Chứng minh rằng khi đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định... Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó..[r]
(1)Chương Hàm số om 5.1 Tính đơn điệu .c Vấn đề : Xét chiều biến thiên hàm số tb ng Xét chiều biến thiên hàm số y = f (x) ta tiến hành các bước sau : Tìm tập xác định D hàm số; tra Tính đạo hàm y′ = f ′ (x); ao Tìm các giá trị x ∈ D để f ′ (x) = f ′ (x) không xác định (gọi là các điểm tới hạn hàm số); Lập bảng biến thiên bảng xét dấu y′ = f ′ (x) trên khoảng x ∈ D; ht :// Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ ta suy các khoảng đơn điệu hàm số Bài 5.1 : Xét biến thiên các hàm số sau : y = x3 − 3x2 ; y = x3 − 2x2 + 18x − ; y = −x3 − 3x2 + 24x + 26 ; y = x3 + 3x2 + 3x + ; y = x4 − 2x2 + ; 10 y = x+2 ; x−1 11 y = −x2 + 2x − ; x+2 12 y = x2 + 4x + ; x+2 ; x √ 14 y = x + − x2 ; 13 y = x + y = − x4 + 2x2 − ; y = x4 + 2x2 − ; √ y = x4 − 6x2 + 8x + ; 15 y = y = 16 y = sin x với x ∈ (0; 2π) 2x − ; x+1 Lop12.net 83 3x2 − x3 ; (2) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Bài 5.2 : Chứng minh hàm số : y = x+1 nghịch biến trên khoảng xác định; 2x − y = √ − x2 nghịch biến trên [0; 2]; y = sin x + x đồng biến trên R; x3 y = − x2 + x + đồng biến trên R; y = x3 + x − cos x − đồng biến trên R; y = − x3 + 6x2 − 20x + nghịch biến trên R; y = cos 2x − 2x + nghịch biến trên R Vấn đề : Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên miền Hàm số y = f (x) đơn điệu tăng trên D và f ′ (x) ≥ với x ∈ D c Hàm số y = f (x) đơn điệu giảm trên D và f ′ (x) ≤ với x ∈ D om Sử dụng điều kiện cần : Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên D = (a; b) và f ′ (x) = không quá hữu hạn giá trị tb Chúng ta các bài toán sau : ng Bài toán : Tìm các giá trị tham số để hàm số luôn đồng biến luôn nghịch biến trên R trên (−∞; a) và (a; +∞) tra Cơ sở bài toán là định lí sau : Định lí : Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c (a , 0) ao : ∆ ≤ <a < :// • f (x) ≥ với x ∈ R và <a > : ht • f (x) ≤ với x ∈ R và ∆ ≤ Chú ý : Định lí còn đúng điều kiện ta không phải là x ∈ R mà thay bàng điều kiện với x khác x1 , x2 , Bài toán : Tìm các giá trị tham số để hàm số luôn đồng biến luôn nghịch biến trên (a; b) đó ít a b là hữu hạn Cơ sở bài toán là định lí sau : Định lí : Cho hàm số y = f (x) liên tục trên miền D và đạt GTLN, GTNN tương ứng là max f (x), f (x) • f (x) ≥ m với x ∈ D và f (x) ≥ m; • f (x) ≤ m với x ∈ D và max f (x) ≤ m Một cách tổng quát với bài toán phương trình, bất phương trình có tham số chúng ta làm sau : • Chuyển vế phương trình, bất phương trình dạng vế chứa ẩn (vế trái) và vế chứa tham số; • Lập bảng biến thiên hàm số vế trái (hạn chế bảng biến thiên với điều kiện ẩn xét); • Tính đầu và cuối tất các mũi tên (tính trực tiếp qua các giới hạn bản); • Sử dụng định lí TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 84 (3) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài toán : Tìm các giá trị tham số biết độ dài khoảng đồng biến nghịch biến Với bài toán này ta phải lập bảng biến thiên và tính trực tiếp các nghiệm y′ = sử dụng định lí Viét Bài 5.3 : Tìm m để hàm số : y = − x3 + 2x2 + (2m + 1)x − 3m + nghịch biến trên R 3 Bài 5.4 : Tìm m để hàm số : y = x + (m − 1)x2 + (m2 − 4)x + đồng biến trên R x3 + (m + 1)x2 + 3x + Tìm m để hàm số đồng biến trên R Bài 5.6 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m + đồng biến trên R Bài 5.5 : Cho hàm số y = (m2 − 1) Bài 5.7 : Với giá trị nào tham số m thì hàm số : om y = x3 + (m − 1)x2 + (m2 − 4)x + đồng biến trên R c Bài 5.8 : Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m + Tìm m để hàm số đồng biến trên R (m + 1)x2 − 2mx − (m3 − m2 + 2) nghịch biến trên các khoảng xác định x−m Bài 5.10 : Tìm m để hàm số y = x + m sin x đồng biến trên R tb Bài 5.9 : Tìm m để hàm số : y = ng Bài 5.11 : Tìm m để hàm số y = sin x − cos x − mx + đồng biến trên R tra Bài 5.12 : Tìm m để hàm số y = x + m(sin x + cos x) đồng biến trên R Bài 5.13 : Tìm m đếh y = (2m + 3) sin x + (2 − m)x đồng biến trên R (k2 x2 − 2k) + kx + x đồng biến trên tập xác định :// Bài 5.15 : Xác định k để hàm số y = ao Bài 5.14 : Tìm m để hàm số y = (m − 3)x − (2m + 1) cos x nghịch biến trên R x2 + mx − có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định nó x−1 (m + 1)x2 − 2mx − 3m3 + m2 − Bài 5.17 : Cho hàm số y = Tìm m cho hàm số nghịch biến trên khoảng xác x−m định ht Bài 5.16 : Tìm m để hàm số y = Bài 5.18 : Chứng minh hàm số : y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m + 1) không thể luôn đồng biến Bài 5.19 : Cho hàm số y = −x3 − 3x2 + mx + Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) Bài 5.20 : Tìm a cho hàm số : y = x2 (a − x) − a tăng khoảng (1; 2) y = −x3 + (a − 1)x2 + (a + 3)x tăng khoảng (0; 3) Bài 5.21 : Cho hàm số : y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m Với giá trị nào m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1) Bài 5.22 : Tìm m để hàm số : y = (m + 1)x3 − 2mx2 + x đồng biến trên khoảng (0; 1) Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 85 (4) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.23 : Cho hàm số : y = − (0; 3) x3 + (m − 1)x2 + (m + 3)x − Tìm tất các giá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng Bài 5.24 : Tìm m để hàm số : y = x2 (m − x) − m đồng biến trên khoảng (1; 2) Bài 5.25 : Cho hàm số : y = x3 − mx2 + (2m − 1)x − m + Với giá trị nào m thì hàm số nghịc biến trên khoảng (−2; 0) Bài 5.26 : Cho hàm số : y = 2x3 + 3mx2 − 2m + Với giá trị nào m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2) c om Bài 5.27 : Xác định m để hàm số : y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + đồng biến trên hai khoảng (−∞; −1) và (2; +∞) Bài 5.28 : Cho hàm số y = − x3 − mx2 + (2m − 1)x − m + Với giá trị nào m thì hàm số đã cho nghịch biến trên (−2; +∞) m Bài 5.29 : Tìm m để : y = x3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + đồng biến trên khoảng (2; +∞) 3 Bài 5.30 : Tìm m để : y = x − (m + 1)x2 + m(m + 2)x + đồng biến trên [4; 9] x+3 Bài 5.31 : Cho hàm số y = Tìm m cho hàm số : x−m giảm trên (−∞; 2) x2 − 2mx + 3m2 x − 2m ng Bài 5.32 : Cho hàm số : y = tb tăng trên (1; +∞) ; Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1; +∞) tra Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định 2x2 + (1 − m)x + + m Xác định m để hàm số nghịch biến trên (2; +∞) −x + m 2x2 + kx + − k Bài 5.34 : Tìm k để hàm số y = đồng biến trên khoảng (1; +∞) x+k−1 x2 − (m + 1)x + 4m2 − 4m − Bài 5.35 : Cho hàm số y = Xác định m cho hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) x − (m − 1) :// ao Bài 5.33 : Cho hàm số : y = Bài 5.37 : Bài 5.38 : Bài 5.39 : Bài 5.40 : Bài 5.41 : ht 2x2 − 3x + m Với giá trị nào m thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; +∞) x−1 x2 − 2mx + + m Cho hàm số : y = Với giá trị nào m thì hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞) x−m 2x2 + (1 − m)x + + m Tìm m để : y = đồng biến trên (1; +∞) x−m mx2 + x + m Cho hàm số : y = Tìm tất các giá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) mx + mx2 + 6x − Tìm m để : y = nghịch biến trên (1; +∞) x+2 Tìm m để hàm số : y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (−1; 1) Bài 5.36 : Cho hàm số y = Bài 5.42 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + đồng biến trên các khoảng (−∞; −1] và [2; +∞) m Bài 5.43 : Tìm m để hàm số : y = x3 + 2(m − 1)x2 + (m − 1)x + m đồng biến trên các khoảng (−∞; 0] và [2; +∞) Bài 5.44 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 6mx2 + 2(12m − 5)x + đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (3; +∞) m−1 Bài 5.45 : Tìm m để hàm số : y = x + mx2 + (3m − 2)x đồng biến trên R Bài 5.46 : Tìm m để hàm số : y = x3 − mx2 − (2m2 − 7m + 7)x + 2(m − 1)(2m − 3) đồng biến trên [2; +∞) Bài 5.47 : Tìm m để hàm số : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 86 (5) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC x + (m + 1)x2 + (m2 + 4m + 3)x − m2 đồng biến trên [1; +∞) Bài 5.49 : Tìm m để hàm số : y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + đồng biến trên [2; +∞) Bài 5.48 : Tìm m để hàm số : y = ng tb .c om Bài 5.50 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3(m − 1)x2 + 3m(m − 2)x + đồng biến trên các đoạn [−2; −1] và [1; 2] Bài 5.51 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 2x2 + mx − đồng biến trên 0; 2x − 3x + m Bài 5.52 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên (3; +∞) x−1 −2x2 − 3x + m Bài 5.53 : Tìm m để hàm số : y = nghịch biến trên − ; +∞ 2x + 2 mx − (m + 1)x − Bài 5.54 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên [4; +∞) x (2m − 1)x2 − 3mx + Bài 5.55 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên [2; 5] x−1 x2 − 2mx + 3m2 Bài 5.56 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên (1; +∞) x − 2m x2 − 2mx + m + Bài 5.57 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên (1; +∞) x−m 2x2 + mx + − m Bài 5.58 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên (1; +∞) x+m−1 x2 − 8x Bài 5.59 : Tìm m để hàm số : y = đồng biến trên (1; +∞) 8(x + m) Bài 5.60 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài tra Bài 5.61 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài ao Bài 5.62 : Tìm các giá trị m để hàm số y = −x3 + 6x2 + mx + đồng biến trên khoảng có độ dài ht :// Vấn đề : Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm biến số Bài toán : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b] Tính y′ = f ′ (x), giải phương trình f ′ (x) = các nghiệm xi ∈ [a; b] Tính y(a) = f (a), y(b) = f (b), y(xi ) = f (xi ) GTLN các giá trị trên là max f (x), GTNN các giá trị trên là f (x) x∈[a;b] x∈[a;b] Bài toán : GTLN, GTNN hàm số y = f (x) trên miền D tổng quát Lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) xét với x ∈ D Tính các giá trị dầu và cuối mũi tên (tính trực tiếp qua các giới hạn bản) Căn bảng biến thiên ta có GTLN, GTNN (nếu có) hàm số 3x − trên [0; 2] x−3 Bài 5.64 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: Bài 5.63 : Tìm giá trị lớn nhất, bé hàm số y = Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 87 (6) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC y = x + √ y = + 4x − x2 ; 10 y = x + √ y = x4 − 2x2 + (x ∈ [−2; 3]); x+1 11 y = √ trên [−1; 2]; x2 + y = √ x−2+ (x>0); √ − x; 12 y = 2x2 + 4x + ; x2 + √ y = 2x − − x2 ; y = − x2 ; 15 y = sin x + cos 2x; 16 y = sin5 x + √ cos x cos2 +| cos x| + ; | cos x| + y = cos4 x + sin2 x sin4 x + cos2 x ng sin x trên [0; π]; 3 y = tb 1 y = sin x − cos x + ; .c Bài 5.65 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) các hàm số sau : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = |x2 + 2x − 3| + tra Bài 5.66 : 1 sin 2x + sin 3x trên [0; π]; 14 y = sin x + cos x; trên [2; 4]; x y = sin x − x π π + sin2 x trên − ; ; 2 13 y = + x + sin x + x+3 y = √ ; x2 + y = x + π cos x trên 0; ; om x2 + x + 1 y = x trên ; 2 ao Tìm giá trị lớn hàm số y = |x3 + 3x2 − 72x + 90| trên [−5; 5] :// Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x3 − 8x2 + 16x − trên (1; 3] ht Bài 5.67 : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x6 + 4(1 − x2 )3 với x ∈ [−1; 1] Bài 5.68 : Tìm x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ y = f (x) = lg2 x + lg x + ln2 x , x ∈ [1; e3 ] x Tìm giá trị lớn nhất, bé hàm số y = x4 − 2x2 + trên [−3; 2] π Tìm giá trị lớn nhất, bé hàm số y = x + cos2 x trên 0; √ √ Tìm giá trị lớn nhất, bé hàm số y = x − + − x 2x 4x Tìm giá trị lớn nhất, bé hàm số y = sin + cos + 1+x + x2 Cho x, y là các số không âm có tổng Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ S = x3 + y3 + xy Bài 5.69 : Tìm GTLN, GTNN y = Bài 5.70 : Bài 5.71 : Bài 5.72 : Bài 5.73 : Bài 5.74 : Bài 5.75 : Cho x, y là hai số không âm, thỏa mãn xy + x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S = x3 + y3 + x2 y + xy2 − 5xy Bài 5.76 : Giả sử x, y là hai số dương thoả mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = + x 4y Bài 5.77 : Cho x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = Tìm GTLN, GTNN P= TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 x y + y+1 x+1 Lop12.net Trang 88 (7) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.78 : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 + + =4 x y z Tìm GTLN 1 + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Bài 5.79 : Cho x, y, z > thoả mãn xyz = Tìm GTNN È È √ + x3 + y3 + y3 + z3 + z3 + x3 + + xy yz zx Bài 5.80 : Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm GTLN Bài 5.81 : Cho a, b, c > và a + b + c = Tìm GTNN a+ a b+ b c+ c om x y z + + x+1 y+1 z+1 .c Vấn đề : Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức tb ng Bài toán : Bất đẳng thức biến • Đưa bất đằng thức dạng f (x) ≥ c với x ∈ D tra • Xét hàm số y = f (x) với x ∈ D ao • Lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) với x ∈ D • Từ bảng biến thiên ta có kết luận bài toán :// Bài toán : Bất đẳng thức "phản" đối xứng hai biến a và b với a ≥ b (tương tự a ≤ b) ht • Đưa bất đẳng thức dạng f (a) ≥ f (b) • Sử dụng định nghĩa tính đơn điệu : Giả sử y = f (x) xác định trên D = (a; b) và x1 < x2 thuộc khoảng đó (i) y = f (x) đồng biến trên D thì f (x1 ) < f (x2 ); (ii) y = f (x) nghịch biến trên D thì f (x1 ) > f (x2 ) Bài toán : Bất đẳng thức đối xứng hai biến a và b • Biến đổi bất đẳng thức dạng f (a, b) ≥ c f (a, b) ≤ c với c là số (thường đưa trường hợp c = 0) Quay bài toán tìm max f (a, b) f (a, b) • Đặt S = a + b và P = ab với (S ≥ 4P), từ các điều kiện ràng buộc ta đưa f (a, b) theo S (hoặc P) và tìm miền ràng buộc cho S và P tương ứng • Từ đó ta quay bài toán tìm max, hàm biến số Bài 5.82 : Cho hàm số y = f (x) = tan x + sin x − 2x Chứng minh Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 89 (8) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC π hàm số đồng biến trên 0; π sin x + tan x > 2x với x ∈ 0; Bài 5.83 : Chứng minh 2x π sin x > với x ∈ 0; ; π 1 π < + − với x ∈ 0; π sin x x Bài 5.84 : Cho hàm số y = f (x) = tan x + sin x − 3x.Chứng minh hàm số đồng biến trên 0; Bài 5.85 : π 2 sin x + tan x > 3x với x ∈ 0; π π Chứng minh tan x > x với x ∈ 0; om x3 π với x ∈ 0; 4x Bài 5.86 : Cho hàm số y = f (x) = − tan x π Chứng minh tan x > x + π π ; cos x < − tra sin x ≤ x với x ∈ 0; ng tb .c 4x π Chứng minh ≥ tan x với 0; π Ê Ê √n √n n n n n Bài 5.87 : Cho n là số nguyên dương, chứng minh + + 1− < n n Bài 5.88 : Chứng minh Xét chiều biến thiên hàm số y = f (x) trên 0; Bài 5.90 : sin x x 3 π > cos x với x ∈ 0; 2 ex ≥ + x + ht ex ≥ + x với x ∈ R; :// Bài 5.89 : Chứng minh ao x3 π sin x > x − với x ∈ 0; ; 3! x2 x4 π + với x ∈ 0; ; 24 x2 với x ≥ Cho a < b, chứng minh sin a − sin b < b − a; Chứng minh sin 2010 − sin 2009 + < tan x π π π π π Bài 5.91 : Chứng minh hàm số y = f (x) = đồng biến trên 0; Từ đó suy tan tan < tan tan x 36 20 30 18 Bài 5.92 : Chứng minh với < α < β < √ β− sin β ta có > sin α α − β3 α3 x2 với x ≥ Bài 5.94 : Tìm số thực a nhỏ để bất đẳng thức ln(1 + x) ≥ x − ax2 đúng với x ≥ Bài 5.93 : Chứng minh ln(1 + x) ≥ x − Bài 5.95 : Tìm tất các số thực dương a để ax ≥ + x với ≥ b a ≤ 2b + b a 2 x x y y y x Bài 5.97 : Chứng minh (2 + ) < (2 + ) với x > y > b x + a x+b a Bài 5.98 : Cho x, a, b > và a , b Chứng minh > x+b b Bài 5.99 : Chứng minh x > ln(1 + x) với x > Bài 5.96 : Cho a ≥ b > Chứng minh 2a + TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 90 (9) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.100 : Chứng minh với x ∈ (4; +∞) ta luôn có 2x > x2 Vấn đề : Ứng dụng biến thiên vào việc giải phương trình, bất phương trình, hệ Nếu f (x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với < f (x) = c : g(x) = c Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f [u(x)] = f [v(x)] tương đương với u(x) = v(x) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) là hàm số nghịch biến trên (a; b) thì phương trình om f (x) = g(x) có nghiệm thì nghiệm đó là Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là số) có .c nghiệm thì nghiệm đó là tb Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) thì bất phương trình f (u) ≥ f (v) tương đương với u ≥ v tra ng Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b) thì bất phương trình f (u) ≥ f (v) tương đương với u ≤ v √ È 3x + + x+ 5x3 − + √ 7x + = 4; √3 2x − + x = 4; :// √ √3 x+2+ √3 x+1= √3 √3 x+1+ √3 x+2+ √3 2x2 + + √3 2x2 ; x + = ht ao Bài 5.101 : Giải các phương trình Bài 5.102 : Giải bất phương trình √ 5x − + √ x + ≥ 4; √ 3 − 2x + √ − 2x ≤ 6; 2x − √ √ √ √ (x + 2)(2x − 1) − x + ≤ − (x + 6)(2x − 1) + x + 2; √ √ √ √ 2x3 + 3x2 + 6x + 16 < + − x; x+9+ √ 2x + > Bài 5.103 : Giải các hệ phương trình 1 > <x − = y − :√ x √ y x + y y = 2 < x3 − 3x = y3 − 3y : x + y6 = 8√ √ < 2x + − 2y + = x − y : x − 12xy + 9y2 + = √ Bài 5.104 : Giải phương trình : x5 + x3 − − 3x + = √ √ Bài 5.105 : Giải phương trình : x2 + 15 = 3x − + x2 + Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 91 (10) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC √3 √4 √5 x + + 5x − + 7x − + 13x − < √ √ √ Bài 5.107 : Giải bất phương trình : 2x + x + x + + x2 + 7x < 49 1 Bài 5.108 : Giải phương trình : 5x + 4x + 3x + 2x = x + x + x − 2x3 + 5x2 − 7x + 17 Bài 5.106 : Giải bất phương trình : √ Bài 5.109 : Tìm x, y ∈ (0; π) thỏa mãn hệ : <cot x − cot y = x − y : 5x + 8y = 2π Vấn đề : Ứng dụng biến thiên vào bài toán số nghiệm phương trình có tham số om Bước : Đặt ẩn phụ (nếu cần) t = u(x), đặt điều kiện chặt cho t Bước : Từ giả thiết bài toán biến đổi các dạng sau: tb Tức là biến đổi để cô lập m vế, còn vế độc lập với m c f (t) = g(m); f (t) ≥ g(m); f (t) ≤ g(m); f (t) > g(m); f (t) < g(m) ng Bước : Lập bảng biến thiên hàm số f (t) trên miền giá trị t đã tìm sau bước Bước : Từ bảng biến thiên suy miền giá trị f (t) Sử dụng các kết đã nêu mục 2, để tìm kết luận bài tra toán ht :// ao Chú ý : điều kiện chặt cho t có nghĩa là tìm các giá trị t x biến thiên để phương trình t = u(x) có nghiệm Chẳng hạn, đặt t = 3x thì điều kiện t > 0, đặt t = 3x , x ∈ [−1; 1] thì điều kiện ≤ t ≤ và đặt √ t = u(x) = −x +2x , x ∈ [0; 2] điều kiện chặt t phải là ≤ t ≤ Bài 5.110 : Cho hàm số : y = mx2 + 2mx − Tìm m để phương trình f (x) = có nghiệm đoạn [1; 2] Tìm m để bất phương trình f (x) ≥ nghiệm đúng với x đoạn [1; 3] Tìm m để bất phương trình f (x) ≤ nghiệm đúng với x đoạn (1; 4) Bài 5.111 : Tìm m để phương trình : 2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + sin 2x + m = π Bài 5.112 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : có ít nghiệm thuộc đoạn 0; È 2x2 − 2(m + 4)x + 5m + 10 + − x = Bài 5.113 : Tìm m để phương trình : + sin 2x = m(1 + cos x)2 π π có nghiệm trên đoạn − ; 2 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 92 (11) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.114 : Tìm m để phương trình √ x2 + mx + = 2x + có hai nghiệm thực phân biệt √4 √ √ Bài 5.115 : Tìm m để phương trình x − + m x + = x2 − có nghiệm Bài 5.116 : Với giá trị nào m bất phương trình sau đúng với x ∈ [−5; 1] √ 5−4x−x2 + 21+ √ 5−4x−x2 ≤ m Bài 5.117 : Cho phương trình 9x − m3x + 2m = Giải phương trình với m = −1; Tìm m để phương trình trên có nghiệm Bài 5.118 : Tìm GTLN, GTNN hàm số y= √ + sin x + √ cos6 x + sin6 x = m tan 2x cos2 x − sin2 x 13 Giải phương trình m = ; + cos x om Bài 5.119 : Cho phương trình .c Tìm m để phương trình vô nghiệm √ x)2 − log x + m = Bài 5.121 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm : ng 4(log2 tb Bài 5.120 : Tìm các giá trị m để phương trình có nghiệm thuộc (0; 1) tra 4x − m.2x − m + ≤ π ao Bài 5.122 : Tìm m để phương trình sau có ít nghiệm thuộc đoạn 0; 2(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + sin 2x + m = ht :// Bài 5.123 : Tìm a để phương trình sau đây có nghiệm phân biệt : Bài 5.124 : Tìm m để : √ √ √ 2|x2 − 5x + 4| = x2 − 5x + a 18 + 3x − x2 ≤ m2 − m + nghiệm đúng với x ∈ [−3; 6] √ √ Bài 5.125 : Tìm a để bất phương trình : x3 + 3x2 − ≤ a( x − x − 1)3 có nghiệm √ √ √ √ Bài 5.126 : Tìm a để : x x + x + 12 = m( − x + − x) có nghiệm 3+x+ 6−x− Bài 5.127 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm √ √ √ √ √ m( + x2 − − x2 + 2) = − x4 + + x2 − − x2 Bài 5.128 : Cho phương trình : log23 x + È log23 x + − 2m − = Giải phương trình m = 2; √ Tìm m để phương trình có ít nghiệm thuộc đoạn [1; 3 ] √ √ Bài 5.129 : Tìm m để phương trình m − x + x + = có đúng nghiệm thực phân biệt 5.2 Cực trị hàm số Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 93 (12) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Vấn đề : Sử dụng dấu hiệu và dấu hiệu để xác định các điểm cực trị hàm số Bài 5.130 : Xác định các điểm cực trị các hàm số sau : √ y = −2x + x2 + 1; y = x3 (1 − x2 ); y = |x|(x − 2); y = cos x + y = 3x + 14 ; (x − 2)(x + 3) √ y = − 4x − x2 ; y = 2x2 + 3x + ; x2 − 4x + y = √ x2 1− x2 ; y = √ cos 2x; sin x + cos x + 2x + Bài 5.131 : Tìm cực trị các hàm số : √ y = x − x ; om x ; x2 + y = y = 3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x − ; Bài 5.132 : Tìm cực trị hàm số y = sin2 x − √ cos x, x ∈ [0; π] x ; ln x .c y = xe−3x ; tb y = y = x2 − 2|x| + ; ng Bài 5.133 : Cho m là số nguyên dương, hãy tìm cực trị hàm số : y = xm (4 − x)2 tra Vấn đề : Điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị (cực đại cực tiểu) x = x0 đồ thị hàm số đạt cực trị điểm (x0 ; y0 ) ao ht :// Chúng ta làm theo phương pháp điều kiện cần và đủ : Bước : Giả sử hàm số đạt cực trị x = x0 suy f ′ (x0 ) = 0, tìm tham số m Bước : Với giá trị m vừa tìm được, thử lại xem x0 có đúng là điểm cực trị (cực đại cực tiểu) Bước : Kết luận Chú ý : • Có thể dùng dấu hiệu để kiểm tả bước 2; • Một số lời giải sai lầm là dùng trực tiếp dấu hiệu để giải bài toán trên, chẳng hạn hàm số đạt cực đại ′ < f (x0 ) = x = x0 và là lời giả sai lầm, ví dụ hàm số y = x4 đạt cực tiểu x = 0, : f ”(x0 ) < 0, ′′ ′′ f (0) = không phải là f (0) < Bài 5.134 : Tìm m để hàm số : y = x3 − 3mx2 + (m2 − 1)x + đạt cực tiểu x = Bài 5.135 : Xác định các số a, b, c để hàm số : y = x3 + ax2 + bx + c có giá trị x = và đạt cực trị x = −1 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 94 (13) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.136 : Xác định hàm số bậc ba y = f (x), biết nó có cực tiểu x = và đem chia f (x) cho x2 + 3x + thì còn dư −x + Bài 5.137 : Cho hàm số : y = x3 − (m + 3)x2 + mx + m + Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Bài 5.138 : Cho hàm số y = (x − m)3 − 3x Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu x = 5 Bài 5.139 : Tìm a và b để các cực trị hàm số y = a2 x3 + 2ax2 − 9x + b là số dương và x0 = − là điểm cực đại tb .c om Bài 5.140 : Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1) Tìm m để hàm số đạt cực đại x = 1 Bài 5.141 : Tìm m để hàm số : y = x3 + (m2 − m + 2)x2 + (3m2 + 1)x + m − đạt cực tiểu x = −2 π Bài 5.142 : Cho hàm số y = a sin x + sin 3x Tìm a để hàm số đạt cực trị x = 3 x + mx + Bài 5.143 : Cho hàm số y = Tìm m để hàm số đạt cực đại x = x+m ax2 + bx + ab Bài 5.144 : Tìm a, b để hàm số y = đạt cực tiểu x = và cực đại x = bx + a Bài 5.145 : Tìm a, b đẻ hàm số y = x4 − ax2 + b có giá trị cực trị −2 x = tra Cực trị hàm bậc : y = ax3 + bc2 + cx + d (a , 0) ng Vấn đề : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và thỏa mãn vài điều kiện Hàm số có cực trị (hoặc hai điểm cực trị) và phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt Khi đó hoành độ hai ao điểm cực trị là nghiệm phương trình y′ = Cực trị hàm bậc : y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e (a , 0) :// - Hàm số có ba điểm cực trị và phương trình y′ = có nghiệm phân biệt; ht - Khi viết y′ = (x − x0 )P(x) với P(x) là đa thức bậc 2, đó hàm số có điểm cực trị và y′ = đổi dấu lần, tương đương với P(x0 ) = ∆P(x) ≤ Chú ý : Hàm bậc có số điểm cực tiểu nhiều cực đại thì a > và số điểm cực đại nhiều cực tiểu thì a < ax2 + bc + c Cực trị hàm phân thức : y = (a và d khác 0) dx + e Hàm số có cực trị (hoặc hai điểm cực trị) và phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt Khi đó hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm phương trình y′ = Chú ý : - Với bài toán yêu cầu cụ thể điểm nào là điểm cực đại, điểm nào là điểm cực tiểu thì ta cần lập bảng biến thiên để xác định điểm cực trị - Với bài toán có vai trò điểm cực đại và điểm cực tiểu là thì ta thường dùng định lí Viét Bài 5.146 : Chứng minh hàm số y = x3 − 3mx2 + (m − 1)x + có cực trị với giá trị m Bài 5.147 : Tìm m để hàm số : y = x3 + mx2 + (m + 6)x − (2m + 1) có cực đại, cực tiểu Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 95 (14) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.148 : Tìm m để hàm số : y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx − có cực đại, cực tiểu Bài 5.149 : Cho hàm số : y = x3 − 3mx2 + Với giá trị nào m thì hàm số có cực đại và cực tiểu Bài 5.150 : Cho hàm số y = mx3 + 3mx2 − (m − 1)x − Với giá trị nào m thì hàm số không có cực trị Bài 5.151 : Chứng minh : với m, hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + luôn đạt cực trị x1 , x2 với x2 − x1 không phụ thuộc vào m x + (m − 2)x2 + (5m + 4)x + m2 + đạt cực trị x1 < −1 < x2 Bài 5.153 : Tìm m để hàm số : y = x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + m2 − m đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn −1 < x1 < x2 3 Bài 5.154 : Cho hàm số : y = 2x − 3(m + 2)x2 + 6(5m + 1)x − (4m3 + 2) Tìm m để hàm số có : Bài 5.152 : Tìm m để hàm số : y = đúng điểm cực trị lớn om hai điểm cực trị nhỏ c ít điểm cực trị (−1; 1) tb ít điểm cực trị lớn ít điểm cực trị có giá trị tuyệt đối lớn ng Bài 5.155 : Cho hàm số y = x3 − (m − 3)x2 + (4m − 1)x − m Tìm m để hàm số đạt cực trị các điểm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x1 < −2 < x2 tra x − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + 3 Với giá trị nào m thì hàm số có cực đại, cực tiểu là x1 , x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = ao Bài 5.156 : Cho hàm số y = Bài 5.157 : Chứng minh với a, hàm số : :// y = 2x3 − 3(2a + 1)x2 + 6a(a + 1)x + ht luôn đạt cực trị x1 , x2 Tìm a cho các giá trị cực trị tương ứng y1 , y2 thỏa mãn y1 + y2 = Bài 5.158 : Cho hàm số : y = mx3 − 3mx2 + (2m + 1)x + − m Tìm tất các giá trị m để hàm số có cực đại và cực tiểu Chứng minh đó đường thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu luôn qua điểm cố định Bài 5.159 : Giả sử hàm số : y = x3 + (cos a − sin a)x2 − 8(cos 2a + 1)x + đạt cực trị x1 , x2 Chứng minh : x21 + x22 ≤ 18 với a 1 3x Bài 5.160 : Cho hàm số : y = x3 − (sin a + cos a)x2 + sin 2a Tìm a để hàm số đạt cực trị các điểm x1 , x2 thỏa mãn : x1 + x2 = x21 + x22 Bài 5.161 : Cho hàm số : y = x3 + (m + 1)x2 + (m2 + 4m + 3)x Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Tìm m để hàm số đạt cực trị ít điểm lớn Gọi các điểm cực trị là x1 , x2 Tìm max A = |x1 x2 − 2(x1 + x2 )| Bài 5.162 : Tìm m để đồ thị hàm số y = Bài 5.163 : Tìm m để hàm số y = x − mx2 − x + m + có khoảng cách các điểm cực trị là nhỏ 3 x − mx2 + mx − đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn |x1 − x2 | ≥ TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 96 (15) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.164 : Tìm a để các điểm cực trị đồ thị hàm số : y = x3 − 3ax2 + 4a3 đối xứng qua đường thẳng y = x Bài 5.165 : Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu đồ thị hàm số : y = x3 − 3(m − 1)x2 + 2(m2 − 3m + 2)x − m(m − 1) Bài 5.166 : Cho hàm số y = 4x3 − mx2 − 3x + m Chứng minh với m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực đại, cực tiểu hàm số là trái dấu Bài 5.167 : Cho hàm số y = mx3 − 3mx2 + (2m + 1)x + − m Tìm tất các giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng minh đó đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định om Bài 5.168 : Cho hàm số y = x3 + 2(m − 1)x2 + (m2 − 4m + 1)x − 2(m2 + 1) Tìm m để hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 1 cho : + = (x1 + x2 ) x1 x2 Bài 5.169 : Cho hàm số y = x3 − 3x2 − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cách đường thẳng y = x − Bài 5.170 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = 2x3 + 3(m − 1)x2 + 6m(1 − 2m)x có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường .c thẳng y = −4x tb Bài 5.171 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = x3 + mx2 + 7x + có đường thẳng qua hai điểm cực trị vuông góc với đường ng thẳng y = 3x − ao tra Bài 5.172 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + 3(m − 1)x2 + (2m2 − 3m + 2) − m(m − 1) có đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng y = − x + góc 45◦ Bài 5.173 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + m2 x + m có các điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng y = x − 2 Bài 5.174 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(3m + 1)x2 + 12(m2 + m)x + có cực đại, cực tiểu Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó :// Bài 5.175 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m + 2)x − 2m(m + 2) có cực đại, cực tiểu Viết phương ht trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó Bài 5.176 : Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x + Bài 5.177 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − 3mx2 + (2m + 1)x + − m có cực đại, cực tiểu Chứng minh rằng, đó đường thẳng qua hai điểm cực trị luôn qua điểm cố định Bài 5.178 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + có cực đại, cực tiểu Chứng minh rằng, đó đường thẳng qua hai điểm cực trị luôn qua điểm cố định Bài 5.179 : Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 + 2x − 8m có cực đại, cực tiểu Chứng minh rằng, đó đường thẳng qua hai điểm cực trị luôn qua điểm cố định Bài 5.180 : Tìm m để độ thị hàm số y = x3 − (2m + 1)x2 + (3m + 1)x − m − có đường thẳng qua hai đường thẳng cực 19 x + góc 45◦ trị tạo với đường thẳng y = 13 Bài 5.181 : Chứng minh đồ thị hàm số y = x3 + 3mx2 − 3x − 3m + luôn có cực đại, cực tiểu Tìm m để cực đại, cực x tiểu đối xứng qua đường thẳng y = − 4 Bài 5.182 : Tìm a để hàm số y = x − 2(1 − sin a)x2 + (1 + cos 2a)x + đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn : x21 + x22 = 3 sin 2a Bài 5.183 : Cho hàm số y = x − (sin a + cos a)x2 + x 3 Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 97 (16) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Tìm a để hàm số đồng biến trên R Tìm a để hàm số đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = x21 + x22 Bài 5.184 : Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3m x + m có các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y = x mx2 + (2 − m2 )x − (2m + 1) có cực trị x−m x2 − 2x + m + Bài 5.186 : Cho hàm số y = Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số trên x+m−1 Bài 5.187 : Tìm m để các hàm số sau có cực trị : Bài 5.185 : Tìm m để hàm số y = y = x2 + 2m2 x + m2 ; x+1 y = x2 + 2mx − m ; x+m y = x2 + (m + 2)x + 3m + ; x+1 x2 + (m + 1)x − m x2 + (m − 1)x − m mx2 + (m + 1)x + ; y = ; y = x+1 x+1 mx + −x2 + mx − m2 Bài 5.188 : Cho hàm số y = Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị, viết phương trình đường thẳng qua các x−m điểm cực trị trên Bài 5.189 : Tìm α để các hàm số sau có cực đại, cực tiểu x2 cos α + x + sin2 α cos α + sin α x + cos α (x − a cos α)(x − a sin2 α) π Bài 5.190 : Tìm tọa độ các điểm cực trị đồ thị hàm số sau : y = với a > và α ∈ 0; x x2 + mx − 2m − Bài 5.191 : Tìm m để hàm số y = có cực đại và cực tiểu x+2 2m2 x2 + (2 − m2 )(mx + 1) Bài 5.192 : Tìm m để hàm số : y = có cực trị mx + x2 + mx − Bài 5.193 : Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị đồ thị hàm số y = x−m (m + 1)x2 − 2mx − (m3 − m2 − 2) Bài 5.194 : Tìm m , −1 để hàm số y = có cực trị thuộc khoảng (0; 2) x−m ax2 + bx + c Bài 5.195 : Tìm a, b, c để y = có cực trị x = và đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số vuông x−2 1−x góc với đường thẳng y = x2 + m2 x + 2m2 − 5m + Bài 5.196 : Tìm m > để hàm số y = đạt cực trị x0 ∈ (0; 2m) x 2x2 + (m − 2)x Bài 5.197 : Tìm m để đồ thị hàm số y = có cực trị và tìm quỹ tích hai điểm cực trị đó x−1 x2 + mx − m − Bài 5.198 : Cho hàm số y = Tìm m để đồ thị hàm số trên có cực trị Tìm quỹ tích các điểm cực trị đó x+1 −x2 + 3x + m Bài 5.199 : Tìm m để hàm số y = có |ycđ − yct | = x−4 2x2 + 3x + m − Bài 5.200 : Tìm m để hàm số y = có |ycđ − yct | < 12 x+2 x2 − (m + 1)x − m2 + 4m − Bài 5.201 : Tìm m để hàm số y = có cực trị và ycđ yct nhỏ x−1 x2 − mx + m Bài 5.202 : Cho hàm số y = Chứng minh với m đồ thị hàm số có cực trị và khoảng cách hai x−1 điểm cực trị không đổi ng y = ht :// ao tra y = x2 + 2x cos α + ; x + sin α tb .c om y = TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 98 (17) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC mx2 + 3mx + (2m + 1) có cực trị nằm hai phía Ox x−1 x2 + (m + 1)x − m + Bài 5.204 : Tìm m để đồ thị hàm số y = có cực đại, cực tiểu nằm cùng phía Ox x−m −x2 + 2mx − Bài 5.205 : Tìm m để đồ thị hàm số y = có cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y = 2x x−1 x2 + 3x + a Bài 5.206 : Cho hàm số : y = x+1 Bài 5.203 : Tìm m để đồ thị hàm số y = Với giá trị nào tham số a thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ hệ trục tọa độ Chứng minh đó, đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu x2 + 2m2 x + m2 có cực đại và cực tiểu x+1 2m2 x2 + (2 − m2 )(mx + 1) Bài 5.208 : Cho hàm số : y = Chứng minh với m , hàm số luôn có cực đại và cực mx + tiểu x2 − 2kx + k2 + Bài 5.209 : Cho hàm số y = Chứng minh với k, hàm số luôn có giá trị cực đại, cực tiểu trái x−k dấu x2 − (3m + 2)x + m + Bài 5.210 : Cho hàm số : y = Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời khoảng cách x−1 hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số nhỏ ng tb .c om Bài 5.207 : Với giá trị nào m thì hàm số : y = x2 + mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu x+1 đồ thị hàm số nằm hai phía đường thẳng 2x + y − = hàm số cùng âm x2 − (m + 3)x + 3m + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu x−1 ao Bài 5.212 : Cho hàm số y = tra Bài 5.211 : Cho hàm số y = đại ht :// Bài 5.213 : Cho hàm số : y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + Với giá trị nào m thì hàm số có cực tiểu và không có cực Bài 5.214 : Cho hàm số : y = x4 + (m + 3)x3 + 2(m + 1)x2 Chứng minh : với m , −1 hàm số luôn có cực đại, đồng thời xcđ ≤ Bài 5.215 : Cho hàm số : y = x4 + 8ax3 + 3(2a + 1)x2 − Với giá trị nào a thì hàm số có cực tiểu và không có cực đại Bài 5.216 : Cho hàm số y = x − mx2 + 2 Xác định m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác : (a) ; (b) vuông ; (c) có diện tích Bài 5.217 : Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m − Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Bài 5.218 : Tìm m để đồ thị hàm số : y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có ba điểm cực trị lập thành tam giác Bài 5.219 : Chứng minh : hàm số y = x4 + mx3 + mx2 + mx + không thể có đồng thời cực đại và cực tiểu với m ∈ R Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 99 (18) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 5.220 : Chứng minh : x4 + px3 + q ≥ 0∀x ∈ R ⇔ 256q ≥ 27p4 Bài 5.221 : Tìm m để hàm số : y = x4 − 4x3 + x2 + mx − có cực đại và cực tiểu Bài 5.222 : Cho hàm số : y = x4 + 2x3 + mx2 Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại Bài 5.223 : Tìm m để y = −x4 − 8mx3 − 3(2m + 1)x2 + có cục đại mà không có cực tiểu Bài 5.224 : Tìm m để hàm số y = x4 − mx2 + có cực tiểu mà không có cực đại Bài 5.225 : Tìm m để y = mx4 + (m − 1)x2 + (1 − 2m) có đúng cục trị Bài 5.226 : Cho hàm số : y = 3x4 + 4mx3 + 6mx2 + 24mx + 1 Biện luận theo m số cực trị hàm số Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x0 ∈ [−2; 2] x − 2x3 + (m + 2)x2 − (m + 6)x + Tìm m để hàm số có ba cực trị Chứng minh : x4 + px + q ≥ 0∀x ∈ R ⇔ 256q3 ≥ 27p4 Bài 5.228 : om Bài 5.227 : Cho hàm số : y = .c Cho 256q3 ≥ 27p4 Chứng minh : qx4 + px3 + ≥ ∀x ∈ R tb Bài 5.229 : Chứng minh : y = 2x4 − 6mx2 + (m2 + 1)x + 3m2 luôn có ba cực trị, đồng thời gốc tọa độ là trọng tâm ng tam giác tạo ba đỉnh là ba cực trị đó tra 5.3 Tiệm cận P(x) , với P(x), Q(x) là các đa thức Q(x) ht Nếu y = :// ao Vấn đề : Tìm tiệm cận đồ thị hàm số (a) Nếu Q(x) = có nghiệm x = x0 thì đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng hệ số cao P(x) (b) Nếu P(x) và Q(x) có bậc thì đường thẳng y = hệ số cao Q(x) (c) Nếu bậc P(x) bậc Q(x) cộng thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên (là thương chia tử cho mẫu) Để xác định hệ số a, b đường tiệm cận xiên y = ax + b với a , đồ thị hàm số y = f (x) ta làm bước sau : f (x) , và b = lim ( f (x) − ax) ; x→+∞ x x→+∞ f (x) (b) a = lim , và b = lim ( f (x) − ax) x→−∞ x x→−∞ (a) a = lim Chú ý trên ta tính a = thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên mà có tiệm cận ngang y = b Bài 5.230 : Tìm tiệm cận các hàm số sau: TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 100 (19) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC x+1 y = ; 2x + y = y = 2x − − ; x+2 2x2 − ; x2 − 3x + y = + x+3 ; x+1 √ y = x2 − x + 1; y = 2x2 + x + ; x+1 √ y = x2 − 1; y = ; x−2 √ y = x + √ x2 + 2x Bài 5.231 : Cho đồ thị các hàm số : a) y = 3x2 + x + ; x−1 b) y = x2 − 4x + ; 2x + c) y = −x2 + x − x+3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn tiệm cận xiên đồ thị các hàm số trên chắn trên hai trục tọa độ om Tính diện tích hình phẳng giới hạn tiếp tuyến điểm có hoành độ với các tiệm cận đồ thị các hàm số trên 2x + có đồ thị (C)1 M là điểm tùy ý trên (C) Tiếp tuyến với (C) M cắt tiệm cận x−2 ngang và tiệm cận đứng A và B tb .c Bài 5.232 : Cho hàm số y = ng Chứng minh M là trung điểm AB Chứng minh M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác có diện tích không đổi tra Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C) qua giao điểm hai tiệm cận Bài 5.233 : Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y = ao diện tích nhỏ x+1 cho tiếp tuyến đó tạo với hai tiệm cận tam giác có x−1 ht :// Vấn đề : Các bài toán tiệm cận có tham số ax + b a r Đồ thị hàm số y = = + (với a và c khác 0) có tiệm cận đứng (ngang) và r , Khi đó cx + d c cx + d a d y = là đường tiệm cận ngang và x = − là đường tiệm cận đứng c c ax2 + bx + c r = px + q + (với a và d khác 0) có tiệm cận đứng (xiên) và r , dx + e dx + e e Khi đó y = px + q là đường tiệm cận xiên và x = − là đường tiệm cận đứng d Đồ thị hàm số y = x2 có tiệm cận x−m 2x2 − 3x + m Bài 5.235 : Tìm m để đồ thị hàm số y = không có tiệm cận đứng x−m mx2 + 6x − Bài 5.236 : Tìm m để hàm số y = không có tiệm cận đứng x+2 Bài 5.234 : Tìm m để hàm số y = Các khẳng định bài này đúng cho hàm số phân thức y = ax + b ax2 + bx + c và y = cx + d dx + e Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 101 (20) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC −x2 + x + a có tiệm cận xiên qua A(2; 0) x+a x2 + mx − Bài 5.238 : Cho hàm số y = Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên và tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa x−1 độ tam giác có diện tích Bài 5.237 : Tìm a để y = Bài 5.239 : Cho hàm số y = x2 + 2x cos α + , với α ∈ [0; π] x + sin α Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số Tìm α để khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn Bài 5.240 : Cho hàm số y = mx2 + (3m2 − 2)x − có đồ thị là (C) x + 3m Tìm m để góc hai đường tiệm cận (C) 45◦ .c 5.4 Tâm đối xứng và trục đối xứng Điểm thuộc đồ thị om Tìm m để (C) có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ A và B cho tam giác OAB có diện tích tb Vấn đề : Tâm đối xứng, trục đối xứng ng tra Điểm M(x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) nên y0 = f (x0 ) :// ao Hai điểm M, N đối xứng qua điểm I và I là trung điểm MN, tức là :y I = y M + yN −u < MN⊥→ ∆ : ht Hai điểm M, N đối xứng qua đường thẳng ∆ và x + xN > < xI = M Trung điểm I MN thuộc ∆ x2 + 2m2 x + m2 có hai điểm đối xứng với qua gốc tọa độ x+1 Tìm m để trên đồ thị hàm số y = x3 + mx2 + 9x + có hai điểm đối xứng với qua gốc tọa độ 3x + Tìm trên đồ thị hàm số y = các cặp điểm đối xứng qua điểm I(1; 1) 2x − x2 + x + Tìm trên đồ thị hàm số y = các cặp điểm đối xứng qua điểm I 0; x−1 2 x Tìm trên đồ thị hàm số y = các cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d : y = x − x−1 Bài 5.241 : Tìm m để trên đồ thị hàm số y = Bài 5.242 : Bài 5.243 : Bài 5.244 : Bài 5.245 : Vấn đề : Khoảng cách MN = È (xM − xN )2 + (yM − yN )2 ; M(x0 ; y0 ) và ∆ : Ax + By + C = thì d(M, ∆) = |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B2 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 102 (21)