Đề 5 thi thử đại học năm 2010 Môn: Toán

Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của d1, d2 của tam giác đã cho... Giả sử phương trình chính tắc của E có dạng:..[r]

Đề thi thử đại học năm 2010 M«n: To¸n – Ngµy thi: 06.4.2010 Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) Së gd & ®t b¾c ninh TRƯƯNG THPT lương tài §Ò chÝnh thøc PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (7 ®iÓm ) C©u I: (2 ®iÓm) Cho hµm sè y  2x  x 2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M lµ ®iÓm bÊt k× trªn (C) TiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t c¸c ®­êng tiÖm cËn cña (C) A và B Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c IAB cã diÖn tÝch nhá nhÊt C©u II (2 ®iÓm) x x  x Giải phương trình  sin sin x  cos sin x  cos    2 4 2 Giải bất phương trình log (4 x  x  1)  x   ( x  2) log   x  2  C©u III (1 ®iÓm) e    x ln x dx   x  ln x ln x TÝnh tÝch ph©n I    C©u IV (1 ®iÓm) Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a BC = a   SAC   30 TÝnh thÓ SA  a , SAB tÝch khèi chãp S.ABC Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = cña biÓu thøc P  a  3b 3 b  3c 3 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt c  3a PhÇn riªng (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®­îc lµm mét hai phÇn: PhÇn hoÆc phÇn Phần 1:(Theo chương trình Chuẩn) C©u VIa (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1 : x  y   d2: 3x +6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; -1) cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo tam giác cân có đỉnh là giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng d1, d2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x  y  z   Gọi A’là hình chiªó cña A lªn mÆt ph¼ng Oxy Gäi ( S) lµ mÆt cÇu ®i qua ®iÓm A’, B, C, D X¸c định toạ độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao (P) và (S) C©u VIIa (1 ®iÓm) Tìm số nguyên dương n biết: Lop12.net 2C22n 1  3.2.2C23n 1   (1)k k (k  1)2 k 2 C2kn 1   n(2 n  1)22 n 1 C22nn11  40200 Phần 2: (Theo chương trình Nâng cao) C©u VIb (2 ®iÓm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: x2 y2   Viết phương trình chính tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm 16 cña (H) vµ ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (H) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho P  : x  y  z   và đường thẳng (d ) : x3  y   z  , ®iÓm A( -2; 3; 4) Gäi  lµ ®­êng th¼ng n»m trªn (P) ®i qua giao điểm ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên  điểm M cho kho¶ng c¸ch AM ng¾n nhÊt C©u VIIb (1 ®iÓm): 2 x 1  y 2  3.2 y 3 x Giải hệ phương trình   x   xy  x  HÕt -Chó ý: ThÝ sinh dù thi khèi B vµ D kh«ng ph¶i lµm c©u V ThÝ sinh kh«ng ®­îc sö dông tµi liÖu C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: C©u I D¸p ¸n Néi dung Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 1) Hµm sè cã TX§: R \ 2 2) Sù biÕn thiªn cña hµm sè: a) Giíi h¹n v« cùc vµ c¸c ®­êng tiÖm cËn: lim y   * lim y  ; x 2  §iÓm 1,00 0,25 x 2  Do đó đường thẳng x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  lim y   đường thẳng y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm * xlim  x  0,25 sè b) B¶ng biÕn thiªn: Ta cã: y'   0, x  x  2 B¶ng biÕn thiªn: x - + y’ - 0,25 - + y - Lop12.net * Hµm sè nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng  ;2  vµ 2;  3) §å thÞ: 3 + §å thÞ c¾t trôc tung t¹i  0;  vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm  ;0   2 2  + Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) hai tiệm cận làm tâm đối y xøng 0,25 3/2 O 3/2 I 2 x Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ  2x   1 Ta cã: M x0 ; , x0  , y' (x0 )  x0   x0  2  Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng: :y  1,00 0,25 1 2x  (x  x )  x0  x0   Toạ độ giao điểm A, B   và hai tiệm cận là:  2x   ; B2x  2;2  A 2;  x0   y  y B 2x  x x  2x    y M suy M lµ  x0  xM , A Ta thÊy A B  x0  2 trung ®iÓm cña AB MÆt kh¸c I = (2; 2) vµ tam gi¸c IAB vu«ng t¹i I nªn ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c IAB cã diÖn tÝch   2x          (x  2)2   2 S = IM  (x  2)   2 x  ( x  )   0      x  1 DÊu “=” x¶y (x0  2)2   (x  ) x  Lop12.net 0,25 0,25 0,25 Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) II Giải phương trình lượng giác ®iÓm x x  x   sin sin x  cos sin x  cos    2  2 1   sin x sin x  cos x sin x   cos   x    sin x 2 2  (1) 0,25 x x x x   x   x  sin x sin  cos sin x  1   sin x sin  cos sin cos  1  2 2     x x   x   sin x sin  1 sin  sin  1  2     sin x   x  k   x  k x   sin   x    x  k, k      k2    x    k4  2  x x 2 sin  sin  2  II Giải bất phương trình  1  x  x 0 x   x1   §K:  2 4 x  x   (2x  1)2  x     0,25 0,25 0,25 ®iÓm * 0,25 Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với: log (1  2x)  2x   (x  2)log (1  2x)  1  xlog (1  2x)  1  0,25 x  x  x      x log (1  2x)   log 2(1  2x)  2(1  2x)          x  x  x      x  log (1  2x)   log 2(1  2x)  2(1  2x)  0,25 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) ta cã: 1  x  hoÆc x < 0,25 III TÝnh tÝch ph©n ®iÓm Lop12.net e e ln x I dx  3 x ln xdx x  ln x e +) TÝnh I   ln x x  ln x dx §Æt t   ln x  t   ln x; tdt  dx x 0,25 §æi cËn: x   t  1; x  e  t  t    t3  1 22 I1   2tdt   t  dt  2  t   t 3 1 1 dx  du  e  u  ln x   x  +) TÝnh I   x ln xdx §Æt  dv  x dx v  x  2   e x3 e3 x I  ln x 1e   x dx   31 3 I  I1  3I  IV  e  0,25 0,25 e3 e3 2e3     9  2  2e3 0,25 0,25 TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S ®iÓm M A C N B Theo định lí côsin ta có:   3a  a  2.a 3.a.cos30  a SB  SA  AB  2SA.AB.cos SAB Suy SB  a Tương tự ta có SC = a Gäi M lµ trung ®iÓm cña SA , hai tam gi¸c SAB vµ SAC lµ hai tam gi¸c c©n nªn MB  SA, MC  SA Suy SA  (MBC) Ta cã VS ABC  VS MBC  VA.MBC 1  MA.S MBC  SA.S MBC  SA.S MBC 3 Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng nên chúng Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân M Gọi N là trung điểm BC suy MN  BC Tương tự ta có MN  SA 0,25 0,25 0,25 2 a  a   a  3a  MN  MN  AN  AM  AB  BN  AM  a       16     2 2 2 Do đó VS ABC  SA MN.BC  a V a a a3  16 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Lop12.net 0,25 ®iÓm áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 1 1 1 (*) (x  y  z )     33 xyz 9    xyz x y z xyz x y z 1 3 3 3 ¸p dông (*) ta cã P  3 a  3b b  3c c  3a a  3b  b  3c  c  3a 0,25 áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có a  3b   1   a  3b   3 b  3c   1  b  3c 1.1    b  3c   3 c  3a   1  c  3a 1.1    c  3a   3  a  3b 1.1  0,25 Suy a  3b  b  3c  c  3a    a  b  c         3 3  Do đó P  3  DÊu = x¶y  a  b  c  abc a  3b  b  3c  c  3a  Vậy P đạt giá trị nhỏ a  b  c  / VIa.1 Lập phương trình đường thẳng Cách 1: d1 có vectơ phương a1 (2;1) ; d2 có vectơ phương a (3;6) Ta cã: a1.a  2.3  1.6  nªn d1  d vµ d1 c¾t d2 t¹i mét ®iÓm I kh¸c P Gọi d là đường thẳng qua P( 2; -1) có phương trình: 0,25 0,25 ®iÓm 0,25 d : A(x  2)  B(y  1)   Ax  By  A  B  d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I và d tạo với d1 ( hoÆc d2) mét gãc 450 2A  B  A2  B2 A  3B  cos 45  3A  8AB  3B    2  (1) B  3A 0,25 * NÕu A = 3B ta cã ®­êng th¼ng d : 3x  y   * NÕu B = -3A ta cã ®­êng th¼ng d : x  3y   VËy qua P cã hai ®­êng th¼ng tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n d : 3x  y   0,25 0,25 d : x  3y   Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, đó d song song với đường phân giác ngoài đỉnh là giao điểm d1, d2 tam giác đã cho Các đường phân giác góc tạo d1, d2 có phương trình 2x  y   (1) 2  3x  y  6 2 3x  9y  22  (1 )  2x  y   3x  y    9x  3y   ( ) +) Nếu d // 1 thì d có phương trình 3x  9y  c  Do P  d nªn   c   c  15  d : x  3y   +) Nếu d // 2 thì d có phương trình 9x  3y  c  Do P  d nªn 18   c   c  15  d : 3x  y   Lop12.net 0,25 0,25 0,25 VËy qua P cã hai ®­êng th¼ng tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n d : 3x  y   d : x  3y   VIa Xác định tâm và bán kính đường tròn ®iÓm DÔ thÊy A’ ( 1; -1; 0) * Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A’, B, C, D là: a x  y  z  2ax  2by  2cz  d  0, 0,25  b2  c2  d  0,25   2a  b  d   a   2a  b  4c  d  14    b  1 V× A' , B, C, D  S  nªn ta cã hÖ:  8a  b  4c  d  29  c  1 8a  b  4c  d  21   d  1 0,25 Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x  y  z  x  y  z   29 (S) cã t©m I ;1;1 , b¸n kÝnh R  2  +) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña I lªn (P) H lµ t©m cña ®­êng trßn ( C) +) Gäi ( d) lµ ®­êng th¼ng ®i qua I vµ vu«ng gãc víi (P) (d) có vectơ phương là: n1;1;1 x  /  t  5  Suy phương trình d: y   t  H  t;1  t;1  t  2  z   t  5 Do H  d   (P ) nªn:  t   t   t    3t    t   0,25 5 1  H ; ;  3 6 IH  VII a 75 29 75 31 186     , (C) cã b¸n kÝnh r  R  IH  36 6 36 Tìm số nguyên dương n biết 0,25 ®iÓm * XÐt (1  x)2 n 1  C 02 n 1  C12 n 1x  C 22 n 1x   (1)k C 2kn 1x k   C 22 nn 11x n 1 (1) * Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có:  (2 n  1)(1  x)2 n  C12 n 1  2C 22 n 1x   (1) k kC 2k n 1x k 1   (2 n  1)C 22 nn 11x n (2) Lại lấy đạo hàm hai vế (2) ta có: 2n(2n  1)(1  x)2 n 1  2C 22 n 1  3C 32 n 1x   (1)k k( k  1)C 2k n 1x k    2n(2n  1)C 22 nn 11x n 1 Thay x = vào đẳng thức trên ta có: k 2n 1 2n 1 2n(2n  1)  2C 22n 1  3.2.2C 32n 1   (1)k k(k  1)2 k 2 C 2n C 2n 1 1   2n(2n  1)2 Phương trình đã cho  2n(2n  1)  40200  2n  n  20100   n  100 VIb.1 Viết phương trình chính tắc E líp (H) cã c¸c tiªu ®iÓm F1  5;0; F2 5;0 H×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (H) cã mét đỉnh là M( 4; 3), x y2   ( víi a > b) a b2 1 (E) còng cã hai tiªu ®iÓm F1  5;0; F2 5;0  a  b2  52 Giả sử phương trình chính tắc (E) có dạng: Lop12.net 0,25 0,25 0,25 0,25 ®iÓm 0,25 0,25 M 4;3  E   9a  16b  a b 2  a  52  b a  40   2 2 9a  16b  a b b  15 0,25 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:  Vậy phương trình chính tắc (E) là: VIb x y2  1 40 15 0,25 Tìm điểm M thuộc  để AM ngắn ®iÓm  x  2t  Chuyển phương trình d dạng tham số ta được:  y  t  z  t   0,25 Gäi I lµ giao ®iÓm cña (d) vµ (P)  I 2t  3; t  1; t  3 Do I  P   2t   2(t  1)  (t  3)    t   I  1;0;4 * (d) có vectơ phương là a(2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến là n1;2;1 0,25    a, n   3;3;3 Gọi u là vectơ phương   u 1;1;1 x   u  V× M    M  u; u;4  u  ,  AM1  u; u  3; u    : y  u z   u  0,25 AM ng¾n nhÊt  AM    AM  u  AM.u   1(1  u)  1(u  3)  1.u    16  ; ;   u  VËy M  3 3 VIIb 0,25 Giải hệ phương trình: ®iÓm 23x 1  y   3.2 y  3x (1)   3x   xy  x  (2) x    x  1 Phương trình (2)     x(3 x  y  1)  3 x   xy  x   x  1 x      x    x  1 3 x  y    y   x  0,25 * Víi x = thay vµo (1)  y   3.2 y   y  12.2 y  y  0,25 8  y  log 11 11  x  1 thay y = – 3x vµo (1) ta ®­îc: x 1  3 x 1  3.2  y   3x §Æt t  x 1 V× x  1 nªn t  t   lo¹ i  x  log   1 (3)  t    t  t      t y   log (3  ) t    * Víi    Lop12.net   0,25      x   x  log   Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  vµ  y  log y   log (3  )  11  Lop12.net 0,25