Cho hàm số 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số 1 có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2 l[r]
(1)Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 x4 3x 2 Bài Cho hàm số y = Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thi (C) hàm số Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = a Viết phương trình tiếp tuyến (C) M, với giá trị nào a thì tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M Giải 2/ + Vì M (C ) M a ; Ta có: y’ = 2x3 a4 5 3a2 2 – 6x y '(a) 2a3 6a Vậy tiếp tuyến (C) M có phương trình : y (3a3 6a)(x a) a4 3a2 2 x4 a4 3x (3a3 6a)(x a) 3a2 (x a)2 (x 2ax 3a2 6) 2 2 x a 2 g(x) x 2ax 3a ' a |a| YCBT pt g(x) = có nghiệm phân biệt khác a a 1 g(a) a x Bài Cho hàm số y (C) x 1 + Xét pt : Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thi (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn Giải 2/ Giả sử M(x0 ; x0 ) (C ) mà tiếp tuyến với đồ thị đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp x0 tuyến là lớn Phương trình tiếp tuyến M có dạng : y x02 x y 0 (x0 1)2 (x0 1)2 x0 Ta có d(I ;tt) = 1 >0 x0 2t (t 0) t4 (1 t )(1 t )(1 t ) Xét hàm số f(t) ta có f’(t) = (x0 1)4 .Đặt t = x (x x0 ) (x0 1) x0 t (1 t ) t f’(t) = t = Bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta có d(I ;tt) lớn và t = hay f’(t) f(t) x x0 x0 + Với x0 = ta có tiếp tuyến là y = -x + Với x0 = ta có tiếp tuyến là y = -x+4 Lop12.net + - (2) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Bài Cho hàm số y 2x x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1) Giải Gọi điểm cần tìm là A, B có A a;2 ; B b;2 ; a , b 1 a 1 b 1 a b a 2 b 2 ; a 1 b 1 Trung điểm I AB: I Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= AB.MN Có : I MN a A(0; 4) b B(2;0) => Bài Cho hàm số y x x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho Biện luận theo tham số k số nghiệm phương trình x x 3k Giải Đồ thị hàm số y x x gồm phần nằm phía trên Ox và đối xứng phần nằm phía Ox qua Ox đồ thị (C); y 3k là đường thẳng song song với Ox Từ đó ta có kết quả: y * 3k k : phương trình có nghiệm, * 3k k : phương trình có nghiệm, * 3k k : phương trình có nghiệm, k * k : phương trình có nghiệm, * 3k k : phương trình có nghiệm Bài Cho hàm số y 2x x 1 1 x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 1 Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm I(1; 2) tới tiếp tuyến (C) M là lớn Giải Nếu M x0 ; O 3 (x x0 ) (C ) thì tiếp tuyến M có phương trình y x0 x0 (x0 1)2 hay 3(x x0 ) (x0 1)2 (y 2) 3(x0 1) Khoảng cách từ I(1;2) tới tiếp tuyến là 3(1 x0 ) 3(x0 1) x0 d 4 9 ( x 1) x0 (x0 1) (x0 1)2 Theo bất đẳng thức Côsi (x0 1)2 , vây d (x0 1) Khoảng cách d lớn (x0 1)2 x0 1 x0 1 (x0 1) Vậy có hai điểm M : M 1 ;2 Bài Cho hàm số y M 1 ;2 x 2 (C) x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Lop12.net (3) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Cho điểm A(0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ hai tiếp tuyến tới (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục ox Giải Phương trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1) x 2 x kx a (2) Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A: có nghiệm x k (3) (x 1)2 Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được: (a 1)x 2(a 2)x a (4) a a Để (4) có nghiệm x là: f (1) 3 ' 3a a 2 Hoành độ tiếp điểm x1 ; x2 là nghiệm (4) Tung độ tiếp điểm là y1 x1 x 2 , y2 x1 x2 (x1 2)(x2 2) 0 (x1 1)(x2 2) Để hai tiếp điểm nằm hai phía trục ox là: y1 y2 x1 x2 2(x1 x2 ) 9a 0 a Vậy a thoả mãn đkiện bài toán x1 x2 (x1 x2 ) 3 x 1 Bài Cho hàm số y x 1 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số x 1 2.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 1 m Giải Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y x 1 x 1 C ' Học sinh tự vẽ hình Suy đáp số m 1; m 1: phương trình có nghiệm m 1: phương trình có nghiệm 1 m 1: phương trình vô nghiệm 2x Bài Cho hàm số y có đồ thị (C) x 2 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 2.Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Giải Lấy điểm M m;2 C Ta có : y ' m m 2 m 2 Tiếp tuyến (d) M có phương trình : y m 2 x m m 2 Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là : A 2;2 m 2 Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – ; 2) Lop12.net (4) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Ta có : AB2 m Dấu “=” xảy m = m Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : (2; 2) Bài Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Giải Gọi tọa độ điểm cực đại là A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0 Vậy điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ => điểm A, M, B thẳng hàng Phương trình đường thẳng AB: y= - 2x+2 Tọa độ điểm M là nghiệm hệ: x y x => M ; 5 y 2 x y mx có đồ thị là (Hm ) , với m là tham số thực x 2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m Tìm m để đường thẳng d : x 2y cắt (Hm ) hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích là S Bài 10 Cho hàm số y Giải Hoành độ giao điểm A, B d và (Hm ) là các nghiệm phương trình x m x x 2 x x 2(m 1) 0, x 2 (1) 17 17 16m m 16 2.(2) 2(m 1) m 2 Pt (1) có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác 2 Ta có AB (x2 x1 )2 (y2 y1 )2 (x2 x1 )2 (x2 x1 )2 x1 x2 Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là h 2 17 16m 1 17 16m m , thỏa mãn 2 2 2 Bài 11 Cho hàm số y x (m 1)x (3m 2)x có đồ thị (C m ), m là tham số 3 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m 2 Tìm m để trên (C m ) có hai điểm phân biệt M1 (x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ) thỏa mãn x1 x2 và tiếp tuyến (C m ) điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x 3y Suy SOAB h.AB Giải Lop12.net (5) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Ta có hệ số góc d : x 3y là kd Do đó x1 , x2 là các nghiệm phương trình y ' 3 , hay 2 x 2(m 1)x 3m 3 x 2(m 1)x 3m (1) Yêu cầu bài toán phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 ' (m 1)2 2(3m 1) m 3 3m 1 m 0 Vậy kết bài toán là m 3 và 1 m 3 Bài 12 Cho hàm số y x x y 2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho Tìm m để phương trình sau có đúng nghiệm thực phân biệt |2 x x | m2 m 2 1 Giải 2 Phương trình |2 x x | m2 m O 1 1 có nghiệm phân biệt Đường thẳng y m2 m 2 cắt đồ thị hàm số y |2 x x | điểm phân biệt Đồ thị y |2 x x | gồm phần (C) phía trên trục Ox và đối xứng phần (C) phía trục Ox qua Ox Từ đồ thị suy yêu cầu bài toán 1 m2 m 2 m2 m m Bài 13 Cho hàm số y x 3(m 1)x x m , với m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị x1 , x2 cho x1 x2 Giải Ta có y ' 3x 6(m 1)x +) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 phương trình y ' có hai nghiệm pb là x1 , x2 Pt x 2(m 1)x có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 m 1 ' (m 1)2 (1) m 1 +) Theo định lý Viet ta có x1 x2 2(m 1); x1 x2 Khi đó x1 x2 x1 x2 x1 x2 m 1 12 2 (m 1)2 3 m (2) Từ (1) và (2) suy giá trị m là 3 m 1 và 1 m Bài 14 Cho hàm số y x (1 2m)x (2 m)x m (1) m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x y góc , biết cos 26 Giải Lop12.net x (6) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến tiếp tuyến có véctơ pháp n1 (k; 1) d: có véctơ pháp n2 (1;1) k1 n1 n2 k 1 Ta có cos 12k 26k 12 26 n1 n2 k 1 k Yêu cầu bài toán thỏa mãn ít hai phương trình: y / k1 (1) và y / k2 (2) có nghiệm x 3x 2(1 2m)x m có nghiệm / /1 3x 2(1 2m)x m có nghiệm 1 m ; m 8m2 2m 1 m m m ; m 4m m 2x Bài 15 Cho hàm số y = (C) x 2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt thuộc nhánh khác đồ thị cho khoảng cách điểm đó là nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó Giải Để (d) cắt (C) điểm phân biệt thì pt phân biệt khác 2x x m hay x2 + (m - 4)x -2x = (1) có nghiệm x 2 m 16 m (2) 4 Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác và Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) là giao điểm đó x1, x2 là nghiệm phương trình (1) x1 x2 m (3) , y1=x1+m, y2=x2+m x1 x2 2m Theo định lí viet ta có Để A, B thuộc nhánh khác đồ thị thì A, B nằm khác phía đt x – = A, B nằm khác phía đt x – = và (x1- 2)(x2 - 2) < hay x1x2 – 2(x1 + x2) +4 < (4) thay (3) vào ta – < luôn đúng (5) mặt khác ta lại có AB = (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 2(x1 x2 )2 x1 x2 (6) thay (3) vào (6) ta AB = 2m2 32 32 AB = 32 nhỏ m = (7) Từ (1), (5), (7) ta có m = thoả mãn Bài 16 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y 2x x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến Giải Tiếp tuyến (C) điểm M(x0 ; f (x0 )) (C ) có phương trình y f '(x0 )(x x0 ) f (x0 ) Hay x (x0 1)2 y x02 x0 (*) *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) x0 (x0 1)4 Lop12.net (7) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 giải nghiệm x0 và x0 *Các tiếp tuyến cần tìm : x y và x y Bài 17 Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm các giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = Giải 2 Ta có y’ = - 3x + 6mx ; y’ = x = v x = 2m Hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt m Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1) Trung điểm I đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1) Vectơ AB (2m;4m3 ) ; Một vectơ phương đường thẳng d là u (8; 1) I d AB d Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với qua đường thẳng d m 8(2m3 3m 1) 74 m=2 AB.u Bài 18 Cho hàm số y x 3x (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Định m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: y x x m 3m 3 Giải Phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (d) (C’) hàm số: y x x và đường thẳng (d): y m3 3m 1 ((d) cùng phương với trục hoành) 1 2 Xét hàm số: y x x , ta có: 1 + Hàm số là hàm chẵn nên (C’) nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồng thời x thì y x x x 3x + Dựa vào đồ thị (C’) ta suy điều kiện m để phương trình đã cho có nghiệm phân biệt là: 2 m 3 m m 1 m3 3m 0 m m 3m m Bài 19 Cho hàm số y x 3 có đồ thị là (C) x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành A, cắt trục tung B cho OA = 4OB Giải OB 1 Tiếp tuyến AB có hệ số góc k = OA 4 x 3 Phương trình y’ = k (x 1) x 5 OA =4OB nên OAB có tan A +) x = y=0, tiếp tuyến có phương trình y (x 3) 4 +) x= -5 y= 2, tiếp tuyến có phương trình y (x 5) y x Lop12.net 13 x (8) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Bài 20 Cho hàm số y x 1 x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm a và b để đường thẳng (d): y ax b cắt (C) hai điểm phân biệt đối xứng qua đường thẳng ( ): x 2y Giải Phương trình () viết lại: y x 2 Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với () hay a 2 Khi đó phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C): x 1 2 x b x (b 3)x (b 1) (1) x 1 Để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân biệt b2 2b 17 b tuỳ ý 0 Gọi I là trung điểm AB, ta có x A xB b xI y 2 x b b I I toàn taïi A, B b a 2 Vậy để thoả yêu cầu bài toán AB () I () x 2y I I a 2 a 2 b b 1 (b 3) x 1 Bài 21 Cho hàm số y ( ) có đồ thị (C ) x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( 1) Chứng minh đường thẳng (d ): y x m luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn Giải Chứng minh đường thẳng (d ): y x m luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn Để đường thẳng (d) luôn cắt ( C ) hai điểm phân biệt thì phương trình nghiệm phân biệt với m và x1 x2 x 1 x m có hai x 1 x (x 1)(2 x m) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 x 2 x (m 3)x m (*) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 x (m 1)2 16 m f (1) (m 3) m 2 f (1) Vậy với giá trị m thìđường thẳng (d ): y x m luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác Gọi A(x1 ;2 x1 m), B(x2 ;2 x2 m) là hai điểm giao (d) và (C).( x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình (*)) Ta có AB (x2 x1 ;2(x2 x1 )) AB (x2 x1 )2 (2(x2 x1 ))2 5(x2 x1 )2 Lop12.net (9) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Theo Vi ét ta có AB (m 1)2 16 m AB m 1 Vậy với m = -1 là giá trị cần tìm (R) Bài 22 Cho hàm số y 3x có đồ thị (C) x 2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi M là điểm trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A và B Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận Tìm tọa độ M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giải 2.Gọi M(a; 3a ) (C ), a 2 Phương trình tiếp tuyến (C) M là: a2 y 3a (x a) () (a 2)2 a2 Đường thẳng d1:x+2=0 và d2:y-3=0 là hai tiệm cận đồ thị d1=A(-2; 3a ) , d2=B(2a+2;3) a2 Tam giác IAB vuông I AB là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB diện tích hình tròn S= AB2 64 4(a 2)2 8 4 (a 2)2 Dấu xảy và chi (a 2)2 a 16 (a 2) a 4 Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán M(0;1) và M(-4;5) Bài 23 Cho hàm số y f (x) 8x 9x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm phương trình 8cos4 x 9cos2 x m với x [0; ] Giải Xét phương trình 8cos4 x 9cos2 x m với x [0; ] (1) Đặt t cosx , phương trình (1) trở thành: 8t 9t m (2) Vì x [0; ] nên t [1;1] , x và t có tương ứng đối một, đó số nghiệm phương trình (1) và (2) Ta có: (2) 8t 9t m (3) Gọi (C1): y 8t 9t với t [1;1] và (D): y = – m Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm (C1) và (D) Chú ý (C1) giống đồ thị (C) miền 1 t Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: 81 32 81 m 32 m 1m : Phương trình đã cho vô nghiệm : Phương trình đã cho có nghiệm 81 32 : Phương trình đã cho có nghiệm Lop12.net (10) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 m 1 m0 m<0 : Phương trình đã cho có nghiệm : Phương trình đã cho có nghiệm : Phương trình đã cho vô nghiệm Bài 24 Cho hàm số: y x 1 2(x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm điểm M trên (C) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa độ tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = Giải x0 ) (C ) là điểm cần tìm Gọi tiếp tuyến với (C) M ta có phương trình 2(x0 1) x 1 x 1 y (x x0 ) : y f ' (x0 )(x x0 ) 2(x0 1) 2(x0 1) x0 Gọi M( x0 ; x02 x0 ;0) x x0 B = oy B(0; ) Khi đó tạo với hai trục tọa độ OAB có trọng tâm là: G( 2(x0 1)2 Gọi A = ox A( x02 x0 x02 x0 ; 6(x0 1)2 Do G đường thẳng:4x + y = 4 4 x0 x02 x0 x02 x0 0 6(x0 1)2 (vì A, B O nên x02 x0 ) 1 x0 x0 x x 0 2 1 3 Với x0 M( ; ) ; với x0 M( ; ) 2 2 2 Bài 25 Cho hàm số y = x3 3x2 + mx + 4, đó m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho, với m = Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ) Giải Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ) y’ = – 3x2 – 6x + m 0, x > 3x2 + 6x m, x > (*) x y Ta có bảng biến thiên hàm số y = 3x2 + 6x trên (0 ; + ) Từ đó ta : (*) m Bài 26 Cho hàm số y 2x có đồ thị là (C) x 2 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Giải 10 Lop12.net (11) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Hoành độ giao điểm đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm phương trình 2x x 2 x m x 2 x (4 m)x 2m (1) Do (1) có m2 va (2)2 (4 m).(2) 2m 3 m nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy AB ngắn AB2 nhỏ m = Khi đó AB 24 Bài 27 Cho hàm số y = 2x x 1 (1) 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm M, N cho tam giác OMN vuông góc O ( O là gốc tọa độ) Giải 2x kx (x 1) kx (k 1)x g(x) x 1 k k d cắt đồ thị hs (1) M, N g(1) k 7 k 7 OM ON OM.ON xM xN (kxM 3)(kxN 3) (k 1)(xM xN ) 3k(xM xN ) / Xét pt: k 1 xM xN k k 6k k x x M N k Bài 28 Cho hàm số y = x3 + mx + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = -3 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh điểm Giải ( x 0) x 2 2 x Xét f(x) = x f '(x) 2 x = x x x2 Ta có x - + 2.Pt : x3 + mx + = m x f’(x) + + - + -3 - - - Đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh điểm m 3 Bài 29 Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm m để (d) cắt (C) M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N và P vuông góc Giải Phương trình hòanh độ giao điểm (C) và (d): x3 – (m + 3)x – m – = f(x) x 1 , y Hay : (x + 1)(x2 – x – m – 2) = x x m (*) (*) phải có hai nghiệm phân biệt ( m > ) , xN và xP là nghiệm (*) 11 Lop12.net (12) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 3 2 m Theo giả thiết: xN2 3 xP2 3 1 9m2 18m 3 2 m 2x Bài 30 Cho hàm số y 1 x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị C hàm số trên 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; ) và có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N và MN 10 Giải Từ giả thiết ta có: (d ): y k(x 1) Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ) phân biệt cho x2 x1 y2 y1 90(*) 2 2x k(x 1) kx (2k 3)x k (I) Ta có: (I) x y k(x 1) y k(x 1) Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt và phương trình kx (2k 3)x k 0(**) có hai 2 Ta biến đổi (*) trở thành: (1 k ) x2 x1 90 (1 k )[ x2 x1 x2 x1 ] 90(***) nghiệm phân biệt Khi đó dễ có k 0, k 2k k 3 , x1 x2 , vào (***) ta có phương trình: k k 3 41 3 41 k 8k 27k 8k (k 3)(8k 3k 1) k 3 k 16 16 Theo định lí Viet cho (**) ta có: x1 x2 KL: Vậy có giá trị k thoả mãn trên Bài 31 Cho hàm số y x 2 2x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm điểm trên đồ thị (C) cách hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2) Giải Pt đường trung trực đọan AB : y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A và B có hoàng độ là nghiệm pt : x 2 x 2x x2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 , , ; 2 Hai điểm trên đồ thị thỏa ycbt : Bài 32 Cho hàm số y 2x x 2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A và B Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giài 12 Lop12.net (13) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Ta có: M x0 ; x0 1 , x0 , y '(x0 ) x0 x0 Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng: : y 1 x0 (x x0 ) x0 x0 x0 ; B x0 2;2 x0 Toạ độ giao điểm A, B và hai tiệm cận là: A 2; Ta thấy x A xB x y y 2x x xM , A B yM suy M là trung điểm AB 2 x0 Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích x0 (x0 2)2 S = IM (x0 2) 2 (x0 2)2 x0 Dấu “=” xảy (x0 2)2 x 1 (x0 2) x0 Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) Bài 33 Cho hàm số y 2x (C) x 1 Khảo sát hàm số Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = Giải 2 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x + mx + m + = , (x≠ - 1) (1) d cắt (C) điểm phân biệt PT(1) có nghiệm phân biệt khác -1 m2 - 8m - 16 > (2) Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 là nghiệm PT(1) m x1 x2 Theo ĐL Viét ta có x x m 2 AB2 = (x1 x2 )2 4(x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1 x2 m2 - 8m - 20 = m = 10 , m = - ( Thỏa mãn (2)) y x 3mx 3(m2 1)x m3 m (1) Bài 34 Cho hàm số 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Giải , 2 Ta có y 3x 6mx 3(m 1) Để hàm số có cực trị thì PT y , có nghiệm phân biệt x 2mx m2 có nhiệm phân biệt 0, m Cực đại đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu đồ thị hàm số là B(m+1;-2-2m) m 3 2 OA 2OB m2 6m m 3 2 Vậy có giá trị m là m 3 2 và m 3 2 Theo giả thiết ta có Bài 35 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 – 3x2 + 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x x 13 Lop12.net m x 1 (14) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Giải m x x x m, x Do đó số nghiệm phương trình số Ta có x x x 1 giao điểm y x x x , C ' và đường thẳng y m, x f x x nên C ' bao gồm: f x x Vẽ y x x x + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x qua Ox Dựa vào đồ thị ta có: + m 2: Phương trình vụ nghiệm; + m 2: Phương trình có nghiệm kép; + 2 m : Phương trình có nghiệm phân biệt; + m : Phương trình có nghiệm phân biệt Bài 36 khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C) hàm số: y 1- 1+ -2 m 2x x 2 Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt cho tiếp tuyến (C ) hai điểm đó song song với Giải Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (C) là: 2x x m x (m 6)x 2m (x = không là nghiệm p trình) x 2 (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến đó song song với (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn: y’(x1) = y’(x2) hay x1+x2= (m 6)2 8(2m 3) 6 m m 2 4 Bài 37 Cho hàm số : y (x – m)3 – 3x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = x 3x k 2) Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 1 log2 x log2 (x 1) 2 Giải x 3x k (1) Ta có : Điều kiện (2) có nghĩa: x > 1 log2 x log2 (x 1) (2) 2 Từ (2) x(x – 1) < x Hệ PT có nghiệm (1) có nghiệm thoả < x (x 1)3 3x k (x 1)3 3x < k 1 x 1 x Đặt: f(x) = (x – 1)3 – 3x và g(x) = k (d) Dựa vào đồ thị (C) (1) có nghiệm x (1;2] k f (x) f (2) 5 Vậy hệ có nghiệm k > – 1;2 Bài 38 Cho hàm số y x 2mx 3(m 1)x (1), m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : y x điểm phân biệt A(0;2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M(3;1) 14 Lop12.net (15) Khảo sát hàm số ôn thi đại học năm 2012 -2013 Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị với () là: x 2mx 3(m 1)x x x y g(x) x 2mx 3m 0(2) Đường thẳng () cắt dồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0;2), B, C Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 m 2hoacm ' m 3m g(0) 3m m Gọi B x1 ; y1 và C x2 ; y2 , đó x1 , x2 là nghiệm (2); y1 x1 và y1 x2 Ta có h d M;() 312 BC 2SMBC 2.2 4 h Mà BC ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( x2 x1 ) x1 x2 = 8(m2 3m 2) Suy 8(m2 3m 2) =16 m (thoả mãn) m (thoả mãn) Bài 39 Cho hàm số y 2x3 3(2m 1)x2 6m(m 1)x có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; 2 Giải y 2x3 3(2m 1)x2 6m(m 1)x y ' x 6(2m 1)x 6m(m 1) y’ có (2m 1)2 4(m2 m) x m y' x m Hàm số đồng biến trên 2; y ' x m m Bài 40 Cho hàm số y = x x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng qua điểm M và điểm I(1; 1) (M(0 ; 0) ; M(2 ; 2) ) Giải Với x0 , tiếp tuyến (d) với (C) M(x0 ; x0 ) có phương trình : x0 x02 x0 1 xy 0 y (x x0 ) (x0 1)2 (x0 1)2 (x0 1)2 x0 1 (d) có vec – tơ phương u (1; ) , IM (x0 1; ) (x0 1) x0 Để (d) vuông góc IM điều kiện là : u.IM 1.(x0 1) x 1 0 (x0 1) x0 x0 + Với x0 = ta có M(0,0) + Với x0 = ta có M(2, 2) 15 Lop12.net (16)