiết ta có OA  2OB  m  6m      m  3  2 Vậy có giá trị m là m  3  2 và m  3  2 Bài 24: 2 Cho hàm số : y  x  mx  m3 Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng y = x Giải: x  x  m Ta có y '  3x  3mx  3x( x  m)    Với m  thì y’ đổi dấu qua các nghiệm hàm số có CĐ,CT   Khi đó các điểm cực trị đồ thị là: A  0; m  , B(m; 0)   Để A và B đối xứng với qua đường phân giác y = x, điều kiện cần và đủ là OA  OB tức là: m  m3  m   m   2 Bài 25: Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (m là tham số) (1) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ Giải: YCBT  phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 <   '  m  m     f (1)  5m     S 2m      <m< 15 Lop12.net Bài 26: Cho hàm số : y  ( x – m)3 – 3x (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m =  x   3x  k   Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm:  1  log x  log ( x  1)  2 Giải:  x  3  3x  k  (1)  Ta có :  Điều kiện (2) có nghĩa: x > 1  log x  log2 ( x  1)  (2) 2 Từ (2)  x(x – 1)  < x  Hệ PT có nghiệm  (1) có nghiệm thoả < x  (x 1)3  3x  k  (x 1)3  3x < k   1  x  1  x  Đặt: f(x) = (x – 1) – 3x và g(x) = k (d) Dựa vào đồ thị (C)  (1) có nghiệm x (1;2]  k  f ( x )  f (2)  5 Vậy hệ có nghiệm  k > – 1;2 Bài 27: 3 Cho hàm số y  x  3mx  4m (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Giải: x  Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m   x  2m  Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  AB  (2m; 4m ) Ta có: y’ = 3x2  6mx =   Trung điểm đoạn AB là I(m; 2m3) Điều kiện để AB đối xứng qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x  2m  4m   Giải ta có: m   ;m=0  2m  m Kết hợp với điều kiện ta có: m   2 Bài 28: Cho hàm số y  x  2mx   m  1 x  (1) (m là tham số thực) Cho điểm M(3; 1) và đường thẳng : y   x  Tìm các giá trị m để đường thẳng  cắt đồ thị hàm số (1) điểm A(0; 2); B, C cho tam giác MBC có diện tích Giải: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng  là:  x   y  x  2mx   m  1 x    x     g  x   x  2mx  3m   Đường thẳng  cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm A(0; 2), B, C  Phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt x  16 Lop12.net m   m  3m           g  x   3m    m  1; m  2S Chiều cao MBC: h = d(M; ()) =    Vậy BC  MBC  h Vì xB, xC là hai nghiệm phương trình g(x) = và B, C   nên: 2 2 BC   x B  x C    y B  y C    x B  x C    x B  x C   x B x C   4m  12m     m  3m    48  m  3m    m  1 (loại) m = (thỏa mãn) Bài 29: Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y = 3x – tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Giải: Gọi tọa độ điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P = 3x – y – Thay tọa độ điểm A(0;2)  P = - < 0, thay tọa độ điểm B(2;-2)  P = > Vậy điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y = 3x – 2, để MA + MB nhỏ  điểm A, M, B thẳng hàng Phương trình đường thẳng AB: y = - 2x + Tọa độ điểm M là nghiệm hệ:  x  y  x    4 2  => M  ;   5 5  y  2 x  y   Bài 30: Cho hàm số : y  x  1  2m  x    m  x  m  (1) ( m là tham số) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ Giải: Đạo hàm: y  g ( x)  3x  1  2m  x   m Yêu cầu bài toán  phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thõa x1 < x2 <    '  4m  m        g (1)  5m     m  1   m      S 2m    1 2 Bài 31: Cho hàm số: y  x   m  1 x  x  m  (1) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng y  x Giải: y '  3x  6(m  1) x  Để hàm số có cực đậi, cực tiểu: '  9(m  1)  3.9   (m  1)    m  (;1  )  (1  3;) 17 Lop12.net m 1 1 Ta có y   x   3x  6(m  1) x   2(m  2m  2) x  4m  3   Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là (x1; y1) và (x2 ; y2)  y1  2(m  2m  2) x1  4m  và y  2(m  2m  2) x2  4m  Vậy đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y  2(m  2m  2) x  4m  1 Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt y  x ta có điều kiện cần m  1 là  2(m  2m  2)  1  m  2m    m  2m      m  3      x  x  2(m  1) Theo định lí Viet ta có:   x1 x2  Khi m =  ptđt qua hai điểm CĐ và CT là:  x1  x    y = - 2x + Tọa độ trung điểm CĐ và CT là:   y1  y   2( x1  x2 )  10   2 Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng y  x  m  thỏa mãn Khi m = -3  phương trình đường thẳng qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11 Tọa độ trung  x1  x  2  điểm CĐ và CT là:   y1  y   2( x1  x2 )  10   2 Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (-2; 9) không thuộc đường thẳng y  x  m  3 không thỏa mãn Vậy m = thỏa mãn điều kiện đề bài Bài 32: Cho hàm số y  f ( x )  x  (m  3) x  3x  (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu Khi đó viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị này Bài giải: TXD: D = R Ta có: y '  x  2(m  3) x  3, y '   3x  2(m  3) x   (1) Hàm số có CĐ, CT  (1) có nghiệm phân biệt   '   (m  3)2    m2  6m   m  6  m  1 1  Chia f(x) cho f’(x) ta được: y  f '( x)  x  (m  3)   (m  6m) x  m  3  Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y   (m  6m) x  m  Bài 33: Cho hàm số y  x3  3(m - 3) x  11 - 3m ( Cm ) Tìm m để hàm số có hai cực trị Gọi M và M là các điểm cực trị, tìm m để các điểm M , M và B(0,-1) thẳng hàng 18 Lop12.net Bài giải: Tìm m để hàm số có cực trị Ta có: y  x3  3(m  3) x  11  3m y ,  x  6(m  3) nên y ,   x  6(m  3)  (1) x  (1)   x   m Hàm số có cực trị  (1) có nghiệm phân biệt  m  30  m 3 Tìm m để điểm cực trị M1, M2 và B (0, -1) thẳng hàng Để tìm phương trình đường thẳng qua điểm cực trị M1, M2 ta chia f(x) cho f ' ( x ) : m 3 1 f ( x )  f ' ( x)  x    (m  3) x  11  3m   Suy phương trình đường thẳng M M là: y   (m  3)2 x  11  3m M1, M2, B thẳng hàng  B  M1M2  -1 = 11 - 3m  m = So với điều kiện m  nhận m = Vậy với m = thoả yêu cầu bài toán Bài 34: Cho hàm số y  x3  3(2m  1) x  6m(m  1) x  (1) Chứng minh rằng, m hàm số (1) luôn đạt cực trị x1 , x2 với x1  x2 không phụ thuộc m Bài giải: TXĐ: D = R Ta có: y '  x  6(2m  1) x  6m(m  1) y '   x  (2m  1) x  m(m  1)    (2m  1)2  4m(m  1)   (*)  (*) luôn có nghiệm phân biệt l x1 , x2  Hàm số luôn đạt cực trị x1 , x2 Ta có: x  2m    2m, x  2m    2m  2  x  x  2m   2m  (haèng soá) Vậy: x  x không phụ thuộc m  đpcm Bài 35: m Cho hàn số y = f(x) = x3  2(m  1) x (m là tham số m) a Khảo sát hàm số m = b Tìm tất giá trị m cho hàm số có cực đại, cực tiểu và tung độ điểm cực đại yCD , tung độ điểm cực tiểu yCT thỏa: ( yCD  yCT )  (4m  4)3 Bài giải a Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu cho: ( yC Ñ  yC T )2  ( m  )3 19 Lop12.net Ta có: y  m x  ( m  ) x y '  m x  2( m  1) y '   m x  2( m  1)  (1) Hàm số có cực đại và cực tiểu  (1) có nghiệm phân biệt ( m  1)   m  1  m  m Khi đó (1) có nghiệm x1 , x2 ( x1  x2 )  yCÑ  f ( x1 ) và yCT  f ( x2 ) Để tìm yCÑ và yCT ta chia f(x) cho f’(x) thì được: f ( x )  f '( x )  x   ( m  1) x     y C Ñ  f ( x )   ( m  1) x yC T (Vì f'(x1 )  0, f '( x2 )  0)  f ( x )   ( m  1) x Theo giả thiết: ( yCÑ  yCT )2  (4m  4)3 16 (m  1)2 ( x1  x2 )2  64(m  1)3 9  ( x1  x2 )  8(m  1) ( Vì m+1  )   S2  P  8(m+1) 8(m+1) -2(m+1)  0 (vì S = , P = ) m m  m = ( Vì m+1  ) So với điều kiện m< -1  m > nhận giá trị m = Vậy với m = thoả yêu cầu bài toán Bài 36: Tìm m để (Cm ) : y = x3 + 3x2 + (m + 2)x + 2m cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ là số âm Bài Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (Cm ) và Ox x3  x  m  x  2m   x  x  x  m  (1)        x  2    x  x  m  (2) (Cm ) cắt Ox điểm có hoành độ âm  (2) có nghiệm âm phân biệt khác -2  m    P  S  2    Vậy với  m   m  2 1  m     m     m  2   m    m    m  thoả yêu cầu bài toán 20 Lop12.net