Viết phương trình mặt cầu tâm S tiếp xúc với d Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung Nêu lại các cách tìm hình Cách 1 : a.. Bán kính mặt cầu S là.[r]
(1)CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ( tiết , từ 04 / 04 đến 09/ 04 / 2011 ) MỤC TIÊU Kiến thức cần nhớ Hệ tọa độ không gian, tọa độ vec tơ , khoảng cách hai điểm , biểu thức tọa độ các phép toán vec tơ, khoảng cách hai điểm Tích có hướng hai vec tơ Phương trình mặt cầu Phương trình mặt phẳng: Vec tơ pháp tuyến mặt phẳng Phương trình tổng quát mặt phẳng Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương trình đường thẳng : Phương trình tham số, phương trình chính tắc đường thẳng Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt , song song vuông góc Các dạng toán cần luyện tập Tính toạ độ tổng, hiệu, tích vectơ với số ; tính tích vô hướng hai vectơ, tích có hướng hai vectơ Chứng minh điểm không đồng phẳng, tính thể tích khối tứ diện Tính khoảng cách hai điểm có toạ độ cho trước Xác định toạ độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình cho trước Viết phương trình mặt cầu (biết tâm và qua điểm cho trước, biết đường kính) Xác định vectơ pháp tuyến mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng Tính góc Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, tính khoảng cách mặt phẳng song song Viết phương trình tham số đường thẳng (biết qua hai điểm cho trước, qua điểm và song song với đường thẳng cho trước, qua điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước) Sử dụng phương trình hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối hai đường thẳng đó Tìm hình chiếu vuông góc điểm trên đường thẳng trên mặt phẳng CHUẨN BỊ Học sinh : Ôn tập lý thuyết nhà và giải trước các bài tập giáo viên đưa trước nhà Giáo viên : Chuẩn bị hệ thống bài tập để học sinh luyện tập nhà TIẾN TRÌNH ÔN TẬP Hoạt động : Ôn tập hệ thống lý thuyết Hoạt động : Luyện tập các dạng toán cần biết Bài : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5) Tính tọa độ các đỉnh còn lại hình hộp Hoạt động Giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Các mặt hình hộp là hình Các mặt hình hộp là hình ABCD là hình hành gì ? bình hành DC AB (*) Lop12.net (2) Nêu hệ thức vec tơ ABCD là hình bình hành ? ABCD là DC AB hình Gọi C ( x; y; z ) là điểm cần hành tìm Ta có : DC ( x 1; y 1; z 1) AB (1;1;1) x 1 x (*) y y z 1 z Vậy : C(2 ; 0; ) Tương tự : A’(3;5;-6) , B’(4;6;-5) , D’(3;4;-6) Với cách làm tương tự tìm các đỉnh còn lại Bài : Trong không gian cho ba điểm A( -1 ; 2; 3) , B( 2; -4;3) và C( 4; 5; 6) a Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và vuông góc mặt phẳng ( ) : x y z c Viết phương trình mặt trung trực đoạn AB d Tính khoảng cách từ C đến (P) Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Nêu cách tìm vec tơ pháp Mặt phẳng (ABC) có vec a Ta có : tuyến mặt phẳng : tơ pháp tuyến là : AB (3; 6;0) + Đi qua ba điểm không n AB, AC AC (5;3;3) thẳng hàng A, B, C n AB, AC (18; 9;39) + Đi qua A,B và vuông góc Mặt phẳng qua A, B và với (P) vuông góc với có vec tơ Phương trình mặt phẳng là : 18( x 1) 9( y 2) 39( z 3) pháp tuyến là n AB, n x y 13 z 39 b Mặt phẳng ( ) có vec tơ pháp tuyến là : n (2; 1;3) Mặt phẳng (P) có vec tơ pháp tuyến là : n AB, n (18; 9;9) Phương trình mặt phẳng (P) là : 18( x 1) 9( y 2) 9( z 3) 2x y z Mặt trung trực đoạn Mặt trung trực đoạn AB AB có tính chất qua trung điểm I nào ? đoạn AB và vuông góc với AB Do đó nó nhận vec tơ AB làm vec tơ pháp tuyến c Mặt trung trực đoạn AB qua trung điểm I đoạn AB và vuông góc với AB pháp tuyến là AB (3; 6;0) Ta có : I ( ; 1;3) và vec tơ Phương trình cần tìm là : 3( x ) 6( y 1) x y 15 Lop12.net (3) d Khoảng cách từ C đến (P) là : d (C ;( P)) 10 Bài : Viết phương trình tham số đường thẳng các trường hợp sau : a Đường thẳng qua hai điểm A(4 ; ; -2 ) và B( ; -1 ; ) b Đường thẳng d qua A(3 ; ; -1 ) và song song với đường thẳng x 1 y 1 z 3 c Đường thẳng d qua M( - ; ; ) và vuông góc với mặt phẳng ( P) : x y z 10 d Đường thẳng d là giao tuyến hai mặt phẳng : x y 3z ; x y z Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Để viết phương trình tham số Cần xác định yếu tố : a Đường thẳng có vec tơ đường thẳng ta cần xác + Tọa độ vec tơ phương là AB (2; 2;11) định các yếu tố nào ? phương đường thẳng Phương trình tham số + Tọa độ điểm mà đường thẳng AB là : đường thẳng qua x 2t Hãy nêu cách xác định vec y 2t tơ phương đường a Vec tơ phương là AB z 2 11t thẳng các trường hợp b Hai đường thẳng song đã nêu song thì có cùng vec tơ b d có vec tơ phương là phương c Vec tơ phương a (2; 3; 4) , phương trình đường thẳng là vec tơ x 2t xác định tích có hướng cần tìm là : y 3t hai vec tơ pháp tuyến z 1 4t hai mặt phẳng cắt tạo nên giao tuyến Bài : Cho ba điểm A( ;0 ;0) , B( ;1 ;0) và C( ;0 ;3) a Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b Tìm hình chiếu vuông góc O lên mặt phẳng (ABC) Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Em có nhận xét gì vị trí A thuộc Ox , B thuộc Oy , C a Phương trình mặt phẳng ba điểm A, B, C với các thuộc Oz Do đó mặt phẳng (ABC) là : trục tọa độ ? (ABC) là mặt phẳng theo x y z 1 đoạn chắn 3x y z Nhắc lại cách tìm hình chiếu - Viết phương trình đường điểm lên trên mặt thẳng d qua O và vuông phẳng ? góc với (ABC) - Hình chiếu vuông góc O lên (ABC) là giao điểm d và (ABC) Lop12.net b Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Khi đó d có vec tơ phương là : a (3;6; 2) Phương trình tham số d (4) x 3t là : y 6t z 2t Tọa độ hình chiếu H O là nghiệm hệ phương trình x 3t y 6t z 2t 3 x y z 49t t 49 Vậy tọa độ cần tìm là : H( 18 36 12 ; ; ) 49 49 49 Bài : Cho mặt phẳng (P) : x y z 10 và điểm A( 2; 5; -2) a Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với mặt phẳng (P) b Tính khoảng cách (P) và (Q) c Viết phương trình mặt phẳng (R) qua đường thẳng d : x 1 y z 1 và vuông góc với (P) Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Khi hai mặt phẳng song Hai mặt phẳng song song song thì hai vec tơ pháp thic có cùng vec tơ pháp tuyến nó nào tuyến với ? Nội dung a Do (Q) song song với (P) nên phương trình (Q) có dạng : 2x y z D D 10 (Q) qua A nên : 10 D D 8 Phương trình (Q) là : 2x y z b Khoảng cách (P) và (Q) Hãy nêu cách tính khoảng Khoảng cách (P) và là : cách hai mặt phẳng (Q) chính là khoảng cách 10 10 18 song song (P) và (Q) từ A đến (P) d ( A;( P)) 6 Mặt phẳng ( R) có vec tơ Hãy nêu cách tính vec tơ pháp tuyến là tích có hướng vec tơ pháp tuyến mp(R) phương d và vec tơ pháp tuyến (P) c d qua M(1; 2; -1 ) và có vec tơ phương a (3; 2;1) , mặt phẳng (P) có vec tơ pháp tuyến là n (2; 2;1) Vec tơ pháp tuyến mp(R) là n ' a, n (4; 1; 10) Phương trình mặt phẳng cần tìm là : Lop12.net (5) 4( x 1) ( y 2) 10( z 1) x y 10 z 12 Bài : Cho A( 2; 3; ), B(4;1; -2), C(6;3;7) , D(-5;-4;8) a Chứng minh ABCD là tứ diện Tính độ dài đường cao AH tứ diện ABCD b Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB và cách C khoảng 17 Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Nêu cách chứng minh ABCD là tứ diện A BC 2; 2;9 ABCD là tứ diện không thuộc mặt phẳng a Ta có : BD 9; 5;10 (BCD) Mặt phẳng (BCD) có vec tơ pháp tuyến là : n BC , BD (65; 101;8) Phương trình mặt phẳng (BCD) là : 65 x 101 y z 143 Thế tọa độ điểm A vào phương trình (BCD) ta : -143 = ( sai ) Vậy A không thuộc (BCD) hay ABCD là tứ diện Ta có : AH d ( A;( BCD)) 308 14490 b Mặt phẳng (P) vuông góc với AB nên có vec tơ pháp tuyến là AB (2; 2; 3) Phương trình (P) có dạng x y 3z D d (C ;( P)) 17 12 21 D 17 17 D 32 15 D 17 D 2 Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là : x y 32 0; x y z Bài : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và măt phẳng (P) : x y z a Viết phương tình mặt cầu tâm B và qua A b Viết phương trình mặt cầu đường kính BC c Viết phương trình mặt cầu tâm C và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Lop12.net (6) Hoạt động giáo viên Nhắc lại định nghĩa mặt cầu Các dạng phương trình mặt cầu Nêu cách tìm bán kính mặt cầu các điều kiện đã nêu Hoạt động học sinh Học sinh nêu định nghĩa , dạng phương trình mặt cầu + Mặt cầu tâm B và qua A nên có bán kính R = BA + Mặt cầu đường kính BC có tâm là trung điểm BC và bán kính R AB Nội dung a Mặt cầu có bán kính R = AB = Phương trình mặt cầu là : x y 1 z 2 6 b Mặt cầu có tâm I (1; ; 2) là trung điểm đoạn BC Bán kính R BC 69 2 Phương trình mạt cầu là : 69 2 x 1 y z 2 Nêu điều kiện để mặt Mặt cẩu tiếp xúc với mặt c Mặt cầu có bán kính là : phẳng và mặt cầu tiếp phẳng và 2.2 2.(6) xúc ? khoảng cách từ tâm mặt R d (C , ( P)) 5 1 cầu đến mặt phẳng Phương trình mặt cầu cần tìm là : bán kính mặt cầu x y z 25 2 Bài 8: Cho mặt cầu (S) : x y z x y z , hai điểm A(0; 3; 2), B(1; -1;-1) a Xác định tọa độ tâm I và bán kính R (S) b Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) M(1; 1; 1) c Viết phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với AB và tiếp xúc với (S) Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung A 1 B a Ta có C 4 D I Tâm I(1; -3; 4) Khi (P) tiếp xúc với (S) M vuônggóc (P) thì IM và (P) có quan hệ M, nên IM là vec tơ nào với ? pháp tuyến (P) và M là điểm mà (P) qua R A2 B C D 16 b Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) M nên IM (P) Mặt phẳng (P) qua M và có vec tơ pháp tuyến là IM (0; 4; 3) , phương trình cần tìm là : y 3z Hãy cho biết vec tơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) Do (Q) vuông góc với c Mặt phẳng (Q) vuông góc với AB là vec tơ nào ? AB nên (Q) nhận vec nên có vec tơ pháp tuyến là Lop12.net (7) tơ AB làm vec tơ pháp AB (1; 4; 3) Phương tuyến phẳng (Q) có dạng: trình mặt x y 3z D (Q) tiếp xúc với (S) d ( I ;(Q)) 12 12 D 26 5 D 26 D 1 26 D 1 26 Vậy có hai phương trình cần tìm là : x y z 26 x y z 26 Bài : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-1;2;3) và đường thẳng d có phương trình x y 1 z a Tìm hình chiếu vuông góc A lên d b Viết phương trình mặt cầu tâm (S) tiếp xúc với d Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Nêu lại các cách tìm hình Cách : a + (P) : x y z chiếu điểm A lên đường + Viết phương trình mặt + Tọa độ hình chiếu là : thẳng d phẳng (P) qua A và vuông 7 1 H ; ; góc với d 3 3 + Hình chiếu A lên d là giao điểm (P) và d Cách : + Lấy điểm H thuộc d ( tọa độ chứa tham số ) + Tính AH + H là hình chiếu A lên d và AH a ( a là vec tơ phương d ) Mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với d, đó bán kính mặt cầu tính nào b Bán kính mặt cầu (S) là R = AH R = AH = 165 Phương trình mặt cầu là : x 1 y z 3 Lop12.net 2 55 (8) x 1 y z với : 1 x t b y 2t c z 4t Bài 10: Xét vị trí tương đối d : x 2t a 1 : y 2t z 6t x 1 2t y 4t 1 3t Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung Nêu các bước xét vị trí tương Học sinh trình bày các bước a d qua M(-1; 3; 0) và có đối hai đường thẳng thực hiên ( có thể trình bày vtcp a 1; 1;3 cách ) 1 qua N(1 ; ; 3) và có vtcp b 2; 2;6 Ta có : a, b MN 2; 3;3 a, MN 0;3; 1 Vậy : d / / 1 b Tương tự : d và cắt c Tương tự : d và chéo Các bài tập rèn luyện : Cho A(5 ; ; 1), B(1 ; ;2), C(5 ; ;4), D(4 ; ;6) a Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng b Tính khoảng cách từ D đến (ABC) c Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với (ABC) d Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc D lên (ABC) Cho A(5;1;3) , B(1;6;2) và C(5;0;4) a Tìm tọa độ điểm D cho ABCD là hình bành hành b Viết phương trình tham số đường thẳng qua A và song song với BC c Viết phương trình tham số đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Cho A(1;2;3), B(1;6;2) và mặt phẳng (P) : x y z a.Viếtphương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P) b Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P), tìm tọa độ giao điểm d và (P) Cho : 3x y z và : x 1 y z a Chứng tỏ song song với b Tính khoảng cách và Lop12.net (9) x t Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng : y 2t z t a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A lên b Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng c Viết phương trình mặt phẳng chứa A và Cho điểm M(1; 4;2) và mặt phẳng : x y z a Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc M trên b Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua c Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với Cho A(-2; 6; 3), B(1; 0; 2), C(0;2;-1), D(1; 4; 0) a Viết phương trình mặt phẳng (BCD) b CMR tam giác BCD vuông, từ đó tính diện tích tam giác BCD c Tính thể tích khối chóp A.BCD Cho điểm A(1;0;0) , B(0; 1;0), C( 0; 0; 1) và D(-2; 1; -1) a Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện b Tính góc hai đường thẳng AB và CD c Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD x 2t x 3t Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1 : y t và : y t z 1 t z 2 2t a Chứng tỏ hai đường thẳng 1 và chéo b Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 và song song với c Tính khoảng cách 1 và x 2t 10 Cho đường thẳng (d) : y 2t z 1 và (P): x y z a Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc (d), bán kính và tiếp xúc (P) b Viết phương trình đường thẳng qua M(0; 1; 0), nằm (P) và vuông góc với (d) 11 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; ), C(1; 1; 1) và mặt phẳng : x y z a Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Xét vị trí tương đối hai mặt phẳng (ABC) và ( ) b Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trên Lop12.net (10) 12.Trong không gian Oxyz cho điêm A thỏa mãn hệ thức OA i j 3k và đường thẳng d có phương trình : x 3 y 3 z 2 a Hãy tìm hình chiếu vuông góc A trên d b Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d 13 Cho hai điểm A(1; -2; 1), B(-3;1;3) a Viết phương trình mặt trung trực của đoạn thẳng AB b Viết phương trình tham số đường thẳng d là hình chiếu vuông góc đường thẳng AB lên mặt phẳng ( Oyz ) Dặn dò : Xem lại phần nguyên hàm và tích phân Lop12.net (11)