Kiến thức – kỹ năng giải các dạng toán cơ bản ôn thi tốt nghiệp: Phương pháp tọa độ trong không gian

Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng của VTCP và VTPT bằng 0 và một điểm thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mp..... Generated by Foxit PDF Creator © Foxit [r]

 Hồ Văn Hoàng Hình học 12 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only x  1 t x=2-2t'   Bài 2: Tìm giao điểm hai đường thẳng d:  y   3t , d': y=-2+t' z   t z=9+3t'   Giải 1  t   2t ' (1)  Gọi H là giao điểm d và d’ Xét hệ phương trình: 2  3t  2  t ' (2) 3  t   3t ' (3)  1  t   2t ' t  t '   t  1   Giải hệ pt gồm pt (1) và (2):  2  3t  2  t ' 3t  t '  4 t '  Thế t = −1 và t’= vào pt (3): 3−1=9+3.t (vô lí) Vậy: d và d’ không cắt Cần nhớ: 1  t   2t ' (1)  Hệ phương trình: 2  3t  2  t ' (2) có hai ẩn là t và t’ Nghiệm hệ pt là cặp giá 3  t   3t ' (3)  trị t, t’ thỏa ba pt (1), (2), (3) Để tìm t, t’ ta có thể giải hệ gồm pt (1) và (2) (1) và (3) (2) và (3) Rồi t và t’ vào pt còn lại Hồ Văn Hoàng  Kiến thức – Kỹ giải CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN ÔN THI TỐT NGHIỆP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN phương trình mặt cầu Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R Dạng 1: (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (S) Dạng 2: x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = (Điều kiện: a2 + b2 + c2 – d > 0) đó tâm I(a; b; c), bán kính R= a  b2  c  d Vị trí tương đối mặt phẳng () và mặt cầu (S) tâm I, bán kính R: 1) d[I, ()] > R: ()  (S) =  2) d[I, ()] = R: ()  (S) = M (M gọi là tiếp điểm)   *Điều kiện để mặt phẳng  tiếp xúc mặt cầu (S): d[I, ()] = R ( M đó n = IM ) 3) d[I, ()] < R: () cắt (S) theo đường tròn giao tuyến (C) có phương trình là giao  và (S) Để tìm tâm H và bán kính r (C) ta làm sau: a Tìm r = R  d [ I , ( )] b Tìm H là hình chiếu I trên ()  Viết phương trình đường thẳng  qua I, vuông góc với ()  H =   () (toạ độ điểm H là nghiệm hệ phương trình  với ()) −−−−−−−−−Hết−−−−−−−−− (Lưu hành nội bộ) Chúc các em ôn tập tốt, đạt kết cao các kỳ thi 2011 15 Lop12.net  Hồ Văn Hoàng Hình học 12 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software Hình học 12 http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Tóm tắt lý thuyết Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng chéo    Hai đường thẳng d và d’ chéo   a, a ' AB    TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ  Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc với với ba       z vectơ đơn vị i , j , k i  j  k        a   a1 ; a2 ; a3   a  a1 i  a2 j  a3 k ;      k  0; 0; 1 M( x; y; z)  OM  xi  y j  zk    Tọa độ vectơ: cho u  ( x; y; z ), v  ( x '; y '; z ')    j  0;1;  y u  v  x  x '; y  y '; z  z '   O u  v   x  x '; y  y '; z  z '     u.v  xx ' yy ' zz ' ku  (kx; ky; kz ) i 1; 0;  x    2 u  v  xx ' yy ' zz '  u  x  y  z          u.v u , v cùng phương [u, v ]   x: y: z = x’: y’: z’ cos u, v    u.v    Tích có hướng cho a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 )  x   t x   t   Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:  y   t và d’:  y  chéo z   t z     Đường thẳng d qua điểm A(2;3;4) có vectơ phương là a   1;1;   Đường thẳng d qua điểm B(7;8;9) có vectơ phương là a '   1; 0;1       Tính  a, a '  1;1;1 , AB   5; 5; 5   a, a ' AB  1.5  1.5  1.5  15      Vậy: d và d’ chéo x 1 y  z x y5 z4   và d’:   chéo Bài 2: Chứng minh d: 2 2 1  Đường thẳng d qua điểm A(1;2;0) có vectơ phương là a   2; 2;1  Đường thẳng d qua điểm B(0;−5;4) có vectơ phương là a '   2;3; 1        a, a '   1; 0;2  , AB   1; 7;    a, a ' AB   1 1   7   2.4       Vậy: d và d’ chéo    Cần nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta CM  a, a ' AB    Dạng 5: Tìm giao điểm hai đường thẳng        a a a a1 a1 a  n   a, b    ; ;  (a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1 )  b b b b b b   3 1    Nếu (P) có cặp vtcp a , b (không cùng phương và có giá // (P)  (P) )    thì vectơ pháp tuyến (P) xác định n p   a, b  x  1 t x=2-2t'   Bài 1: Tìm giao điểm hai đường thẳng d:  y   3t , d': y=-2+t' z   t z=1+3t'   1  t   2t ' (1)  Gọi H là giao điểm d và d’ Xét hệ phương trình: 2  3t  2  t ' (2) 3  t   3t ' (3)   Tọa độ điểm: cho A( xA; yA; zA), B( xB; yB; zB)  AB  ( xB  x A ; yB  y A ; z B  z A ) AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )  ( z B  z A )2 x A  xB  xC y  yB  yC z z z ;yG= A ; zG= A B C 3 x A  kxB y A  kyB z A  kzB ; yM  ; zM  ; M chia AB theo tỉ số k: xM  1 k 1 k 1 k x  xB y  yB z z Đặc biệt: M là trung điểm AB: xM  A ; yM  A ; zM  A B 2      ABC là tam giác AB  AC  đó S= AB  AC       AB  AC , AD , ABCD là tứ diện AB  AC AD 0, VABCD= 3.G là trọng tâm  ABC: xG=   Hồ Văn Hoàng 1  t   2t ' t  t '   t  1   Giải hệ pt gồm pt (1) và (2):  2  3t  2  t ' 3t  t '  4 t '  Thế t = −1 và t’ = vào pt (3): 3−(−1)=1+3.t (thỏa) x  1   Thế t = −1 vào pt d:  y   3(1)  1  H (0; 1; 4)  z   (1)    Cần nhớ: Nếu t = −1 và t’ = vào (3) mà không thỏa thì d không cắt d’ Ta có thể t’=1 vào pt d’ để tìm tọa độ điểm H 14 Lop12.net  Hồ Văn Hoàng Hình học 12 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software Hình học 12 http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Dang 2: Hình chiếu vuông góc điểm lên đt và điểm đối xứng với điểm qua đt  x   2t  Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d:  y  1  t z  t  Xác định hình chiếu vuông góc A lên d Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d P) Bài giải Xác định hình chiếu vuông góc A lên d Gọi (P) là đường thẳng qua A(−2;1;0) và vuông góc với d   Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP  ad   2;1; 1 (d)  A H   A/ (P):   x  1  1 y  1  1 z  8   x  y  z    Hồ Văn Hoàng Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng Kiến thức cần nhớ: −   Vectơ pháp tuyến mặt phẳng: Vectơ n  gọi là vectơ pháp tuyến   mp(P) giá n vuông góc với (P), viết tắt là n  ( P )    Nếu hai vectơ a, b không cùng phương có giá song song nằm trên mp(P) thì    mp(P) có vectơ pháp tuyến là: nP  a, b     Phương trình tổng quát mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A2  B  C   Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến  nP   A; B; C  có dạng: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   moät ñieåm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuoäc mp  Nhớ Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:  moät VTPT n   A; B; C  Các dạng toán Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc Gọi H là giao điểm d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc A lên d hình chiếu vuông góc A lên d là H(−1;−2;1) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d Do A và A’ đối xứng qua d nên H là trung điểm AA’ Áp dụng công thức trung điểm tìm A’(−3; −5; −6) Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(−3;−5;−6) Dạng 3: Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng(bốn đỉnh tứ diện)    Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng   AB, AC  AD    Bài 1: Cho bốn điểm A(−1;−2;0), B(2;−6;3), C(3;−3;−1), D(−1;−5;3) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng    Tính AB   3; 4;3  , AC   4; 1; 1 , AD   0; 3;3       AB, AC  AD  45  39  6   Tính  AB, AC    7;15;13 ,     Vậy: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD    Thể tích tứ diện ABCD: VABCD   AB, AC  AD  6    Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Chứng minh OABC là tứ diện, tính thể tích tứ diện OABC Giải Chứng minh OABC là tứ diện    − Tính OA  1; 0;  , OB   0;1;  , OC   0; 0;1      OA, OB  OC  0.0  0.0  1.1   − Tính OA, OB    0; 0;1 ,     − Vậy: OABC là tứ diện    1 Thể tích tứ diện ABCD: VABCD  OA, OB  OC     6  Ñieåm ñi qua M ( x ; y ; z0 ) HD   với đường thẳng d   VTPT nP  ad Nhớ: mặt phẳng vuông góc đường thẳng nhận VTCP đường thẳng làm VTPT  x   2t   Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;−1) và vuông góc với d:  y  3t z    Ñieåm ñi qua A(2;2-1) HD   Bài giải   VTPT nP  ad   Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;−1); có vectơ pháp tuyến là nP  ad   2; 3;  (P):  x     y     z  1   x   3y    x  3y   Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;−1) và vuông góc với đường thẳng  Ñieåm ñi qua A(2;2-1) x 1 y  z HD     Bài giải  d:  2 VTPT nP  ad   Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;−1); có vectơ pháp tuyến là nP  ad  1; 2; 2  (P):  x     y     z  1   x   y   z    x  y  z    Nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến 13 Lop12.net  Hồ Văn Hoàng Hình học 12 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software Hình học 12 http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC qua B(0;2;0)  Ñieåm ñi HD   Bài giải   VTPT nP  AC   Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0); có vectơ pháp tuyến là nP  AC   2; 0;  Dạng 3: Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông Chứng minh tam giác ABC vuông A với A(1;−3;0), B(1;−6;4), C(13;−3;0)   Ta có: AB   0; 3;  ; AC  12; 0;      Do AB AC  0.12  3.0  4.0   AB  AC  AB  AC nên  ABC vuông A Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân Chứng minh tam giác ABC cân A với A(1;1;1), B(−1;1;0), C(3;2;1)     Ta có: AB   2; 0; 1    AB  3; AC   2;1;     AC    Do AB  AC  nên ABC cân A (P):   x     y     z     x + 2z =  x+z=0  Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC làm vectơ pháp tuyến Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC B  Ñieåm ñi qua B(0;2;0) HD   Bài giải   VTPT nP  BC   Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0); có vectơ pháp tuyến là nP  BC   0; 2;2  Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC là tam giác Chứng minh tam giác ABC là tam giác với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)    Do AB  AC  AC  nên  ABC là tam giác (P):   x     y     z      y+4+2z=0  y+2z+4=0  Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến Cần nhớ:  Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông vuông góc với  Tam giác cân có hai cạnh bên  Tam giác có ba cạnh Hình chiếu vuông góc điểm , điểm đối xứng Dạng 1: hình chiếu vuông góc điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua mp Cho điểm A(−2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y−2z−9=0 d Xác định hình chiếu vuông góc A lên (P) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P) A Bài giải Xác định hình chiếu vuông góc A lên (P) H Gọi d là đường thẳng qua A(−2;1;0) và vuông góc với (P) P )   Đường thẳng d có vectơ phương là: ad  nP  1; 2; 2  Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB  Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2) HD   Bài giải   VTPT nP  AB Gọi I là trung điểm AB  I  2;2;    Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2); có vectơ pháp tuyến là nP  AB   2; 2;  (P):   x     y     z     y+2y+2z-12=0 Cần nhớ: Mp trung trực đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB trung điểm I đoạn thẳng AB Kiến thức không quên     − Trục Ox có VTCP là i  1; 0;  − Mp (Oxy) có VTPT: n  i, j   k   0; 0;1       − Trục Oy có VTCP là j   0;1;  − Mp (Oxz) có VTPT: n  i, k   j  0;1;          − Trục Oz có VTCP là k   0; 0;1 − Mp (Oyz) có VTPT: n   j, k   i  1; 0;    x  t   Trục Ox:  y  ; z    mp(Oxy): z = x    Trục Oy:  y  t z    mp(Oxz): y =  Hồ Văn Hoàng   x  x0  at  x  2  t A/   Pt tham số d là:  y  y0  bt   y   2t  z  z  ct   z  2t  Gọi H là giao điểm d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc A lên (P) Tìm H(−1; 3; 2) Vậy hình chiếu vuông góc A lên (P) là H(−1;3;−2) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P) Do A và A’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm AA’ x /  2x H  xA x /  A A   Áp dụng công thức:  y A/  y H  yA   yA/   A'=  0;5;-4     zA/  2z H  zA  zA/  4 Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(0;5;−4) x    Trục Oz:  y  z  t   mp(Oyz): x = 12 Lop12.net  Hồ Văn Hoàng Hình học 12 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software Hình học 12 http://www.foxitsoftware.com For evaluation only  Hồ Văn Hoàng Bài 5: Cho điểm M(1;2;3) 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox  Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD   Bài giải  (P):  x  1   y     z  3   x-1=0  VTPT nP  i  1; 0;   Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ i làm vectơ pháp tuyến 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy  Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD   (P): y – = Bài giải   VTPT nP  j   0;1;   Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j làm vectơ pháp tuyến 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz  Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD   Bài giải  (P): z – =   k   0; 0;1 VTPT n  P  Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ k làm vectơ pháp tuyến Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C  Ñieåm ñi qua A( x0 ; y0 ; z0 )  HD       AB, AC  VTPT n  P    Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)    Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0); có vectơ pháp tuyến là nP   AB, AC  =(1; 1; 1)   (P):  x  1  1 y     z     x   y  z   x  y  z    x   2t  Bài 2: Chứng minh đường thẳng d:  y  song song mp(Oyz)  z  10  6t   Đường thẳng d qua A(1; 9; 10) có vectơ phương: a   2; 0; 6    MP(Oyz) có vectơ pháp tuyến: j   0;1;  Ta có: a j  2.0  0.1  6.0  Mặt khác điểm A(1;9;10) thuộc d không thuộc (Oyz) Vậy: d // (Oyz) Chú ý: Ta không cần viết pt mp(Oyz) mà ta cần VTPT mp(Oyz) Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;3), B(2; 1;3) và mp(P): 2x+2y−3z−9=0 Chứng minh đường thẳng AB song song mp(P)  Đường thẳng AB qua A có vectơ phương: a  1; 1;    MP(P) có vectơ pháp tuyến: n   2; 2; 3  Ta có: a.n  1.2  1.2  0.(3)  Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d không thuộc (P) Vậy: AB song song mp(P) Dạng 5: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(P) : Ta chứng minh VTCP và VTPT cùng phương với x   t  Bài 1: CM đt d:  y   2t vuông góc mp(P): 2x+4y+6z+8=0  z   3t   Đường thẳng d có vectơ phương: a  1;2;3  1    MP(P) cĩ vectơ pháp tuyến: n   2; 4;6  Ta cĩ: a  n n  2a nên   a, n cùng phương với Vậy: d vuông góc mp(P)   Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;−1;1) Viết phương trình mp(OMN)    HD Bài giải  Ñieåm ñi qua O, VTPT nP  OM , ON  ; (P): x – z =   Các bài toán tam giác Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh tam giác   Ta chứng minh: AB, AC không cùng phương Cho điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Cm A, B, C là ba đỉnh tam giác      AB   1;1;  ; AC   1; 0;1 Ta có: −1: 1: ≠ −1: 0: hay  AB, AC   1;1;1      nên AB, AC không cùng phương nên A, B, C là ba đỉnh tam giác   Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9) Chứng minh A, B, C thẳng hàng      AB  1;1;1 ; AC   8;8;8  Ta có: 1: 1: = 8: 8: hay  AB, AC    0; 0;   hay       AC  AB nên AB, AC cùng phương nên A, B, C thẳng hàng Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và  Ñieåm ñi qua M ( x ; y ; z0 ) HD   song song với mp(Q)   VTPT nP  nQ Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua A(1;2;3) và song song mp(Q): 2x+2y+z=0  Ñieåm ñi qua A(1;2;3) HD   Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT Bài giải   VTPT nP  nQ   Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3); có vectơ pháp tuyến là nP  nQ   2;2;1 (P):   x  1   y    1 z  3    x   y   z     x  y  z   11 Lop12.net  Hồ Văn Hoàng Hình học 12 Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC)  Ñieåm ñi qua M HD     Bài giải     VTPT nP  nABC   AB, AC      Mặt phẳng (P) qua M(1;2;3); có vectơ pháp tuyến là nP  nABC   AB, AC  = (1;1;1)   (P):  x  1  1 y    1 z     x   y   z    x  y  z   Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy)  Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD     Bài giải  (P): z – =    VTPT nP  i, j   k   0; 0;1 Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz)  Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD     Bài giải  (P): y – =  i, k   j   0;1;   VTPT n P    Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz)  Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD     Bài giải  ; (P): x – =    VTPT nP   j, k   i  1; 0;  Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và  Ñieåm ñi qua A HD    vuông góc với mp(Q)     VTPT nP   AB, nQ  Bài 1: Viết pt mp(P) qua A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với (Q): 2x−y+3z−1=0  Ñieåm ñi qua A HD    Bài giải     VTPT nP   AB, nQ  Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;−1) Cặp vectơ phương là:      AB   1; 2;5  ; nQ   2; 1;3   vectơ pháp tuyến là : nP   AB, nQ    1;13; 5   (P):   x    13  y  1   z  1   x  13y  5z   Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software Hình học 12  Hồ Văn Hoàng http://www.foxitsoftware.com For evaluation only   1 Cách 1: a vaø a' cuøng phöông   2     Caùch 2: Do a ' =2 a neân a vaø a' cuøng phöông      Caùch 3: Do  a,a'    0; 0;   neân a vaø a' cuøng phöông   + Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d không thuộc d’ 0  t t    Thế tọa độ điểm A vào pt d’: 2  2  2t  t  suy A không thuộc d’ 1  5  2t t    Vậy: d và d’ song song với  ba t baèng  A  d' Cần nhớ: Khi tọa độ điểm A vào d’   ba t khoâng baèng  A  d' Đề thi Tốt nghiệp năm 2008 x 1 y  z   CMR: OM song song d Cho điểm M(−2;1;−2) và đt d: 1  Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0) có vectơ phương: OM   2;1; 2   Đường thẳng d có vectơ phương: a '   2; 1;    2 2    1 Ta có: OM vaø a cuøng phöông 1 1 1   (sai)  O  d Thế tọa độ điểm O vào pt d ta có: 1 Vậy: OM song song đường thẳng d  ba phaân soá baèng    d Cần nhớ: Khi tọa độ điểm O vào d   ba phaân soá khoâng baèng    d Dạng 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:  Ta chứng minh a.n  và điểm thuộc đường thẳng không thuộc mp  x   2t  Bài 1: Chứng minh đường thẳng d:  y   3t song song mp(P): 3x + 4y + z – =  z   6t   Đường thẳng d qua A(1;2;3) có vectơ phương: a   2;3; 6    MP(P) có vectơ pháp tuyến: n   3; 4;1 Ta có: a.n  2.3  3.4  6.1  Bài 2: Viết pt mp(P) qua điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mp(Oxy)  Ñieåm ñi qua A HD    (P): −2x + y + = Bài giải     VTPT nP   AB, k  Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)  Ñieåm ñi qua O HD    ; (P): y – z = Bài giải     VTPT nP  OA, i  Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d không thuộc (P) Vậy: d // (P) Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng VTCP và VTPT và điểm thuộc đường thẳng không thuộc mp 10 Lop12.net  Hồ Văn Hoàng Hình học 12 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software Hình học 12 http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Bài giải Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng Kiến thức cần nhớ: Vectơ phương đường thẳng là vectơ có giá song song với đt trùng với đt  Đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương ad   a; b; c  :  x  x0  at x   t   Pt tham số AB là:  y  y0  bt   y   3t Tương tự t = −  H(−1; 5; −1)  z  z  ct  z   2t   Bài 4: Cho ba điểm A(1;0;0) B(0;1;0), C(0;0;1) Xác định hình chiếu vuông góc A lên BC  Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC  Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc BC  Bước 3: Tìm giao điểm H BC và (P), H chính là hình chiếu A lên BC  x  x0  at  Có phương trình tham số:  y  y0  bt  z  z  ct  x  x0 y  y0 z  z0 , a.b.c  b c một điểm M ( x ; y0 ; z0 ) thuộc đường thẳng  Cần nhớ: Để viết pt đường thẳng ta tìm:  a moä t VTCP   a; b; c   d Các dạng toán Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B  Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ phương là vectơ AB Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4)   Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3); có vectơ phương là: aAB  AB =(1;−1;1) Có phương trình chính tắc: Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau:   Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với  ad ad '  x  t  x  2t   Bài 1: Cminh hai đường thẳng d:  y   3t , d’:  y   2t vuông góc với  z   2t  z   2t     Đường thẳng d có vtcp a  1; 3;  Đường thẳng d’ có vtcp a '   2; 2;2    Ta có: a.a '  1.2  3.2  2.2  Vậy: d  d’  x  2t  Bài 2: Cho điểm A(1;−3;2) Chứng minh OA d:  y   2t  z   2t  - x   Bài 3: Chứng minh đường thẳng d:  y   8t vuông góc với trục Ox  z   9t  a   x   t  Pt tham số AB là:  y   t z   t  Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng OG Ta có G(2;3;4) Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0); có vectơ phương là:  x  2t    aOG  OG =(2;3;4) Pt tham số OG là:  y  3t  z  4t  Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương và điểm thuộc đường thẳng này không thuộc đường thẳng x  t  Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:  y   t // d’: z   t   Hồ Văn Hoàng  x  2t   y  2  2t  z  3  t  Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P)   VTCPad = VTPT nP Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và  (P): x − 2y – z – =   Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3); có vectơ phương là: ad  nP =(1;−2;−1) Bài giải  Đường thẳng d qua điểm A(0;2;1) có vectơ phương: a  1;1;1  Đường thẳng d’ có vectơ phương: a '   2; 2;2  - + Ta chứng minh hai VTCP cùng phương: x   t  Pt tham số d là:  y   2t z   t  Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT mp làm VTCP Lop12.net  Hồ Văn Hoàng Hình học 12 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software Hình học 12 http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC)  Ñieåm ñi qua O HD     Bài giải     VTCP ad  nABC   AB, AC      Đường thẳng d qua O(0;0;0); có vectơ phương là: ad  nABC   AB, AC  =(1;1;1)   x  t  - Pt tham số d là:  y  t z  t  x   t   y   3t  z   4t  Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;−3), C(3;−2;1) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với đường thẳng BC x   t  Ñieåm ñi qua A  HD     Bài giải   Pt tham số d:  y   3t VTCP ad  BC  z   4t  Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox x   t  Ñieåm ñi qua A HD   Pt tham số d:  y  Bài giải   VTCP ad  i z   Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy x   Ñieåm ñi qua A HD   Pt tham số d:  y   t Bài giải   VTCP a j  z  d  Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz x   Ñieåm ñi qua A HD   Pt (d):  y  Bài giải   VTCP a k  z   t d  Các dạng toán khác Dạng 1: Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng  x  1  t  Bài 1: Tìm giao điểm đường thẳng d:  y  1  t và mp(P): x + y − 2z – =  z   2t  Gọi H( x; y; z) là giao điểm d và (P) Tọa độ H là nghiệm hệ pt:  x  1  t   y  1  t Ta có −1 + t – + t − 2(−2t) – =  t = Vậy H(0; 0; −2)   z   2t  x  y  2z –   Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho dạng chính tắc thì ta chuyển dạng tham số x 1 y 1 z   Bài 2: Tìm giao điểm đường thẳng d: và mp(P):x+y−2z−4=0 1 2 Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;−1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0 Tìm giao điểm đường thẳng AB và mp(P)  Ñieåm ñi qua M   Pt tham số d: Bài giải   VTCP ad  ad ' HD Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy) x   Ñieåm ñi qua M  HD      Bài giải   Pt d:  y  i, j   k VTCP a  d z   t     Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz) x   Ñieåm ñi qua M  HD     Bài giải   Pt tham số d là:  y   t i, k   j   0;1;   VTCP a d  z     Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz) x   t  Ñieåm ñi qua M  HD      Pt tham số d là: Bài giải   y   j, k   i  1; 0;   VTPCP a d  z     Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đ thẳng d’ x   t  Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và // d’:  y   3t  z   4t   Ñieåm ñi qua M HD   Bài giải   VTCP ad  ad '   Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) có vectơ phương là: ad  ad ' =(1;−3;4) -  x  x0  at x  1 t   Pt tham số d là:  y  y0  bt   y   3t    z   4t  z  z0  ct Bài 2: Viết phương trình d qua điểm M(1;2;3) và song song d’:  Hồ Văn Hoàng x  12 y  23 z   3 Lop12.net