Chủ đề: Nguyên hàm - Tích phân - ứng dụng của tích phân

Nhận xét: Vì đạo hàm của biểu thức trong dấu căn không có trên tử số nên ta không áp dụng được phương pháp đổi biến dạng 1.. Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thÓ gÆp d¹ng tÝch ph©n trªn [r]

CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I NGUYÊN HÀM: Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên K F’(x) = f(x) với x thuộc K Tính chất: + Nếu F(x) là nguyên hàm f(x) trên K thì nguyên hàm f(x) trên K có dạng F(x) + C với C là số +  f '( x)dx  f ( x)  C +  kf ( x)dx  k  f ( x)dx với k  R * +  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx Bảng các nguyên hàm  0dx  C ax  C a  0; a  ln a  cos axdx  a sin ax  C a   sin axdx   a cos ax  C a   cos2 x dx  t anx  C  sin xdx   cot x  C x  a dx   dx  x  C  x dx   1 x C  1   -1  x dx  ln x  C  e dx  e x x C 4.Các phương pháp tính nguyên hàm A Tính nguyên hàm dựa theo định nghĩa và tính chất nguyên hàm Bài 1: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số a) f(x)=1+ sin3x bieát F(  )=  cos3x + C Do F( ) =  Vaäy nguyeân haøm caàn tìm laø: F(x)= x – cos3x Ta coù F(x)= x –  Giaûi  -   cos + C =  C = - -  b) f ( x)  sin x biết F ( )  ĐS: F ( x)   cos2 x  c) f(x) = 4x3 - ex + cosx biết F(0) = ĐS: F ( x)  x  e x  sin x  Bài 2: Tính các nguyên hàm sau : x  x  5x  C a)  ( x3  x  5)dx ĐS: b)  (sin x  2cos x)dx ĐS: -cosx + 2sinx + C Lop12.net )dx cos x d)  sin x cos3 xdx c)  (3sinx  HD: sin x cos3 x  ĐS: -3cosx - 2tanx + C (sin x  sin x) ĐS: dx ( x  2)( x  3) 1 HD:   ( x  2)( x  3) x  x  1 cos2x- cos4x +C e)  ĐS: ln x2 C x3 B Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến NHẬN XÉT: Khi gặp nguyên hàm có dạng:  U n ( x)U '( x)dx n  N thì ta đặt t = U(x)  n U ( x) U '( x)dx U '( x)  U ( x) dx e n  N, n  ta đặt t  n U ( x) => t n  U ( x) => n.t n1dt  U '( x)dx Đặt U(x) = t U ( x) U '( x)dx ta đặt U(x) = t Bài 1: Tính các nguyên hàm sau : a)  ( x  1)5 dx b)  x( x  1) dx c) d) x  x  2dx dx 3x  ĐS:  x  1  C HD: đặt x   t HD: đặt HD: x4   t 3x   t e)  sin x.cos xdx e f)  x3  x dx HD: x   t x7 dx g)  x  x7 x x HD :  dx   dx x 1 x 1 x4 1  t đặt C Tính nguyên hàm phương pháp phần Công thức: x 1  C x4   c ĐS: DS : x  +C ĐS: sin x  C x3  e c ĐS:    ĐS  ( x  1)  ln( x  1)  C 4  u.dv  u.v   v.du NHẬN XÉT: Khi gặp nguyên hàm có dạng:  P( x)sin axdx;  P( x) cos axdx;  P( x)e P(x) là đa thức ta đặt P(x) = u phần còn lại là dv  P( x) ln xdx đó P(x) là đa thức ta đặt lnx = u , P(x)dx = dv Lop12.net ax dx đó Bài tập: a )  x.cos xdx c)  (2 x  1)e x dx b)  ( x  1)sin xdx d ) ln x dx x2 e)  x ln( x  1)dx dx  du   u  ln( x  1)  x 1 HD: đặt   dv  xdx v  x   2 x 1 1 ĐS: ln( x  1)  x  x  c II.TÍCH PHÂN 1)Định nghĩa tích phân :   Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn   giả sử F(x) là nguyên hàm f(x) trên đoạn  a; b     a; b  Hiệu số F(a) - F(b) gọi là tích phân từ a đến b hàm số f(x) ký hiệu là:   b b  f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) a 2) Tính chất: Tính chất 1: Tính chất 2: b a a b  f ( x)dx    f ( x)dx b b a a  kf ( x)dx  k  f ( x)dx với k thuộc R b b b a a a   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx Tính chất 3: b c b a f ( x)dx a f ( x)dx  c f ( x)dx Tính chất 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 1/ Tính tích phân việc sử dụng các nguyên hàm bản: Bài tập 1: Tính các tích phân sau a) I =  (x  x  1)dx b) I  e 1 Lop12.net x 1 dx b  f ( x)dx a c) I   x  dx Giải:  x4  1   x  x         1   a) I =  4      1 x 1 e 1 b) I = (e ) = 3    c) I   ( x  2)dx   ( x  2)dx = 2/ Tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng 1: b Khi gặp tích phân có dạng: U n b ( x)U '( x)dx n  N ; n  a b  n U ( x) U '( x)dx U '( x)  U ( x) dx ; ta đặt U(x) = t a n  N n  ta đặt n U ( x)  t  U ( x)  t n a Bài 1: Tính các tích phân a)  (2 x  1)8 dx HD: đặt 2x+1 = t 9841 ĐS: b) (2 x  1)  x  x  1dx Nhận xét : (x +x+1)’= 2x+1 nên ta đặt: x  x   t ĐS: c)  xdx x 1 Nhận xét ( x  1) '  x nên ta đặt ln x2   t  t  x2  ; => tdt= xdx ĐS:  5   d)  sin x.cos xdx Nhận xét: (sinx)’ = cosx nên ta đặt sinx = t e)  x 1   x dx (x +1)'=5x đặt x   t Lop12.net ĐS: 32 ĐS: e  ln x dx x f) I   (1+lnx)'= dx nên ta đặt  ln x  t  t   ln x 2tdt  x x  g) dx  x I  HD : x  t  x=t ; dx  2tdt  2 1 ĐS: ĐS: 2( – ln2 )  h) (1  cos x)'=-sin2x sin x   cos x dx ta đặt 1+cos x  t  dt=-sin2xdx ĐS: ln2 Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 2: *QUY TẮC: b Tính  f ( x)dx a đặt x =u(t) , u(t) là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn  ;   f(u(t)) xác định trên đoạn  ;   và u()= a ; u() =b Biến đổi f(x)dx theo t và dt giả sử f(x)dx = g(t)dt b  a  f ( x)dx   g (t )dt  * Bài 1: Tính I =   x dx Nhận xét (1  x ) '  2 x ta thấy x không có ngoài dấu căn,nên không thể áp dụng phương pháp đổi biến dạng vì sin +cos  =1 Nhận xét: <=> sin  = 1- cos  nên ta đặt x = sint x = cost thì 1- x = - sin t ( - x = - cos t )    ;  2  đặt x= sint với t    Giải : đổi cận : x=0 t = ; x = ; t = dx = cost dt I=   x dx  x   sin t  cos 2t  cos t  cos t =    2 0  cos2t  dt  2  cos t.cos tdt   cos tdt   Lop12.net CHÚ Ý: Với x n  x dx n  N ta đặt x = sint n chẵn, đặt  x n lẻ t= 2  *Bài 2: Tính tích phaân sau : I  x2  x2 dx Nhận xét: Vì đạo hàm biểu thức dấu không có trên tử số nên ta không áp dụng phương pháp đổi biến dạng    ;  2  GIẢI: đặt x = sin t với t    =>dx = cos t dt Khi x = thì t =  thì t =  /4 sin x.cos tdt Khi x = Vậy I     sin t  /4  sin tdt (Do cos t > 0)  /4  2   (1  cos 2t )dt  *Bài 3: H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau: a)   x dx b) dx   x2     ;  Khi x = th× t = Khi x  th× t   2 Gi¶i: a) §Æt x  2sin t , t    Tõ x  2sin t  dx  2cos tdt    2 0  x dx    4sin t 2cos tdt   cos tdt       ;  Khi x  th× t  , x  th× t   2 b) §Æt x = tant với t    Ta cã : dx  dt   tan t dt cos t   => dx   x2 =    tan t  dt    tan t  dt  0 Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thÓ gÆp d¹ng tÝch ph©n trªn d¹ng tæng qu¸t h¬n nh­: Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dạng Lop12.net a  x , a  x vµ x2  a2 x(a  x) (trong đó a là số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm thức, cụ thể là:  Víi    a  x , đặt x  a sin t , t    ;   2 hoÆc x  a cos t , t   0;    Víi a  x , đặt x = atant  Víi x  a đặt x   Víi  CHÚ Ý:     ;   2 t  a , t   0;   cos t   x(a  x) đặt x  a sin t , t  0;   2 Khi tính tích phân phương pháp đổi biến số cần phân biệt cho học sinh nắm nào thì áp dụng cách đổi biến dạng 1, nào thì áp dụng cách đổi biến dạng 2.Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng: f (u ( x))u '( x)dx ; u '( x)dx u '( x)dx ; n u ( x) u ( x) Thì nên áp dụng đổi biến số dạng Nếu không áp dụng cách đổi biến dạng thì áp dụng cách đổi biến dạng Trường hợp không dùng phương pháp đổi biến số thì ta áp dụng phương pháp tích phân phần IV PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN; Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  a; b  thì: b b b  u ( x)v '( x)dx   u ( x)v( x)  a   v( x)u '( x)dx a a b b b hay  udv  (uv)   vdu a a a Chú ý : Khi sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau : Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định cách dễ dàng b Tích phân  vdu a b xác định cách dễ dàng so với tích phân ban đầu  udv a Chúng ta cần nhớ các dạng sau : Dạng : Lop12.net b b b a a a  P( x)sin(cx)dx (  P( x)cos(cx)dx )  P( x)e cx  d dx với P(x) là đa thức Khi đó ta đặt u= P(x) phần còn lại là dv b b  e cosxdx Dạng : x e : a x sin xdx a Ta đặt u= e x ; dv = cosxdx ( dv=sinxdx ) Cũng có thể đặt : u =cosx ( u =sinx ) dv = e x dx Dạng3 : b  P( x) ln I= k xdx với P(x) là đa thức Đặt u  ln k x , dv = P(x)dx a b x a cos2 xdx; Dạng 4: b x  sin a x dx Đặt u=x phần còn lại là dv Bài 1: Tính các tích phân e  x ln xdx a) e2  ĐS: 1 b)  ( x  2)e x dx ĐS: – 2e  2  1 c)  ( x  ) cos xdx ĐS:  d)  (2  x)sinxdx ĐS :  u  x du  dx x  dx HD:  e) I   dx   v  tan x cos x dv  cos x    sin x   I  ( x tan x)   dx   ln cos x   ln cos x 4 0 ĐS: I Một số bài tập tổng hợp:   Tính I   x x  e x dx Lop12.net   ln 2 1 x3 1 x 1 x  xe dx =   xe dx GIẢI: I   x dx   xe dx  0 0 x u  x x  xe dx Với Ta đặt  x dv  e dx 1 x  e dx  0     xe x dx  xe x Vậy I   2 Tính I   x(1  cos x)dx   2   x  GIẢI: I   xdx   x cos xdx  0   x cos xdx    x cos xdx  x sin x   Vậy: I  2 Ta đặt   x cos xdx u  x du  dx  dv  cos xdx v  sin x Với  e      sin xdx    1 x Tính I   ( x  ) ln xdx e e 1 x HD: I   x ln xdx   ln xdx e Tính I1   x ln xdx phương pháp phần e 1 x Tính I   ln xdx phương pháp đổi biến  Tính I    (e cosx   1 x x dx  dx   cos2 x  cos2 x  cos2 x dx 0 4   x)sinxdx   e cosx  sinxdx   x sin xdx  e    Lop12.net e  Tính I1   ecosx sinxdx cách đặt cosx = t  Tính I   x sin xdx phương pháp phần III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A/ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x)liên tục trên đoạn  a; b  , trục hoành và các đường thẳng x=a; x=b tính theo công thức: b S=  f ( x) dx (1) a Cho hai hàm số y  f1 ( x); y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  f1 ( x); y  f ( x) và các đường thẳng x=a ; x=b là: b S=  f1 ( x)  f ( x) dx (2) a Diện tích hình phẳng giới hạn các đường cong x = g(y); x = h(y) ( g và h là các hàm số liên   tục trên đoạn   và hai đường thẳng y =c; y = d là: c; d  d S=  g ( y )  h( y ) dy (3) c CHÚ Ý: Khi áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng cần khử dấu giá trị tuyệt đối dấu tích phân.Chẳng hạn công thức (2) ta có thể giải phương trình   f (x)- f (x) =0 trên đoạn   , giả sử phương trình có hai nghiệm c;d ( a < c < d < b ), a; b  đó: S= c d b a c d  ( f1 ( x)  f ( x))dx   ( f1 ( x)  f ( x))dx   ( f1 ( x)  f ( x))dx Hoặc có thể xét dấu f1 ( x)  f ( x) trên đoạn  a; b  Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường a) y  x3 , y  0, x  1, x  b) y = lnx ; y = ; x = e ĐS : ĐS : Lop12.net 15 c) y = x2 - 3x + 2, y = ĐS : y) y  x  x  6; y=0; x=-2; x= HD : giải phương trình x  x   trên đoạn  2;4 có hai nghiệm x = -1 ; x = Diện tích S  1  x  x  dx  2   2x 1 1  (2 x  x  6)dx  2  x  dx   x  x  dx 3 2  (2 x  x  6)dx   (2 x  x  6)dx 1 ĐS :S= 92 Chú ý: Khi tính diện tích hình phẳng cần cho học sinh xác định các giả thiết bài toán xem đã đủ các kiện công thức chưa? Có thừa hay thiếu gì không Chẳng hạn câu b) ta có y= lnx ; y =0; x = e còn thiếu cận tích phân ( x = a ; x =b ) công thức (1) Do đó cần giải phương trình f (x) - f (x) = để tìm thêm cận tích phân Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường a, y  x  x  , y = x + 1, x = 0, x = x   x  (lo¹i) HD : xét phương trình x  x   x    3 =>diện tích S   x  x dx   ( x  x)dx  b, y = x2 ĐS :S = 9: -2x , y = x x  x  HD : xét phương trình x  x  x   3 => diện tích S   x  x dx   ( x  x)dx  0 c, y   x  x  và các tiếp tuyến (P) tạị các điểm M( ; -3) N( ; 0) HD : y’ = -2x + y’(0) = ; y’(3) = - Tiếp tuyến (P) M( ; -3) có phương trình y = 4x – Tiếp tuyến (P) N( ; 0) có phương trình y = -2x +6 Xét phương trình 4x – = -2x +  x = 1,5 3 Diện tích S    x  x   x  dx    x  x   x  dx Lop12.net ĐS :S = 3   x dx   ( x  x  9)dx  ĐS :S = B/ TÍNH THỂ TÍCH; Công thức tính: 1.Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn  a; b  , trục hoành và các đường thẳng x = a; x = b nó quay quanh trục 0x tạo thành khối tròn xoay có thể tích là: b V     f ( x) dx (1) a Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn  c; d  , trục tung và các đường thẳng y =c; y = d nó quay quanh trục oy tạo thành khối tròn xoay có thể tích là: d V     g ( y ) dy (2) c Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay miền hình phẳng giới hạn các đường sau quay xung quanh trục Ox: a) y = cosx y = x = ; x =  ĐS x  b) y  sin , y  0, x  0, x  2   ĐS: 2 16 ĐS : 15 c) y  x - x, y   2 d) y  x  1; y=x+1 x  x  HD : Xét phương trình : x   x    Gọi V1 là thể tích khối tạo thành quay hình phẳng giới hạn y  x  ; y = ;x =0 ; x = nó quay quanh trục ox V1    ( x  1) dx  28 15 Gọi V2 là thể tích khối tạo thành quay hình phẳng giới hạn y  x  ; y = ;x =0 ; x = nó quay quanh trục ox V2    ( x  1) dx  7 Do đó ta có thể tích khối cần tìm là : V  V1  V2  7 15 ĐS : V = 7 15 Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường: y2 = x3, y = 1, x = nó quay xung quanh trục 0y Hướng dẫn giải: Từ y2 = x3 <=> x  y2 Lop12.net Giải PT: y2   y  V    y dy ĐS V  Lop12.net