• Đầu tiên ta chọn ra 2 học sinh để làm lớp trưởng và lớp phó, chú ý rằng hai chức danh đó là khác nhau Một cách xếp 2 học sinh làm lớp trưởng và lớp phó là một chỉnh hợp chập 2 của 40 S[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) x2 (C) x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Cho điểm A(0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ hai tiếp tuyến tới (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục ox Câu II (2,0điểm) Câu I (2,0 điểm)Cho hµm sè y 2 x 4x y y Giải hệ phương trình : x y x y 22 2 2 2 Giải PT : cos x cos x sin x +1 3 sin x cos x dx 6x Câu III (1,0điểm) Tính tích phân I= 4 Cõu IV (2,0 điểm)Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SO (ABCD) Gọi M, N là trung điểm SA và BC Tính góc đường thẳng MN vµ mÆt ph¼ng (ABCD) vµ thÓ tÝch khèi chãp M.ABCD, biÕt r»ng MN a 10 a, b, c abc 1 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøcA = a b c b a c c b a C©u V (1 ®iÓm) Cho ba sè a, b, c cho PhÇn Riªng: (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®îc chän lµm mét hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B) A Theo chương trình chuẩn C©u VI.a (2 ®iÓm) 1)Cho ABC cã PT hai c¹nh lµ: x y 0, 4x 7y - 21 Trùc t©m cña tam giác trùng với gốc toạ độ O, lập phương trình cạnh còn lại 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) và đường thẳng d víi d: x 1 y 1 z Viết phương trình chính tắc đường thẳng qua điểm M, 1 cắt và vuụng gúc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua d C©u VII.a (1 ®iÓm) Mét líp häc cã 40 häc sinh, cÇn cö mét ban c¸n sù gåm mét líp trưởng, lớp phó và ủy viên (Biết không phân biệt các chức danh là ủy viên) Hỏi cã bao nhiªu c¸ch lËp mét ban c¸n sù B Theo chương trình nâng cao C©u VI.b (2 ®iÓm) 1)Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) : x – y – = và (d’): x + y – = cắt M Tìm B (d ) và C (d ') cho A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC 2) Trong kg Oxyz cho đường thảng ( ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm I và khoảng cách từ I đến mp(P) là và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3 Lop12.net (2) Câu VII.b (1 điểm) Tìm các giá trị tham số m để đường thẳng y 2 x m cắt đồ thị hàm x2 x 1 sè y t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B cho trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB thuéc trôc x tung _HÕt _ HƯỚNG DẨN GIẢI I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Cõu I 1/*-Tập xác định:D=R\{1} *-Sù biÕn thiªn a-ChiÒu biÕn thiªn y' 3 0 (x 1) Hµm sè lu«n nghÞch biÕn trªn kho¶ng ( ;1) vµ (1; ) b-Cùc trÞ:hµm sè kh«ng cã cùc trÞ c-giíi h¹n: lim ( x ( 1) x2 x2 ) ; lim ( ) x ( 1) x x 1 hàm số có tiệm cận đứng x=1 lim( x x2 ) 1 x 1 d-B¶ng biÕn thiªn: hµm sè cã tiÖm cËn ngang y x - y’ y + - + - - 1 y *-§å thÞ: Đồ thị nhận I(1; ) làm tâm đối xứng Giao với trục toạ độ:Ox (- 2;0 ) Oy (0; ) -2 o -2 2/(1,0 điểm) Phương trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1) x (2 ) x kx a §iÒu kiÖn cã hai tiÕp tuyÕn qua A: cã nghiÖm x k (3) (x 1) Thay (3) vµo (2) vµ rót gän ta ®îc: (a 1)x 2(a 2)x a a a §Ó (4) cã nghiÖm x lµ: f (1) 3 a 2 ' 3a Hoành độ tiếp điểm x ; x là nghiệm (4) x 2 x 2 Tung độ tiếp điểm là y , y2 x1 x2 Lop12.net ( 4) x (3) (x 2)(x 2) 0 (x 1)(x 2) x x 2(x x ) 9a 2 0 a VËy a tho¶ m·n ®kiÖn bµi to¸n x x (x x ) 3 §Ó hai tiÕp ®iÓm n»m vÒ hai phÝa cña trôc ox lµ: y y Câu II (2,5 điểm) 1) Giải PT : cos x 2 2 cos x 3 sin x +1 (1) 2 4 ) cos(2 x ) sin x cos(2 x ).cos sin x 3 Bg: (1) 5 cos x sin x 2sin x sin x x 2k ; x 2k ; hayx k 6 (1,0 điểm)Giải hệ phương trình: cos(2 x x x y y x y x y 22 * Hệ phương trình tương đương với ( x 2) ( y 3) ( x 2) ( y 3) ( x 2) y x 22 ( x 4)( y 3) x 20 x2 u u v Dat * Thay vào hệ phương trình ta có: y 3 v u.v 4(u v) u u hoÆc v v x x 2 x x vào cách đặt ta các nghiệm hệ là : ; ; ; ; : y y y y sin x cos x Câu III (1,0điểm) Tính tích phân I= dx 6x 4 * Đăt t = -x => dt = -dx * Đổi cận: x t ;; x t sin t cos t sin t cos t t I = dt ; I (6 1) dt 4 (sin t cos )tdt t t 1 1 4 4 t 5 5 5 31 4 2I = 4 1 sin t dt 4 cos 4t dt t sin 4t 8 16 4 48 =>I = 5 32 Câu IV (2,0 điểm)Trong kg Oxyz cho đường thảng ( ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm I và khoảng cách từI đến mp(P) là và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3 Bg:m cầu(S) có tâm I g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT (1) * d I ; P (2) 2a b 2c 11 14 1 7 at heconghiem ; ; ; va ; ; Từ (1) và(2) ta có hệ PT: b 2t 6 6 3 3 c t2 Do r R R 13 Lop12.net (4) Vậy có mặt cầu theo ycbt : V (1 ®iÓm) 2 14 1 11 ( S1 ) : x y z 13 6 3 6 2 1 S2 : x y z 13 3 3 3 1 Đặt x = , y , z Khi đó: a b c x yz y xz z xy x y3 z3 (*) A 1 1 1 yz zx x y y z x z y x Do abc xyz nªn ta cã A x2 y2 z2 yz zx x y 0,25 (1) a2 b2 c2 abc ThËt vËy bc ca ba áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương ta có: a2 bc b2 ca c2 ab a, b, c bc ca ab Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có : a2 b2 c2 abc bc ca ba Bạn đọc tự đánh giá dấu “=” xảy a = b = c x2 y2 z2 x y z 33 xyz VËy A= yz zx x y 2 DÊu “=” x¶y x = y = z = VËy minA = a = b = c = (1,0 ®iÓm) Ta gi¶ sö tam gi¸c ABC cã c¹nh AB : A 5x y B’ A AC: 4x 7y - 21 , suy tọa độ A là nghiệm hệ phương trình: O(0; 0) 5 x y 6 , gi¶i hÖ suy A(0; 3) x y 21 A’ NhËn thÊy A thuéc Oy, OA lµ ®êng B cao cña tam gi¸c, OA BC BC // Ox C suy phương trình BC có dạng y = y0 Đường cao BB’ qua trực tâm O và vuông góc với AC suy BB’ có phương trình là: 7(x – 0) - 4(y – 0) = hay BB’: 7x – 4y = Điểm B = BB'AC tọa độ B là nghiệm hệ phương trình: 7x y x 4 5 x y 6 y 7 §êng th¼ng ®i qua B(- 4; - 7) vµ song song víi Ox chÝnh lµ ®êng th¼ng BC suy phương trình cạnh BC: y = - Vậy phương trình cạnh còn lại tam giác ABC là y = -7 (1,0 ®iÓm) (d2) • Đường thẳng (d1) và (d2) có véctơ phương là: M 0 0 1 0 ; ; u1 8 0 (d1) = (0; -8; 1), P u (-1; 1; 2) • Do mp(P) chøa ®êng th¼ng (d1) vµ song song víi ®êng th¼ng (d2) nªn (P) cã cÆp Ta chứng minh bất đẳng thức VI.a (2 ®iÓm) Lop12.net 0.5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) véctơ phương là u1 và u VËy mp(P) cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ: 8 1 0 8 (-17; -1; -8) n u1 , u ; ; 2 1 1 • mp(P) còn qua điểm A(1; -1; 0) (d1 ) Phương trình mặt phẳng (P) là: 17( x 1) 1.( y 1) 8( z 0) ( P) : 17 x y z 16 (*) 0,25 0,25 (KiÓm tra ®iÒu kiÖn song song) VII.a (1 ®iÓm) VI.b (2 ®iÓm) LÊy ®iÓm M(0; 0; 2) thuéc ®êng th¼ng (d2), nhËn thÊy M còng thuéc (P) vËy (d2) (P) , kh«ng tháa m·n yªu cÇu lµ (d) // mp(P) VËy kh«ng tån t¹i mÆt ph¼ng tháa m·n yªu cÇu cña bµi to¸n • Đầu tiên ta chọn học sinh để làm lớp trưởng và lớp phó, (chú ý hai chức danh đó là khác nhau) Một cách xếp học sinh làm lớp trưởng và lớp phó là chỉnh hợp chập 40 Số cách xếp học sinh làm lớp trưởng và lớp phó là A402 Cßn l¹i 38 häc sinh • Tiếp đó ta chọn học sinh làm ủy viên (không phân biệt thứ tự) Sè c¸ch chän häc sinh lµm ñy viªn lµ C 383 • Theo qui t¾c nh©n ta cã sè c¸ch chän mét ban c¸n sù lµ : A402 C 383 13160160 c¸ch (1,0 ®iÓm) SO (ABCD) Dùng MH//SO, H thuéc AC, đó MH (ABCD), suy góc S ®êng th¼ng MN víi mp(ABCD) chÝnh lµ gãc MNˆ H Ta cÇn tÝnh XÐt tam gi¸c CNH cã : M 3a a HC AC , CN 4 2 2 HN HC CN HC.CN cos 45 A 9a a 3a Hay HN 4 Suy HN 0,25 0,25 0.5 0,25 a 10 D 0,25 O C H N a B a 10 HN a 10 VËy cos MN a 10 0,25 Dẫn đến 60 Vậy góc đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) 600 ThÓ tÝch khèi chãp M.ABCD Trong tam gi¸c HMN cã, MH a 10 a 30 tan 60 MH HN tan 60 HN MH lµ chiÒu cao cña khèi chãp M.ABCD VËy thÓ tÝch cña khèi chãp nµy lµ: 1 a 30 a 30 V S ABCD MH a 3 24 (1,0 ®iÓm) 0,25 • Ta cã AB (0; 1; -2), AC (-1; 0; -1) • Do ®êng th¼ng DH vu«ng gãc víi AB, AC nªn ®êng th¼ng DH cã vÐct¬ 0,25 phương là u AB, AC 1 2 2 0 1 = ; ; Lop12.net 0,25 (6) D = (-1; 2; 1) VII.b (1 ®iÓm) §êng th¼ng DH cßn ®i qua ®iÓm D(1; 1; 1) nên ta có phương trình tham số ®êng th¼ng DH lµ: A x 1 t H y 2t , (t R) z 1 t B Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x 1 2 x m x (1 m) x ( x 0) (1) x Nhận thấy x = 0, không là nghiệm phương trình (1) và có biệt số: 0,5 C 1 m 2 12 0, m , suy phương trình (1) luôn có hai phân biệt x1 , x khác víi mäi m, tøc th¼ng lu«n c¾t ®êng cong t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt víi mäi m b m 1 Theo định lí Viét ta có x1 x a x x2 m Hoành độ trung điểm I đoạn thẳng AB là x I §iÓm I Oy x I m m VËy m = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Vib2 Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên d, ta có MH là đường thẳng qua M, cắt và vuông góc với d x 2t d có phương trình tham số là: y 1 t z t Vì H d nên tọa độ H (1 + 2t ; + t ; t).Suy : MH = (2t ; + t ; t) Vì MH d và d có vectơ phương là u = (2 ; ; 1), nên : 2.(2t – 1) + 1.( + t) + ( 1).(t) = t = Vì thế, MH = ; ; 3 3 3 uMH 3MH (1; 4; 2) Suy ra, phương trình chính tắc đường thẳng MH là: 3 x y 1 z 4 2 Theo trên có H ( ; ; ) mà H là trung điểm MM’ nên toạ độ M’ ( ; ; ) 3 _HÕt _ Lop12.net 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (7)