b Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2.. Trần Sĩ Tùng Lop12.net..[r]
(1)Trường THPT MINH CHÂU HƯNG YÊN Đề số 20 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN – Khối A Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x – x + 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x - x - = m x -1 Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: æ 5p ö 2 cos ç - x ÷ sin x = è 12 ø ìlog x + y = log ( x - y + 2) ï í x + y2 + - x - y2 = îï I= Câu III (1 điểm): Tính tích phân: p sin x ò + x2 + x p dx Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 60 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM a , mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM Câu V (1 điểm): Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5- x + 5- y + 5- z = Chứng minh : = 25 x 5x + 5y+ z + 25y 5y + 5z+ x + 25z 5z + x + y x + 5y + 5z ³ II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao CH : x - y + = , phân giác BN : x + y + = Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : d1 : x - y z +1 x -7 y-2 z = = , d2 : = = -6 -8 -6 12 a) Chứng minh d1 và d2 song song Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d1 và d2 b) Cho điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) Tìm điểm I trên đường thẳng d1 cho IA + IB đạt giá trị nhỏ Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức: z - z3 + z2 + z +1 = 2 Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I là giao điểm đường thẳng d1 : x - y - = và d2 : x + y - = Trung điểm cạnh là giao điểm d1 với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật ì x = - t¢ x - y -1 z ï 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 : = = và d2 : í y = -1 ï ¢ îz = t a) Chứng minh d1 và d2 chéo và viết phương trình đường vuông góc chung d1 và d2 b) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung d1 và d2 2004 2008 Câu VII.b (1 điểm): Tính tổng: S = C2009 + C2009 + C2009 + + C2009 + C2009 ============================ Trần Sĩ Tùng Lop12.net (2) Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG Câu I: 2) Ta có x - x - = m Û ( x - x - ) x - = m, x ¹ Do đó số nghiệm phương trình số x -1 giao điểm y = ( x - x - ) x - , (C ') và đường thẳng y = m, x ¹ ì f ( x ) x > nên ( C ' ) bao gồm: î- f ( x ) x < + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x = + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x = qua Ox Với y = ( x - x - ) x - = í Dựa vào đồ thị ta có: m < –2 vô nghiệm Số nghiệm é m = –2 nghiệm kép –2 < m < nghiệm phân biệt m≥0 nghiệm phân biệt æ ö 5p ù 5p ö 5p p = = sin ÷ + sin ú = Û sin ç x ÷ + sin 12 û 12 ø 12 ø è ë è æ æ p ö æ p ö 5p ö p 5p p Û sin ç x = cos sin ç - ÷ = sin ç - ÷ ÷ = sin - sin 12 ø 12 è è 12 ø è 12 ø é é 5p p p x = + k p x = + kp 2 ê ê æ æ p ö 5p ö 12 12 Û sin ç x Ûê (k ΢ ) ÷ = sin ç - ÷ Û ê p p p 13 12 12 è ø è ø ê2 x ê x= = + k 2p + kp ë 12 12 ë 2) Điều kiện: x + y > 0, x - y ³ æ Câu II: 1) PT Û êsin ç x - ìï x + y = 2+ x - y Hệ PT Û í ì ï í ï î 5p 12 2 2 ìu = x + y Đặt: í îv = x - y ta có hệ: îï x + y + - x - y = ì u + v = uv + ì u + v = uv + u - v = (u > v) (1) ï ï Ûí 2 Ûí u2 + v + u +v +2 (u + v )2 - 2uv + ï ï - uv = (2) - uv = - uv = 2 î î Thế (1) vào (2) ta có: uv + uv + - uv = Û uv + uv + = (3 + uv )2 Û uv = ì uv = Û u = 4, v = (với u > v) Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(thoả đk) îu + v = Kết hợp (1) ta có: í Kết luận: Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (2; 2) Câu III: I = p + x sin xdx - ò p · Tính I1 = p ò p p ò p p x sin xdx = I1 - I + x sin xdx Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I1 = - · Tính I = ò - p x sin xdx Dùng phương pháp tích phân phần, ta tính được: I = - p- Câu IV: Ta có: (BCM) // AD nên mặt phẳng này cắt mp(SAD) theo giao tuyến MN // AD Suy ra: I = Trần Sĩ Tùng Lop12.net p+ (3) ìBC ^ AB Þ BC ^ BM Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao îBC ^ SA · í a 3 = Þ MN = a , BM = a 3 a 3 æ 4a ö + a ç BC + MN ÷÷ 2a = 10a Diện tích hình thang BCMN là : S = SBCNM = BM = ç è ø 3 · Hạ AH ^ BM Ta có SH ^ BM và BC ^ (SAB) Þ BC ^ SH Vậy SH ^ ( BCNM) Þ SH là đường cao khối chóp SBCNM AB AM = = Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , SB MS Vậy BM là phân giác góc SBA Þ · SBH = 300 Þ SH = SB.sin300 = a MN SM MN · SA = AB tan600 = a , = Û = AD SA 2a · Thể tích chóp SBCNM ta có V = a 3- 10 3a3 SH SBCNM = 27 Câu V: Đặt x = a; y = b; 5z = c Từ giả thiết ta có: a, b, c > và ab + bc + ca = abc a2 b2 c2 a+b+c (*) + + ³ a + bc b + ca c + ab a3 b3 c3 a+b+c Ta có: (*) + + ³ Û 2 a + abc b + abc c + abc a3 b3 c3 a+b+c + + ³ Û (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) BĐT Û Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: a3 a+b a+c + + ³ a (1) (a + b)(a + c) 8 b3 b+c b+a + + ³ b ( 2) (b + c )(b + a) 8 c3 c+a c+b + + ³ c (c + a)(c + b) 8 ( 3) Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) Do AB ^ CH nên phương trình AB: x + y + = ì2 x + y + = ì x = -4 Û í Þ B(-4; 3) y = î x + y + = î · B = AB Ç BN Þ Toạ độ điểm B là nghiệm hệ: í · Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A ' Î BC Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x - y - = Gọi I = (d ) Ç BN ì2 x + y + = Giải hệ: í î x - 2y - = Suy ra: I(–1; 3) Þ A '(-3; -4) ìBC : x + y + 25 = · Phương trình BC: x + y + 25 = Giải hệ: í î CH : x - y + = æ 13 ö ;- ÷ è 4ø Þ Cç- 2 7.1 + 1(-2) + 25 æ 13 ö æ 9ö 450 · BC = ç -4 + ÷ + ç + ÷ = , d ( A; BC ) = =3 2 è 4ø è 4ø +1 1 Suy ra: SABC = d ( A; BC ).BC = 2 450 45 = 4 Trần Sĩ Tùng Lop12.net (4) r r r r 2) a) · VTCP hai đường thẳng là: u1 = (4; -6; -8), u2 = (-6; 9;12) Þ u1 , u2 cùng phương Mặt khác, M( 2; 0; –1) Î d1; M( 2; 0; –1) Ï d2 Vậy d1 // d2 é uuuur r ù ë MN , u1 û = (5; -22;19) Þ Phương trình mp(P): x – 22 y + 19 z + = uuur b) AB = (2; -3; -4) Þ AB // d1 Gọi A1 là điểm đối xứng A qua d1 Ta có: IA + IB = IA1 + IB ³ A1B IA + IB đạt giá trị nhỏ A1B Khi đó A1, I, B thẳng hàng Þ I là giao điểm A1B và d r · VTPT mp (P) là n = - Do AB // d1 nên I là trung điểm A1B æ 36 33 15 ö æ 43 95 28 ö ; ; ÷ A’ đối xứng với A qua H nên A’ ç ; ; - ÷ è 29 29 29 ø è 29 29 29 ø · Gọi H là hình chiếu A lên d1 Tìm H ç æ 65 -21 -43 ö ; ; ÷ è 29 58 29 ø I là trung điểm A’B suy I ç Câu VII.a: Nhận xét z = không là nghiệm PT Vậy z ¹ ö æ 1ö - z - ÷ + = (1) ÷ ç zø z è ø è 1 Đặt t = z - Khi đó t = z2 + - Û z2 + = t + 2 z z z2 5 Phương trình (2) trở thành: t - t + = (3) D = - = -9 = 9i 2 + 3i - 3i Þ PT (3) có nghiệm t = , t= 2 + 3i 1 + 3i · Với t = : ta có z - = Û z2 - (1 + 3i)z - = (4a) z æ Chia hai vế PT cho z2 ta được: ç z2 + Có D = (1 + 3i)2 + 16 = + 6i = + 6i + i = (3 + i )2 (1 + 3i) + (3 + i) (1 + 3i) - (3 + i) i - = 1+ i , z = = 4 - 3i 1 - 3i · Với t = : ta có z - = Û z2 - (1 - 3i )z - = (4b) z Þ PT (4a) có nghiệm : z = Có D = (1 - 3i)2 + 16 = - 6i = - 6i + i = (3 - i )2 (1 - 3i) + (3 - i ) (1 - 3i) - (3 - i ) -i - = 1- i , z = = 4 i -1 -i - ;z= Vậy PT đã cho có nghiệm : z = + i; z = - i; z = 2 Þ PT (4b) có nghiệm : z = Theo chương trình nâng cao ì ïx = æ9 3ö ìx - y - = Câu VI.b: 1) Ta có: I = d1 Ç d2 Þ Toạ độ I là nghiệm hệ: í Þ Iç ; ÷ Ûí îx + y - = è2 2ø ïy = î Do vai trò A, B, C, D là nên giả sử M = d1 Ç Ox là trung điểm cạnh AD Suy M(3; 0) 2 æ 9ö æ3ö Ta có: AB = IM = ç - ÷ + ç ÷ = 2ø è2ø è S 12 Theo giả thiết: SABCD = AB AD = 12 Û AD = ABCD = =2 AB Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 Þ d1 ^ AD r Đường thẳng AD qua M(3; 0) và vuông góc với d1 nhận n = (1;1) làm VTPT nên có PT: x + y - = Trần Sĩ Tùng Lop12.net (5) ìï x + y - = 2 ïî ( x - ) + y = Mặt khác: MA = MD = Þ Toạ độ A, D là nghiệm hệ PT: í ìï y = - x + ìï y = - x + ìx = ìx = ìy = - x Ûí Û Ûí Ûí í 2 í 2 îy = î y = -1 î x - = ±1 ïî( x - ) + y = ïî( x - ) + (3 - x ) = Vậy A( 2; 1), D( 4; –1) ìx = 2x - x = - = æ9 3ö I A Do I ç ; ÷ là trung điểm AC suy ra: í C y = y y I A = -1 = è2 2ø î C Tương tự I là trung điểm BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ các đỉnh hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; –1) r r 2) a) d1 có VTCP u1 = (1; -1;2) và qua điểm M( 2; 1; 0), d2 có VTCP u2 = ( -2;0;1) và qua điểm N( 2; 3; 0) r r uuuur Ta có: éë u1, u2 ùû MN = -10 ¹ Þ d1 , d2 chéo Gọi A(2 + t;1 – t;2t )Î d1 , B(2 – 2t¢; 3; t¢ )Î d2 uuur ì ìï AB.ur = æ5 2ö ït = uuu r AB là đoạn vuông góc chung d1 và d2 Û í Þ í r Þ A ç ; ; - ÷ ; B (2; 3; 0) è ø ïî AB.u2 = ïît ' = ìx = + t ï Đường thẳng D qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung d1 và d2 Þ D: í y = + 5t ïîz = 2t 2 æ 11 ö æ 13 ö æ ö b) PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính: ç x - ÷ + ç y - ÷ + ç z + ÷ = 6ø è ø è 3ø è 2009 Câu VII.b: Ta có: (1 + i )2009 = C2009 + iC2009 + + i 2009C2009 2006 2008 2007 2009 = C2009 - C2009 + C2009 - C2009 + - C2009 + C2009 + (C2009 - C2009 + C2009 - C2009 + - C2009 + C2009 )i Thấy: S = 2006 2008 ( A + B) , với A = C2009 - C2009 + C2009 - C2009 + - C2009 + C2009 2 2006 2008 B = C2009 + C2009 + C2009 + C2009 + + C2009 + C2009 1004 · Ta có: (1 + i )2009 = (1 + i ) éë(1 + i )2 ùû = (1 + i ).21004 = 21004 + 21004 i Đồng thức ta có A chính là phần thực (1 + i )2009 nên A = 21004 2009 · Ta có: (1 + x )2009 = C2009 + xC2009 + x 2C2009 + + x 2009C2009 2008 2009 Cho x = –1 ta có: C2009 + C2009 + + C2009 = C2009 + C2009 + + C2009 Cho x=1 ta có: 2008 2009 (C2009 + C2009 + + C2009 ) + (C2009 + C2009 + + C2009 ) = 22009 Suy ra: B = 22008 · Từ đó ta có: S = 21003 + 22007 ===================== Trần Sĩ Tùng Lop12.net (6)